Proprietà delle relazioni binarie
Sperando di non essere nuovamente O.T. (penso sia categoria "logica"), i miei dubbi sono:
1) sia A= (a,b,c,d) ed R la relazione su A definita da R= [(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (d,d)]. R non è transitiva perchè aRb->b nonR c quindi a non lo sarà con c. E' corretta?
2) sia A= (a,b,c,d) ed R la relazione su A definita da R= [(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (b,c), (c,b)]. Idem, non è transitiva (ma simmetrica e riflessiva sì) perchè ad es. bRc ma c nonR con d, dico giusto? Grazie!
1) sia A= (a,b,c,d) ed R la relazione su A definita da R= [(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (d,d)]. R non è transitiva perchè aRb->b nonR c quindi a non lo sarà con c. E' corretta?
2) sia A= (a,b,c,d) ed R la relazione su A definita da R= [(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (b,c), (c,b)]. Idem, non è transitiva (ma simmetrica e riflessiva sì) perchè ad es. bRc ma c nonR con d, dico giusto? Grazie!
Risposte
Sei un po' confusa... La transitività richiede che $ AA a,b,c $ appartenenti ad A, $ aRb $ e $ bRc rArr aRc $.
L'unico caso in cui l'implicazione è falsa, che permette di asserire che la relazione non sia transitiva, è che aRb e bRc ma a non è in relazione con c. In tutti gli altri casi l'implicazione è vera, e la transitività viene preservata.
Ad esempio non è detto che se aRb allora a deve essere in relazione con c, ma quest'ultima relazione deve essere vera se anche b è in relazione con c.
Per esempio nel primo insieme, aRb e bRa implica aRa, il resto sono relazioni identiche per cui aRa e aRa implica aRa ecc.
Quindi la relazione di transitività vale eccome!
Prova a risvolgere anche il secondo esercizio sotto questa luce.
L'unico caso in cui l'implicazione è falsa, che permette di asserire che la relazione non sia transitiva, è che aRb e bRc ma a non è in relazione con c. In tutti gli altri casi l'implicazione è vera, e la transitività viene preservata.
Ad esempio non è detto che se aRb allora a deve essere in relazione con c, ma quest'ultima relazione deve essere vera se anche b è in relazione con c.
Per esempio nel primo insieme, aRb e bRa implica aRa, il resto sono relazioni identiche per cui aRa e aRa implica aRa ecc.
Quindi la relazione di transitività vale eccome!
Prova a risvolgere anche il secondo esercizio sotto questa luce.
Io la proprietà transitiva la scriverei così:
Se dati $aRb$ e $bRc$ esiste anche $aRc$ con $a, b, c in A$ allora $R$ è transitiva.
La prima relazione è transitiva ma c'è qualche caso in più da discutere ... IMHO
Se dati $aRb$ e $bRc$ esiste anche $aRc$ con $a, b, c in A$ allora $R$ è transitiva.
La prima relazione è transitiva ma c'è qualche caso in più da discutere ... IMHO
"Asdrubale8":
Sei un po' confusa... La transitività richiede che $ AA a,b,c $ appartenenti ad A, $ aRb $ e $ bRc rArr aRc $.
L'unico caso in cui l'implicazione è falsa, che permette di asserire che la relazione non sia transitiva, è che aRb e bRc ma a non è in relazione con c. In tutti gli altri casi l'implicazione è vera, e la transitività viene preservata.
Ad esempio non è detto che se aRb allora a deve essere in relazione con c, ma quest'ultima relazione deve essere vera se anche b è in relazione con c.
Per esempio nel primo insieme, aRb e bRa implica aRa, il resto sono relazioni identiche per cui aRa e aRa implica aRa ecc.
Quindi la relazione di transitività vale eccome!
Prova a risvolgere anche il secondo esercizio sotto questa luce.
Quindi l'asserzione per essere falsa, solo la sua conseguenza deve essere non vera?! Ad ogni modo grazie per il suggerimento, non pensavo si potesse verificare la relazione anche in assenza di un terzo elemento C!
"Asdrubale8":
Sei un po' confusa... La transitività richiede che $ AA a,b,c $ appartenenti ad A, $ aRb $ e $ bRc rArr aRc $.
L'unico caso in cui l'implicazione è falsa, che permette di asserire che la relazione non sia transitiva, è che aRb e bRc ma a non è in relazione con c. In tutti gli altri casi l'implicazione è vera, e la transitività viene preservata.
Ad esempio non è detto che se aRb allora a deve essere in relazione con c, ma quest'ultima relazione deve essere vera se anche b è in relazione con c.
Per esempio nel primo insieme, aRb e bRa implica aRa, il resto sono relazioni identiche per cui aRa e aRa implica aRa ecc.
Quindi la relazione di transitività vale eccome!
Prova a risvolgere anche il secondo esercizio sotto questa luce.
Quindi il secondo insieme sarebbe: bRc, cRb quindi bRb? Io rifacendomi alla teoria nn avrei mai potuto pensare di adottare questi metodi di ragionamento....Se non esiste una regola standard da poter seguire si esce pazzi....
In questo tipo di esercizi la "regola standard" esiste: consiste nell'usare la definizione.
Purtroppo se non si premettono alcune nozioni di Logica Matematica, occorre dare le definizioni nel linguaggio naturale, che genera ambiguità.
Purtroppo se non si premettono alcune nozioni di Logica Matematica, occorre dare le definizioni nel linguaggio naturale, che genera ambiguità.
"G.D.":
In questo tipo di esercizi la "regola standard" esiste: consiste nell'usare la definizione.
Purtroppo se non si premettono alcune nozioni di Logica Matematica, occorre dare le definizioni nel linguaggio naturale, che genera ambiguità.
Sono infatti certa che non appena vedrò qualcosa di leggermente diverso sbaglierò di nuovo...Grazie mille!
Ma l'hai data un'occhiata al mio post? Dice cose diverse da quello di Asdrubale, le hai notate oppure ti sembra la stessa cosa?
Quello che intendo dire è che se riesci a cogliere le differenze allora sei sulla buona strada ...
Quello che intendo dire è che se riesci a cogliere le differenze allora sei sulla buona strada ...
"axpgn":
Ma l'hai data un'occhiata al mio post? Dice cose diverse da quello di Asdrubale, le hai notate oppure ti sembra la stessa cosa?
Quello che intendo dire è che se riesci a cogliere le differenze allora sei sulla buona strada ...
Mmm io mi sono soffermata solo sul provare a risolvere la seconda relazione nella stessa modalità di asdrubale, non saprei che altro aggiungere, qualunque altro consiglio è sempre ben accetto
è solo uno tra i primi argomenti del programma di matematica generale, ma i dubbi e le perplessità non finiscono mai 
"Myriam92":
[quote="Asdrubale8"]Sei un po' confusa... La transitività richiede che $ AA a,b,c $ appartenenti ad A, $ aRb $ e $ bRc rArr aRc $.
L'unico caso in cui l'implicazione è falsa, che permette di asserire che la relazione non sia transitiva, è che aRb e bRc ma a non è in relazione con c. In tutti gli altri casi l'implicazione è vera, e la transitività viene preservata.
Ad esempio non è detto che se aRb allora a deve essere in relazione con c, ma quest'ultima relazione deve essere vera se anche b è in relazione con c.
Per esempio nel primo insieme, aRb e bRa implica aRa, il resto sono relazioni identiche per cui aRa e aRa implica aRa ecc.
Quindi la relazione di transitività vale eccome!
Prova a risvolgere anche il secondo esercizio sotto questa luce.
Quindi il secondo insieme sarebbe: bRc, cRb quindi bRb? Io rifacendomi alla teoria nn avrei mai potuto pensare di adottare questi metodi di ragionamento....Se non esiste una regola standard da poter seguire si esce pazzi....[/quote]
In conclusione: sono entrambe le relazioni riflessive, simmetriche e anche transitive. Quindi possiamo dedurre che di tratta di relazioni di equivalenza???
Sì: sono entrambe relazioni di equivalenza.
Grazie per la risposta!:)
Prego.
sia $ A= (a,b,c,d) $ ed $R$ la relazione su $A$ definita da $R={(a,a), (b,b), (c,c), (d,d) (b,c) (c,b), (cd), (d,c)}$.
Alla luce di quanto suddetto, è una relazione d'equivalenza?
- la proprietà riflessiva è verificata perché ogni elemento è in relazione con se stesso;
- la simmetrica anche: $ bRc -> cRb$;
- la transitiva $ bRc , cRb -> bRb$
...........grazie
Alla luce di quanto suddetto, è una relazione d'equivalenza?
- la proprietà riflessiva è verificata perché ogni elemento è in relazione con se stesso;
- la simmetrica anche: $ bRc -> cRb$;
- la transitiva $ bRc , cRb -> bRb$
...........grazie
"axpgn":
Io la proprietà transitiva la scriverei così:
Se dati $aRb$ e $bRc$ esiste anche $aRc$ con $a, b, c in A$ allora $R$ è transitiva.
Potrebbe essere equivalente alla definizione usuale se un attimo chiarisci cosa e come vengono quantificati \(a,b,c\) perché così non è chiaro
@Myriam92, il trucco se così possiamo chiamarlo è capire come si usa la def. con qualche esempio banale anche se tutta la verità sta nel ruolo e di come funziona l implicazione materiale (e siamo solo il questi semplici casi; una relazione può essere molto altro ancora quindi fai prima a capire come funzionano le def. ove compaiono le implicazioni)
"garnak.olegovitc":
Potrebbe essere equivalente alla definizione usuale se un attimo chiarisci cosa e come vengono quantificati \(a,b,c\) perché così non è chiaro
chiarire? in che senso?.....
