Proprietà distributiva del prodotto cartesiano

[Chiò1]

Ciao ragazzi, avrei un quesito molto semplice da proporvi ma a cui non trovo una soluzione da solo. Si indichi con H=testa e con T croce, O= (H,T) sto svolgendo un esercizio in cui arrivo a questo passo:
$(H∩ O)\times(O∩ T) = (H\times(H,T)) ∩ ((H,T)\times(T))$

qualcuno mi dice come arrivo al membro di destra? Io ho applicato la proprietà distributiva del prodotto cartesiano ma la forma che ottengo è $(H\times(H,T)) ∩ (T))$ dove sbaglio?
Ps. ho adottato una scrittura snella per semplicità omettendo qualche parentesi.

[G.D.5]

Giusto per chiarire:
• \( \displaystyle ( H \cap O ) \cdot ( O \cap T ) \) indica il prodotto cartesiano di \( \displaystyle H \cap O \) per \( \displaystyle O \cap T \), cioè quello che solitamente si indica con \( \displaystyle ( H \cap O ) \times ( O \cap T ) \)?
• \( O = (H,T) \) cos'è?

[Chiò1]

Sì si tratta del prodotto cartesiano, ora sistemo. O sarebbe lo spazio campionario relativo al lancio di una moneta, che contiene quindi gli eventi testa e croce.

[G.D.5]

Quindi stiamo facendo calcolo delle probabilità?

P.S.
Il comando per il prodotto cartesiano è \times

[Chiò1]

esatto

[G.D.5]

E qual è la traccia dell'esercizio?

[Chiò1]

Devo dimostrare che due eventi sono tra loro indipendenti, praticamente mi manca solo quel passaggio e ho risolto; secondo me applica la proprietà distributiva del prodotto cartesiano però non capisco perché risulta quella forma che ho riportato.

[Chiò1]

Devo dimostrare che $(H) \times (T) = ((H,H),(H,T) ∩ (H,T),(T,T))$

[G.D.5]

E cosa sono \( (H,H) \) e \( (T,T) \)?
Ripeto: qual è la traccia?
Potrei sbagliarmi ma non credo che bastino le proprietà del prodotto cartesiano per giustificare quell'uguaglianza.

[Chiò1]

Traccia: Si scelga $O_1 = O_2$ sicché $O = {H,T}$ dove H sta per l'esito testa nel lancio di una moneta e T sta per croce. Si modellizzi l'esperimento combinato di lanciare due volte una moneta tramite: $(O\timesO, 2^(O\timesO))$. Si estragga (H,T) che appartiene a OxO e si definisca: $P_(1,2) (H,T) = P_(1,2)({ H}\times{ T}) := P({ H})*P({ T})$.
Si dimostri che ${ H} \times { T} = { (H,H),(H,T)} ∩ { (H,T),(T,T)}$

[Chiò1]

Si procede così:
Si riscrive HxT come prodotto cartesiano fra l'intersezione di H e O e l'intersezione di O e T (vedi primo messaggio).
Poi devo passare alla forma che non riesco ad ottenere e da lì è tutta discesa perché praticamente è fatta.

[G.D.5]

Probabilmente sono io... ma io queste notazioni non le capisco proprio.
Vediamo se interviene qualcun'altro.

[Chiò1]

Ho sistemato ulteriormente il messaggio dove ho postato la traccia indicando tutte le parentesi magari risulta più chiaro da interpretare...

[Antimius]

"Chiò":Si dimostri che ${ H} \times { T} = { (H,H),(H,T)} ∩ { (H,T),(T,T)}$

Se questo è quello che devi dimostrare, hai semplicemente che $\{H\} \times \{T\} = \{(H,T)\} = \{(H.H),(H,T)\} \cap \{ (H,T),(T,T) \}$

[Chiò1]

Non capisco allora perché vengano usati quei due passaggi che ho messo io nello svolgimento. Però se mi dici che questa risoluzione è equivalente non mi complico la vita ed adotto questa!

[garnak.olegovitc1]

in questo caso semplice, tu hai

\(Set_1:=\{H\}\times\{T\}\) ovvero \(\{(H,T)\}\)

\(Set_2:=(\{H\}\times\{H,T\}) \cap (\{H,T\} \times \{T\}\) ovvero \(\{(H,H),(H,T)\}\cap\{(H,T),(T,T)\}=\{(H,T)\}\)

ergo \(Set_1=Set_2\) per le proprietá di uguaglinza tra insiemi ovvero \(\{H\}\times\{T\}=(\{H\}\times\{H,T\}) \cap (\{H,T\} \times \{T\})\)

Ora se vuoi dei passaggi un po piú "algebrici" bhé penso che si potrebbe anche ma ti complicheresti la vita inutilmente

[Antimius]

Forse voleva mostrare il procedimento con cui si arriva a quel risultato (senza già conoscerlo). In ogni caso, hai che $$(H \cap \{H,T\} ) \times (\{H,T\} \cap T) = H \times \{H,T\} \cap \{H,T\} \times T = \{(H,H),(H,T) \} \cap \{(H,T), (T,T) \}$$
dove la prima uguaglianza è dovuta al fatto che $(X \cap Y) \times (Z \cap W) = X \times Z \cap Y \times W$

[Chiò1]

"Antimius":Forse voleva mostrare il procedimento con cui si arriva a quel risultato (senza già conoscerlo). In ogni caso, hai che $$(H \cap \{H,T\} ) \times (\{H,T\} \cap T) = H \times \{H,T\} \cap \{H,T\} \times T = \{(H,H),(H,T) \} \cap \{(H,T), (T,T) \}$$
dove la prima uguaglianza è dovuta al fatto che $(X \cap Y) \times (Z \cap W) = X \times Z \cap Y \times W$

Perfetto era proprio quello che cercavo io! La proprietà $(X \cap Y) \times (Z \cap W) = X \times Z \cap Y \times W$ è la proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto l'intersezione?

[vict85]

La tua notazione non è molto comprensibile.

Se ho capito bene vuoi dimostrare che \(\displaystyle (A\cap C)\times(C\cap B) = (A\times C)\cap (C\times B) \). Corretto? Se vuoi porre una domanda puramente insiemistica non aggiungere informazioni e notazioni che non c'entrano nulla.

In ogni caso non è altro che la definizione di intersezione sul prodotto cartesiano. Detto questo, la dimostrazione non è complicata. Infatti valgono le seguenti inclusioni \(\displaystyle (A\cap C)\times(C\cap B) \subset (A\times C) \) e \(\displaystyle (A\cap C)\times(C\cap B) \subset (C\times B) \), ovvero si ha che \(\displaystyle (A\cap C)\times(C\cap B) \subseteq (A\times C)\cap (C\times B) \). La inclusione inversa la si dimostra osservando che se \(\displaystyle (x,y)\in (A\times C)\cap (C\times B) \) allora \(\displaystyle (x,y)\in (A\times C) \) e \(\displaystyle (x,y)\in (C\times B) \) ovvero che \(\displaystyle x \) è sia in \(\displaystyle A \) che in \(\displaystyle C \) e che \(\displaystyle y \) è sia in \(\displaystyle C \) che in \(\displaystyle B \).

[Chiò1]

La notazione è delle mie dispense di probabilità. Comunque tutto quello che mi premeva sapere era se esistesse qualche proprietà che mi consentiva di giustificare quel passaggio, e a quanto ho letto dalle vostre risposte esiste ed è quella da voi riportata. Ora vorrei solo capire se si tratta banalmente della proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all'intersezione o se ha un altro nome. Ti ringrazio per la dimostrazione, arricchirà la mia risposta, ma non l'ho capita molto

[Antimius]

"Chiò":[quote="Antimius"]Forse voleva mostrare il procedimento con cui si arriva a quel risultato (senza già conoscerlo). In ogni caso, hai che $$(H \cap \{H,T\} ) \times (\{H,T\} \cap T) = H \times \{H,T\} \cap \{H,T\} \times T = \{(H,H),(H,T) \} \cap \{(H,T), (T,T) \}$$
dove la prima uguaglianza è dovuta al fatto che $(X \cap Y) \times (Z \cap W) = X \times Z \cap Y \times W$

Perfetto era proprio quello che cercavo io! La proprietà $(X \cap Y) \times (Z \cap W) = X \times Z \cap Y \times W$ è la proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto l'intersezione?[/quote]

Sì, vale quella proprietà per l'intersezione.