Analisi 1
Voelvo chiedere 2 3 cosette non troppo complicate.
Le seguenti serie $sum(^(oo)_(n=0))(1/9)^n$$sum(^(oo)_(n=0))(9)^n$$sum(^(oo)_(n=0))(1/n)n$sono tutte divergenti vero?
La funzione $y=sen(1/x)$ in $0$ non e continua, ma 0 non fa parte del dominio...
Quali sono delle funzioni discontinue in un punto?
Grazie ciao!!
Le seguenti serie $sum(^(oo)_(n=0))(1/9)^n$$sum(^(oo)_(n=0))(9)^n$$sum(^(oo)_(n=0))(1/n)n$sono tutte divergenti vero?
La funzione $y=sen(1/x)$ in $0$ non e continua, ma 0 non fa parte del dominio...
Quali sono delle funzioni discontinue in un punto?
Grazie ciao!!
Risposte
Funzioni per le quali i limiti da destra e da sinistra in un stesso punto esistono e sono diversi.
Pensa banalmente a funzioni a gradini. (E.g. F(x)=sgn(x))
Secondo me se non sei sicuro della divergenza di 1/x, devi riguardare la teoria..E confrontare con questo risultato le tue domande.
Pensa banalmente a funzioni a gradini. (E.g. F(x)=sgn(x))
Secondo me se non sei sicuro della divergenza di 1/x, devi riguardare la teoria..E confrontare con questo risultato le tue domande.
$sum_(n=0)^(+oo)1/9^n=1/(1-1/9)=9/8$...
ciao
ciao
no la prima serie converge per il criterio della radice ennesima mentre le altre due sono divergenti
quand e che una funzione non e derivabile in un punto?e qual e un esempio di tale funzione?
se non e derivabile vuol dire che il limite del rapporto incrementale diverge?e se la funzione non e continua in un punto, sempre nello stesso punto non e derivabile?
se non e derivabile vuol dire che il limite del rapporto incrementale diverge?e se la funzione non e continua in un punto, sempre nello stesso punto non e derivabile?
Se una funzione non è continua in un punto non è derivabile in quel punto.
Se una funzione è continua in un punto non è detto sia ivi derivabile ; ad es. può non esistere il limite del rapporto incrementale in quanto il limite del rapporto incrementale destro è diverso da quello sinistro ; ad es la funzione $y = |x| $ ha in $ x=0 $ un punto angoloso
oppure il limite del rapporto incrementale esiste ma non è finito( tende a $+oo$) , ad es. la funzione $ y = x^(1/3)$ per la quale il punto $ x= 0 $ è un punto di flesso verticale .
Infine per la funzione $ y = sqrt|x| $ il punto $ x = 0 $ è un punto di cuspide( le derivate tendono a $-oo$ per $x rarr 0^-$ e a $+oo$ per $ x rarr 0^+$.
Se una funzione è continua in un punto non è detto sia ivi derivabile ; ad es. può non esistere il limite del rapporto incrementale in quanto il limite del rapporto incrementale destro è diverso da quello sinistro ; ad es la funzione $y = |x| $ ha in $ x=0 $ un punto angoloso
oppure il limite del rapporto incrementale esiste ma non è finito( tende a $+oo$) , ad es. la funzione $ y = x^(1/3)$ per la quale il punto $ x= 0 $ è un punto di flesso verticale .
Infine per la funzione $ y = sqrt|x| $ il punto $ x = 0 $ è un punto di cuspide( le derivate tendono a $-oo$ per $x rarr 0^-$ e a $+oo$ per $ x rarr 0^+$.
le funzioni sen cos e tg sono periodiche di periodo $2pi$giusto?
no, $y=tg x$ ha periodo $pi$
ciao
ciao
si....
se dico che $e^x$ e di un infinito di ordine superiore a qualsiasi altre funzione mi sbaglio?
se dico che $e^x$ e di un infinito di ordine superiore a qualsiasi altre funzione mi sbaglio?
beh se per esempio prendi $x^x$, questa è sicuramente di un infinito di ordine superiore...
puoi dire però che l'esponenziale è di un infinito di ordine superiore di qualsiasi potenza $x^alpha$...
ciao
puoi dire però che l'esponenziale è di un infinito di ordine superiore di qualsiasi potenza $x^alpha$...
ciao
e posso dire che si usa molto con i numeri complessi e le eq.diff?
