Aiuto semplice limite di Taylor...help
Qualcuno mi aiuta a risolvere con taylor questo limite?
Non riesco a capire quando mi devo fermare......
Chi mi aiuta a capire?
`lim_{x to 0}(ln(x+1)-x+x^2/2)/(x-sinx)`
Grazie.
Non riesco a capire quando mi devo fermare......
Chi mi aiuta a capire?
`lim_{x to 0}(ln(x+1)-x+x^2/2)/(x-sinx)`
Grazie.
Risposte
Intanto inizia a sviluppare il logaritmo e il seno. Dovrebbe bastare fino al secondo ordine.
`sinx=x-x^3/3!+x^5/5!`
`ln(x+1)=x-1/2x^2+1/3x^3`
quindi sviluppo cosi
`(x-1/2x^2+1/3x^3+o(x^3)-x+x^2/2)/((x-x+x^3/3!-x^5/5!+o(x^5))`
`lim_{x to 0}(1/3x^3+o(x^3))/((x^3/3!-x^5/5!+o(x^5))`
`ln(x+1)=x-1/2x^2+1/3x^3`
quindi sviluppo cosi
`(x-1/2x^2+1/3x^3+o(x^3)-x+x^2/2)/((x-x+x^3/3!-x^5/5!+o(x^5))`
`lim_{x to 0}(1/3x^3+o(x^3))/((x^3/3!-x^5/5!+o(x^5))`
Giusto, ora fai le somme e guarda cosa ti rimane.
PS: Occhio a come scrivi i fattoriali.
EDIT: Perfetto, ora il denominatore si può scrivere come $\frac{x^3}{6} + o(x^4)$, no?
PS: Occhio a come scrivi i fattoriali.
EDIT: Perfetto, ora il denominatore si può scrivere come $\frac{x^3}{6} + o(x^4)$, no?
Ops...eheheh
Perche???
EDIT: Perfetto, ora il denominatore si può scrivere come..., no?
Perche???
Invece di scrivere anche il termine con $x^5$, lo inglobo in $o(x^4)$, tanto ai fini della risoluzione del limite conta solo il grado minore.
`lim_{x to 0}(1/3x^3+o(x^3))/((x^3/3!-x^5/5!+o(x^5))`=
`(lim_{x to 0}(1/3x^3+o(x^3))/((x^3/(3!)+o(x^5)))=2`
Ok torna pero non capisco questo.........
Come fai a capire...."OK ADESSO MI FERMO "?
E poi il denominatore la o non dovrebbe essere o(x^3)??
Ciao.
`(lim_{x to 0}(1/3x^3+o(x^3))/((x^3/(3!)+o(x^5)))=2`
Ok torna pero non capisco questo.........
Come fai a capire...."OK ADESSO MI FERMO "?
E poi il denominatore la o non dovrebbe essere o(x^3)??
Ciao.
Si vede a occhio... Per convincerti, prova a lasciarlo com'era (anche con il terime in $x^5$), dividi sopra e sotto per $x^3$, e guarda cosa succede.
PS: al numeratore non c'è $o(x^5)$, ma $o(x^4)$.
PS: al numeratore non c'è $o(x^5)$, ma $o(x^4)$.
"pmic":
E poi il denominatore la o non dovrebbe essere o(x^3)??
Se ci metti $o(x^3)$ non è sbagliato, ma dal momento che non ci sono neppure termini in $x^4$, e il primo termine che si incontra è in $x^5$, va bene (forse è meglio) metterci $o(x^4)$. $o(x^4)$ infatti (detto mooolto informalmente) denota i termini che tendono a zero più velocemente di $x^4$ per $x \to 0$.
Succedeva che il lim andava a infinito no?
E quindi???
E quindi???
Come andava a infinito? 
Forse non mi sono spiegato bene... Allora, tu hai
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} x^3 + o(x^3)}{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + o(x^5)}$
Dividendo sopra e sotto per $x^3$ si ottiene
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} + o(1)}{\frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + o(x^2)}$
Per $x \to 0$, risulta $o(1) \to 0$, $\frac{x^2}{120} \to 0$, $o(x^2) \to 0$, e il risultato è $2$. Come vedi, i termini che erano in $x^5$ (e che ora sono in $x^2$) tendono tutti a zero (mentre il termine che era in $x^3$ ora è $\frac{1}{6}$), per questo motivo potevano essere tralasciati subito, in quanto ininfluenti.
Forse non mi sono spiegato bene... Allora, tu hai
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} x^3 + o(x^3)}{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + o(x^5)}$
Dividendo sopra e sotto per $x^3$ si ottiene
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} + o(1)}{\frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + o(x^2)}$
Per $x \to 0$, risulta $o(1) \to 0$, $\frac{x^2}{120} \to 0$, $o(x^2) \to 0$, e il risultato è $2$. Come vedi, i termini che erano in $x^5$ (e che ora sono in $x^2$) tendono tutti a zero (mentre il termine che era in $x^3$ ora è $\frac{1}{6}$), per questo motivo potevano essere tralasciati subito, in quanto ininfluenti.
ops....scusa...ehehe
ma quindi per capire che devi fermarti a un certo punto..........COME FACCIO?????
Posso andare avanti all'infinito tanto il risultato è sempre lo stesso oppure no??
Grazie ancora.
ma quindi per capire che devi fermarti a un certo punto..........COME FACCIO?????
Posso andare avanti all'infinito tanto il risultato è sempre lo stesso oppure no??
Grazie ancora.
"pmic":
COME FACCIO?????
Ci vuole un po' di occhio e un po' di esperienza.
"pmic":
Posso andare avanti all'infinito tanto il risultato è sempre lo stesso oppure no??
Magari fino all'infinito no, però questa è una soluzione.
Quindi scusa anche se io mi fermo a 2 o 25 termini è sempre lo stesso no?
Anche se ho in una funzione piu' sviluppi da fare...
non è che per ogni sviluppo mi devo fermare allo stesso numero di termini no?Per esempio per una mi posso fermare a 2 termini e per una a 10 termini....il risultato non cambia?giusto?
Si tratta solo di vedere a occhio per non fare calcoli in piu?Giusto?
Anche se ho in una funzione piu' sviluppi da fare...
non è che per ogni sviluppo mi devo fermare allo stesso numero di termini no?Per esempio per una mi posso fermare a 2 termini e per una a 10 termini....il risultato non cambia?giusto?
Si tratta solo di vedere a occhio per non fare calcoli in piu?Giusto?
L'importante è che non ti fermi troppo presto, se poi eccedi, poco male... Se ad esempio hai
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x + x^2}{x^2}$ il procedimento corretto è
$\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{1}{2} x^2 + o(x^2) - x + x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} x^2 + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2}$
Invece sarebbe stato sbagliato fermarsi un ordine prima
$\lim_{x \to 0} \frac{x - x + x^2}{x^2} = 1$
perché in realtà $\ln(1+x) = x + o(x)$, di conseguenza una cosa del tipo $o(x) + x^2$ ha poco senso, visto che anche $x^2$ è un $o(x)$. In questo caso infatti il termine $o(x)$ contiene termini dello stesso ordine di infinitesimo di $x^2$, e se non vengono esplicitati si comette un errore. I termini che si possono trascurare sono gli infinitesimi di ordine superiore.
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x + x^2}{x^2}$ il procedimento corretto è
$\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{1}{2} x^2 + o(x^2) - x + x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} x^2 + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2}$
Invece sarebbe stato sbagliato fermarsi un ordine prima
$\lim_{x \to 0} \frac{x - x + x^2}{x^2} = 1$
perché in realtà $\ln(1+x) = x + o(x)$, di conseguenza una cosa del tipo $o(x) + x^2$ ha poco senso, visto che anche $x^2$ è un $o(x)$. In questo caso infatti il termine $o(x)$ contiene termini dello stesso ordine di infinitesimo di $x^2$, e se non vengono esplicitati si comette un errore. I termini che si possono trascurare sono gli infinitesimi di ordine superiore.
Quindi per capire
`(lim_{x to 0}(e^(2x)-cosx)/(sin^2(x))`
`e^2x= 2 + 2x+4x^2/(2!)+8x^3/(3!)`
`cosx=1-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!)`
`sin^2(x)=x^2-x^6/(9!)+x^10/(25!)...`
Mi basterebbe prendere per tutti e tre i termini fino a x^2 per e^2x e cosx e per sin^2(x) mi basterebbe prendere il primo termine giusto?
`(lim_{x to 0}(e^(2x)-cosx)/(sin^2(x))`
`e^2x= 2 + 2x+4x^2/(2!)+8x^3/(3!)`
`cosx=1-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!)`
`sin^2(x)=x^2-x^6/(9!)+x^10/(25!)...`
Mi basterebbe prendere per tutti e tre i termini fino a x^2 per e^2x e cosx e per sin^2(x) mi basterebbe prendere il primo termine giusto?
e verrebbe
`(lim_{x to 0}(2+2x+4x^2/2-1+x^2/2+o(x^2))/(x^2+o(x^2))`
Sbaglio?
`(lim_{x to 0}(2+2x+4x^2/2-1+x^2/2+o(x^2))/(x^2+o(x^2))`
Sbaglio?
Lo sviluppo di $e^{2x}$ inizia con $1+$, non con $2+$. Poi anche lo sviluppo del seno al quadrato è sbagliato, non è che devi fare il quadrato di ogni singolo termine...
Comunque sì, direi che in questo caso basta sviluppare fino a $x^2$.
come verrebbero scusa allora? 
Per l'esponenziale devi mettere solo $1+ \ldots$ al posto di $2+\ldots$. Per il seno, scrivi lo sviluppo di $\sin(x)$ (arrestato ai primi tre termini, ad esempio), e poi fai il quadrato (stando attento a non tralasciare nulla).
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