Relazioni binarie algebriche
$nRm = n÷m in N, AA n,m in N$
(N sono i numeri naturali)
È antisimmetrica : $nRm, mRn -> m=n$
Transitiva: $mRn, nRp->mRp$
Penso anche riflessiva e completa quindi di ordinamento totale ?
La seguente relazione $R$ definita in $Z : $per ogni $x,y in Z$ ($Z$= interi relativi)
$xRy = x⁴>= y⁴$
È transitiva
Antisimmetrica perché $xRy, yRX -> x=z$
Sto sbagliando qualcosa ?
Accetto ogni trucco e suggerimento
(N sono i numeri naturali)
È antisimmetrica : $nRm, mRn -> m=n$
Transitiva: $mRn, nRp->mRp$
Penso anche riflessiva e completa quindi di ordinamento totale ?
La seguente relazione $R$ definita in $Z : $per ogni $x,y in Z$ ($Z$= interi relativi)
$xRy = x⁴>= y⁴$
È transitiva
Antisimmetrica perché $xRy, yRX -> x=z$
Sto sbagliando qualcosa ?
Accetto ogni trucco e suggerimento
Risposte
Per dimostrare la transitività noi dobbiamo partire, nel caso specifico, dal supporre che $x$ e $y$ abbiano la stessa parità e che $y$ e $z$ abbiano la stessa parità, contemporaneamente; ora tu dici che la prima coppia potrebbe essere pari e la seconda dispari (o viceversa) ma ciò non è possibile dato che $y$ non può essere pari e dispari allo stesso momento ... Ok?
È simmetrica.
[ot]Son troppo piccoli così (oltre che "fuori formato"), se poi avessi un esponente "complicato" sarebbe del tutto illeggibile; io pensavo fosse un due[/ot]
È simmetrica.
[ot]Son troppo piccoli così (oltre che "fuori formato"), se poi avessi un esponente "complicato" sarebbe del tutto illeggibile; io pensavo fosse un due[/ot]
No, io nel considerare tutti i casi possibili ho ritenuto che la "coppia "$(y,z)$ ( non z singola) per esempio potesse non essere necessariamente pari-pari o dispari-dispari ma pari-dispari per esempio, per cui saltava tutto. Ma se stai dicendo che come presupposto di base non è possibile io lo prendo per buono. Il problema è che poi finisco col creare confusione con es in cui è necessaria e in cui non lo è l'esamina di tutti i casi possibili 
Se in quest'altra relazione (che ho messo in basso)mi dici che è falsa l'asserzione seguente: $R u "S $ è una relazione d equivalenza su $x$ avente tre classi di equivalenza "
vuol dire che l'esercizio è tutto giusto ( quindi impossibile)
Siano R ed S le.relazioni binarie sull'insieme $R={(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b)};S={(a,a,)(b,b)(c,c)(d,d))}$
Grazie^^
Se in quest'altra relazione (che ho messo in basso)mi dici che è falsa l'asserzione seguente: $R u "S $ è una relazione d equivalenza su $x$ avente tre classi di equivalenza "
vuol dire che l'esercizio è tutto giusto ( quindi impossibile
)Siano R ed S le.relazioni binarie sull'insieme $R={(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b)};S={(a,a,)(b,b)(c,c)(d,d))}$
Grazie^^
"Myriam92":
Ma se stai dicendo che come presupposto di base non è possibile io lo prendo per buono.
Eh no, non va bene così; non devi prenderlo per buono perché lo dico io ma perché hai capito il ragionamento logico che è stato fatto ... e un altro no va al concetto che è un "presupposto di base", perché è la "regola" con cui è definita quella relazione che esclude certe coppie ... nel caso specifico le coppie pari-dispari (o viceversa) non fanno parte della relazione semplicemente perché non ne soddisfano i requisiti (che sono $a=x^3+y$ e $a$ pari); se $x$ pari e $y$ dispari quelle condizioni NON sono rispettate (come pure il viceversa), ergo le coppie pari e dispari (e viceversa) non fanno parte di quella relazione.
Quell'asserzione è falsa ma la relazione è di equivalenza quindi perché è falsa?
Mmm c'è una sola ripartizione? Perché per come.sono disposte le coppie non credo se ne possa costituire più di una( Cmq allora relazione non transitiva, finalmente ho indovinato grazieee!!!!!!! )
Un'altra
: sia R la relazione binaria su $A ={a,b,c,d}$data da:
$R={(a,a),(b,b),(a,b),(b,c),(c,d),(d,a)}$
$2^[4] $è l'insieme delle parti e non le relazioni binarie su A secondo me;
esistono massimo 12 relazioni di equivalenza su A. pare falsa anche questa, o almeno non capisco come dovrei calcolarle.....
)Un'altra
: sia R la relazione binaria su $A ={a,b,c,d}$data da:$R={(a,a),(b,b),(a,b),(b,c),(c,d),(d,a)}$
$2^[4] $è l'insieme delle parti e non le relazioni binarie su A secondo me;
esistono massimo 12 relazioni di equivalenza su A. pare falsa anche questa, o almeno non capisco come dovrei calcolarle.....
"Myriam92":
... Se in quest'altra relazione (che ho messo in basso)mi dici che è falsa l'asserzione seguente: $R u "S $ è una relazione d equivalenza su $x$ avente tre classi di equivalenza "
L'asserzione è falsa perché le classi di equivalenza sono due (${a,b,c}$ e ${d}$) e non tre; ma è una relazione di equivalenza quindi è transitiva.
L'ultimo quesito è un miscuglio poco comprensibile ... una volta tanto potresti postare il testo originale del problema (come si fa di solito)? Grazie.
Ok!sia R la relazione binaria su $A ={a,b,c,d}$data da:
$R={(a,a),(b,b),(a,b),(b,c),(c,d),(d,a)}$
~$2^[4] $sono le relazioni binarie su A. Falsa, è l'insieme delle parti credo.
~Esistono massimo 12 relazioni di equivalenza su A. pare falsa anche questa, o almeno non capisco come dovrei calcolarle..
~esistono almeno due relazioni di equivalenza su $ A $che contengono $R$
$R={(a,a),(b,b),(a,b),(b,c),(c,d),(d,a)}$
~$2^[4] $sono le relazioni binarie su A. Falsa, è l'insieme delle parti credo.
~Esistono massimo 12 relazioni di equivalenza su A. pare falsa anche questa, o almeno non capisco come dovrei calcolarle..
~esistono almeno due relazioni di equivalenza su $ A $che contengono $R$
- $2^4$ sono gli elementi dell'insieme delle parti; quante sono le relazioni binarie su $A$ ?
- sono più di $12$ ma se non hai idea di come calcolarle perché ti pare falsa?
- cosa rispondi alla terza? e perché?
- sono più di $12$ ma se non hai idea di come calcolarle perché ti pare falsa?
- cosa rispondi alla terza? e perché?
-le relazioni binarie di A sono i suoi due insiemi impropri ( vuoto e AxA quindi2?)
-Le relazioni di equivalenza sono le partizioni possibili che possiamo creare?
-Le relazioni di equivalenza sono le partizioni possibili che possiamo creare?
Inizio a proseguire nel frattempo..
Sia R la relazione binaria su $N$( N=numeri naturali) definita dalla legge :
$nRm=[n-m]/2 in N$, con $m,n in N.$
Il quesito chiede se la relazione è di ordinamento parziale o di equivalenza.
Io opterei più per la a prima scelta, visto che penso valga la antisimmetria dato che se $m=n$ la divisione risulta $0$ che è un numero naturale; vale la riflessiva e la transitiva.
La simmetrica no perché non vale la proprietà commutativa stavolta.giusto?
Sia R la relazione binaria su $N$( N=numeri naturali) definita dalla legge :
$nRm=[n-m]/2 in N$, con $m,n in N.$
Il quesito chiede se la relazione è di ordinamento parziale o di equivalenza.
Io opterei più per la a prima scelta, visto che penso valga la antisimmetria dato che se $m=n$ la divisione risulta $0$ che è un numero naturale; vale la riflessiva e la transitiva.
La simmetrica no perché non vale la proprietà commutativa stavolta.giusto?
"Myriam92":
-le relazioni binarie di A sono i suoi due insiemi impropri ( vuoto e AxA quindi2?)
-Le relazioni di equivalenza sono le partizioni possibili che possiamo creare?
Premessa necessaria: su questi argomenti ho solo conoscenze, diciamo così, di base, quindi prendi con le molle ciò che dico ...
- le relazioni di equivalenza sono un caso particolare di relazione, quindi mi potresti spiegare in che modo le relazioni di equivalenza siano di più di tutte le relazioni nel loro complesso? Per inciso, queste sono le domande di verifica che dovresti farti ...
- una relazione binaria sull'insieme $A$ viene definita (anche) come un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A xx A$, perciò se sei in grado di calcolare il numero di sottoinsiemi di $A xx A$ sai anche quante relazioni binarie puoi formare; isn't it?
- ogni relazione di equivalenza su un insieme $A$ partiziona l'insieme in classi (ovvero sottoinsiemi disgiunti la cui unione "forma" $A$); io partirei da qui per contarle ... ad esempio se $A={a,b,c,d}$ allora una partizione in classi è data dall'unica classe formata da $(a,b,c,d)$, un'altra partizione in classi è data dalle quattro classi $(a),(b),(c),(d)$, un'altra ancora è $(a,b),(c,d)$ ma anche $(a,c),(b,d)$ e così via ... prova a contarle tutte ...
Sia R la relazione binaria su $N$( N=numeri naturali) definita dalla legge :
$nRm=[n-m]/2 in N$, con $m,n in N.$
Supposto che lo zero sia compreso (in altri esempi precedenti non lo era ma ciò non è vincolante), è riflessiva, non è simmetrica (in generale la coppia simmetrica è negativa), è transitiva (sempre per il discorso pari-pari o dispari-dispari), è antisimmetrica.
Non ti preoccupare, da quello che hai visto avrai intuito che la difficoltà non è eccessiva 
- le relazioni binarie per definizione sono un qualunque sottoinsieme di AxA, quindi non so se basta considerare qst solo prodotto composto da 10 coppie di valori risultanti ( questa domanda cmq.non c'è , la stiamo ponendo noi )
- si, grazie al tuo input mi sono accorta che abbiamo mooooolto più di 12 relazioni di equivalenza ! ( R.di eq. Su A che contengono R, non so esattamente cosa significhi, x sicurezza però le ho cercate tutte e sono 25?)
- le relazioni binarie per definizione sono un qualunque sottoinsieme di AxA, quindi non so se basta considerare qst solo prodotto composto da 10 coppie di valori risultanti ( questa domanda cmq.non c'è , la stiamo ponendo noi
)- si, grazie al tuo input mi sono accorta che abbiamo mooooolto più di 12 relazioni di equivalenza ! ( R.di eq. Su A che contengono R, non so esattamente cosa significhi, x sicurezza però le ho cercate tutte e sono 25?)
Poi sto vendendo degli esercizi con soluzione ma senza dimostrazione:
Sia $R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e)$ la relazione binaria su $A={a,b,c,d,e}$.
In questo la risposta vera è: R è una relazione di ordinamento parziale.
Intanto come dovrei dimostrarne la transitivitá?
$aRa, bRb -> cRc $ ? (È diverso dal solito quindi non vorrei che sbaglio )
E l antisimmetria?
$aRa, bRb-> a=c$? ( Che eventualmente non saprei come dimostrare per quale motivo non è simmetrica).
Altro dubbio nel dubbio: R non ha 5 classi? Quindi non dovrebbe essere automaticamente una relazione di equivalenza??
Grazie^^
Sia $R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e)$ la relazione binaria su $A={a,b,c,d,e}$.
In questo la risposta vera è: R è una relazione di ordinamento parziale.
Intanto come dovrei dimostrarne la transitivitá?
$aRa, bRb -> cRc $ ? (È diverso dal solito quindi non vorrei che sbaglio )
E l antisimmetria?
$aRa, bRb-> a=c$? ( Che eventualmente non saprei come dimostrare per quale motivo non è simmetrica).
Altro dubbio nel dubbio: R non ha 5 classi? Quindi non dovrebbe essere automaticamente una relazione di equivalenza??
Grazie^^
"Myriam92":
- le relazioni binarie per definizione sono un qualunque sottoinsieme di AxA,
Qui ci siamo ...
"Myriam92":
... quindi non so se basta considerare qst solo prodotto composto da 10 coppie di valori risultanti ( questa domanda cmq.non c'è , la stiamo ponendo noi
Qui non si è capito niente ...
Se una relazione binaria su $A$ è un qualunque sottoinsieme di $A xx A$ basta contare quanti sono i sottoinsiemi di quest'ultimo per sapere quante sono le relazioni, no?
Se l'insieme $A$ è composto da quattro elementi, l'insieme $A xx A$ sarà composto da $16$ elementi e i suoi sottoinsiemi saranno $2^16$ ... parecchi ...
È vero che non c'era questa domanda tra quelle proposte ma se ti viene chiesto (come hai scritto) se le relazioni binarie su quell'insieme sono pari a $2^4$ come fai a rispondere se non sai come calcolarle?
Per quanto riguarda la quantità delle relazioni di equivalenza su un insieme $A$ con $4$ elementi, penso di poter dire (ma non ne sono sicuro affatto ...
) che siano $15$ cioè $2^n-1$ ... "Myriam92":
... ( R.di eq. Su A che contengono R, non so esattamente cosa significhi,
Abbiamo detto che una relazione è un insieme, $R$ è un insieme, quindi si tratta di trovare quanti sono gli insiemi che contengano quell'insieme $R$ e contemporaneamente siano anche relazioni di equivalenza.
L'insieme $R$ non è una relazione di equivalenza perciò per renderlo tale devi aggiungere delle coppie ...
"Myriam92":
Sia $R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e)$ la relazione binaria su $A={a,b,c,d,e}$.
È riflessiva (per ogni elemento di $A$ vale $xRx$)
È simmetrica (dato che tutte le coppie sono nella forma $(x,x)$ allora è "automaticamente" verificata $yRx$ se $xRy$)
È transitiva (per lo stesso motivo è ovvio che se $xRy$ e $yRz$ allora $xRz$)
È antisimmetrica (vedi sopra ... se $xRy$ e $yRx$ allora $x=y$)
Trai le conclusioni ...
$2^[n]-1$ è una formula standard x trovare il numero di relazioni di equivalenza????*.* Che però in tal caso ,da quel che ho capito , valgono solo su A senza contenere R?!.....
Scusami ma l'ultima come può essere simmetrica e antisimmetrica assieme? Che io sappia l'una esclude l'altra.....
Scusami ma l'ultima come può essere simmetrica e antisimmetrica assieme? Che io sappia l'una esclude l'altra.....
"Myriam92":
$2^[n]-1$ è una formula standard x trovare il numero di relazioni di equivalenza????*.*
Ti ho risposto qui
"axpgn":
... penso di poter dire (ma non ne sono sicuro affatto ...
"Myriam92":
... Che però in tal caso ,da quel che ho capito , valgono solo su A senza contenere R?!.....
È faticoso starti dietro, continui a mescolare argomenti, esercizi, problemi ... in quell'esercizio c'erano tre quesiti, uno era questo
"Myriam92":e a questo mi riferivo non a quello dopo ...
~Esistono massimo 12 relazioni di equivalenza su A. pare falsa anche questa, o almeno non capisco come dovrei calcolarle..
"Myriam92":
Scusami ma l'ultima come può essere simmetrica e antisimmetrica assieme? Che io sappia l'una esclude l'altra.....
Dimostrami che ho torto, cosi ti eserciti ...
Riguardo la formula "standard" mi eri sembrato ironico
Quindi l'opzione di risposta successiva:
esistono almeno due relazioni di equivalenza su $A$ CHE CONTENGONO $R$. È vera?
Io non sto capendo se le 15 relazioni di equivalenza su $A$ che abbiamo calcolato contengono $R$ oppure no. Mi sono scritta le combinazioni ad una ad una e pare di sì.
(Credimi, anch'io faccio fatica a stare dietro a questi esercizi. Ma se tu a differenza mia te la cavi così bene, starmi dietro non dovresti trovarlo molto difficoltoso ad ogni modo ti chiedo scusa 
, è che avevo fatto confusione.. )
Cmq il fatto che la simmetria escluda l'antisimmetria, è un semplice appunto che mi è rimasto dalle lezioni del prof privato, nemmeno sul libro è scritto! mi eserciterei volentieri ma non saprei come, quindi onde evitare l'ennesima figuraccia passo la parola direttamente alla "mano della verità "
Grazie ancora.
Quindi l'opzione di risposta successiva:
esistono almeno due relazioni di equivalenza su $A$ CHE CONTENGONO $R$. È vera?
Io non sto capendo se le 15 relazioni di equivalenza su $A$ che abbiamo calcolato contengono $R$ oppure no. Mi sono scritta le combinazioni ad una ad una e pare di sì.
(Credimi, anch'io faccio fatica a stare dietro a questi esercizi. Ma se tu a differenza mia te la cavi così bene, starmi dietro non dovresti trovarlo molto difficoltoso
ad ogni modo ti chiedo scusa , è che avevo fatto confusione.. )Cmq il fatto che la simmetria escluda l'antisimmetria, è un semplice appunto che mi è rimasto dalle lezioni del prof privato, nemmeno sul libro è scritto! mi eserciterei volentieri ma non saprei come, quindi onde evitare l'ennesima figuraccia passo la parola direttamente alla "mano della verità "
Grazie ancora.
"Myriam92":
Riguardo la formula "standard" mi eri sembrato ironico
È vero che sono $15$ in questo caso (almeno così mi pare ...
) ma non è vero che siano sempre $2^n-1$ (p.es. con $n=3$ dovrebbero essere $7$ ed invece sono $5$: $A={a,b,c}$ genera queste partizioni $(a,b,c)$, $[(a,b),(c)]$, $[(a,c),(b)]$, $[(b,c),(a)]$ e $(a),(b),(c)$)"Myriam92":
... esistono almeno due relazioni di equivalenza su $ A $ CHE CONTENGONO $ R $. È vera?
Per me no, ne esiste solo una che contiene $R$ e ti spiego il mio "percorso" ...
La relazione è questa $R={(a,a),(b,b),(a,b),(b,c),(c,d),(d,a)}$ e questo $A ={a,b,c,d}$ è l'insieme su cui si basa ...
$R$ contiene $6$ elementi.
Non è riflessiva, per renderla tale devo aggiungere $(c,c)$ e $(d,d)$, giusto? (Ho aggiunto due elementi)
Non è simmetrica, per renderla tale devo aggiungere $(b,a), (c,b), (d,c)$ e $(a,d)$, giusto? (Ho aggiunto quattro elementi)
Non è transitiva, per renderla tale devo aggiungere $(a,c), (b,d), (c,a), (d,b)$, ok? (Ho aggiunto quattro elementi)
Con queste aggiunte la mia relazione adesso è di equivalenza ma contiene $16$ elementi cioè tutti gli elementi di $A xx A$, ed è quindi l'unica che può contenere $R$ (per averne una diversa dovrei aggiungere o togliere elementi ma se tolgo non è più di equivalenza e d'altro canto non c'è più niente da aggiungere ...)
"Myriam92":
... è che avevo fatto confusione..
Devi sforzarti di esser più ordinata, la confusione non ti aiuta di certo ...
"Myriam92":
Cmq il fatto che la simmetria escluda l'antisimmetria, è un semplice appunto che mi è rimasto dalle lezioni del prof privato,
In generale è vero, ma in questo particolare caso non è così ... IMHO ...
Ok, il motivo per cui quella asserzione non era vera l'ho capito. Quindi $R$ non è neppure antisimmetrica, giusto?
Riguardo l'esercizio successivo, che ha praticamente tutte le relazioni verificate, cosa ne devo dedurre ? Che è una relazione sia di equivalenza che di ordinamento? Può essere ?
Riguardo l'esercizio successivo, che ha praticamente tutte le relazioni verificate, cosa ne devo dedurre ? Che è una relazione sia di equivalenza che di ordinamento? Può essere ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo