[analisi I] esercizi
apro questo thread e ci scriverò, senza aprirne altri, gli esercizi che non riesco a risolvere in vista del mio esame di analisi I del 16 novembre.. beh manca qualche settimana.
A riguardo i
NUMERI COMPLESSI:
quelli 'facili' li so risolvere senza problemi. Ma già quando si presenta un rapporto in cui c'è una radice mi mettono in difficoltà.
Es1: Calcolare sul campo complesso:
[ (1+ sqrt3(i))/ sqrt (-1-i) ]
Es2: Calcolare:
il tutto sta SOTTO radice quarta.. [(1+sqrt(3)*i)^3/ (1-i)^2]
Es3: Calcolare: (sqrt(3) - i)^3/ sqrt(1-i)
Inoltre, per le radici n-esime, nella formula di De Moivre, quando calcolo le soluzioni al variare del parametro k, k parte da 0 a n-1 oppure da 1 a n?
Per finire questo limite che mi ha mandato in crisi
lim per x--> 0+ di x^2 * e^((x+1)/x)
mi fareste un enorme favore se rispondeste.....[;)]
A riguardo i
NUMERI COMPLESSI:
quelli 'facili' li so risolvere senza problemi. Ma già quando si presenta un rapporto in cui c'è una radice mi mettono in difficoltà.
Es1: Calcolare sul campo complesso:
[ (1+ sqrt3(i))/ sqrt (-1-i) ]
Es2: Calcolare:
il tutto sta SOTTO radice quarta.. [(1+sqrt(3)*i)^3/ (1-i)^2]
Es3: Calcolare: (sqrt(3) - i)^3/ sqrt(1-i)
Inoltre, per le radici n-esime, nella formula di De Moivre, quando calcolo le soluzioni al variare del parametro k, k parte da 0 a n-1 oppure da 1 a n?
Per finire questo limite che mi ha mandato in crisi
lim per x--> 0+ di x^2 * e^((x+1)/x)
mi fareste un enorme favore se rispondeste.....[;)]
Risposte
Per iniziare il n.4 che non ha nessuna forma di indeterminazione in quanto si calcola come : (1+1)/(1+1) = 1.
Il n. 3 è un po' più complesso : è una forma indeterminata del tipo : [0/0]; per uscirne l'idea è di moltiplicare numeratore e denominatore per : [(3x+2)+sqrt(9x^2+3x+4)].
Così facendo, con qualche calcolo ( a numeratore hai il prodotto notevole
A+B)*(A-B)=A^2-B^2 , dove A= 3x+2 , B = sqrt(.....)) ottieni :
[9x^2+4+12x-9x^2-3x-4]/[2x*(3x+2+sqrt(9x^2+3x+4)] che diventa :
9x /(2x)*(3x+2+sqrt(9x^2+3x+4); e quindi : 9/(3x+2+sqrt(9x^2+3x+4)) e quindi per x che tende a 0 si ottiene : 9/8.
Camillo
Il n. 3 è un po' più complesso : è una forma indeterminata del tipo : [0/0]; per uscirne l'idea è di moltiplicare numeratore e denominatore per : [(3x+2)+sqrt(9x^2+3x+4)].
Così facendo, con qualche calcolo ( a numeratore hai il prodotto notevole
A+B)*(A-B)=A^2-B^2 , dove A= 3x+2 , B = sqrt(.....)) ottieni :[9x^2+4+12x-9x^2-3x-4]/[2x*(3x+2+sqrt(9x^2+3x+4)] che diventa :
9x /(2x)*(3x+2+sqrt(9x^2+3x+4); e quindi : 9/(3x+2+sqrt(9x^2+3x+4)) e quindi per x che tende a 0 si ottiene : 9/8.
Camillo
Per la serie.
Applicando il criterio del rapporto si ha:
lim[n-->+inf]a(n+1)/a(n)=lim[n-->+inf](2^n/n!)/(2^(n-1)/(n-1)!)=
=lim[n-->+inf]2/n=0
Pertanto la serie converge;per quanto riguarda la sua somma S
osserviamo che si ha:
S=1+2^1/1!+2^2/2!+2^3/3!+...
e questo e' proprio lo sviluppo in serie di e^2;dunque:
S=e^2
karl.
P.S. Per il limite precedente ho spezzato in
maniera opportuna la frazione.
Applicando il criterio del rapporto si ha:
lim[n-->+inf]a(n+1)/a(n)=lim[n-->+inf](2^n/n!)/(2^(n-1)/(n-1)!)=
=lim[n-->+inf]2/n=0
Pertanto la serie converge;per quanto riguarda la sua somma S
osserviamo che si ha:
S=1+2^1/1!+2^2/2!+2^3/3!+...
e questo e' proprio lo sviluppo in serie di e^2;dunque:
S=e^2
karl.
P.S. Per il limite precedente ho spezzato in
maniera opportuna la frazione.
@karl: puoi spiegarmi i passaggi di quel limite... per il rapporto 4* ecc ? Davvero nn mi sono chiari.
grazie a tutti.
grazie a tutti.
Sono proprio curioso di sapere come si calcola il limite numero 1.
L'ho fatto calcolare a Derive, e il risultato è: sqrt(70)/5 ... Che numero "strano" !!
L'ho fatto calcolare a Derive, e il risultato è: sqrt(70)/5 ... Che numero "strano" !!
quote:
Originally posted by camillo
e quindi : 9/(2*(3x+2+sqrt(9x^2+3x+4))) e quindi per x che tende a 0 si ottiene : 9/8.
Camillo
Ti eri scordato un 2 al denominatore... Infatti
non capivo come faceva a venire 9/8.
[2e^(2t)+t*e^(2t)-2]/t=[2(e^(2t)-1)+t*e^(2t)]/t=
=2*(e^(2t)-1)/t+t*e^(2t)/t=4*(e^(2t)-1)/(2t)+e^(2t).
Passando al limite per t-->0 si ha il risultato.
Tieni presente che lim[(e^(2t)-1)/(2t)] e' come
lim[(e^(t)-1)/(t)]
karl.
=2*(e^(2t)-1)/t+t*e^(2t)/t=4*(e^(2t)-1)/(2t)+e^(2t).
Passando al limite per t-->0 si ha il risultato.
Tieni presente che lim[(e^(2t)-1)/(2t)] e' come
lim[(e^(t)-1)/(t)]
karl.
grazie.
Pongo un quesito generico di goniometria... cioè l'angolo 44/3pi è ~ 2/3pi così come 315/4 pi è ~ 3/4 pi ove 3 è il resto della divisione 315:4... dunque quali regole si applicano per ridurre gli angoli in questo modo?
ciao
Pongo un quesito generico di goniometria... cioè l'angolo 44/3pi è ~ 2/3pi così come 315/4 pi è ~ 3/4 pi ove 3 è il resto della divisione 315:4... dunque quali regole si applicano per ridurre gli angoli in questo modo?
ciao
@fireball: il limite numero 1 l'ho ora visto da una dispensa... lo svolgimento è tutt'altro che difficile... solito esponenziale e quindi viene
1/x *log ( della frazione)
dopo di che nel logaritmo aggiungi e sottrai 1 per ricondurti al ben noto limite notevole ma ATTENZIONE: non c'è bisogno di fare il minimo comune multiplo nel logaritmo... perchè quella frazione da come risultato 1... dunque nel logaritmo hai (1 + (frazione - 1) e applichi il limite notevole del logaritmo... ...ancora hai 1/x * quella frazione che rimane... aggiungi e sottrai agli esponenziali +1-1+1-1.. ci metti la x sotto che hai come 1/x e ti riconduci al limite notevole lim x--> (a^x +1)/x ... dunque sotto viene un numero... sopra i logaritmi...quello che viene ovviamente lo metti come esponente di e (per la trasformazione), dunque il risultato.
spero di aver reso l'idea..
ciao
p.s: in un limite per x-->0 ho i soliti limiti notevoli e in un fattore ho (2 - 2*sqrt(cosx))..come lo semplifico? la radice quadrata è di tutta la funzione coseno.. non solo l'argomento.
1/x *log ( della frazione)
dopo di che nel logaritmo aggiungi e sottrai 1 per ricondurti al ben noto limite notevole ma ATTENZIONE: non c'è bisogno di fare il minimo comune multiplo nel logaritmo... perchè quella frazione da come risultato 1... dunque nel logaritmo hai (1 + (frazione - 1) e applichi il limite notevole del logaritmo... ...ancora hai 1/x * quella frazione che rimane... aggiungi e sottrai agli esponenziali +1-1+1-1.. ci metti la x sotto che hai come 1/x e ti riconduci al limite notevole lim x--> (a^x +1)/x ... dunque sotto viene un numero... sopra i logaritmi...quello che viene ovviamente lo metti come esponente di e (per la trasformazione), dunque il risultato.
spero di aver reso l'idea..
ciao
p.s: in un limite per x-->0 ho i soliti limiti notevoli e in un fattore ho (2 - 2*sqrt(cosx))..come lo semplifico? la radice quadrata è di tutta la funzione coseno.. non solo l'argomento.
integrale di x^4/ sqrt( 1 -x^2) =?
altra domanda.. nelle funzioni con valore assoluto il punto di incontro dei grafici... cioè il punto di cui l'argomento del valore assoluto si annulla è un punto cuspidale? come ci si ragiona???
non mi abbandonate...
altra domanda.. nelle funzioni con valore assoluto il punto di incontro dei grafici... cioè il punto di cui l'argomento del valore assoluto si annulla è un punto cuspidale? come ci si ragiona???
non mi abbandonate...
Per il limite per x che tende a 0 di :
2-2sqrt(cosx) puoi moltiplicare e dividere per : 2+2sqrt(cosx) ottenendo così :
[4-4 cosx]/[2+2sqrt(cosx)]; il numeratore tende a 0, mentre il denominatore tende a 4, quindi il rapporto tende a 0/4 = 0 ( non è più una forma indeterminata).
Per le funxzioni con modulo ad es. y |x-2) il punto in cui si annulla il modulo ( x=2) è un punto angoloso.
Infatti se svolgi il modulo ottieni :
|x-2| = x-2 per x>=2
= 2-x per x < 2
Calcola ora la derivata :
per x >=2 la derivata vale : +1
mentre per x <2 vale :-1.
Pertanto in x=2 la funzione non è derivabile , esiste una derivata destra ( -1) e una derivata sinistra(-1) ma non sono uguali ; in x=2 si dice che si ha un punto angoloso : la curva fa proprio"un angolo" in quel punto , non esiste retta tangente in x=2 , ma una retta tangente destra e una retta tangente sinistra.
Se fai il grafico è tutto molto semplice da vedere.
Camillo
Che Facoltà fai ? sono vicine le prove in itinere ?
In bocca al lupo!!
2-2sqrt(cosx) puoi moltiplicare e dividere per : 2+2sqrt(cosx) ottenendo così :
[4-4 cosx]/[2+2sqrt(cosx)]; il numeratore tende a 0, mentre il denominatore tende a 4, quindi il rapporto tende a 0/4 = 0 ( non è più una forma indeterminata).
Per le funxzioni con modulo ad es. y |x-2) il punto in cui si annulla il modulo ( x=2) è un punto angoloso.
Infatti se svolgi il modulo ottieni :
|x-2| = x-2 per x>=2
= 2-x per x < 2
Calcola ora la derivata :
per x >=2 la derivata vale : +1
mentre per x <2 vale :-1.
Pertanto in x=2 la funzione non è derivabile , esiste una derivata destra ( -1) e una derivata sinistra(-1) ma non sono uguali ; in x=2 si dice che si ha un punto angoloso : la curva fa proprio"un angolo" in quel punto , non esiste retta tangente in x=2 , ma una retta tangente destra e una retta tangente sinistra.
Se fai il grafico è tutto molto semplice da vedere.
Camillo
Che Facoltà fai ? sono vicine le prove in itinere ?
In bocca al lupo!!
quote:
Originally posted by camillo
esiste una derivata destra (+1)
Minuscola svista...
Grazie Francesco, è già la seconda svista...
Camillo
Camillo
ing elettronica.. martedì prima prova in itinere.. ci sarà di sicuro un valore assoluto nella funzione da studiare. Sulla risoluzione delle equazioni e disequazioni che sovente capitano nello studio di funzioni me la cavo egregiamente.. spero di non farmi fermare da qualche limite!
Ci sarà: un numero complesso da calcolare, un limite, un integrale, uno studio di funzione, una serie, un sistema lineare. Per ogni tipologia puoi scegliere tra 4 opzioni.. ad esempio ci saranno 4 limiti e devi sceglierne ''uno ed uno solo''.. di diverse difficoltà.
Se fai tutti i più facili non prendi un gran voto... per cui cercherò di cimentarmi nei + difficili e nella sciagurata ipotesi che non mi escano, faccio quelli + abbordabili (ma spero di no!).
cmq questo integrale di x^4/ sqrt( 1 -x^2)dx ... ora mi è venuto un lapsus.. per parti dovrebbe venire... vado a provare!
ciao ciao
Ci sarà: un numero complesso da calcolare, un limite, un integrale, uno studio di funzione, una serie, un sistema lineare. Per ogni tipologia puoi scegliere tra 4 opzioni.. ad esempio ci saranno 4 limiti e devi sceglierne ''uno ed uno solo''.. di diverse difficoltà.
