Proprietà delle relazioni binarie
Sperando di non essere nuovamente O.T. (penso sia categoria "logica"), i miei dubbi sono:
1) sia A= (a,b,c,d) ed R la relazione su A definita da R= [(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (d,d)]. R non è transitiva perchè aRb->b nonR c quindi a non lo sarà con c. E' corretta?
2) sia A= (a,b,c,d) ed R la relazione su A definita da R= [(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (b,c), (c,b)]. Idem, non è transitiva (ma simmetrica e riflessiva sì) perchè ad es. bRc ma c nonR con d, dico giusto? Grazie!
1) sia A= (a,b,c,d) ed R la relazione su A definita da R= [(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (d,d)]. R non è transitiva perchè aRb->b nonR c quindi a non lo sarà con c. E' corretta?
2) sia A= (a,b,c,d) ed R la relazione su A definita da R= [(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (b,c), (c,b)]. Idem, non è transitiva (ma simmetrica e riflessiva sì) perchè ad es. bRc ma c nonR con d, dico giusto? Grazie!
Risposte
Yes!
OK. Non è antisimmetrica.
$aRb -> bRa$ quindi simmetrica?
È simmetrica ma non devi fare il controllo solo per la coppia \( \displaystyle (a,b) \).
Data una relazione binaria \( \displaystyle \mathfrak{R} \) su un insieme \( \displaystyle S \), questa è simmetrica se e solo se, per definizione, \( \displaystyle \forall a, b \in S, a \mathfrak{R} b \implies b \mathfrak{R} a \) oppure, il che è lo stesso, esprimendosi in termini di coppie ordinate, se e solo se \( \displaystyle \forall a, b \in S, (a,b) \in \mathfrak{R} \implies (b,a) \in \mathfrak{R} \).
I termini \( \displaystyle a \) e \( \displaystyle b \) devono variare entrambi su tutto l'insieme \( \displaystyle S \), quindi per verificare se una relazione (costituita da un numero finito e "umano" di coppie ordinate) è simmetrica si deve prendere la relazione in questione, si devono passare in rassegna le sue coppie ordinate a mo' di elenco e per ogni coppia che si incontra si deve controllare se è presente anche la coppia che si ottiene scambiando di posto la prima coordinata della coppia incontrata con la seconda. Se tale verifica ha esito positivo allora la relazione è simmetrica; se, invece, si incappa in (anche solo) una coppia tale per cui scambiando di posto la prima coordinata con la seconda si ottiene una coppia che non fa parte della relazione, allora la verifica ha esito negativo e la relazione non è simmetrica.
Data una relazione binaria \( \displaystyle \mathfrak{R} \) su un insieme \( \displaystyle S \), questa è simmetrica se e solo se, per definizione, \( \displaystyle \forall a, b \in S, a \mathfrak{R} b \implies b \mathfrak{R} a \) oppure, il che è lo stesso, esprimendosi in termini di coppie ordinate, se e solo se \( \displaystyle \forall a, b \in S, (a,b) \in \mathfrak{R} \implies (b,a) \in \mathfrak{R} \).
I termini \( \displaystyle a \) e \( \displaystyle b \) devono variare entrambi su tutto l'insieme \( \displaystyle S \), quindi per verificare se una relazione (costituita da un numero finito e "umano" di coppie ordinate) è simmetrica si deve prendere la relazione in questione, si devono passare in rassegna le sue coppie ordinate a mo' di elenco e per ogni coppia che si incontra si deve controllare se è presente anche la coppia che si ottiene scambiando di posto la prima coordinata della coppia incontrata con la seconda. Se tale verifica ha esito positivo allora la relazione è simmetrica; se, invece, si incappa in (anche solo) una coppia tale per cui scambiando di posto la prima coordinata con la seconda si ottiene una coppia che non fa parte della relazione, allora la verifica ha esito negativo e la relazione non è simmetrica.
ok, quindi a parte $aRb->bRa$ consideriamo in quest'ultico caso anche $dRe->eRd$
$c,d$ non le troviamo accoppiate quindi non le prendiamo in considerazione, e ciò basta per affermare la simmetricità?
$c,d$ non le troviamo accoppiate quindi non le prendiamo in considerazione, e ciò basta per affermare la simmetricità?
Non proprio ... a parte il fatto che non è sempre facile capire cosa intendi ...
Detto volgarmente: se nella relazione c'è la coppia $(x,y)$ allora perché sia simmetrica ci deve essere anche la coppia $(y,x)$, questo però lo devi verificare per tutte le coppie appartenenti alla relazione quindi anche per $(a,a)$, $(b,b)$, ..., $(d,e)$, $(e,d)$.
