Relazioni binarie algebriche
$nRm = n÷m in N, AA n,m in N$
(N sono i numeri naturali)
È antisimmetrica : $nRm, mRn -> m=n$
Transitiva: $mRn, nRp->mRp$
Penso anche riflessiva e completa quindi di ordinamento totale ?
La seguente relazione $R$ definita in $Z : $per ogni $x,y in Z$ ($Z$= interi relativi)
$xRy = x⁴>= y⁴$
È transitiva
Antisimmetrica perché $xRy, yRX -> x=z$
Sto sbagliando qualcosa ?
Accetto ogni trucco e suggerimento
(N sono i numeri naturali)
È antisimmetrica : $nRm, mRn -> m=n$
Transitiva: $mRn, nRp->mRp$
Penso anche riflessiva e completa quindi di ordinamento totale ?
La seguente relazione $R$ definita in $Z : $per ogni $x,y in Z$ ($Z$= interi relativi)
$xRy = x⁴>= y⁴$
È transitiva
Antisimmetrica perché $xRy, yRX -> x=z$
Sto sbagliando qualcosa ?
Accetto ogni trucco e suggerimento
Risposte
Perché ritieni che la prima relazione sia completa?
Penso ci sia un errore nella seconda relazione.
Penso ci sia un errore nella seconda relazione.
La prima mi sembrava completa perché $nRm$ e pensavo bastasse per ritenersi completa.
La seconda l'ho.sistemata
La seconda l'ho.sistemata
La seconda non l'ho capita per niente, dovresti riscriverla meglio ...
Per la prima (che penso voglia dire che due naturali sono in relazione tra loro se il loro rapporto è anch'esso naturale) non hai dimostrato niente, hai solo riscritto (più o meno) la definizione ...
Per la prima (che penso voglia dire che due naturali sono in relazione tra loro se il loro rapporto è anch'esso naturale) non hai dimostrato niente, hai solo riscritto (più o meno) la definizione ...
La seconda domanda ha questo testo, non ho altro da aggiungere 
Per la prima: è antisimmetrica perché la proprietà commutativa vale se $m=n$
La transitiva vale se consideriamo $p=1 $ ad esempio.
La completa perché appunto per definizione basta la semplice presenza di $mRn $ o ppure $nRm$ ,anche se mi sembra troppo scontata........
Per la prima: è antisimmetrica perché la proprietà commutativa vale se $m=n$
La transitiva vale se consideriamo $p=1 $ ad esempio.
La completa perché appunto per definizione basta la semplice presenza di $mRn $ o ppure $nRm$ ,anche se mi sembra troppo scontata........
Ok, adesso che l'hai modificata ho capito ...
Però, sarò io, ma continuo a non vedere, per entrambe, una dimostrazione delle varie proprietà ma solo delle affermazioni; ora, non conoscendo cosa ti verrà richiesto dall'esame, può anche essere sufficiente ...
Però, sarò io, ma continuo a non vedere, per entrambe, una dimostrazione delle varie proprietà ma solo delle affermazioni; ora, non conoscendo cosa ti verrà richiesto dall'esame, può anche essere sufficiente ...
Per esempio per dimostrare l'antisimmetria della prima, io farei così ...
Dati $m, n in ZZ$ se la coppia $(m,n)$ appartiene alla relazione ciò significa che $m=kn$ dove $k in ZZ$; ora la coppia $(n,m)$ significa supporre $n/m=q$ con $q in ZZ$ ma dato che $q=n/m=n/(kn)=1/k$ essa è vera solo se $k=1$ cioè $n=1*n$.
Quindi è antisimmetrica.
Dati $m, n in ZZ$ se la coppia $(m,n)$ appartiene alla relazione ciò significa che $m=kn$ dove $k in ZZ$; ora la coppia $(n,m)$ significa supporre $n/m=q$ con $q in ZZ$ ma dato che $q=n/m=n/(kn)=1/k$ essa è vera solo se $k=1$ cioè $n=1*n$.
Quindi è antisimmetrica.
La domanda all'esame è solo: individuare l'affermazione esatta. Ti ringrazio cmq per la tua dimostrazione
Sempre la prima... sapresti dirmi perché ( a quanto pare nn è completa )? Anche ricorrendo alla sola definizione
Sempre la prima... sapresti dirmi perché ( a quanto pare nn è completa )? Anche ricorrendo alla sola definizione
Con "completa" intendi "totale"?
Se è così, parlando in modo informale, in una relazione "d'ordine totale" tutti gli elementi si devono confrontare con tutti, cioè una delle due coppie tra $(m,n)$ e$(n,m)$ deve appartenere alla relazione; in questo caso ciò non avviene perché se i due interi non sono uno multiplo dell'altro allora né $(m,n)$ né $(n,m)$ appartengono alla relazione.
Se è così, parlando in modo informale, in una relazione "d'ordine totale" tutti gli elementi si devono confrontare con tutti, cioè una delle due coppie tra $(m,n)$ e$(n,m)$ deve appartenere alla relazione; in questo caso ciò non avviene perché se i due interi non sono uno multiplo dell'altro allora né $(m,n)$ né $(n,m)$ appartengono alla relazione.
Perfetto grazie !
Nella seconda ho detto correttamente? Aldilà della "dimostrazione"?
Se ho invece :
$nRm = n<=m+3$ per ogni $m,n in N$ (N=naturali)
È riflessiva
Transitiva perché $ nRm, mRp -> nRp$(Con $p>m+3$)
Ok?
Nella seconda ho detto correttamente? Aldilà della "dimostrazione"?
Se ho invece :
$nRm = n<=m+3$ per ogni $m,n in N$ (N=naturali)
È riflessiva
Transitiva perché $ nRm, mRp -> nRp$(Con $p>m+3$)
Ok?
La seconda non é antisimmetrica ... $3^4>=(-3)^4$ e $(-3)^4>=3^4$ ma $-3!=3$
Questa
non è transitiva ...
Prendi $n=8, m=6, p=4$ allora $n<=m+3\ =>\ 8<=6+3$ e $m<=p+3\ =>\ 6<=4+3$ sono vere ma $n<=p+3\ =>\ 8<=4+3$ è falsa
Te l'ho detto, non le stai dimostrando, confondi la definizione con la dimostrazione ...
$ nRm = n<=m+3 $ per ogni $ m,n in N $ (N=naturali)
non è transitiva ...
Prendi $n=8, m=6, p=4$ allora $n<=m+3\ =>\ 8<=6+3$ e $m<=p+3\ =>\ 6<=4+3$ sono vere ma $n<=p+3\ =>\ 8<=4+3$ è falsa
Te l'ho detto, non le stai dimostrando, confondi la definizione con la dimostrazione ...
Nella relazione $x⁴>=y⁴$
Possiamo dire che vale la proprietà commutativa con l'esempio che hai fatto tu, quindi c'è simmetria.
Transitivitá pare pure di sì perché $2⁴>=-2⁴, -2⁴>=2⁴ -> 2⁴>=2⁴.$
Nell'ultima ho notato che hai dato a $p$ un valore opposto a quello che avevo dato io( ciò mi ha fatto pensare che non ci si può basare su valori preimpostati da noi) ed in effetti il tuo ragionamento torna.
L'unico dubbio è che non capisco come mai il +3 che è aggiunto solo ad $m $nella relazione, da una parte in poi della dimostrazione lo aggiungi solo a $p$?
Possiamo dire che vale la proprietà commutativa con l'esempio che hai fatto tu, quindi c'è simmetria.
Transitivitá pare pure di sì perché $2⁴>=-2⁴, -2⁴>=2⁴ -> 2⁴>=2⁴.$
Nell'ultima ho notato che hai dato a $p$ un valore opposto a quello che avevo dato io( ciò mi ha fatto pensare che non ci si può basare su valori preimpostati da noi) ed in effetti il tuo ragionamento torna.
L'unico dubbio è che non capisco come mai il +3 che è aggiunto solo ad $m $nella relazione, da una parte in poi della dimostrazione lo aggiungi solo a $p$?
"Myriam92":
Nella relazione $x⁴>=y⁴$
Possiamo dire che vale la proprietà commutativa con l'esempio che hai fatto tu, quindi c'è simmetria.
No, non è simmetrica, in generale se è vero che $x^4>=y^4$ non è vero il contrario, infatti $3^4>=2^4$ ma non è vero che $2^4>=3^4$ ... il fatto che accada in alcuni casi non la rende simmetrica ... d'altro canto non è neppure antisimmetrica come dimostrato prima ...
Per dimostrare una proprietà, la devi dimostrare in generale non con un esempio "preciso", è fuorviante questo modo di procedere ... p.es. la transitività si dimostra semplicemente prendendo tre numeri $p, q, r$, se per ipotesi è vero che $p^4>=q^4$ e $q^4>=r^4$ usando le proprietà delle disuguaglianze ho $p^4-q^4>=0$ e $q^4-r^4>=0$, la somma di due quantità non negative è anch'essa non negativa quindi $p^4-q^4+q^4-r^4>=0\ =>\ p^4-r^4>=0\ =>\ p^4>=r^4$.
Come vedi ne ho dimostrato la validità in generale non in un caso particolare.
Potresti obiettare che anch'io ho usato dei casi "numerici", "singoli" nelle mie dimostrazioni; vero, ma l'ho fatto solo per "negare" certe tesi, questo perché per sconfessare una qualunque teoria spesso non è necessario farlo in generale ma basta trovare il cosiddetto e famoso "controesempio": basta un solo caso che smentisca una teoria per "mandarla all'aria".
Ok?
Non ho capito la tua ultima obiezione ...
[ot]Gli indici delle potenze si scrivono così a^3, b^(1/2), c^((n1)/m) ovvero $a^3, b^(1/2), c^((n+1)/m)$ non come fai tu ...
[/ot]
$n≤m+3 ⇒ 8≤6+3 $e $m≤p+3 $
Dico qui, il 3 perché non resta sempre insieme ad m e passa a p?
(Già da sta domanda che sarà stupidissima, capirai che non ci arriverei mai a fare il ragionamento che mi hai scritto tu sulla simmetria dell' es successivo.. che ovviamente è impeccabile ma io lo trovo troppo contorto e indiretto soprattutto..Speravo di poter fare riferimento alla semplice definizione e invece no, sto vedendo che si deve cmq ricorrere ad un esempio più elaborato e mi stai anche aiutando a capire come fare (e te ne sono grata); ma se consideriamo che le tipologie di.esercizi sono infinite, e le modalità di dimostrazione altrettanto, ritengo che per quanto mi possa esercitare sarà estremamente inutile visto che continuerò sempre a sbagliare
Una via minimamente "più diretta" non c'è, vero?
Da domani proverò a mettere in pratica i tuoi consigli..Anche se non prevedo buone prospettive
Buonanotte e grazie per le correzioni
Dico qui, il 3 perché non resta sempre insieme ad m e passa a p?
(Già da sta domanda che sarà stupidissima, capirai che non ci arriverei mai a fare il ragionamento che mi hai scritto tu sulla simmetria dell' es successivo.. che ovviamente è impeccabile ma io lo trovo troppo contorto e indiretto soprattutto..Speravo di poter fare riferimento alla semplice definizione e invece no, sto vedendo che si deve cmq ricorrere ad un esempio più elaborato e mi stai anche aiutando a capire come fare (e te ne sono grata); ma se consideriamo che le tipologie di.esercizi sono infinite, e le modalità di dimostrazione altrettanto, ritengo che per quanto mi possa esercitare sarà estremamente inutile visto che continuerò sempre a sbagliare
Una via minimamente "più diretta" non c'è, vero?
Da domani proverò a mettere in pratica i tuoi consigli..Anche se non prevedo buone prospettive
Buonanotte e grazie per le correzioni
Non devi disperarti, di vie ce ne sono molte e l'esperienza può fare tanto ... tu vorresti "assimilare" tutto in poche settimane, esperienza compresa ma non è così ... con calma ed esercizio ci arriverai ...
Adesso provo a descrivere come ragionerei io ...
Data questa relazione
voglio provare (o smentire) la sua transitività.
La prima cosa che mi viene in mente è che non essendo data per elencazione non posso dimostrarla caso per caso come fatto precedentemente ma devo trovare un ragionamento che vada bene "sempre" ...
In secondo luogo decidere dove "puntare" la mia dimostrazione: sarà vera o no? L'ossservazione che "potenzialmente" un numero "più grande" sia minore di uno "più piccolo" (per via del $+3$) mi fa pensare che potrebbe esserci una falla ... in questo caso, come dicevo, spesso è più facile trovare un "controesempio", quindi faccio un po' di tentativi (in questo caso si trova subito la combinazione giusta ma non sempre è così ...).
Infine provo a formalizzare la mia idea ...
Data quella relazione, se assumo che siano $n=8, m=6, p=4$ posso costruire due coppie [$(n,m)=(8,6)$ e $(m,p)=(6,4)$ che appartengono alla relazione; la prova di questo per la prima è $nRm\ =>\ n<=m+3\ =>\ 8<=6+3\ =>\ 8<=9$ (quindi è vero che $nRm$) e per la seconda è $mRp\ =>\ m<=p+3\ =>\ 6<=4+3\ =>\ 6<=7$ (quindi è altrettanto vero che $mRp$); provata l'ipotesi vediamo cosa succede alla tesi: $nRp\ =>\ n<=p+3\ =>\ 8<=4+3\ =>\ 8<=7$ che è falsa.
Da quanto fatto si può concludere che quella relazione non è transitiva in quanto abbiamo trovato almeno in un caso in cui l'implicazione $xRy ^^ yRw => xRw$ è falsa è ciò è sufficiente a smontare tutto il teorema.
Cordialmente, Alex
Adesso provo a descrivere come ragionerei io ...
Data questa relazione
$ nRm = n<=m+3 $ per ogni $ m,n in N $ (N=naturali)
voglio provare (o smentire) la sua transitività.
La prima cosa che mi viene in mente è che non essendo data per elencazione non posso dimostrarla caso per caso come fatto precedentemente ma devo trovare un ragionamento che vada bene "sempre" ...
In secondo luogo decidere dove "puntare" la mia dimostrazione: sarà vera o no? L'ossservazione che "potenzialmente" un numero "più grande" sia minore di uno "più piccolo" (per via del $+3$) mi fa pensare che potrebbe esserci una falla ... in questo caso, come dicevo, spesso è più facile trovare un "controesempio", quindi faccio un po' di tentativi (in questo caso si trova subito la combinazione giusta ma non sempre è così ...).
Infine provo a formalizzare la mia idea ...
Data quella relazione, se assumo che siano $n=8, m=6, p=4$ posso costruire due coppie [$(n,m)=(8,6)$ e $(m,p)=(6,4)$ che appartengono alla relazione; la prova di questo per la prima è $nRm\ =>\ n<=m+3\ =>\ 8<=6+3\ =>\ 8<=9$ (quindi è vero che $nRm$) e per la seconda è $mRp\ =>\ m<=p+3\ =>\ 6<=4+3\ =>\ 6<=7$ (quindi è altrettanto vero che $mRp$); provata l'ipotesi vediamo cosa succede alla tesi: $nRp\ =>\ n<=p+3\ =>\ 8<=4+3\ =>\ 8<=7$ che è falsa.
Da quanto fatto si può concludere che quella relazione non è transitiva in quanto abbiamo trovato almeno in un caso in cui l'implicazione $xRy ^^ yRw => xRw$ è falsa è ciò è sufficiente a smontare tutto il teorema.
Cordialmente, Alex
Questa dimostrazione se svolta sembra semplice, ma se consideriamo che ci si arriva a tentativi ( infatti se P fosse stato maggiore di m,n sarebbe stata verificata ma.avrei sbagliato non portando un esempio con P inferiore ad m,n come il tuo ) la cosa si complica e nemmeno so fino a che punto ci avrei pensato...E poi mi sarei mangiata le mani!
Per il resto direi che c'è simmetria perché stando ai tuoi valori anche $6<=8+3$.
Sicuramente sto sbagliando però, magari devo fare altri tentativi, visto che dell antisimmetria ne sarei più sicura, dal momento che se $m=n$ la proprietà commutativa vale a maggior ragione. ( Per favore illudimi ogni tanto con un sí xD )
Premettendo che " le poche settimane " di cui parli x me sono quelle.che mi separano dal prossimo appello ( meno di 2)....
[Avendo dato un altro esame a dicembre non sto potendo fare granché, chi è in corso la prepara da ottobre ]
Vorrei farti vedere la tipologia di risposta che il prof del mio corso ci ha dato per un es simile, scusandomi x l'allegato ma è spiegato in modo troppo schematico x riscriverlo qui, e non ci riuscirei. Io, personalmente, avrei dato quantomeno un valore a.$p$ perché così non si capisce molto..
Per il resto direi che c'è simmetria perché stando ai tuoi valori anche $6<=8+3$.
Sicuramente sto sbagliando però, magari devo fare altri tentativi, visto che dell antisimmetria ne sarei più sicura, dal momento che se $m=n$ la proprietà commutativa vale a maggior ragione. ( Per favore illudimi ogni tanto con un sí xD )
Premettendo che " le poche settimane " di cui parli x me sono quelle.che mi separano dal prossimo appello ( meno di 2)....
[Avendo dato un altro esame a dicembre non sto potendo fare granché, chi è in corso la prepara da ottobre ]
Vorrei farti vedere la tipologia di risposta che il prof del mio corso ci ha dato per un es simile, scusandomi x l'allegato ma è spiegato in modo troppo schematico x riscriverlo qui, e non ci riuscirei. Io, personalmente, avrei dato quantomeno un valore a.$p$ perché così non si capisce molto..
"Myriam92":
... e nemmeno so fino a che punto ci avrei pensato...
Purtroppo non ci sono schemi fissi, occorre esperienza e occhio, i quali si affinano con l'allenamento ...
"Myriam92":
Per il resto direi che c'è simmetria perché stando ai tuoi valori anche $ 6<=8+3 $. ...
Direi di no ...prendi $n=5, m=10$, vale $nRm\ =>\ 5<=10+3$ ma non vale $mRn\ =>\ 10<=5+3$ ... fai lo stesso errore, prendi un caso particolare che è servito per dimostrare una certa cosa e lo vuoi utilizzare per dimostrarne un'altra ma niente ti garantisce che "automaticamente" funzioni ... anche per l'antisimmetria direi di no, prova a dimostrarlo tu (hint: ti basta la coppia $(6,8)$
Carina la dimostrazione del tuo prof ... come vedi per dimostrare la validità di una proprietà fa un ragionamento generale, non particolare, e d'altro canto usa un ragionamento diverso da quelli fatti da me precedentemente, a conferma che non esiste un metodo standard ... bisogna solo ragionarci un po' sopra ...
Ma può mai essere che le.Ultime due relazione solo riflessive !?!.0_0 ( anche qui mi sta venendo il dubbio, ma credo di sì essendoci il maggiore o UGUALE....)
Cmq Ho provato con uno simile a quello del prof, senza poter prendere a riferimento la sua dimostrazione perché in tal caso nn ho nessun termine noto:
$xRy = x³+y $ è pari con ogni $x,y in N$
Se il testo è vero in assoluto perché quella somma deve essere pari per definizione, allora deve essere simmetrica (o meglio la simmetria vale a prescindere dal risultato, ma se pari o dispari dipende in realtà da x e y).
( In primis infatti partirei però dal presupposto che x e y devono essere o entrambe pari o entrambe dispari affinché la loro somma sia pari, perché se l'uno pari e l'altro dispari, viceversa, la.somma nn può essere pari). Detto ciò secondo me la transitiva nn vale, proprio perché non possiamo prendere in considerazione un terzo valore z qualunque ( per restare sul generico ) che sommato a $y$ o a $z$ dia un valore pari.
Dillo che è stato un altro ragionamento inutile e sprecato
Cmq Ho provato con uno simile a quello del prof, senza poter prendere a riferimento la sua dimostrazione perché in tal caso nn ho nessun termine noto:
$xRy = x³+y $ è pari con ogni $x,y in N$
Se il testo è vero in assoluto perché quella somma deve essere pari per definizione, allora deve essere simmetrica (o meglio la simmetria vale a prescindere dal risultato, ma se pari o dispari dipende in realtà da x e y).
( In primis infatti partirei però dal presupposto che x e y devono essere o entrambe pari o entrambe dispari affinché la loro somma sia pari, perché se l'uno pari e l'altro dispari, viceversa, la.somma nn può essere pari). Detto ciò secondo me la transitiva nn vale, proprio perché non possiamo prendere in considerazione un terzo valore z qualunque ( per restare sul generico ) che sommato a $y$ o a $z$ dia un valore pari.
Dillo che è stato un altro ragionamento inutile e sprecato
"Myriam92":
$xRy = x³+y $ è pari con ogni $x,y in N$ ... Detto ciò secondo me la transitiva nn vale, proprio perché non possiamo prendere in considerazione un terzo valore z qualunque ...(
Ma non è vero che quello $z$ è "qualunque" ... esso è in relazione con $y$, quindi non sarà determinato ma non è un qualsiasi numero naturale ...
Data la definizione di "transitività" $xRy ^^ yRz\ =>\ xRz$ come hai giustamente detto, dalla verità dell'ipotesi ne consegue che $x$ e $y$ hanno la stessa parità così come $y$ e $z$ hanno la stessa parità; ma allora $z$ non è del tutto generico perché quantomeno ha la stessa parità di $y$ e di conseguenza quella di $x$ e da quest'ultimo fatto si deve concludere che $xRz$ e quindi la relazione è transitiva.
Stesso, medesimo, identico ragionamento si poteva fare per il problema del tuo prof (... ogni tanto si ripetono
)[ot]Smettila di scrivere gli esponenti in quel modo, non si vedono![/ot]
Ma appunto $z$ può essere pari come può essere dispari, e lo stesso ragionamento vale per $x$ e $y$. Se quindi la parità nn ci dovesse essere tra$ y$ e $z$, e tra $x $e $z $( perché prendiamo TUTTI i casi in esame, no!?)significa che la transitivitá nn dovrebbe sussistere secondo me
Almeno confermami che è simmetrica
[ot]non si vedono? Forse sono un po' più piccoli gli esponenti...Cmq ok, sorry![/ot]
Almeno confermami che è simmetrica
[ot]non si vedono? Forse sono un po' più piccoli gli esponenti...Cmq ok, sorry![/ot]
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