La funzione $logx$ invece e un infinitesimo di ordine superiore di ogni altra funz o di ogni altra potenza $x^n$?e se e la seconda qual e una funzione di un infinitesimo di ordine sup?
La funzione $logx$ invece e un infinitesimo di ordine superiore di ogni altra funz o di ogni altra potenza $x^n$?e se e la seconda qual e una funzione di un infinitesimo di ordine sup?
anche qui penso che la funzione $y=log(logx)$ cresca anche più lentamente...in compenso $log x$ cresce più lentamente di qualsiasi $x^alpha$...
ciao
ciao
e vero che la successione $(-1)^n/n$ converge a 0?io risponderei si
Qualcuno sa farmi vedere come questa seria $sum^(oo)_(n=0)(1/9)^n$ converge?io vedo che e una serie geometrica che ha per somma $S_n=1/(1-1/9)$..
il criterio della radice quale sarebbe?
Qualcuno sa farmi vedere come questa seria $sum^(oo)_(n=0)(1/9)^n$ converge?io vedo che e una serie geometrica che ha per somma $S_n=1/(1-1/9)$..
il criterio della radice quale sarebbe?
una valanga di domande 
!!
allora, con calma...$sum_(i=0)^n q^i=(q^(n+1)-1)/(q-1)$ per $0<=q<=1$ questa è la ridotta di ordine n della generica serie geometrica...poichè questa ridotta converge per $nto+oo$ allora converge anche la serie (ovviamente il valore a cui converge è $lim_(nto+oo)(q^(n+1)-1)/(q-1)=-1/(q-1)$
un modo per far vedere che la serie sopra converge è usare il criterio della radice, cioè vedere se la radice n-esima del termine n-esimo è un numero minore di 1 (se è così la serie converge): nel tuo caso la radice n-esima del termine n-esimo è proprio $1/9$ quindi la serie sicuramente converge (però così non sai a quale numero converge
)....
un momento per la prima domanda
ciao
!!allora, con calma...$sum_(i=0)^n q^i=(q^(n+1)-1)/(q-1)$ per $0<=q<=1$ questa è la ridotta di ordine n della generica serie geometrica...poichè questa ridotta converge per $nto+oo$ allora converge anche la serie (ovviamente il valore a cui converge è $lim_(nto+oo)(q^(n+1)-1)/(q-1)=-1/(q-1)$
un modo per far vedere che la serie sopra converge è usare il criterio della radice, cioè vedere se la radice n-esima del termine n-esimo è un numero minore di 1 (se è così la serie converge): nel tuo caso la radice n-esima del termine n-esimo è proprio $1/9$ quindi la serie sicuramente converge (però così non sai a quale numero converge
)....un momento per la prima domanda
ciao
ok pero la somma di una succ.geometrica con ragione minore di 1 e $(1-q^n)/(1-q)$ e quindi si puo dire che per la proprieta dei limiti $(1-lim_(n->oo)(1/9)^n)/(1-lim_(n->oo)1/9)=1/(1-1/9)$??come si chiama gia questa proprieta?
certo, anzi si deve!!:P
(in verità si può anche fare in un altro modo, ma col limite funziona benissimo)
ciao
(in verità si può anche fare in un altro modo, ma col limite funziona benissimo)
ciao
la successione invece e vero che converge a 0?
stavo provando a smanettare un po' con la serie....ma finora non ne ho ricavato molto...più che altro perchè mi pare che nelle serie che non sono assolutamente convergenti (cioè la serie dei valori assoluti diverge) non si può permutare l'ordine degli addendi....
ps comunque a occhio non mi sembra che converga a zero, ma a un qualche numero negativo...
ma e una successione e non c e nessun valore assoluto $a_n=(-1)^n/n$?
no, intendevo dire che se prendi la serie dei valori assoluti della successione ${(-1)^n/n}$ questa è ovviamente $sum_(n=1)^(+oo)|(-1)^n|/n=sum_(n=1)^(+oo)1/n$, serie che notoriamente diverge...quindi, se non ricordo male (e questo è male,perchè dovrei proprio ricordarmelo bene), in questo caso non puoi fare delle permutazioni nell'ordine degli addendi (cosa che a volte può tornare molto utile, per esempio nel mio caso, sarei tentato di sommare prima tutti i termini di indice pari, poi sottrarre la serie di tutti i termini di indice dispari, ricorrendo magari a qualche risultato notevole), quindi per ora non mi viene ancora facile trovare una forma chiusa per la serie...
ciao
ciao
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