[analisi I] esercizi
apro questo thread e ci scriverò, senza aprirne altri, gli esercizi che non riesco a risolvere in vista del mio esame di analisi I del 16 novembre.. beh manca qualche settimana.
A riguardo i
NUMERI COMPLESSI:
quelli 'facili' li so risolvere senza problemi. Ma già quando si presenta un rapporto in cui c'è una radice mi mettono in difficoltà.
Es1: Calcolare sul campo complesso:
[ (1+ sqrt3(i))/ sqrt (-1-i) ]
Es2: Calcolare:
il tutto sta SOTTO radice quarta.. [(1+sqrt(3)*i)^3/ (1-i)^2]
Es3: Calcolare: (sqrt(3) - i)^3/ sqrt(1-i)
Inoltre, per le radici n-esime, nella formula di De Moivre, quando calcolo le soluzioni al variare del parametro k, k parte da 0 a n-1 oppure da 1 a n?
Per finire questo limite che mi ha mandato in crisi
lim per x--> 0+ di x^2 * e^((x+1)/x)
mi fareste un enorme favore se rispondeste.....[;)]
A riguardo i
NUMERI COMPLESSI:
quelli 'facili' li so risolvere senza problemi. Ma già quando si presenta un rapporto in cui c'è una radice mi mettono in difficoltà.
Es1: Calcolare sul campo complesso:
[ (1+ sqrt3(i))/ sqrt (-1-i) ]
Es2: Calcolare:
il tutto sta SOTTO radice quarta.. [(1+sqrt(3)*i)^3/ (1-i)^2]
Es3: Calcolare: (sqrt(3) - i)^3/ sqrt(1-i)
Inoltre, per le radici n-esime, nella formula di De Moivre, quando calcolo le soluzioni al variare del parametro k, k parte da 0 a n-1 oppure da 1 a n?
Per finire questo limite che mi ha mandato in crisi
lim per x--> 0+ di x^2 * e^((x+1)/x)
mi fareste un enorme favore se rispondeste.....[;)]
Risposte
x^2 * exp(1+1/x) --> x^2*exp(1/x)
Se x tende a 0 da destra l'esponenziale va a +infinito e non c'è x^n che tenga... il limite vale +infinito.
Se x tende a 0 da sx allora non c'è nemmeno forma indeterminata, il limite vale 0.
Se x tende a 0 da destra l'esponenziale va a +infinito e non c'è x^n che tenga... il limite vale +infinito.
Se x tende a 0 da sx allora non c'è nemmeno forma indeterminata, il limite vale 0.
ok una mano per gli altri es???
help per questi numeri complessi please.........
Il fatto e' che per alcuni degli esercizi che hai
postato la risposta non e' univoca.Per esempio
l'espressione sqrt(1-i) ha due possibili valori;
1+ sqrt3(i) ha tre valori se ,come suppongo,il
simbolo sqrt3 significa radice cubica.
Per questi motivi gli esercizi risultano
piuttosto lunghi e ....scoraggianti .
karl.
postato la risposta non e' univoca.Per esempio
l'espressione sqrt(1-i) ha due possibili valori;
1+ sqrt3(i) ha tre valori se ,come suppongo,il
simbolo sqrt3 significa radice cubica.
Per questi motivi gli esercizi risultano
piuttosto lunghi e ....scoraggianti .
karl.
sqrt3 è radice quadrata di 3....
non capisco come impostarli, al di là della lunghezza...
non capisco come impostarli, al di là della lunghezza...
Proverò ad impostare il primo esercizio anche se per semplicità considererò un solo valore dell'espressione : sqrt(-1-i),mentre come dice Karl sono due in realtà.
Colgo l'occasione per fare le congratulazioni a karl per il post n. 1000!!
Se sqrt(3) significa radice quadrata di 3 allora passiamo all'esercizio :
Calcolare : (1+sqrt(3)i)/sqrt(-1-i).
