Assolutamente Convergente
Salve non ho capito bene quando una serie è ASSOLUTAMENTE CONVERGENTE
Mi spiego meglio, ho capito che per essere assolutamente convergente deve avere convergente il limite della serie in valore assoluto; ma in pratica che devo fare?
Cambio segno della serie e guardo se sono validi sempre i criteri di convergenza?
Mi spiego meglio, ho capito che per essere assolutamente convergente deve avere convergente il limite della serie in valore assoluto; ma in pratica che devo fare?
Cambio segno della serie e guardo se sono validi sempre i criteri di convergenza?
Risposte
o con la convergenza assoluta
Ovvio, ma se la prof mi chiede la convergenza e non la convergenza assoluta, quelle due lì sono le opzioni.
Bene così, come al solito sei stato troppo buono Noise.
Bene così, come al solito sei stato troppo buono Noise.
Se devo studiare l'assoluta convergenza di una serie a segni alterni, vuol dire studiare la convergenza della serie equivalentemente non alterna. Ovvero, ciò che voglio dire è:
$| (-1)^n 1/1+nlogn |$ $=$ $1/1+nlogn$
Giusto?
$| (-1)^n 1/1+nlogn |$ $=$ $1/1+nlogn$
Giusto?
ma la serie è questa?
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n+n\ln n
\end{align}
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n+n\ln n
\end{align}
No in realtà è questa, ho sbagliato a scrivere:
$\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n * (1/(1+nlogn))$
$\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n * (1/(1+nlogn))$
in realtà la convergenza assoluta in questo caso ti porta a
\begin{align}
\left|(-1)^n\left(\frac{1}{1+n\ln n}\right)\right|=\left| \left(\frac{1}{1+n\ln n}\right)\right|= \left(\frac{1}{1+n\ln n}\right) \sim \left(\frac{1}{ n\ln n}\right)\to\mbox{diverge}
\end{align}
il fatto che diverga assolutamente non ti autorizza a concludere nulla; quindi in questo caso simo costretti a ricorrere a Leibnitz: termine generale infinitesimo e decrescente (?) dunque converge semplicemente ma non assolutamente.
\begin{align}
\left|(-1)^n\left(\frac{1}{1+n\ln n}\right)\right|=\left| \left(\frac{1}{1+n\ln n}\right)\right|= \left(\frac{1}{1+n\ln n}\right) \sim \left(\frac{1}{ n\ln n}\right)\to\mbox{diverge}
\end{align}
il fatto che diverga assolutamente non ti autorizza a concludere nulla; quindi in questo caso simo costretti a ricorrere a Leibnitz: termine generale infinitesimo e decrescente (?) dunque converge semplicemente ma non assolutamente.
Quindi non è corretto scrivere:
$|(-1)^n (1/1+(nlogn))| = 1/(1+nlogn)$
Se al numeratore ci fosse stata la $n$ invece sarebbe stata assolutamente convergente. Giusto?
$|(-1)^n (1/1+(nlogn))| = 1/(1+nlogn)$
Se al numeratore ci fosse stata la $n$ invece sarebbe stata assolutamente convergente. Giusto?
"Mr.Mazzarr":
Quindi non è corretto scrivere:
$|(-1)^n (1/1+(nlogn))| = 1/(1+nlogn)$
Se al numeratore ci fosse stata la $n$ invece sarebbe stata assolutamente convergente. Giusto?
è corretto scrivere quell'uguaglianza, ma quella serie diverge assolutamente e quindi non puo concludere nulla; se ci fosse statta la $n$ al numeratore, avremo
\begin{align}
\left|(-1)^n\frac{n}{1+n\ln n}\right|=\left|\frac{n}{1+n\ln n}\right|= \frac{n}{1+n\ln n}\stackrel{\to+\infty}{\sim} \frac{n}{ n\ln n}=\frac{1}{ \ln n}\to \mbox{diverge}
\end{align}
e dunque anche in questo caso no avremo potuto concludere nulla, risultando assolutamente divergente.
EDIT :
mi sono accorto solo ora: ma nn intendevi mica questa uguaglianza spero
\[\frac{1}{a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\]
Nono, non intendevo quella. Hai risolto i miei dubbi precedentemente.
Solo che non riesco a capire una cosa..
Quando devo calcolare l'assoluta convergenza/divergenza, devo andare ad applicare uno dei 4 criteri o devo semplicemente fare il limite con $n -> +oo$ ?
E, tra l'altro, con $n -> +oo$, un numero fratto il logaritmo che va ad infinito è uguale a 0?
Solo che non riesco a capire una cosa..
Quando devo calcolare l'assoluta convergenza/divergenza, devo andare ad applicare uno dei 4 criteri o devo semplicemente fare il limite con $n -> +oo$ ?
E, tra l'altro, con $n -> +oo$, un numero fratto il logaritmo che va ad infinito è uguale a 0?
"Mr.Mazzarr":
Quando devo calcolare l'assoluta convergenza/divergenza, devo andare ad applicare uno dei 4 criteri o devo semplicemente fare il limite con $n -> +oo$ ?
devi applicare uno dei criteri puù comodi per le serie a termini positivi;
"Mr.Mazzarr":
E, tra l'altro, con $n -> +oo$, un numero fratto il logaritmo che va ad infinito è uguale a 0?
si ...e quindi? per considerare la convergenza però devi stabilire con che ordine va a zero....
Ma tu prima hai applicato il criterio degli infinitesimi scegliendo $alpha < 1$ ?
Da come hai scritto non l'avevo capito.
P.s.
Ma se risolvessi in questo modo:
$n/(1+nlogn)$ $=$ $n/(n(1/n + logn))$ $=$ $1/(1/n + logn)$ applico il criterio del rapporto:
$1/(1/(n+1) + log(n+1)) * 1/(1/n + logn)$
In questo caso non viene $0*0$ ? Venendo $0$ risulta convergente per il criterio usato.
Ho controllato anche su WolframAlpha e mi troverei.
Da come hai scritto non l'avevo capito.
P.s.
Ma se risolvessi in questo modo:
$n/(1+nlogn)$ $=$ $n/(n(1/n + logn))$ $=$ $1/(1/n + logn)$ applico il criterio del rapporto:
$1/(1/(n+1) + log(n+1)) * 1/(1/n + logn)$
In questo caso non viene $0*0$ ? Venendo $0$ risulta convergente per il criterio usato.
Ho controllato anche su WolframAlpha e mi troverei.
non è cosi che si applica il criterio del rapporto:
\begin{align}
\frac{\frac{1}{n }+\ln n}{\frac{1}{n+1}+\ln(n+1)}\to 1\to\mbox{criterio inefficacie}
\end{align}
\begin{align}
\frac{\frac{1}{n }+\ln n}{\frac{1}{n+1}+\ln(n+1)}\to 1\to\mbox{criterio inefficacie}
\end{align}
Credo di aver capito l'errore. Hai applicato il criterio del rapporto e moltiplicato numeratore per denominatore invertito.
Giusto, grazie Noise.
Ultime due cose:
- Precedentemente quindi hai applicato il criterio dell'infinitesimo con $alpha < 1$ ?
- Quando vado a calcolare l'assoluta convergenza, devo controllare la condizione fondamentale affinchè una serie converga ? Cioè, devo prima andare a vedere se la successione converge con limite di x tendente a $+oo$ ?
Giusto, grazie Noise.
Ultime due cose:
- Precedentemente quindi hai applicato il criterio dell'infinitesimo con $alpha < 1$ ?
- Quando vado a calcolare l'assoluta convergenza, devo controllare la condizione fondamentale affinchè una serie converga ? Cioè, devo prima andare a vedere se la successione converge con limite di x tendente a $+oo$ ?
