Relazioni binarie algebriche

myriam.92
$nRm = n÷m in N, AA n,m in N$
(N sono i numeri naturali)

È antisimmetrica : $nRm, mRn -> m=n$
Transitiva: $mRn, nRp->mRp$
Penso anche riflessiva e completa quindi di ordinamento totale ?




La seguente relazione $R$ definita in $Z : $per ogni $x,y in Z$ ($Z$= interi relativi)
$xRy = x⁴>= y⁴$
È transitiva
Antisimmetrica perché $xRy, yRX -> x=z$
Sto sbagliando qualcosa ?
Accetto ogni trucco e suggerimento :D

Risposte
axpgn
"Myriam92":
Quindi $R$ non è neppure antisimmetrica, giusto?

Quale $R$ ?
Facendo tanti esercizi insieme e usando gli stessi nomi si genera confusione ...

"Myriam92":
Riguardo l'esercizio successivo, che ha praticamente tutte le relazioni verificate, cosa ne devo dedurre ? Che è una relazione sia di equivalenza che di ordinamento? Può essere ? :?

Secondo me sì ma è un caso particolare, probabilmente costruito appositamente così ...

myriam.92
Il primo Esercizio intendo, La cui relazione è questa $R={(a,a),(b,b),(a,b),(b,c),(c,d),(d,a)}$ ed $A ={a,b,c,d}$
Tutte le asserzioni che ti ho mostrato abbiamo detto essere false. È falsa anche " R asimmetrica?" Per me si...

axpgn
Invece è antisimmetrica perché non è mai smentita ... :D ... prendi la definizione e prova coppia per coppia, non è mai falsa ...

myriam.92
${(aRb),(bRa)->a=b$
Ma la coppia (b,a) nemmeno c'è!!! Quindi questa "combinazione" nn può essere....Vediamo che altra cavolata posso scrivere..
$(aRb),(aRa)->a=a$ ?
$bRc, bRb=b=b$ scusa ma sto provando, è un po' strano:(

L'ultimo (forse facile) e chiudo:
La relazione di equivalenza R su $N$ numeri naturali $(0,1,2...)$ Definita dalla legge:
$nRm$=$ n$ ed $m$ divisi per quattro danno stesso resto.
Risposte : R ha 3, 4, infinite classi di equivalenza, o nessuna delle altre risposte ?
Sarei tentata dal dire infinite, ma quel "ed" come lo interpreto? Come se stesse considerando $m,n$ separatamente? Se così fosse però $m,n$ devo considerarli uguali, no? Oltre che multipli di 4...

axpgn
"Myriam92":
... Ma la coppia (b,a) nemmeno c'è!!!

Appunto, quindi l'implicazione è vera ...
A monte dell'argomento "Relazioni" devi comprendere bene bene cos'è un'implicazione ...
Un'implicazione è falsa solamente quando l'ipotesi è vera e la tesi è falsa; se l'ipotesi è falsa allora l'implicazione è vera indipendentemente dal fatto che la tesi sia vera o falsa.
E questo è il caso ...
Prendi la definizione di antisimmetricità: $(x,y) ^^ (y,x)\ =>\ x=y$ che tradotto in parole è "Se le coppie $(x,y)$ e $(y,x)$ appartengono alla relazione allora $x=y$"
Se questa implicazione è vera, la relazione è antisimmetrica altrimenti non lo è ...
Nel caso specifico le prime due coppie soddisfano l'implicazione perché in entrambi i casi sono vere sia l'ipotesi che la tesi mentre negli altri quattro casi è falsa l'ipotesi.

axpgn
"Myriam92":
La relazione di equivaleqnza R su $N$ numeri naturali $(0,1,2...)$ Definita dalla legge:
$nRm$=$ n$ ed $m$ divisi per quattro danno stesso resto.

Il significato è: presi due numeri naturali qualunque essi sono in relazione se danno lo stesso resto diviso per quattro ...

myriam.92
Ho capito cosa vuoi dire nella parte prima del mio caso. Ma nel mio caso:
"axpgn":

Nel caso specifico le prime due coppie soddisfano l'implicazione perché in entrambi i casi sono vere sia l'ipotesi che la tesi

Intendi questi?
$(aRb),(aRa)->a=a$
$bRc, bRb=b=b$


"axpgn":
mentre negli altri quattro casi è falsa l'ipotesi.

E qui questi?
$aRb,bRa->a=b$
$bRc, cRb,-> b=c$
Idem con le ultime.due coppie...

myriam.92
"axpgn":

Il significato è: presi due numeri naturali qualunque essi sono in relazione se danno lo stesso resto diviso per quattro ...


Forse" ...se danno lo stesso resto quando divisi per quattro " :)
Cmq a me non viene altro in mente se non m=n e multipli di 4... Illuminami :)

axpgn
Per quanto riguarda l'antisimmetricità ...

Ripeto:

- per le prime due coppie ($(a,a), (b,b)$ sono verificate sia l'ipotesi che la tesi quindi l'implicazione è vera ...
Esempio: $(a,a) ^^ (a,a)\ =>\ a=a$, idem per $(b,b)$

- per le altre quattro coppie ($(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)$) l'ipotesi è falsa quindi l'implicazione è vera ...
Esempio: $(a,b) ^^ (b,a)\ =>\ a=b$, ma $(b,a)$ non appartiene alla relazione quindi l'ipotesi è falsa e di conseguenza l'implicazione è vera indipendentemente dal valore di verità della tesi

"Myriam92":
Forse" ...se danno lo stesso resto quando divisi per quattro " :)

Sì, intendevo quello ...
Se tu dividi per quattro un numero intero qualsiasi come si faceva alle elementari, senza virgola e col resto, puoi ottenere non più di quattro resti diversi ... $0,1,2,3$ ... ed in generale se dividi per $n$ il resto $r$ sarà $0<=r

myriam.92
Allora il secondo caso di verifica dell antisimmetria era scritto giusto *_* grazieee!


Riguardo la divisione per $n$, io però direi che avrà un resto $0<=r:) :) ?

axpgn
Quindi secondo te se $n=4$ allora i resti possono essere solo $0,1,2$ ed il $3$ è escluso ...

myriam.92
Sorry $0<=r<=n-1$ :) che poi equivale alla tua :)

axpgn
Allora meglio quella, no? (anche perché usano tutti quella ... :wink:)

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