Se fai tutti i più facili non prendi un gran voto... per cui cercherò di cimentarmi nei + difficili e nella sciagurata ipotesi che non mi escano, faccio quelli + abbordabili (ma spero di no!).
cmq questo integrale di x^4/ sqrt( 1 -x^2)dx ... ora mi è venuto un lapsus.. per parti dovrebbe venire... vado a provare!
ciao ciao
lim x-->0 [ (2^x + 5^x)/(3^x + 4^x) ]^1/x =
lim x-->0 1/x * log[ 1 + [(2^x + 5^x)/(3^x + 4^x)-1 ] ] =
= lim x-->0 1/x * {log[ 1 + [(2^x + 5^x)/(3^x + 4^x)-1 ] ]}/[(2^x + 5^x)/(3^x + 4^x)-1 ] * [(2^x + 5^x)/(3^x + 4^x)-1 ] =
= lim x--> 0 1/x *[(2^x + 5^x)/(3^x + 4^x)-1 ] =
= lim x-->0 1/x * [(2^x + 5^x -3^x -4^x)/(3^x + 4^x)=
=lim x-->0 1/x * [ (2^x -1 + 5^x -1 -3^x +1 -4^x +1)/ (3^x + 4^x)=
ora passaggio cruciale
lim x-->0
A NUMERATORE (2^x-1)/x + (5^x -1)/x - (3^x -1)/x - (4^x - 1)/x
A DENOMINATORE 3^x + 4^x
dunque applicando il limite notevole hai
[ log2 +log5 -log3 -log 4]/ 2 = [log10 -log12]/2 = 1/2log5/6= log[sqrt(5/6)]
il risultato è dunque e^ log[sqrt(5/6)] ossia sqrt(5/6)
bai bai
lim x-->0 1/x * log[ 1 + [(2^x + 5^x)/(3^x + 4^x)-1 ] ] =
= lim x-->0 1/x * {log[ 1 + [(2^x + 5^x)/(3^x + 4^x)-1 ] ]}/[(2^x + 5^x)/(3^x + 4^x)-1 ] * [(2^x + 5^x)/(3^x + 4^x)-1 ] =
= lim x--> 0 1/x *[(2^x + 5^x)/(3^x + 4^x)-1 ] =
= lim x-->0 1/x * [(2^x + 5^x -3^x -4^x)/(3^x + 4^x)=
=lim x-->0 1/x * [ (2^x -1 + 5^x -1 -3^x +1 -4^x +1)/ (3^x + 4^x)=
ora passaggio cruciale
lim x-->0
A NUMERATORE (2^x-1)/x + (5^x -1)/x - (3^x -1)/x - (4^x - 1)/x
A DENOMINATORE 3^x + 4^x
dunque applicando il limite notevole hai
[ log2 +log5 -log3 -log 4]/ 2 = [log10 -log12]/2 = 1/2log5/6= log[sqrt(5/6)]
il risultato è dunque e^ log[sqrt(5/6)] ossia sqrt(5/6)
bai bai
Il limite viene sqrt(70)/5. E' questo il risultato che mi dà Derive...
beh io credo che il procedimento, e anche il risultato ''mio'' (dispensa scritta a mano da un professore di università) siano giusti perché non fanno passaggi oscuri bensì leciti. Inizierei a dubitare sull'algoritmo che muove derive alla risoluzione di questo tipo di limite...
Ah sì, scusa... Avevo sbagliato a scrivere il testo del limite in Derive...
Il risultato del professore di università è giusto!
Il risultato del professore di università è giusto!
beh anche se la prova c'è martedì domani non apro libro di analisi.
non vorrei farmi fottere dall'emozione.. le cose ora le so, xx censurato xx.
riporterò per mercoledì la traccia su questo post e semmai ne discutiamo insieme...
TEOREMA: sicuramente sbaglierò qualcosa che so.
'iao
non vorrei farmi fottere dall'emozione.. le cose ora le so, xx censurato xx.
riporterò per mercoledì la traccia su questo post e semmai ne discutiamo insieme...
TEOREMA: sicuramente sbaglierò qualcosa che so.
'iao
fatto... tutto bene tranne il limite... ma 5 esercizi perfetti mi bastano..
il limite assegnato era del tipo f(x)^g(x)
lim x-->0 [(2x^2 + 4x + 2)/(3x+2)] tutto ciò elevato a [(2+cosx)* (sqrt(1+tgx) - 1)^3 / sin (pi/2 +x)* arcin^4(x)]
ora nn mi venite a dire che era facile... era abbastanza bastardo da calcolare..ma per me va bene così!!
'iao
il limite assegnato era del tipo f(x)^g(x)
lim x-->0 [(2x^2 + 4x + 2)/(3x+2)] tutto ciò elevato a [(2+cosx)* (sqrt(1+tgx) - 1)^3 / sin (pi/2 +x)* arcin^4(x)]
ora nn mi venite a dire che era facile... era abbastanza bastardo da calcolare..ma per me va bene così!!
'iao
Porca miseria, se non era bastardo!! [:D]
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