"Myriam92":
sia $ A= (a,b,c,d) $ ed $R$ la relazione su $A$ definita da $R={(a,a), (b,b), (c,c), (d,d) ,(b,c) (c,b), (c,d), (d,c)}$.
Alla luce di quanto suddetto, è una relazione d'equivalenza?
- la proprietà riflessiva è verificata perché ogni elemento è in relazione con se stesso;
- la simmetrica anche: $ bRc -> cRb$;
- la transitiva $ bRc , cRb -> bRb$
Rilfessiva, ok!
Simmetrica, hai \((b,c) \in R \to (c,b)\in R\) come anche \((c,d) \in R\to (d,c) \in R\), ok!
Transitiva, guarda meglio!! (non basta che sia vera per un solo caso)
"Myriam92":
[quote="garnak.olegovitc"]
Potrebbe essere equivalente alla definizione usuale se un attimo chiarisci cosa e come vengono quantificati \(a,b,c\) perché così non è chiaro
chiarire? in che senso?.....[/quote]
nel senso che non si capisce su cosa e come quantifica, sulle coppie o sugli elementi delle coppie? Questo dovrebbe dirlo comunque axpgn
p.s.=sappi che in generale per verificare se una relazione \(R\) é di equivalenza basta che sia simmetrica e transitiva sul campo di \(R\) (over per campo di \(R\) si intende \(\operatorname{dom}(R) \cup \operatorname{cod}(R)\), che in questo caso é uguale al tuo insieme \(A\)) (se vuoi toglierti tutti i dubbi, consulta, e sará la centesima volta che lo consiglio a qualcuno, il testo "Axiomatic Set Theory" di P. Suppes al capitolo 3, porta pure qualche esempio)
@garnak.olegovitc
Premesso che ho postato quella definizione perché volevo precisare quanto detto da Asdrubale (che aveva scritto che "per ogni $a, b,$ e $c$", il che non è vero e a quello mi riferivo), sinceramente non ho capito cosa dovrei chiarire ... ho precisato che i tre elementi $a, b, c$ appartengono ad $A$ e quindi non appartengono a $A\ xx\ A$ di cui la relazione è un sottoinsieme ...
Premesso che ho postato quella definizione perché volevo precisare quanto detto da Asdrubale (che aveva scritto che "per ogni $a, b,$ e $c$", il che non è vero e a quello mi riferivo), sinceramente non ho capito cosa dovrei chiarire ... ho precisato che i tre elementi $a, b, c$ appartengono ad $A$ e quindi non appartengono a $A\ xx\ A$ di cui la relazione è un sottoinsieme ...
@axpgn,
sará stato quel "esiste" che mi ha fatto pensare a male allora... quindi non volevi formalizzare una cosa del genere \( \forall x,y,z \in A:( \exists i,j: ((x,y)=i\in R \ni j=(y,z)) \to \exists k:( k=(x,z) \in R))\) ?? Se no, allora quantificavi esistenzialmente sulle componenti delle coppie ordinate, o quel "esiste" traduce altro? Semplice curiositá
sará stato quel "esiste" che mi ha fatto pensare a male allora... quindi non volevi formalizzare una cosa del genere \( \forall x,y,z \in A:( \exists i,j: ((x,y)=i\in R \ni j=(y,z)) \to \exists k:( k=(x,z) \in R))\) ?? Se no, allora quantificavi esistenzialmente sulle componenti delle coppie ordinate, o quel "esiste" traduce altro? Semplice curiositá
No, quella è la definizione di Asdrubale (così come io l'ho interpretata) che ho cercato di precisare ...
Io intendevo dire che se le coppie $(a,b)$ e $(b,c)$ appartengono alla relazione affinché questa sia transitiva anche la coppia $(a,c)$ deve appartenere alla relazione.
Io intendevo dire che se le coppie $(a,b)$ e $(b,c)$ appartengono alla relazione affinché questa sia transitiva anche la coppia $(a,c)$ deve appartenere alla relazione.
"axpgn":
Io intendevo dire che se le coppie $(a,b)$ e $(b,c)$ appartengono alla relazione affinché questa sia transitiva anche la coppia $(a,c)$ deve appartenere alla relazione.
Quindi dici che non è transitiva?...
Io nn capisco perché si dimostra la transitivitá con ( in generale) $aRb, bRa, ->aRa$. Ma scusate posso veramente concludere la relazione transitiva con la riflessiva!?
Che rabbia sto argomento, pare babbo e poi in confronto i limiti sono più "facili"
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