"Mr.Mazzarr":
- Precedentemente quindi hai applicato il criterio dell'infinitesimo con $alpha < 1$ ?
si, la serie per il criterio di condenzazione di Cauchy;
\[\frac{1}{n\ln n} \]
diverge,
"Mr.Mazzarr":
- Quando vado a calcolare l'assoluta convergenza, devo controllare la condizione fondamentale affinchè una serie converga ? Cioè, devo prima andare a vedere se la successione converge con limite di x tendente a $+oo$ ?
se il termine generale non tende a zero non tende a zero di sicuro nemmeno assolutamente!
Ecco. Quindi prima di applicare qualche criterio vedo se converge il termine generale.
Ad esempio, la serie seguente converge assolutamente?
$sum_{n=0}^\infty\ (-1)^n * n/(n^2-1)$
Ho provato ad applicare il criterio dell'infinitesimo con $alpha = 1$, quindi supponendo che la serie non converga assolutamente. Risulta:
$\lim_{n \to \infty} n/(n^2-1)n$ $=$ $\lim_{n \to \infty} 1/(n^2-1)$ $=$ $0$
E' un risultato accettabile?
$sum_{n=0}^\infty\ (-1)^n * n/(n^2-1)$
Ho provato ad applicare il criterio dell'infinitesimo con $alpha = 1$, quindi supponendo che la serie non converga assolutamente. Risulta:
$\lim_{n \to \infty} n/(n^2-1)n$ $=$ $\lim_{n \to \infty} 1/(n^2-1)$ $=$ $0$
E' un risultato accettabile?
La serie
\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{n}{n^2-1}
\end{align}
è una serie a segno alterno; se applichi la convergenza assoluta, ottieni
\begin{align}
\left|(-1)^n \cdot \frac{n}{n^2-1}\right| \frac{n}{n^2-1}\sim\frac{n}{n^2 }=\frac{1}{n}\to\mbox{diverge}
\end{align}
la serie quindi diverge positivamente, e nulla puoi concludere; per vedere se almeno converge semplicemete si può applicare il criterio di Leibniz in quanto la successione $a_n:= \frac{n}{n^2-1}$ è infinitesima e decrecsente: infatti
\begin{align}
a_{n+1}
\end{align}
dunque essendo verificate le ipotesi del criterio di Leibniz, la serie convege semplicemente, ma non assolutamente.
\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{n}{n^2-1}
\end{align}
è una serie a segno alterno; se applichi la convergenza assoluta, ottieni
\begin{align}
\left|(-1)^n \cdot \frac{n}{n^2-1}\right| \frac{n}{n^2-1}\sim\frac{n}{n^2 }=\frac{1}{n}\to\mbox{diverge}
\end{align}
la serie quindi diverge positivamente, e nulla puoi concludere; per vedere se almeno converge semplicemete si può applicare il criterio di Leibniz in quanto la successione $a_n:= \frac{n}{n^2-1}$ è infinitesima e decrecsente: infatti
\begin{align}
a_{n+1}
\end{align}
dunque essendo verificate le ipotesi del criterio di Leibniz, la serie convege semplicemente, ma non assolutamente.
Ok, ma il mio utilizzo del criterio dell'infinitesimo è errato? Ho calcolato prima la convergenza con Leibniz e poi ho controllato se è anche assolutamente convergente, usando quel criterio con $alpha=1$.
Concretamente mi trovo, anche nel mio procedimento alla fine diverge. Ma vorrei sapere se concettualmente ho sbagliato.
Concretamente mi trovo, anche nel mio procedimento alla fine diverge. Ma vorrei sapere se concettualmente ho sbagliato.
il criterio dell'infinitesimo si applica alle serie a termini positivi!
Quindi in quel caso che criterio posso applicare per la convergenza assoluta? Riguardo il tuo post precedente, ma non capisco che criterio hai usato!
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