Aiuto semplice limite di Taylor...help
Qualcuno mi aiuta a risolvere con taylor questo limite?
Non riesco a capire quando mi devo fermare......
Chi mi aiuta a capire?
`lim_{x to 0}(ln(x+1)-x+x^2/2)/(x-sinx)`
Grazie.
Non riesco a capire quando mi devo fermare......
Chi mi aiuta a capire?
`lim_{x to 0}(ln(x+1)-x+x^2/2)/(x-sinx)`
Grazie.
Risposte
`e2x=1+2x+4x^2/(2!)+8x^3/(3!)`
`cosx=1-x22!+x44!-x66!`
`sin^2(x)=(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)...) *(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)...)`
Cosi?
`cosx=1-x22!+x44!-x66!`
`sin^2(x)=(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)...) *(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)...)`
Cosi?
Ok capito.....
Ti ringrazio........adesso mi metto a esercitarmi.....
Ancora Grazie!
Ti ringrazio........adesso mi metto a esercitarmi.....
Ancora Grazie!
Sì, attento a quando fai i prodotti nello sviluppo del seno.
"pmic":
Ok capito.....
Ti ringrazio........adesso mi metto a esercitarmi.....
Ancora Grazie!
Prego.
`sin^2(x)=(x^10/14400 - x^8/360 + 2·x^6/45 - x^4/3 + x^2)`
Quindi prendo solo x^2 giusto?
Quindi prendo solo x^2 giusto?
Se prendi solo $x^2$ va bene, altrimenti non viene così. L'errore sta nel fatto che quando hai fatto i prodotti non hai considerato gli o piccoli.
Fai il prodotto $(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^6))(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^6))$ considerando pure gli o piccoli, e tenendo conto che, secondo l'algebra degli o piccoli, vale:
$x^{\alpha} o(x^{\beta}) = o(x^{\alpha + \beta})$
$o(x^{\alpha}) o(x^{\beta}) = o(x^{\alpha + \beta})$
Fai il prodotto $(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^6))(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^6))$ considerando pure gli o piccoli, e tenendo conto che, secondo l'algebra degli o piccoli, vale:
$x^{\alpha} o(x^{\beta}) = o(x^{\alpha + \beta})$
$o(x^{\alpha}) o(x^{\beta}) = o(x^{\alpha + \beta})$
E per esempio se il grado di o venisse al massimo o(x^12) e come minimo o(x^5) dovrei scartare tutti i termini x di grado maggiore di 5 ok?
No. Se moltiplichi $x$ per $o(x^6)$, ottieni $o(x^7)$. Questo vuol dire che già trascuri tutti i termini di grado maggiore di $7$. Se ti fermi al grado $7$ va bene, altrimenti devi continuare con gli sviluppi.
Voglio dire, se scrivi $\sin^2(x) = x^2 - \frac{x^4}{3} + 2 \frac{x^6}{45} + o(x^7)$ va bene. Se vuoi scrivere anche i termini di grado superiore, devi sviluppare ulteriormente il seno, prima di fare i prodotti.
"pmic":
E per esempio se il grado di o venisse al massimo o(x^12) e come minimo o(x^5) dovrei scartare tutti i termini x di grado maggiore di 5 ok?
Esatto. Devi scartare i termini che hanno grado maggiore dell'o piccolo minimo.
No. Se moltiplichi x per o(x6), ottieni o(x7). Questo vuol dire che già trascuri tutti i termini di grado maggiore di 7. Se ti fermi al grado 7 va bene, altrimenti devi continuare con gli sviluppi.
Ok fermandomi al grado 5 per questo sviluppo poi mi dovrei fermare per forza anche agli altri sviluppi al grado 5?No vero? Quelli rimangono indipendenti giusto?
[/quote]
Gli altri puoi svilupparli come ti pare. Quando poi li vai a sostituire nel limite devi stare attento, se ottieni qualcosa del tipo $x^5 + o(x^4)$, devi considerare che questo in realtà vale $o(x^4)$, in parole povere l'o piccolo si mangia tutti i termini che hanno grado maggiore a quello del suo argomento.
`lim_{x to 0}(e^(x^2)-cosx)/(sin(x))^2`
`e^(x^2)=( 2·x^4/3 + 4·x^3/3 + 2·x^2 + 2·x + 1`
`cosx=1-x^2/2+x^(4)/(4!)-x^6/(6!)+o(x^6)`
`(sin(x))^2=x^2-x^4/3+2/45x^6+o(x^6)`
Quindi sviluppato viene
`lim_{x to 0}(2·x^4/3 + 4·x^3/3 + 2·x^2 + 2·x + 1+o(x^4)- 1+x^2/2-x^(4)/(4!)+x^6/(6!)-o(x^6))/(x^2-x^4/3+2/45x^6+o(x^6))`
che diventa:
`lim_{x to 0}(2·x^4/3 + 4·x^3/3 + 2·x^2 + 2·x + 1+o(x^4)- 1+x^2/2-x^(4)/(4!)/(x^2-x^4/3+2/45x^6+o(x^6))`
`lim_{x to 0}(2·x+5/2x^2+4/3x^3+5/12x^4+o(x^4))/(x^2-x^4/3+2/45x^6+o(x^6))`
Questo limite pero fa inifito e invece deve tornare 3/2........perche sbaglio?
`e^(x^2)=( 2·x^4/3 + 4·x^3/3 + 2·x^2 + 2·x + 1`
`cosx=1-x^2/2+x^(4)/(4!)-x^6/(6!)+o(x^6)`
`(sin(x))^2=x^2-x^4/3+2/45x^6+o(x^6)`
Quindi sviluppato viene
`lim_{x to 0}(2·x^4/3 + 4·x^3/3 + 2·x^2 + 2·x + 1+o(x^4)- 1+x^2/2-x^(4)/(4!)+x^6/(6!)-o(x^6))/(x^2-x^4/3+2/45x^6+o(x^6))`
che diventa:
`lim_{x to 0}(2·x^4/3 + 4·x^3/3 + 2·x^2 + 2·x + 1+o(x^4)- 1+x^2/2-x^(4)/(4!)/(x^2-x^4/3+2/45x^6+o(x^6))`
`lim_{x to 0}(2·x+5/2x^2+4/3x^3+5/12x^4+o(x^4))/(x^2-x^4/3+2/45x^6+o(x^6))`
Questo limite pero fa inifito e invece deve tornare 3/2........perche sbaglio?
Ma è $e^{2x}$ o $e^{x^2}$?
Perché lo sviluppo di $e^{x^2}$ è
$1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^5)$
Invece quello che hai scritto tu è lo sviluppo di $e^{2x}$.
Perché lo sviluppo di $e^{x^2}$ è
$1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^5)$
Invece quello che hai scritto tu è lo sviluppo di $e^{2x}$.
Se infatti sostituisci lo sviluppo di $e^{x^2}$ ottieni
$\frac{1 + x^2 - 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2 + o(x^3)} = \frac{\frac{3}{2}x^2 + o(x^2)}{x^2 + o(x^3)}$ che per $x \to 0$ fa proprio $\frac{3}{2}$.
$\frac{1 + x^2 - 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2 + o(x^3)} = \frac{\frac{3}{2}x^2 + o(x^2)}{x^2 + o(x^3)}$ che per $x \to 0$ fa proprio $\frac{3}{2}$.
`e^(x^2)`
Vediamo se torna ora...
Vediamo se torna ora...
Scusa...
`lim_{x to 0}((5/2·x^2 + 3/2·x^4+o(x^5))/(x^2 - x^4/3+o(x^5))`
Perche se scrivo cosi il limite mi viene 5/2....
`lim_{x to 0}((5/2·x^2 + 3/2·x^4+o(x^5))/(x^2 - x^4/3+o(x^5))`
Perche se scrivo cosi il limite mi viene 5/2....
Da dove esce quel $\frac{5}{2}$?
Allora io sviluppo fino a o(x^5) e mi viene
`lim_{x to 0}(1+x^2+x^4/2+o(x^5)-1+x^2/2-x^4/4+o(x^5))/(x^2-x^4/3+o(x^5)`
`lim_{x to 0}(1+x^2+x^4/2+o(x^5)-1+x^2/2-x^4/4+o(x^5))/(x^2-x^4/3+o(x^5)`
Torna!
Che pollo!
sbagliavo i calcoli!
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