Va da sé che per le coppie $(x,x)$ la simmetria è sempre verificata perché, come detto, se c'è $(x,x)$ ci deve essere anche $(x,x)$ ma dato che è la stessa coppia, c'è di sicuro ... quindi in pratica devi verificare solo le coppie dove il primo elemento è diverso dal secondo (ovviamente se hai verificato che data la coppia $(x,y)$ c'è la sua simmetrica $(y,x)$ allora è inutile che fai la verifica anche su quest'ultima ...)
Detto volgarmente: se nella relazione c'è la coppia $(x,y)$ allora perché sia simmetrica ci deve essere anche la coppia $(y,x)$, questo però lo devi verificare per tutte le coppie appartenenti alla relazione quindi anche per $(a,a)$, $(b,b)$, ..., $(d,e)$, $(e,d)$.
Va da sé che per le coppie $(x,x)$ la simmetria è sempre verificata perché, come detto, se c'è $(x,x)$ ci deve essere anche $(x,x)$ ma dato che è la stessa coppia, c'è di sicuro ... quindi in pratica devi verificare solo le coppie dove il primo elemento è diverso dal secondo (ovviamente se hai verificato che data la coppia $(x,y)$ c'è la sua simmetrica $(y,x)$ allora è inutile che fai la verifica anche su quest'ultima ...)
Io intendevo nel mio caso (che, come stai dicendo tu, se ho ben capito) non essendo presente la coppia con il primo elemento diverso dal secondo $(c,d)$ non occorre verificare la simmetria.
Se invece avessimo avuto ad esempio $R=..........(m,n).......$ ma non $(n,m)$, anche se fosse stata l'unica coppia non simmetrica, (insieme alle altre eventuali coppie che pero' lo erano) , la simmetria non ci sarebbe stata.
Spero di essere stata chiara......e di aver detto giusto
Se invece avessimo avuto ad esempio $R=..........(m,n).......$ ma non $(n,m)$, anche se fosse stata l'unica coppia non simmetrica, (insieme alle altre eventuali coppie che pero' lo erano) , la simmetria non ci sarebbe stata.
Spero di essere stata chiara......e di aver detto giusto
5 pagine o_o, OMG!
Comunque al mio paese, aldilá del tedesco ergo tradotto in ita, non si dice "simmetricitá" ma "simmetria".
Morale, cerca di essere piú precisa, tutto il post alla fine non sembra nemmeno da universitá detto francamente, ma lascio ai moderatori decidere. Ti consiglio vivamente, hai tutta la buona volontá, di rivedere tutte le nozioni di logica e insiemistica sennó non avresti scritto "$R=..........(m,n).......$ ma non $(n,m)$" & company
Per il resto, buono studio e chiedi pure in questo forum se hai bisogno!
"Myriam92":mmmmm, come dicono qui in Germania, "jain"; capisco che vuoi dire e mi sento di dirti di si sperando non sbagli ad applicare piú quelle banali definizioni (e siamo solo a queste definizioni, ne esistono tantissime: https://de.wikipedia.org/wiki/Relation_(Mathematik)#Homogene_Relationen_2).
ok, quindi a parte $aRb->bRa$ consideriamo in quest'ultico caso anche $dRe->eRd$
$c,d$ non le troviamo accoppiate quindi non le prendiamo in considerazione, e ciò basta per affermare la simmetricità?
Comunque al mio paese, aldilá del tedesco ergo tradotto in ita, non si dice "simmetricitá" ma "simmetria".
"Myriam92":anche qui ti rispondo "jain" perché capisco che intendi e rispetto al messaggio di prima vedo che forse hai capito quindi mi sento di dirti piú si che no.
Io intendevo nel mio caso (che, come stai dicendo tu, se ho ben capito) non essendo presente la coppia con il primo elemento diverso dal secondo $(c,d)$ non occorre verificare la simmetria.
Se invece avessimo avuto ad esempio $R=..........(m,n).......$ ma non $(n,m)$, anche se fosse stata l'unica coppia non simmetrica, (insieme alle altre eventuali coppie che pero' lo erano) , la simmetria non ci sarebbe stata.
Spero di essere stata chiara......e di aver detto giusto
Morale, cerca di essere piú precisa, tutto il post alla fine non sembra nemmeno da universitá detto francamente, ma lascio ai moderatori decidere. Ti consiglio vivamente, hai tutta la buona volontá, di rivedere tutte le nozioni di logica e insiemistica sennó non avresti scritto "$R=..........(m,n).......$ ma non $(n,m)$" & company
Per il resto, buono studio
e chiedi pure in questo forum se hai bisogno!
sono tipologie di esercizi un po' strani...e ce ne sono tante! (tipologie più "pratiche", algebriche..). Adesso su queste spero di essere "MENO CONFUSA" XD
scusando il lapsus, se sono O.T, e le 5 pagine......buonanotte e grazie
scusando il lapsus, se sono O.T, e le 5 pagine......buonanotte e grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo