Relazioni binarie algebriche

[myriam.92]

$nRm = n÷m in N, AA n,m in N$
(N sono i numeri naturali)

È antisimmetrica : $nRm, mRn -> m=n$
Transitiva: $mRn, nRp->mRp$
Penso anche riflessiva e completa quindi di ordinamento totale ?




La seguente relazione $R$ definita in $Z : $per ogni $x,y in Z$ ($Z$= interi relativi)
$xRy = x⁴>= y⁴$
È transitiva
Antisimmetrica perché $xRy, yRX -> x=z$
Sto sbagliando qualcosa ?
Accetto ogni trucco e suggerimento

[axpgn]

"Myriam92": Quindi $R$ non è neppure antisimmetrica, giusto?

Quale $R$ ?
Facendo tanti esercizi insieme e usando gli stessi nomi si genera confusione ...

"Myriam92":Riguardo l'esercizio successivo, che ha praticamente tutte le relazioni verificate, cosa ne devo dedurre ? Che è una relazione sia di equivalenza che di ordinamento? Può essere ?

Secondo me sì ma è un caso particolare, probabilmente costruito appositamente così ...

[myriam.92]

Il primo Esercizio intendo, La cui relazione è questa $R={(a,a),(b,b),(a,b),(b,c),(c,d),(d,a)}$ ed $A ={a,b,c,d}$
Tutte le asserzioni che ti ho mostrato abbiamo detto essere false. È falsa anche " R asimmetrica?" Per me si...

[axpgn]

Invece è antisimmetrica perché non è mai smentita ... ... prendi la definizione e prova coppia per coppia, non è mai falsa ...

[myriam.92]

${(aRb),(bRa)->a=b$
Ma la coppia (b,a) nemmeno c'è!!! Quindi questa "combinazione" nn può essere....Vediamo che altra cavolata posso scrivere..
$(aRb),(aRa)->a=a$ ?
$bRc, bRb=b=b$ scusa ma sto provando, è un po' strano:(

L'ultimo (forse facile) e chiudo:
La relazione di equivalenza R su $N$ numeri naturali $(0,1,2...)$ Definita dalla legge:
$nRm$=$ n$ ed $m$ divisi per quattro danno stesso resto.
Risposte : R ha 3, 4, infinite classi di equivalenza, o nessuna delle altre risposte ?
Sarei tentata dal dire infinite, ma quel "ed" come lo interpreto? Come se stesse considerando $m,n$ separatamente? Se così fosse però $m,n$ devo considerarli uguali, no? Oltre che multipli di 4...

[axpgn]

"Myriam92":... Ma la coppia (b,a) nemmeno c'è!!!

Appunto, quindi l'implicazione è vera ...
A monte dell'argomento "Relazioni" devi comprendere bene bene cos'è un'implicazione ...
Un'implicazione è falsa solamente quando l'ipotesi è vera e la tesi è falsa; se l'ipotesi è falsa allora l'implicazione è vera indipendentemente dal fatto che la tesi sia vera o falsa.
E questo è il caso ...
Prendi la definizione di antisimmetricità: $(x,y) ^^ (y,x)\ =>\ x=y$ che tradotto in parole è "Se le coppie $(x,y)$ e $(y,x)$ appartengono alla relazione allora $x=y$"
Se questa implicazione è vera, la relazione è antisimmetrica altrimenti non lo è ...
Nel caso specifico le prime due coppie soddisfano l'implicazione perché in entrambi i casi sono vere sia l'ipotesi che la tesi mentre negli altri quattro casi è falsa l'ipotesi.

[axpgn]

"Myriam92":La relazione di equivaleqnza R su $N$ numeri naturali $(0,1,2...)$ Definita dalla legge:
$nRm$=$ n$ ed $m$ divisi per quattro danno stesso resto.

Il significato è: presi due numeri naturali qualunque essi sono in relazione se danno lo stesso resto diviso per quattro ...

[myriam.92]

Ho capito cosa vuoi dire nella parte prima del mio caso. Ma nel mio caso:

"axpgn":
Nel caso specifico le prime due coppie soddisfano l'implicazione perché in entrambi i casi sono vere sia l'ipotesi che la tesi

Intendi questi?
$(aRb),(aRa)->a=a$
$bRc, bRb=b=b$

"axpgn":mentre negli altri quattro casi è falsa l'ipotesi.

E qui questi?
$aRb,bRa->a=b$
$bRc, cRb,-> b=c$
Idem con le ultime.due coppie...

[myriam.92]

"axpgn":
Il significato è: presi due numeri naturali qualunque essi sono in relazione se danno lo stesso resto diviso per quattro ...

Forse" ...se danno lo stesso resto quando divisi per quattro "
Cmq a me non viene altro in mente se non m=n e multipli di 4... Illuminami

[axpgn]

Per quanto riguarda l'antisimmetricità ...

Ripeto:

- per le prime due coppie ($(a,a), (b,b)$ sono verificate sia l'ipotesi che la tesi quindi l'implicazione è vera ...
Esempio: $(a,a) ^^ (a,a)\ =>\ a=a$, idem per $(b,b)$

- per le altre quattro coppie ($(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)$) l'ipotesi è falsa quindi l'implicazione è vera ...
Esempio: $(a,b) ^^ (b,a)\ =>\ a=b$, ma $(b,a)$ non appartiene alla relazione quindi l'ipotesi è falsa e di conseguenza l'implicazione è vera indipendentemente dal valore di verità della tesi

"Myriam92":Forse" ...se danno lo stesso resto quando divisi per quattro "

Sì, intendevo quello ...
Se tu dividi per quattro un numero intero qualsiasi come si faceva alle elementari, senza virgola e col resto, puoi ottenere non più di quattro resti diversi ... $0,1,2,3$ ... ed in generale se dividi per $n$ il resto $r$ sarà $0<=r

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[myriam.92]

Allora il secondo caso di verifica dell antisimmetria era scritto giusto *_* grazieee!


Riguardo la divisione per $n$, io però direi che avrà un resto $0<=r ?

[axpgn]

Quindi secondo te se $n=4$ allora i resti possono essere solo $0,1,2$ ed il $3$ è escluso ...

[myriam.92]

Sorry $0<=r<=n-1$ che poi equivale alla tua

[axpgn]

Allora meglio quella, no? (anche perché usano tutti quella ... )