0^0
Trovare il limite per x->+oo della funzione
f(x) = (1/x)^(1/x)
f(x) = (1/x)^(1/x)
Risposte
Giusto, definiamo la radice infinitesima di a quel numero che moltiplicato per se stesso infinite volte restituisce il valore di a.
Quindi staresti dicendo che la radice infinitesima di a e' un numero x tale che
limite per n che tende all'infinito di x^n e' uguale ad a ?
Luca.
limite per n che tende all'infinito di x^n e' uguale ad a ?
Luca.
Esatto, era proprio quello che volevo dire.
Ok, ora ci siamo. Bene, ora che hai definito le radice infinitesima di a, dimostrami che a^0=1, passaggio per passaggio.
Luca.
Luca.
Non ci siamo capiti, quello l'avevo già dimostrato senza definire la RadInf(a).
No, non puoi dimostrarmi che a^0=1, se prima non me lo definisci. Fai una cosa: definiscimi, perfavore, a^0.
Luca.
Luca.
a^0 è il limite per x->+oo di f(x)= a^(1/x)
quote:
Originally posted by camillo
Si può dimostrare che il limite per x che tende a + inf di :
(1/x)^(1/x) è :1.
Riscrivo così il limite : e^[(1/x)*ln(1/x)] = e^[(1/x)*(-ln x)] =
= e^ (-lnx/x).
Calcolo ora quale è il limite per x che tende a +inf dell'esponente cioè di :-lnx/x ; questo limite, del tipo indeterminato [inf/inf] si risolve facilmente con la regola di De l'HOPITAL arrivando al
limite di: - 1/x che tende a 0.
Quindi il limite iniziale tende a : 1.
Camillo
Divagazione
Il limite che hai risolto in maniera impeccabile era una forma indterminata del tipo 0^0, in questo particolare caso il risultato è 1. Però esistono forme indeterminate del tipo 0^0 in cui il limite è diverso da 1 and esempio considerando
f(x)^g(x)=e^(g(x)*ln(f(x)))
dove:
lim(x->+inf) f(x)=0
lim(x->+inf) g(x)=0
lim (per x->inf) g(x)*ln(f(x))=-inf
si ottiene per ottenere 0 come limite, e di tali f(x) e g(x) ne esistono infinite. Ad esempio preso f(x)=1/x e g(x)=1/ln(ln(x)) abbiamo che:
g(x)*ln(f(x))=-ln(x)/ln(ln(x))->-inf per x->+inf
Anzi si può ottenere qualsiasi numero positivo tra 0 ed +inf scegliendo opportunamente f(x) e g(x). Lascio i lettori a divertirsi con l'esercizio:
Assegnato c>=0 trovare f(x) e g(x) tali che il limite di f(x)^g(x) per x->inf è c.
Questa considerazione rende anche chiaro il motivo per cui si parla di forme indeterminate perchè con semplici considerazioni algebriche non si può dedurre il valore del limite, ovvero la regola algebrica 0^0=0 non consente di dedurre il limite.
Saluti
Mistral
Oh, finalmente una risposta pienamente soddisfacente. Ok, ora ci siamo. Se definisci a^0 in quel modo (forse, se mi permetti, sarebbe piu' logico limite per x che tende a 0 di a^x, ma e' la stessa cosa) allora a^0=1 e' un Teorema, e la dimostrazione non e' altro che il calcolo del limite dato, gia' piu' volte postata.
Ora sono soddisfatto.
Luca.
Ora sono soddisfatto.
Luca.
Mistral, secondo te 0^0 non è per definizione uguale a 1, ho capito bene?
quote:
Originally posted by BABOOMBA
Mistral, secondo te 0^0 non è per definizione uguale a 1, ho capito bene?
Sono stato impreciso nel precedente post la definizione di 0^0 ai fini algebrici è irrilevante diciamo che io tifo per 0^0=0 [:D] ma non c'e' modo definirlo per via algebrica, almeno credo.
Comunque se uno assume a^b come il numero di funzioni distinte da un insieme di b elementi ad un insieme di a elementi, allora 0^0 è il numero di funzioni da un insieme di 0 elementi (cioè l'insieme vuoto) ad un insieme di 0 elementi (di nuovo l'insieme vuoto) allora esiste almeno una funnzione che è la funzione costituita dall'insieme vuoto. Quindi volendo può far comodo anche che 0^0=1.
Direi che la mia risposta definitiva è che dipende da che uso ne fai della definizione di 0^0.
Saluti
Mistral
0^0=0 e' in contrasto con moltissime definizioni: ad esempio la def. di e^x, o l'algebra degli anelli dei polinomi: qui e' fondamentale che 0^0 sia assunto 1 per definizione.
Feci la stessa domanda alla mia prof. di Algebra dell'Universita' quando ero studente: lei mi disse che effettivamente e' una definzione che e' stata a lungo dibattuta, ma alla fine la cosa piu' conveniente per far tornare tutte le definizioni ed i Teoremi che coinvolgono le potenze, e' quella di definire 0^0=1. Comunque e' solo una definzione: se non dovesse funzionare (per ora funziona), basta cambiarla!
Luca.
Feci la stessa domanda alla mia prof. di Algebra dell'Universita' quando ero studente: lei mi disse che effettivamente e' una definzione che e' stata a lungo dibattuta, ma alla fine la cosa piu' conveniente per far tornare tutte le definizioni ed i Teoremi che coinvolgono le potenze, e' quella di definire 0^0=1. Comunque e' solo una definzione: se non dovesse funzionare (per ora funziona), basta cambiarla!
Luca.
quote:
Originally posted by Mistral
quote:
Originally posted by camillo
Si può dimostrare che il limite per x che tende a + inf di :
(1/x)^(1/x) è :1.
Riscrivo così il limite : e^[(1/x)*ln(1/x)] = e^[(1/x)*(-ln x)] =
= e^ (-lnx/x).
Calcolo ora quale è il limite per x che tende a +inf dell'esponente cioè di :-lnx/x ; questo limite, del tipo indeterminato [inf/inf] si risolve facilmente con la regola di De l'HOPITAL arrivando al
limite di: - 1/x che tende a 0.
Quindi il limite iniziale tende a : 1.
Camillo
Divagazione
Il limite che hai risolto in maniera impeccabile era una forma indterminata del tipo 0^0, in questo particolare caso il risultato è 1. Però esistono forme indeterminate del tipo 0^0 in cui il limite è diverso da 1 and esempio considerando
f(x)^g(x)=e^(g(x)*ln(f(x)))
dove:
lim(x->+inf) f(x)=0
lim(x->+inf) g(x)=0
lim (per x->inf) g(x)*ln(f(x))=-inf
si ottiene per ottenere 0 come limite, e di tali f(x) e g(x) ne esistono infinite. Ad esempio preso f(x)=1/x e g(x)=1/ln(ln(x)) abbiamo che:
g(x)*ln(f(x))=-ln(x)/ln(ln(x))->-inf per x->+inf
Anzi si può ottenere qualsiasi numero positivo tra 0 ed +inf scegliendo opportunamente f(x) e g(x). Lascio i lettori a divertirsi con l'esercizio:
Assegnato c>=0 trovare f(x) e g(x) tali che il limite di f(x)^g(x) per x->inf è c.
Questa considerazione rende anche chiaro il motivo per cui si parla di forme indeterminate perchè con semplici considerazioni algebriche non si può dedurre il valore del limite, ovvero la regola algebrica 0^0=0 non consente di dedurre il limite.
Saluti
Mistral
Mistral, il demolitore di presunti teoremi, ha demolito la mia dimostrazione, ci sono rimasto malisssimo. A questo punto io avrei dimostrato solo che
0^0 può assumere il valore di 1 in almeno un caso.
In effetti l'errore alla base della mia dimostrazione sta nel fatto che non ho ricondotto il problema ad una identità tra due valori numerici, come avevo lasciato intendere, ma ho ricondotto il problema all'origine e cioè l'uguaglianza tra un'espressione algebrica non definita e un valore numerico (GRAZIE Fire, mio maestro, il tuo allievo impara in fretta).
Mistral ha dimostrato (non l'ho verificato ma essendo egli un matematico c'è da fidarsi) che
0^0 può essere diverso da 1
e ha asserito senza dimostrarlo che
0 >= 0^0 >= +oo
Salvo poi portare ad esempio un limite a -oo che non ho capito.
-------------------------------------------------
x Luca
Precedentemente mi chiedevi di dimostrare che a^0 = 1 partendo dalla definizione di radice infinitesima, effettivamente in un altro topic ero partito proprio da essa e che mi sono confuso col 0^0. Al più presto provvedo a postare un tentativo di dimostrazione.
PS per Mistral
Alla luce dell'obiezione di Luca sarebbe il caso di trovare controesempi che non contengano e^x.
quote:
Originally posted by Luca77
0^0=0 e' in contrasto con moltissime definizioni: ad esempio la def. di e^x, o l'algebra degli anelli dei polinomi: qui e' fondamentale che 0^0 sia assunto 1 per definizione.
Feci la stessa domanda alla mia prof. di Algebra dell'Universita' quando ero studente: lei mi disse che effettivamente e' una definzione che e' stata a lungo dibattuta, ma alla fine la cosa piu' conveniente per far tornare tutte le definizioni ed i Teoremi che coinvolgono le potenze, e' quella di definire 0^0=1. Comunque e' solo una definzione: se non dovesse funzionare (per ora funziona), basta cambiarla!
Luca.
Puoi essere più specifico dando dei dettagli sulle proprietà degli anelli che non funzionano bene se si assumere 0^0=0, e più in generale sulle proprietà per cui conviene assumere 0^0=1. Ieri sera mentre rispondevo a questo topic pur essendo convinto della stessa cosa, mi è sembrato di non trovarne di significative tranne quella insiemistica che ho accennato. Ho il dubbio mi sfugga qualcosa se puoi rinfrescarmi le idee, vai pure sul tecnico tanto anche se non sono un matematico probabilmente ti capisco, e se non ti capisco ti chiedo.
Ciao
Mistral
Sì, interessa nache me anche perchè se
0^0 <> 1 è in contrasto con la definizione di e^x
la confutazione di Mistral si autodemolisce.
PS per Mistral
Dici di non essere un matematico ma non avevi detto che ti mantieni con la matematica?
0^0 <> 1 è in contrasto con la definizione di e^x
la confutazione di Mistral si autodemolisce.
PS per Mistral
Dici di non essere un matematico ma non avevi detto che ti mantieni con la matematica?
quote:
Originally posted by BABOOMBA
....
Dici di non essere un matematico ma non avevi detto che ti mantieni con la matematica?
Non mi pare proprio e se così fosse e non mi ricordo ho detto una cavolata[:D]
1)e^x, per definizione, è la serie per n da 0 a +infinito di x^n/n!
Per avere e^0=1, e' necessario che 0^0=1 e 0!=1.
2)La definzione 0^0=1 rende continua la funzione x^x per x=0.
3)Nello studio degli anelli di polinomi, un polinomio di grado k è definito formalmente da un espressione del tipo: sommatoria per n da 0 a k di a_n x^n, con a_k diverso da zero. Allora, per far si' che il polinomio dato valutato in x=0 restituisca il termine noto a_0 (come e' naturale aspettarsi), e' necessario che 0^0=1. Tutta l'algebra dei polinomi e' basata sull'uso dell'espressione che ho dato per i polinomi.
Questi sono solo 3 motivi che "suggeriscono" (non obbligano) a porre, PER DEFINIZIONE (e non e' un assioma o cose simile) 0^0=1 ed anche n^0=1, per ogni n intero. Tale definzione e' quella oggi usata. Per il momento non ha creato problemi; del resto se dovessero sorgerne, si potrebbe o cambiarla o decidere di non definire 0^0.
Colgo l'occasione per sottolineare che e' possibile decidere di non definire 0^0; ad esempio, abbiamo tutti imparato che le varie estensioni numeriche servono per far funzionare le varie operazioni sempre. Per far funzionare sempre la sottrazione si passa da N a Z; per far funzionare la divisione si passa da Z a Q, e cosi' via. Vi siete mai chiesti perche' la quantita' 1/0 non viene MAI definita? Si verifica (ed e' un giochino famoso che conoscete sicuramente tutti) che una definzione qualunque di 1/0 porta (se la definzione "rispetta le proprietà delle operazioni") ad una contraddizione. Da qui la necessita' di non definire 1/0.
Luca.
Per avere e^0=1, e' necessario che 0^0=1 e 0!=1.
2)La definzione 0^0=1 rende continua la funzione x^x per x=0.
3)Nello studio degli anelli di polinomi, un polinomio di grado k è definito formalmente da un espressione del tipo: sommatoria per n da 0 a k di a_n x^n, con a_k diverso da zero. Allora, per far si' che il polinomio dato valutato in x=0 restituisca il termine noto a_0 (come e' naturale aspettarsi), e' necessario che 0^0=1. Tutta l'algebra dei polinomi e' basata sull'uso dell'espressione che ho dato per i polinomi.
Questi sono solo 3 motivi che "suggeriscono" (non obbligano) a porre, PER DEFINIZIONE (e non e' un assioma o cose simile) 0^0=1 ed anche n^0=1, per ogni n intero. Tale definzione e' quella oggi usata. Per il momento non ha creato problemi; del resto se dovessero sorgerne, si potrebbe o cambiarla o decidere di non definire 0^0.
Colgo l'occasione per sottolineare che e' possibile decidere di non definire 0^0; ad esempio, abbiamo tutti imparato che le varie estensioni numeriche servono per far funzionare le varie operazioni sempre. Per far funzionare sempre la sottrazione si passa da N a Z; per far funzionare la divisione si passa da Z a Q, e cosi' via. Vi siete mai chiesti perche' la quantita' 1/0 non viene MAI definita? Si verifica (ed e' un giochino famoso che conoscete sicuramente tutti) che una definzione qualunque di 1/0 porta (se la definzione "rispetta le proprietà delle operazioni") ad una contraddizione. Da qui la necessita' di non definire 1/0.
Luca.
quote:
Originally posted by Mistral
quote:
Originally posted by BABOOMBA
....
Dici di non essere un matematico ma non avevi detto che ti mantieni con la matematica?
Non mi pare proprio e se così fosse e non mi ricordo ho detto una cavolata[:D]
Piccola digressione, Luca scusaci, ed è pure una cavolata che lavori in Texas?
quote:
Originally posted by BABOOMBA
quote:
Originally posted by Mistral
quote:
Originally posted by BABOOMBA
....
Dici di non essere un matematico ma non avevi detto che ti mantieni con la matematica?
Non mi pare proprio e se così fosse e non mi ricordo ho detto una cavolata[:D]
Piccola digressione, Luca scusaci, ed è pure una cavolata che lavori in Texas?
No lo è, comunque non vedo il nesso, sia con il topic di questa discussione che con il fatto che che io non sono laureato in matematica.
quote:
Originally posted by Luca77
1)e^x, per definizione, è la serie per n da 0 a +infinito di x^n/n!
Per avere e^0=1, e' necessario che 0^0=1 e 0!=1.
......
3)Nello studio degli anelli di polinomi, un polinomio di grado k è definito formalmente da un espressione del tipo: sommatoria per n da 0 a k di a_n x^n, con a_k diverso da zero. Allora, per far si' che il polinomio dato valutato in x=0 restituisca il termine noto a_0 (come e' naturale aspettarsi), e' necessario che 0^0=1. Tutta l'algebra dei polinomi e' basata sull'uso dell'espressione che ho dato per i polinomi.
Queste giustificazione non mi sembrano (ma ammetto che è questione di gusti) particolarmenente utili sono più che altro di natura simbolica, in quanto se definisco e^x=x+Somma (x^n/n! per n>0) e tutto sommato si sopravvive lo stesso. Direi che lo stesso vale per i polinomi. Mentre mi pare che 1^0=1 abbia maggiori ragioni di natura algebrica di essere definito così, cioè mi sembra che nessuna definizione di operazione binaria è influenzata da valore assunto per 0^0. Comunque ripeto rimane una questione di gusti e di comodità nei simboli.
quote:
2)La definzione 0^0=1 rende continua la funzione x^x per x=0.
Nel mio post precedente trovo altre funzioni che sono continue se si assume 0^0<>1, quindi non mi sembra una argomentazione forte.
quote:
Questi sono solo 3 motivi che "suggeriscono" (non obbligano) a porre, PER DEFINIZIONE (e non e' un assioma o cose simile) 0^0=1 ed anche n^0=1, per ogni n intero. Tale definzione e' quella oggi usata. Per il momento non ha creato problemi; del resto se dovessero sorgerne, si potrebbe o cambiarla o decidere di non definire 0^0.
Colgo l'occasione per sottolineare che e' possibile decidere di non definire 0^0; ad esempio, abbiamo tutti imparato che le varie estensioni numeriche servono per far funzionare le varie operazioni sempre. Per far funzionare sempre la sottrazione si passa da N a Z; per far funzionare la divisione si passa da Z a Q, e cosi' via. Vi siete mai chiesti perche' la quantita' 1/0 non viene MAI definita? Si verifica (ed e' un giochino famoso che conoscete sicuramente tutti) che una definzione qualunque di 1/0 porta (se la definzione "rispetta le proprietà delle operazioni") ad una contraddizione. Da qui la necessita' di non definire 1/0.
Luca.
Direi in accordo a quello che tu dici che rimango dell'idea che la definizione di 0^0 è irrilevante e riduce ad una mera abbreviazione simbolica. L'unico caso, ripeto di nuovo è questione di gusti, che mi convince è quello di assumere a^b come il numero di funzioni distinte da un insieme b elementi ad un insieme di a elementi. In questo caso mi sembra ci si riduce all'esistenza assiomatica dell'insieme vuoto.
Grazie della risposta pensavo mi fosse sfuggito qualcosa di strutturale.
Ciao
Mistral
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