Converto entrambi i numeri in forma trigonometrica :
1+sqrt(3)i= 2(cos(pi/3)+i sen(pi/3))
-1-i = sqrt(2)(cos(5pi/4)+sen(5pi/4))
Adesso bisogna estrarre la radice quadrata dell'ultimo numero :usando la formula che fornisce le radici ennesime di un numero complesso ottengo :
sqrt(-1-i)=(2)^(1/4)*(cos(5pi/8)+i sen(5pi/8))[ ce ne sarebbe un altro, ma per semplicità lo ometto).
Quindi il numero iniziale diventa :
[2(cos(pi/3)+i sen(pi/3))]/[(2)^(1/4)*(cos(5pi/8)+i sen(5pi/8))] che per le note regole della divisione di due numeri complessi espressi in forma trigonometrica dà :
(2)^(3/4)*(cos(-7pi/24)+isen(7pi/24)) = (2)^(3/4)(cos(7pi/24)-isen(7pi/24)).
SEO.
Camillo
Colgo l'occasione per fare le congratulazioni a karl per il post n. 1000!!
Se sqrt(3) significa radice quadrata di 3 allora passiamo all'esercizio :
Calcolare : (1+sqrt(3)i)/sqrt(-1-i).
Converto entrambi i numeri in forma trigonometrica :
1+sqrt(3)i= 2(cos(pi/3)+i sen(pi/3))
-1-i = sqrt(2)(cos(5pi/4)+sen(5pi/4))
Adesso bisogna estrarre la radice quadrata dell'ultimo numero :usando la formula che fornisce le radici ennesime di un numero complesso ottengo :
sqrt(-1-i)=(2)^(1/4)*(cos(5pi/8)+i sen(5pi/8))[ ce ne sarebbe un altro, ma per semplicità lo ometto).
Quindi il numero iniziale diventa :
[2(cos(pi/3)+i sen(pi/3))]/[(2)^(1/4)*(cos(5pi/8)+i sen(5pi/8))] che per le note regole della divisione di due numeri complessi espressi in forma trigonometrica dà :
(2)^(3/4)*(cos(-7pi/24)+isen(7pi/24)) = (2)^(3/4)(cos(7pi/24)-isen(7pi/24)).
SEO.
Camillo
Proviamo il secondo esrcizio, forse è più semplice :
[(1+ isqrt(3))^(3)/((1-i)^2]^(1/4).
dal primo esercizio ricordo che :
(1+ sqrt(3)i)=2*[cos(pi/3)+isen(pi/3)], quindi:
(1+sqrt(3)i)^3 = 8*[cos(pi)+isen(pi)]= -8.
(1-i)^2= 1-1-2i = -2i.
Quindi la frazione iniziale diventa :-8/(-2i) =4/i= -4i.
adesso si tratta di trovare le radici quarte del numero : -4i.
Prova da solo, se hai problemi dillo.
Camillo
[(1+ isqrt(3))^(3)/((1-i)^2]^(1/4).
dal primo esercizio ricordo che :
(1+ sqrt(3)i)=2*[cos(pi/3)+isen(pi/3)], quindi:
(1+sqrt(3)i)^3 = 8*[cos(pi)+isen(pi)]= -8.
(1-i)^2= 1-1-2i = -2i.
Quindi la frazione iniziale diventa :-8/(-2i) =4/i= -4i.
adesso si tratta di trovare le radici quarte del numero : -4i.
Prova da solo, se hai problemi dillo.
Camillo
Per Camillo.
Grazie delle congratulazioni per il mio
1000-esimo post.Manco me n'ero accorto!
Termino con una "originalissima" considerazione:
Come passa il tempo !!
karl.
Grazie delle congratulazioni per il mio
1000-esimo post.Manco me n'ero accorto!
Termino con una "originalissima" considerazione:
Come passa il tempo !!
karl.
tutto chiaro... solo.. nelle radici n-me con de moivre il k deve variare da 0 a n-1 oppure da 1 a n ???
E metti che il k varia, quindi hai 2 soluzioni sotto.. con la radice... come fai poi a fare la divisione tra forme trigonometriche se il k cmq varia e da + soluzioni?
Com'è che si fa la divisione di numeri complessi in forma trig? O_O
E metti che il k varia, quindi hai 2 soluzioni sotto.. con la radice... come fai poi a fare la divisione tra forme trigonometriche se il k cmq varia e da + soluzioni?
Com'è che si fa la divisione di numeri complessi in forma trig? O_O
a) k deve variare da 0 a n-1
b)nel caso di piu' valori devi purtroppo
separare i vari casi possibili.Lavoro,come
ti dicevo,non proprio leggero!
c)Il quoto di due complessi ( sotto forma
trig.) e' un complesso avente per modulo
il quoto dei moduli e per argomento (o anomalia
od azimut) la differenza degli argomenti.
karl.
b)nel caso di piu' valori devi purtroppo
separare i vari casi possibili.Lavoro,come
ti dicevo,non proprio leggero!
c)Il quoto di due complessi ( sotto forma
trig.) e' un complesso avente per modulo
il quoto dei moduli e per argomento (o anomalia
od azimut) la differenza degli argomenti.
karl.
ok ora tutto chiaro... grazie mille..
ve ne lascio un altro... quà c'è un trucchetto che non ho capito bene dove applicarlo, o meglio, non voglio ''buttarmi'' per evitare errori grossolani.
IL TUTTO STA SOTTO RADICE TERZA
A NUMERATORE: 1 + i* radicequadratadi3
A DENOMINATORE: |( 1/2 + i*radical3/2)^65 |
è un valore assoluto sotto...il trucco dove sta? non credo si debbano calcolare 65 radici...
ve ne lascio un altro... quà c'è un trucchetto che non ho capito bene dove applicarlo, o meglio, non voglio ''buttarmi'' per evitare errori grossolani.
IL TUTTO STA SOTTO RADICE TERZA
A NUMERATORE: 1 + i* radicequadratadi3
A DENOMINATORE: |( 1/2 + i*radical3/2)^65 |
è un valore assoluto sotto...il trucco dove sta? non credo si debbano calcolare 65 radici...
guardate questo strano limite
lim x--> 0 di 1/x^2 * log [ (2/e^(-2x^2)) + x^2/e^(-2x^2) - 1 ]
sembra facile ma ricondurlo al limite notevole log( 1+x)/x si dovrebbe mettere un segno - in evidenza nel logaritmo... è lecito? altrimenti avete idea di come si svolga?O_O
thx a lot
lim x--> 0 di 1/x^2 * log [ (2/e^(-2x^2)) + x^2/e^(-2x^2) - 1 ]
sembra facile ma ricondurlo al limite notevole log( 1+x)/x si dovrebbe mettere un segno - in evidenza nel logaritmo... è lecito? altrimenti avete idea di come si svolga?O_O
thx a lot
quote:
...
A DENOMINATORE: |( 1/2 + i*radical3/2)^65 |
è un valore assoluto sotto...il trucco dove sta? non credo si debbano calcolare 65 radici... [recidjvo]
è una trappoletta:
calcola (con poco sforzo) la base di quel ^65, disegnala, guardala, e voilà ...
(e ora sai come approcciare i problemini in cui ti si presentano fantasmagorici esponenti in campo complesso ...)
tony
[img]http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/notte.bmp[/img]
Il calcolo del limite diventa estremamente semplice
se, dopo aver posto x² = t e riscritto il limite,
si applica il teorema di De L'Hopital.
Questo teorema è veramente un'arma potentissima!
se, dopo aver posto x² = t e riscritto il limite,
si applica il teorema di De L'Hopital.
Questo teorema è veramente un'arma potentissima!
karl, del valore assoluto... calcoli il ''rho'' del numero complesso, viene 1 e già concludi che quel ''coso'' vale 1? Non capisco perché non bisogna andare avanti a calcolare la forma trigonometrica di quel ''coso'' a denominatore (?).
Perchè di quel " coso" a denominatore tu vuoi solo il modulo( non c'è il segno | | ?) e il modulo è proprio rho che vale 1 .
ok?
Camillo
ok?
Camillo
Per chiarire meglio :
|1+i3| = sqrt(1^2+3^2)= sqrt (10)
e anche sia :
z= 3(cos(pi/3) +i sen (pi/3))
|z| = 3 .
Chiaro ?
Camillo
|1+i3| = sqrt(1^2+3^2)= sqrt (10)
e anche sia :
z= 3(cos(pi/3) +i sen (pi/3))
|z| = 3 .
Chiaro ?
Camillo
E' meglio non entusiasmarsi eccessivamente
della regola di de L'Hòpital.A volte complica
i calcoli e puo' anche portare a conclusioni
errate (quando ad esempio non esiste il limite
del rapporto delle derivate ,come e' invece
prescritto).
Un semplice caso:
lim[x-->+inf](x-sinx)/(x+sinx);il limite
e' chiaramente uguale ad 1 ma se si applica
Hòpital ci si trova davanti a
lim[x--->+inf](1-cosx)/(1+cosx) che non esiste!!
karl.
della regola di de L'Hòpital.A volte complica
i calcoli e puo' anche portare a conclusioni
errate (quando ad esempio non esiste il limite
del rapporto delle derivate ,come e' invece
prescritto).
Un semplice caso:
lim[x-->+inf](x-sinx)/(x+sinx);il limite
e' chiaramente uguale ad 1 ma se si applica
Hòpital ci si trova davanti a
lim[x--->+inf](1-cosx)/(1+cosx) che non esiste!!
karl.
x karl: per quanto riguarda quel limite come hai scomposto per ricondurti al secondo limite fondamentale? quello del logaritmo si capisce ma l'altro?
Vi lascio un pò di esercizi tratti dalle prove degli anni precedenti ma non spaventatevi.. non sono molto complicati.
1)
lim x--> 0 di [ ( 4^x + 7^x) / (2^x + 5^x) ]^(1/x)
2) integrale:
int ln ( x + 1 + sqrt(x^2 +2x +2) ) dx <== la radice è quadrata
3) lim x-->0 [(3x + 2 - sqrt(9x^2 + 3x + 4))]/(2x) <== la radice è quadrata.
4) lim x-->0+ [(2^x +3^x)/4^x + 5^x]
e per finire una serie...
SOMMA PER 1 A +INF DI [2^(n-1)/ (n-1)!]
p.s avrei anche altre serie che non capisco... + che altro il criterio da applicare nei vari casi come si capisce, per tentativi? ho fatto la serie geometrica, criterio del rapporto e della radice...
GRAZIE A CHI MI ILLUMINERA'
Vi lascio un pò di esercizi tratti dalle prove degli anni precedenti ma non spaventatevi.. non sono molto complicati.
1)
lim x--> 0 di [ ( 4^x + 7^x) / (2^x + 5^x) ]^(1/x)
2) integrale:
int ln ( x + 1 + sqrt(x^2 +2x +2) ) dx <== la radice è quadrata
3) lim x-->0 [(3x + 2 - sqrt(9x^2 + 3x + 4))]/(2x) <== la radice è quadrata.
4) lim x-->0+ [(2^x +3^x)/4^x + 5^x]
e per finire una serie...
SOMMA PER 1 A +INF DI [2^(n-1)/ (n-1)!]
p.s avrei anche altre serie che non capisco... + che altro il criterio da applicare nei vari casi come si capisce, per tentativi? ho fatto la serie geometrica, criterio del rapporto e della radice...
GRAZIE A CHI MI ILLUMINERA'
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo