0^0
Trovare il limite per x->+oo della funzione
f(x) = (1/x)^(1/x)
f(x) = (1/x)^(1/x)
Risposte
Derive dice che il limite fa 1...
Mi pare che alcune volte derive si sia dimostrato poco affidabile, ti ricordi?
Sì, a volte è inaffidabile...
Infatti ora ho scoperto anche che se gli
do in input 0^0 lui dice che fa 1...
Infatti ora ho scoperto anche che se gli
do in input 0^0 lui dice che fa 1...
Lupo Grigio sosteneva di aver dimostrato che 0^0 fa 1 ma non ho verificato la bontà della sua dimostrazione, a me risulta che 0^0 è compreso tra 0 e 1.
Fire, il grafico della funzione come viene?
Eccolo:
Il grafico è sicuramente giusto in quanto il dominio della funzione è x > 0.
A occhio si può osservare che la funzione si avvicina al valore 1 al tendere di x a +oo.
Il grafico è sicuramente giusto in quanto il dominio della funzione è x > 0.
A occhio si può osservare che la funzione si avvicina al valore 1 al tendere di x a +oo.
Grazie, a me sembra sbagliato, a occhio direi che la funzione non può mai essere crescente, derive per me sbaglia.
Infatti la funzione non è crescente, ma è decrescente.
Derive non sbaglia quando gli si forniscono i dati giusti.
Ad esempio se vuoi operare solo nel campo dei numeri reali
devi scrivere branch:=real e poi premere INVIO, in questo caso
lavori solo nel campo dei numeri reali. Altrimenti operi
anche nel campo dei numeri complessi. Io ho scritto
branch:=real e poi ho fatto il grafico.
Derive non sbaglia quando gli si forniscono i dati giusti.
Ad esempio se vuoi operare solo nel campo dei numeri reali
devi scrivere branch:=real e poi premere INVIO, in questo caso
lavori solo nel campo dei numeri reali. Altrimenti operi
anche nel campo dei numeri complessi. Io ho scritto
branch:=real e poi ho fatto il grafico.
quote:
Originally posted by fireball
Infatti la funzione non è crescente
Che dici? Il grafico da te postato decresce fino a un minimo compreso tra 2 e 3 e poi cresce asintoticamente a 1.
Scusami, effettivamente ho dimenticato alcuni dettagli importanti.
La funzione è decrescente per 0 < x < e
(infatti x = e è il minimo, compreso tra 2 e 3),
ed è invece crescente per x > e.
e = numero di Nepero.
Chiaramente queste considerazioni vanno fatte
dopo aver calcolato la derivata prima della funzione,
infatti ponendo uguale a zero la derivata prima
e risolvendo l'equazione, si ottiene il
massimo/minimo della funzione,
studiando il segno della derivata prima
(ponendola cioè > 0 e quindi risolvendo la disequazione)
si ottengono i valori di x per i quali
la funzione è crescente/decrescente...
Mi fa piacere che tu ti stia interessando all'Analisi Infinitesimale:
secondo me è la parte più bella e interessante della Matematica.
La funzione è decrescente per 0 < x < e
(infatti x = e è il minimo, compreso tra 2 e 3),
ed è invece crescente per x > e.
e = numero di Nepero.
Chiaramente queste considerazioni vanno fatte
dopo aver calcolato la derivata prima della funzione,
infatti ponendo uguale a zero la derivata prima
e risolvendo l'equazione, si ottiene il
massimo/minimo della funzione,
studiando il segno della derivata prima
(ponendola cioè > 0 e quindi risolvendo la disequazione)
si ottengono i valori di x per i quali
la funzione è crescente/decrescente...
Mi fa piacere che tu ti stia interessando all'Analisi Infinitesimale:
secondo me è la parte più bella e interessante della Matematica.
Boh, ci dormo sopra, grazie mille per il prezioso aiuto.
Si può dimostrare che il limite per x che tende a + inf di :
(1/x)^(1/x) è :1.
Riscrivo così il limite : e^[(1/x)*ln(1/x)] = e^[(1/x)*(-ln x)] =
= e^ (-lnx/x).
Calcolo ora quale è il limite per x che tende a +inf dell'esponente cioè di :-lnx/x ; questo limite, del tipo indeterminato [inf/inf] si risolve facilmente con la regola di De l'HOPITAL arrivando al
limite di: - 1/x che tende a 0.
Quindi il limite iniziale tende a : 1.
Camillo
(1/x)^(1/x) è :1.
Riscrivo così il limite : e^[(1/x)*ln(1/x)] = e^[(1/x)*(-ln x)] =
= e^ (-lnx/x).
Calcolo ora quale è il limite per x che tende a +inf dell'esponente cioè di :-lnx/x ; questo limite, del tipo indeterminato [inf/inf] si risolve facilmente con la regola di De l'HOPITAL arrivando al
limite di: - 1/x che tende a 0.
Quindi il limite iniziale tende a : 1.
Camillo
Direi a questo punto di riassumere:
Premessa: il limite che non sia ±oo è un valore numerico.
Per ogni valore di x è ammesso un solo valore di f(x) e per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si ha che se
lim[x->+oo] di f(x)=(1/x)^(1/x) è 1
e
lim[x->+oo] di f(x)=(1/x)^(1/x) è 0^0
allora
1 = 0^0
Grazie a Fire e a Camillo ho potuto dimostrare oltre ogni ragionevole dubbio che, come già sostenuto in questo forum da Lupo Grigio,
0^0 = 1
Grazie per l'attenzione.
(credo che della funzione y = (1/x)^(1/x) in futuro si sentirà ancora parlare)
Premessa: il limite che non sia ±oo è un valore numerico.
1)lim[x->+oo] di f(x)=(1/x)^(1/x) <font size="6">è</font id="size6"> 1 2)lim[x->+oo] di f(x)=(1/x) <font size="6">è</font id="size6"> 0 sostituendo la (2) nella (1) otteniamo che 3)lim[x->+oo] di f(x)=(1/x)^(1/x) <font size="6">è</font id="size6"> 0^0
Per ogni valore di x è ammesso un solo valore di f(x) e per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si ha che se
lim[x->+oo] di f(x)=(1/x)^(1/x) è 1
e
lim[x->+oo] di f(x)=(1/x)^(1/x) è 0^0
allora
1 = 0^0
Grazie a Fire e a Camillo ho potuto dimostrare oltre ogni ragionevole dubbio che, come già sostenuto in questo forum da Lupo Grigio,
0^0 = 1
Grazie per l'attenzione.
(credo che della funzione y = (1/x)^(1/x) in futuro si sentirà ancora parlare)
Mi permetto di intervenire anche se mi ero promesso di non scrivere piu' in questo forum, ma quando vedo scritte delle cosa non vere, mi sento in obbligo di chiarire, e spero che la cosa diventi chiara una volta per tutte. Il post precedente di BABOOMBA è tutto corretto, tranne una parola: "dimostrare". Quello che BABOOMBA ha scritto NON è una dimostrazione del fatto che 0^0=1. Per dimostrare che 0^0=1, occorre PRIMA DEFINIRE 0^0. Una volta che è stato definito, allora uno si puo' legittimamente chiedere cosa fara' mai 0^0. Il fatto è che in Matematica 0^0 è definito pari a 1, e su questo non c'e' nulla da obiettare, è la definizione oggi accettata.
Mi scuso ancora con tutti se ho ripetuto piu' volte la stessa cosa, ma ritengo sia fondamentale capire che una definizione non necessita di dimostrazione.
Luca.
Mi scuso ancora con tutti se ho ripetuto piu' volte la stessa cosa, ma ritengo sia fondamentale capire che una definizione non necessita di dimostrazione.
Luca.
Ciao Luca, lieto che anche tu come me per l'ennesima volta hai cambiato idea.
Il post sopra è la rappresentazione di due modi diversi di affrontare i problemi, la vita e la matematica e, a giudicare da questo topic e dalla tua conclusione, tu sei l'artigiano e io il ricercatore.
Non si capisce a cosa servirebbe fare ricerca se si partisse da l presupposto che non si deve scoprire nulla ma confermare ciò che si sa.
Il sogno di ogni matemtico è dimostrare un postulato, il fatto che non sia anche il tuo sogno mi fa dubitare del fatto che tu sia un matematico.
Non capisco perchè non accetti l'idea che qualcuno, uno qualunque, anzi uno sotto la media a scuola e nella vita, possa essere il migliore.
Il post sopra è la rappresentazione di due modi diversi di affrontare i problemi, la vita e la matematica e, a giudicare da questo topic e dalla tua conclusione, tu sei l'artigiano e io il ricercatore.
Non si capisce a cosa servirebbe fare ricerca se si partisse da l presupposto che non si deve scoprire nulla ma confermare ciò che si sa.
Il sogno di ogni matemtico è dimostrare un postulato, il fatto che non sia anche il tuo sogno mi fa dubitare del fatto che tu sia un matematico.
Non capisco perchè non accetti l'idea che qualcuno, uno qualunque, anzi uno sotto la media a scuola e nella vita, possa essere il migliore.
0^0=1 non e' un postulato, e' una definizione. E poi il mio sogno non e' dimostrare un postulato. Gli unici assiomi (o postulati) della Matematica sono gli 8 assiomi della Teoria assiomatica ZF degli insiemi, dai quali si deduce tutto. Nessun matematico sta tentando di dimostrare un assioma della teoria ZF poiche' e' stato dimostrato che essi sono indipendenti tra loro.
Tra me e te, puo' anche essere che tu sia il migliore, e non ho problemi ad accettarlo... sai quanta gente è meglio di me... cosa vuoi che me ne interessi?
La sola cosa che mi interessa veramente e' che la gente capisca che cosa sta facendo, e se sbaglia, dove sbaglia.
Luca
Tra me e te, puo' anche essere che tu sia il migliore, e non ho problemi ad accettarlo... sai quanta gente è meglio di me... cosa vuoi che me ne interessi?
La sola cosa che mi interessa veramente e' che la gente capisca che cosa sta facendo, e se sbaglia, dove sbaglia.
Luca
La distinzione fra assioma, postulato e definizione è interessante, si protrebbe aprire un topic, ciò non toglie che se dimostro che una cosa non è tale per definizione ma che è dimostrabile partendo da altre definizioni in uso ecco che la matematica ha conseguito un piccolo traguardo.
Introdurrei a questo punto una nuova definizione, quella di radice infinitesima, cosa te ne pare? Potra essere utile per altre applicazioni?
Introdurrei a questo punto una nuova definizione, quella di radice infinitesima, cosa te ne pare? Potra essere utile per altre applicazioni?
Dimmi che definizione vuoi dare, e sono contentissimo di suggerire applicazioni.
Luca.
Luca.
a^0 = radice infinitesima di a
La radice infinitesima di un qualunque numero è 1
La radice infinitesima di un qualunque numero è 1
Non ci siamo; tu hai solo dato un nome all'espressione a^0, ma non l'hai definita. Ecco invece un esempio corretto di definizione.
DEFINIZIONE 1:
Dato a intero, poniamo a^0:=1, a^m:=aa^(m-1).
Questa e' la corretta definzione ricorsiva di potenza. Infatti se la segui, trovi a^1=aa^0=a1=a;
a^2=aa^1=aa, e cosi' via.
Un'altra definzione puo' essere data, come ho gia' detto, volendo rendere continua la funzione esponenziale a^x per x=0. Ma rimane una definizione (alternativa):
DEFINIZIONE 2:
Dato a intero, poniamo a^0:=lim per x che tende a 0 di a^x; a^m:=aa^(m-1).
E' ancora una definizione ricorsiva. Ma vedi che stavolta abbiamo usato una definizione diversa per a^0. A questo punto e' si' corretto dimostrare che a^0=1 (corretto e banale). Ma stando alla definzione 1 di potenza, non ha senso il voler dimostrare che a^0=1.
La tua definzione di radice ennesima non e' una definzione, hai solamente dato un nome all'espressione a^0. Potrei anche io fare una cosa analoga: chiamo "numero di Luca di n" il numero n%5?. Se io non dico cosa sono % e ?, essi rimangono simboli senza significato.
Spero di essere stato chiaro.
Luca
DEFINIZIONE 1:
Dato a intero, poniamo a^0:=1, a^m:=aa^(m-1).
Questa e' la corretta definzione ricorsiva di potenza. Infatti se la segui, trovi a^1=aa^0=a1=a;
a^2=aa^1=aa, e cosi' via.
Un'altra definzione puo' essere data, come ho gia' detto, volendo rendere continua la funzione esponenziale a^x per x=0. Ma rimane una definizione (alternativa):
DEFINIZIONE 2:
Dato a intero, poniamo a^0:=lim per x che tende a 0 di a^x; a^m:=aa^(m-1).
E' ancora una definizione ricorsiva. Ma vedi che stavolta abbiamo usato una definizione diversa per a^0. A questo punto e' si' corretto dimostrare che a^0=1 (corretto e banale). Ma stando alla definzione 1 di potenza, non ha senso il voler dimostrare che a^0=1.
La tua definzione di radice ennesima non e' una definzione, hai solamente dato un nome all'espressione a^0. Potrei anche io fare una cosa analoga: chiamo "numero di Luca di n" il numero n%5?. Se io non dico cosa sono % e ?, essi rimangono simboli senza significato.
Spero di essere stato chiaro.
Luca
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo