0^0
Trovare il limite per x->+oo della funzione
f(x) = (1/x)^(1/x)
f(x) = (1/x)^(1/x)
Risposte
Io non ho mai detto che le mie argomentazioni sono forti; anzi, ho detto esplicitamente che i punti che ho dato SUGGERISCONO di definire 0^0=1, ma non obbligano a definirlo. Pero', se non lo definisci o lo definisci in altro modo, tutti gli enunciati riguardanti le potenze vanno rivisti, come pure le relative dimostrazioni. Scegliere di porre 0^0=1 e' una questione di comodita', che rende molto piu' snelle tantissime definzioni e tantissime dimostrazioni.
Se mi permetti una sola critica, quella sulla continuità: puo' anche darsi che definire 0^0 in altro modo renda continue altre funzioni. Ma credo sarai d'accordo con me nel dire che volendo scegliere di rendere continua una funzione in x=0, la scelta piu' ovvia e' f(x)=x^x, cosi' non devi nemmeno sapere cosa fa a^0.
In definitiva: e' vero, la definzione di 0^0 e' "irrilevante" (l'ho messa tra virgolette perche' non mi piace), ma il non definirlo di porta ad un inutile appesantimento di definizioni ed enunciati. In Matematica conta anche l'eleganza, non solo la logica.
Luca.
Se mi permetti una sola critica, quella sulla continuità: puo' anche darsi che definire 0^0 in altro modo renda continue altre funzioni. Ma credo sarai d'accordo con me nel dire che volendo scegliere di rendere continua una funzione in x=0, la scelta piu' ovvia e' f(x)=x^x, cosi' non devi nemmeno sapere cosa fa a^0.
In definitiva: e' vero, la definzione di 0^0 e' "irrilevante" (l'ho messa tra virgolette perche' non mi piace), ma il non definirlo di porta ad un inutile appesantimento di definizioni ed enunciati. In Matematica conta anche l'eleganza, non solo la logica.
Luca.
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Originally posted by Mistral
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Originally posted by BABOOMBA
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Originally posted by Mistral
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Originally posted by BABOOMBA
....
Dici di non essere un matematico ma non avevi detto che ti mantieni con la matematica?
Non mi pare proprio e se così fosse e non mi ricordo ho detto una cavolata[:D]
Piccola digressione, Luca scusaci, ed è pure una cavolata che lavori in Texas?
No lo è, comunque non vedo il nesso, sia con il topic di questa discussione che con il fatto che che io non sono laureato in matematica.
In un post di tanto tempo fa, il tuo 12° post per l'esattezza (scherzo:-) dicevi che tu con la matematica ci vivi e salutavi con "Saluti texani", volevo accertarmi che tu fossi tu, tutto qua, sarò paranoico ma se non mi tornano i conti divento una bbestia.
Non mi sarebbe mai venuto in mente di associare il termine matematico a chi è laureato in matematica anche se adesso che mi ci fai pensare ero io in errore e perseverando per me tu rimani un matematico. Insomma me lo dici e no che lavoro fai?:-)
Fine digressione.
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Originally posted by Luca77
Ma credo sarai d'accordo con me nel dire che volendo scegliere di rendere continua una funzione in x=0, la scelta piu' ovvia e' f(x)=x^x, cosi' non devi nemmeno sapere cosa fa a^0.
non ho capito bene cosa intendi dire con più ovvia, coerente con a^0=1 per a<>0? se la risposta è si concordo. Però, se uno pensa alla successione 0^n per n>=0 e sempre 0 tranne il primo valore per n=0 che è uno, comunque la funzione 0^x per x reale non è definita quindi non si pone il problema di avre funzioni discontinue.
Ciao
Mistral
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Originally posted by Luca77
Ok, ora ci siamo. Bene, ora che hai definito le radice infinitesima di a, dimostrami che a^0=1, passaggio per passaggio.
Luca.
Mi serve il tuo aiuto o di altri:
mi serve conoscere i lim[x->+oo] di f(x)= a^x nei seguenti casi
1) 0 < a < 1
2) a = 1
3) a > 1
Per Mistral: non ti seguo.
Per BABOOMBA: nel caso 1, il limite fa 0; nel caso 2 il limite fa 1; nel caso 3 il limite fa + infinito.
Se non capisci il motivo, prova a dare ad a un valore preciso, e vedrai che tutto torna.
Ciao, Luca.
Per BABOOMBA: nel caso 1, il limite fa 0; nel caso 2 il limite fa 1; nel caso 3 il limite fa + infinito.
Se non capisci il motivo, prova a dare ad a un valore preciso, e vedrai che tutto torna.
Ciao, Luca.
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Originally posted by Luca77
Per BABOOMBA: nel caso 1, il limite fa 0; nel caso 2 il limite fa 1; nel caso 3 il limite fa + infinito.
Se non capisci il motivo, prova a dare ad a un valore preciso, e vedrai che tutto torna.
Ciao, Luca.
Grazie è quello che pensavo anch'io.
A questo punto mi servirebbe il grafico, se non chiedo troppo, di f(x) = 1^x definita nell'ambito dei numeri reali.
Non so se e' un errore di scrittura, ma f(x)=1^x e' la funzione identicamente uguale ad 1...
Luca.
Luca.
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Originally posted by Luca77
Per Mistral: non ti seguo.
Cancella tutto quello che ho detto prima, e pensa ad g(x,y)=y^x=e^xlny allora ad esempio
x=c>o fissato hai per y->+0 che g(c,y)-> 0
x=c<0 fissato hai per y->+0 che g(c,y)-> +inf
x=0 hai per y->+0 che g(0,y)->1
Quello che non capisco e cosa ha di speciale la condizione x=y, che da luogo a g(x)=x^x, da richiedere di eliminare la discontinuità ponendo g(0)=f(0,0)=1, dato che poi hai discontinuità praticamente su tutto l'asse x tranne l'origine.
Tra l'altro qualcuno ha voglia di fare il grafico della funzione g(x,y) ad esempio in ]-2,2[x]0,1]?
Saluti
Mistral
La funzione f(x)=x^x e' classicamente definita e continua solo in (0,+\infty); la posizione 0^0=1 la estende per continuita' anche in x=0. Comunque, sono d'accordo con te con il dire che x^x non ha nulla di speciale rispetto alle altre... solo che, a mio parere, mi sembra, tra le funzioni non banali (come 0^x che e' identicamente 0) quella piu' "naturale" da considerare.
Ma questi discorsi hanno poco valore; le motivazioni che hanno portato i matematici a porre 0^0=1 sono soprattutto algebriche... per dare sempre senso alla potenza di un numero, o di un elemento di un anello.
Luca.
Ma questi discorsi hanno poco valore; le motivazioni che hanno portato i matematici a porre 0^0=1 sono soprattutto algebriche... per dare sempre senso alla potenza di un numero, o di un elemento di un anello.
Luca.
quote:
Originally posted by Luca77
Non so se e' un errore di scrittura, ma f(x)=1^x e' la funzione identicamente uguale ad 1...
Luca.
Si stanno accavallando le discussioni, pensavo che la divagazione di Mistral fosse conclusa, terminatela pure.
quote:
Originally posted by Luca77
Ma questi discorsi hanno poco valore; le motivazioni che hanno portato i matematici a porre 0^0=1 sono soprattutto algebriche... per dare sempre senso alla potenza di un numero, o di un elemento di un anello.
Luca.
Non è per accanirsi ma per capire.
Per definire la potenza di un numero, e più in generale di un elemento di un gruppo moltiplicativo G, basta porre per definizione a^0=1 per ogni elemento a del gruppo G. Quindi in particolare in Z*, insieme degli interi relativi senza lo 0, vale la stessa cosa. Quindi porre 0^0=1 da punto di vista algebrico non serve a nulla, dato che lo zero non è un elemento del gruppo moltiplicativo essendo banalmente privo di inverso. Sono d'accordo nell'uso della definizione 0^0=1 come abbreviazione per ottenere formule eleganti e compatte e non perdersi nelle definizioni di tutti i casi particolari.
Tu come la vedi?
Ciao Mistral
(non so gli altri, io non ci sto a capire niente)
La potenza ad esponente naturale si definisce in generale in un anello (i polinomi sono a coefficienti in un anello), non solo in un gruppo; quindi va definita in tutto Z.
Esempio: la regola del binomio di Newton ed il triangolo di Tartaglia valgono in un anello.
Luca.
Esempio: la regola del binomio di Newton ed il triangolo di Tartaglia valgono in un anello.
Luca.
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Originally posted by Luca77
La potenza ad esponente naturale si definisce in generale in un anello (i polinomi sono a coefficienti in un anello), non solo in un gruppo; quindi va definita in tutto Z.
Esempio: la regola del binomio di Newton ed il triangolo di Tartaglia valgono in un anello.
Luca.
Mi sembra una abbreviazione per evitare casi particolari più che una vera esigenza. Inoltre, i casi particolari che si ottengono mi sembrano banali e di scarso interesse almeno per quanto riesco a vedere. Comunque se hai voglia e tempo, fammi vedere cosa di sostanziale si perde senza assumere 0^0=1 nella regola del binomio nel caso piu generale degli anelli.
Se non hai tempo pazienza.
Ciao
Mistral
Non si perde nulla di sostanziale. Basta dire nell'enunciato (che parla della formula per calcolare (a+b)^n) che a+b non deve essere nullo.
Comunque questa discussione sta andando avanti troppo, senza un vero motivo. Ripeto: non c'e' nessuno che ci obbliga a definire 0^0=1, ne' c'e' nessuno che ci obbliga a definire 0^0. Siccome la sua definizione attuale va d'accordo con tutto, allora non si vede il motivo di rinunciarvisi.
Luca.
Comunque questa discussione sta andando avanti troppo, senza un vero motivo. Ripeto: non c'e' nessuno che ci obbliga a definire 0^0=1, ne' c'e' nessuno che ci obbliga a definire 0^0. Siccome la sua definizione attuale va d'accordo con tutto, allora non si vede il motivo di rinunciarvisi.
Luca.
quote:
Originally posted by Luca77
Non si perde nulla di sostanziale. Basta dire nell'enunciato (che parla della formula per calcolare (a+b)^n) che a+b non deve essere nullo.
Comunque questa discussione sta andando avanti troppo, senza un vero motivo. Ripeto: non c'e' nessuno che ci obbliga a definire 0^0=1, ne' c'e' nessuno che ci obbliga a definire 0^0. Siccome la sua definizione attuale va d'accordo con tutto, allora non si vede il motivo di rinunciarvisi.
Luca.
Grazie per la risposta, sei tra i più pazienti e preparati.
Saluti
Mistral
Solo una puntualizzazione: non vorrei essere stato un po' offensivo dicendo che la discussione sta andando avanti troppo... se lo sono stato, me ne scuso. Forse mi sono espresso male, ma quello che volevo dire e' che la questione di 0^0 come di 0!, la definzione di +infinito, ecc... sono tutte cose abbastanza "marginali", che non hanno un significato matematico profondo; si pongono per definizone nel modo piu' conveniente possibile per far tornare le cose in casi "patologici". Molto piu' profondo, a mio avviso, e' capire cosa significa che la forma 0^0 nel calcolo dei limiti e' indeterminata, cosa spiegata devo dire molto bene in un tuo post precedente.
Luca.
Luca.
quote:
Originally posted by Luca77
Non so se e' un errore di scrittura, ma f(x)=1^x e' la funzione identicamente uguale ad 1...
Luca.
Non è un errore intendevo proprio
f(x) = 1^x
^ y | | | <u> 1|</u>___________________________________________ | | | - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - > 0 | x |
Accettando la definizione di RadInf(a) si ha che l'unico risultato possibile per a<>0 è 1 in quanto l'unico limite definito e non nullo per x->+00 di f(x)=a^x è per a = 1 e quindi si deve assumere che, per a<>0, RadInf(a)=1 (Mistral aveva già cercato di spiegarmelo ma mi sfuggiva qualcosa).
A questo punto per rendere assolutamente accettabile che a^0=1 secondo me andrebbe sostituita la definizione di potenza data da Luca con una equivalente ma più facile da accettare:
Definiamo come potenza di un numero reale esprimibile con l'espressione a^b il prodotto di 1 per bi volte a
a^b = 1 * a * a * a * ... * a
1 2 3 b
quote:
Il mio non è un ragionamento rigoroso, cmq l'esponente indica quante volte devo moltiplicare la base con se stessa, se non la devo moltiplicare neppure una volta, allora mi riman solo l'elemento neutro dellla moltiplicazione, ossia 1....
PS
In questo topic si sente la mancanza di GIOVANNI IL CHIMICO
quote:
Originally posted by Luca77
....la definzione di +infinito, ecc... sono tutte cose abbastanza "marginali", che non hanno un significato matematico profondo...
Diciamo che avrei evitato di aggiungere la definizione di "infinito", anche se quel "+" che metti rende la tua affermazione condivisibile, se ti va di discuterlo apri un altro post o mandami una mail.
Ciao
Mistral
quote:
Originally posted by Mistral
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Originally posted by Luca77
....la definzione di +infinito, ecc... sono tutte cose abbastanza "marginali", che non hanno un significato matematico profondo...
Diciamo che avrei evitato di aggiungere la definizione di "infinito", anche se quel "+" che metti rende la tua affermazione condivisibile, se ti va di discuterlo apri un altro post o mandami una mail.
Ciao
Mistral
Mi sembra proprio questo il posto migliore per discuterne, in un topic dove si discuteva di Zenone dissi che il limite della matematica è quello di non poter gestire il continuo, a questo punto aggiungerei che un altro limite è quello di non poter gestire neppure l'infinito e qual'è l'unico elemento continuo e infinito? Lo spazio. La matematica non può gestire il nulla cosa che la geometria può fare anche se soltanto in modo empirico.
Archimede non era un matematico, ma un empirico, un fisico, Pitagora era un matematico, il teorema detto di pitagora non è suo, era già noto da millenni, probabilmente è una delle cose più vecchie del mondo tant'è che per "scoprirlo" basta tracciare un quadrato con le relative diagonali e osservarlo per qualche istante.
La matematica è uno specchio nel quale noi ci vediamo riflessi e facendo l'errore di considerare quell'immagine riflessa la verità da cercare, finiamo per vagare ovunque nella speranza di trovare qualcosa che è dentro di noi.
L'unico comandamento da seguire è "aiuta chi ne ha bisogno", non importa come lo chiede e se lo chiede, ciò che conta è che l'umanità è una squadra e l'unica possibilità di vincere la partita è fare gioco di squadra, il gioco si chiama conoscenza e le regole sono quelle della matematica.
PS
Di cosa stavamo parlando?
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