Aiuto con studio di funzione
Ciao a tutti ragazzi!! sono nuovo di questo forum..sono di Bari..e frequento l'università di Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software..sono qui per chiedervi una mano in Analisi... praticamente ho bisogno di una mano nello studio di funzione.. le funzioni più semplici riesco tranquillamente a farle.. ma ho seri problemi con le funzioni che contengono i logaritmi..oppure la e (Neperiana).. di seguito vi posto una funzione:
F(x) = 2 + (1/(log(x+1)-1))
se nn è chiedere troppo vi chiedo di svolgere l'analisi completa con: dominio, punti di intersezione, positivita, limiti e derivata.
F(x) = 2 + (1/(log(x+1)-1))
se nn è chiedere troppo vi chiedo di svolgere l'analisi completa con: dominio, punti di intersezione, positivita, limiti e derivata.
Risposte
Anzitutto benvenuto tra noi!!!
Allora, se la funzione è questa
$f(x): y=2+1/(log(x+1)-1)$
per trovare il dominio bisogna che l'argomento del logaritmo sia positivo e che il denominatore non si annulli. Quindi dev'essere
${[x+1>=0],[log(x+1)-1\ne0]:}$
Risolvendo questo sistema si trova
$D=x> -1$ con $x\ne(e-1)$. E il primo è fatto.
Per i punti di intersezione con gli assi si tratta di risolvere due sistemini:
per $y=0$ (asse $x$)
${[y=0],[y=2+1/(log(x+1)-1)]:}$
per $x=0$ (asse $y$)
${[x=0],[y=2+1/(log(x+1)-1)]:}$
Lascio a te la risoluzione (nota che il primo diventa un'equazione logaritmica, il secondo invece no).
Per positività occorre considerare dove è $y>=0$, cioè $2+1/(log(x+1)-1)>=0$ cioè $(2log(x+1)-1)/(log(x+1)-1)>=0$. Studia separatamente il segno del numeratore e del denominatore e poi fai il grafico per stabilire gli intervalli di positività. Quanto ai limiti (io sicuramente cercherei quello per $x->e-1$ scovando così un bell'asintoto verticale) e alla derivata cedo la parola a qualcun altro perchè ora devo scappare... se hai dubbi o problemi comunque posta pure...
Paolo
Allora, se la funzione è questa
$f(x): y=2+1/(log(x+1)-1)$
per trovare il dominio bisogna che l'argomento del logaritmo sia positivo e che il denominatore non si annulli. Quindi dev'essere
${[x+1>=0],[log(x+1)-1\ne0]:}$
Risolvendo questo sistema si trova
$D=x> -1$ con $x\ne(e-1)$. E il primo è fatto.
Per i punti di intersezione con gli assi si tratta di risolvere due sistemini:
per $y=0$ (asse $x$)
${[y=0],[y=2+1/(log(x+1)-1)]:}$
per $x=0$ (asse $y$)
${[x=0],[y=2+1/(log(x+1)-1)]:}$
Lascio a te la risoluzione (nota che il primo diventa un'equazione logaritmica, il secondo invece no).
Per positività occorre considerare dove è $y>=0$, cioè $2+1/(log(x+1)-1)>=0$ cioè $(2log(x+1)-1)/(log(x+1)-1)>=0$. Studia separatamente il segno del numeratore e del denominatore e poi fai il grafico per stabilire gli intervalli di positività. Quanto ai limiti (io sicuramente cercherei quello per $x->e-1$ scovando così un bell'asintoto verticale) e alla derivata cedo la parola a qualcun altro perchè ora devo scappare... se hai dubbi o problemi comunque posta pure...
Paolo
Allora..prima di tutto grazie per il tempestivo aiuto.. cmq il mio principale problema con i logaritmi è che nn riesco proprio a risolvere le equazioni. Per esempio nn so proprio come procedere con l'equazione da risolvere per i punti di intersezione con y=0. Mi potresti spiegare se ci sono delle regole generali? Il procedimento praticamente..
Grazie mille..
Grazie mille..
a quanto pare non ti hanno mai spiegato le equazioni con i logaritmi
Ti consiglio di rivederle, va bene anche il libro delle superiori
in generale si procede cosi:
CASO I (stessa base)
$log_a(f(x))=log_a(g(x))$
dato che l'argomento del log non può mai essere zero o negativo si impongono le condizioni di esistenza:
a) $f(x)>0$
b) $g(x)>0$
e quella equazione, dato che i 2 log hanno la stessa base, si risolve per
c) $f(x)=g(x)$
Dunque l'esercizio si risolve mettendo a sistema la a, b e c (sistema misto in cui il log è "scomparso") e ricavi la x
CASO II (basi diverse)
$log_a(f(x))=log_b(g(x))$
i 2 log hanno basi diverse. La prima operazione da fare è passare tutto nella stessa base. Cioè o scrivere il secondo log in base a oppure il primo in base b, o entrambi in una base a piacere c e poi si procede come nell'altrro caso.
CASO PARTICOLARE
$log_a(f(x))=0$
sapendo che, in generale, il log di 1 in qualunque base è zero $log_c1=0$ si può scrivere:
$log_a(f(x))=0 ->log_a(f(x))=log_a1$
ora puoi procedere come al primo caso...
ALTRO CASO PARTICOLARE
$log_a(f(x))=k$ con $k$= costante reale (esempio 4, 5...)
Tenendo presenti queste 2 proprietà dei logritmi:
1) $log_aa=1$
2) $log_ax^c=clog_ax$
posso rivedere $k$ come $k*1$ e quindi $k=k*1=k*log_aa=log_aa^k$
Dunque, l'equazione di partenza diventa:
$log_a(f(x))=k -> log_a(f(x))=log_aa^k$
che si risolve per: $f(x)=a^k$ a sistema con le solite condizioni di esistenza
So che è stata una rapida spiegazione, per dubbi chiedi anche
Ti consiglio di rivederle, va bene anche il libro delle superiori
in generale si procede cosi:
CASO I (stessa base)
$log_a(f(x))=log_a(g(x))$
dato che l'argomento del log non può mai essere zero o negativo si impongono le condizioni di esistenza:
a) $f(x)>0$
b) $g(x)>0$
e quella equazione, dato che i 2 log hanno la stessa base, si risolve per
c) $f(x)=g(x)$
Dunque l'esercizio si risolve mettendo a sistema la a, b e c (sistema misto in cui il log è "scomparso") e ricavi la x
CASO II (basi diverse)
$log_a(f(x))=log_b(g(x))$
i 2 log hanno basi diverse. La prima operazione da fare è passare tutto nella stessa base. Cioè o scrivere il secondo log in base a oppure il primo in base b, o entrambi in una base a piacere c e poi si procede come nell'altrro caso.
CASO PARTICOLARE
$log_a(f(x))=0$
sapendo che, in generale, il log di 1 in qualunque base è zero $log_c1=0$ si può scrivere:
$log_a(f(x))=0 ->log_a(f(x))=log_a1$
ora puoi procedere come al primo caso...
ALTRO CASO PARTICOLARE
$log_a(f(x))=k$ con $k$= costante reale (esempio 4, 5...)
Tenendo presenti queste 2 proprietà dei logritmi:
1) $log_aa=1$
2) $log_ax^c=clog_ax$
posso rivedere $k$ come $k*1$ e quindi $k=k*1=k*log_aa=log_aa^k$
Dunque, l'equazione di partenza diventa:
$log_a(f(x))=k -> log_a(f(x))=log_aa^k$
che si risolve per: $f(x)=a^k$ a sistema con le solite condizioni di esistenza
So che è stata una rapida spiegazione, per dubbi chiedi anche
"axl_1986":
Allora..prima di tutto grazie per il tempestivo aiuto.. cmq il mio principale problema con i logaritmi è che nn riesco proprio a risolvere le equazioni. Per esempio nn so proprio come procedere con l'equazione da risolvere per i punti di intersezione con y=0. Mi potresti spiegare se ci sono delle regole generali? Il procedimento praticamente..
Grazie mille..
Non c'è di che. Comunque guarda quanto ha scritto Raff5184.. è davvero ben fatto... e se hai altri dubbi chiedi...
Paolo
"Paolo90":
Comunque guarda quanto ha scritto Raff5184.. è davvero ben fatto...
Paolo
bontà tua
"raff5184":
[quote="Paolo90"]
Comunque guarda quanto ha scritto Raff5184.. è davvero ben fatto...
Paolo
bontà tua
[/quote]
Guarda che non stavo scherzando... mi è piaciuta la tua esposizione.. sintetica, concisa ma allo stesso tempo chiara.. complimenti... Paolo
si, era un modo arcaico di dire grazie
allora.. i primi punti sono chiarissimi.. anzi grazie per la pazienza.. solo non ho ben capito l'ultimo punto (che dovrebbe essere quello più frequente), cioè quello con k. Sempre prendendo in esempio la funzione di partenza..per quanto riguarda i punti di intersezione con gl'assi, io mi ritrovo a dover trovare per y=0 il risultato delle seguenti equazioni:
- 2log(x+1)-1=0
- log(x+1)-1=0
giusto? la prima nn so proprio come svolgerla.. la seconda invece penso che sia x=(e-1) giusto?
Ancora grazie per l'infinita pazienza.. purtroppo al momento nn ho un libro di matematica.. ma solo un testo universitario di analisi.. che lascia moooooolto a desiderare.
- 2log(x+1)-1=0
- log(x+1)-1=0
giusto? la prima nn so proprio come svolgerla.. la seconda invece penso che sia x=(e-1) giusto?
Ancora grazie per l'infinita pazienza.. purtroppo al momento nn ho un libro di matematica.. ma solo un testo universitario di analisi.. che lascia moooooolto a desiderare.
"axl_1986":
allora.. i primi punti sono chiarissimi.. anzi grazie per la pazienza.. solo non ho ben capito l'ultimo punto (che dovrebbe essere quello più frequente), cioè quello con k.
Esempio: $ln(x+1)=5$ viene $ln(x+1)=5*1$ sapendo che $ln e=1$ posso continuare a scrivere:
$ln(x+1)=5*ln(e)$, poi dato che $alphalnx=ln(x^alpha)$ si ha: $ln(x+1)=5*ln(e)=ln(e^5)$.
In definitiva: $ln(x+1)=ln(e^5)$ che posso risolvere col metodo I.
Se non ti sono chiari i passaggi chiedi pure, non perdo la pazienza se chiedi..
altrimenti non scriverei su un forum 
quindi praticamente provando a calcolare i punti di intersezione quali sarebbero? io ho ottenuto x=e-1.. ma l'altro nn penso sia corretto ovvero (x+1)^2 = e.. a voi cosa esce?
int con gli assi
$A(sqrt(e)-1,0)$
$B(0,1)$
$A(sqrt(e)-1,0)$
$B(0,1)$
uhmmm.. nn è che potresti spiegarmi come hai ottenuto quei risultati???Lasciando stare quello con x=0 perchè mi è chiaro..
"axl_1986":
uhmmm.. nn è che potresti spiegarmi come hai ottenuto quei risultati???Lasciando stare quello con x=0 perchè mi è chiaro..
considerando quanto ti ha spiegato raff5184 sulle equazioni logaritmiche, prova a risolvere
$0=2+1/(log(x+1)-1)$...
se posti i passaggi vediamo dove ti blocchi...
ok.. allora:
( ( 2log(x+1) -1)/(log(x+1)-1) ) = 0 --> quindi analizzo separatemente numeratore e denominatore eguagliandoli entrambi a zero.
il numeratore: 2log(x+1)-1 = 0 ; 2log(x+1) = 1 ; 2log(x+1) = log(e^2) <-- ora non so più se è corretto..
il denominatore: log(x+1) - 1= 0 ; log(x+1) = 1 ; log(x+1) = log(e) ; x + 1 = e ; x = e - 1
ora a voi la parola..spero di aver fatto qualcosa di corretto
ps: come fate a formattare il testo in modo "matematico"???
( ( 2log(x+1) -1)/(log(x+1)-1) ) = 0 --> quindi analizzo separatemente numeratore e denominatore eguagliandoli entrambi a zero.
il numeratore: 2log(x+1)-1 = 0 ; 2log(x+1) = 1 ; 2log(x+1) = log(e^2) <-- ora non so più se è corretto..
il denominatore: log(x+1) - 1= 0 ; log(x+1) = 1 ; log(x+1) = log(e) ; x + 1 = e ; x = e - 1
ora a voi la parola..spero di aver fatto qualcosa di corretto
ps: come fate a formattare il testo in modo "matematico"???
"axl_1986":
ok.. allora:
( ( 2log(x+1) -1)/(log(x+1)-1) ) = 0 --> quindi analizzo separatemente numeratore e denominatore eguagliandoli entrambi a zero.
nelle equazioni il denominatore non si uguaglia a zero altrimenti la frazione non ha senso!!anzi
escludi i valori che lo annullano!!ma tu lo hai già fatto per il calcolo del dominio quindi procedi...
formalmente si moltiplicano entrambi i membri dell'equazione per il denominatore in modo tale che
a sinistra ti resta il numeratore e a destra zero!
"axl_1986":
il numeratore: 2log(x+1)-1 = 0 ; 2log(x+1) = 1 ; 2log(x+1) = log(e^2) <-- ora non so più se è corretto..
perchè $1=log(e^2)$??
"axl_1986":
ps: come fate a formattare il testo in modo "matematico"???
le formule devi racchiuderle tra il simbolo di dollaro (SHIFT+4)
uhmm quindi il denominatore lo lascio stare.. ma per quanto riguarda il numeratore come dovrei procedere?? Che la mia soluzione era "blasfema" me lo immaginavo .. ma quale sarebbe quella corretta?
.. ma quale sarebbe quella corretta?
"axl_1986":
uhmm quindi il denominatore lo lascio stare.. ma per quanto riguarda il numeratore come dovrei procedere?? Che la mia soluzione era "blasfema" me lo immaginavo
stavi procedendo bene...finchè non hai posto
$1=log(e^2)$!!!
come già ti ho consigliato,riguarda le proprietà dei logarirmi
che ti ha esposto raff5184 e individua subito l'errore!!
quindi:
$ 2log(x+1) = 1 ; 2log(x+1) = log(e) ; x^2 + 1 = e ; x = sqrt(e) - 1 ; $
ora.. mi son fatto condizionare dal risultato che mi aveva già scritto f.bisecco.. ma per le proprietà dei logaritmi $ log(x)^2 = 2log(x) $ quindi penso sia corretto.. solo che nn sono molto convinto del penultimo passaggio..
$ 2log(x+1) = 1 ; 2log(x+1) = log(e) ; x^2 + 1 = e ; x = sqrt(e) - 1 ; $
ora.. mi son fatto condizionare dal risultato che mi aveva già scritto f.bisecco.. ma per le proprietà dei logaritmi $ log(x)^2 = 2log(x) $ quindi penso sia corretto.. solo che nn sono molto convinto del penultimo passaggio..
"axl_1986":
quindi:
$ 2log(x+1) = 1 ; 2log(x+1) = log(e) ; x^2 + 1 = e ; x = sqrt(e) - 1 ; $
ora.. mi son fatto condizionare dal risultato che mi aveva già scritto f.bisecco.. ma per le proprietà dei logaritmi $ log(x)^2 = 2log(x) $ quindi penso sia corretto.. solo che nn sono molto convinto del penultimo passaggio..
f.bisecco ha ragione....
applicando $ log(x)^2 = 2log(x) $
segue
$ 2log(x+1) = log(x+1)^2 $
devi elevare al quadrato tutto l'argomento del logaritmo!
quindi procedi......
uhmm lo immaginavo.. cmq ora elevando tutto al quadrato ottengo $ x^2+2x+1=e$ ora per non so come procedere..nn penso si debba calcolare il delta..
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