Preferenze e relazioni d'ordine
Ho un dubbio su una questione che riguarda relazioni di ordine in un thread di Stack Exchange di economia, una domanda rimasta senza risposta, con però alcuni commenti sotto.
A me sembra che si stanno incartando, però è possibile che mi sto incartando io, può darsi che c'è qualcosa che mi confonde (tenendo presente che lì il livello non è basso, la maggior parte dei risponditori sono a livello di Phd).
Per cui chiedo un parere agli esimi algebristi qui presenti.
Una preferenza in economia è, per definizione, una relazione \( \succeq \) su un insieme $X \subseteq \ mathbb (R^n)$:
Riflessiva
Transitiva
Completa
Quindi è un preordine (non c'è antisimmetria) con in più la completezza.
Una proprietà standard che si attribuisce alle relazioni di preferenza è la continuità, così definita:
Continuità. Per ogni $y$ in $X$ , gli insiemi {x:x\( \succeq \) y} e {x:x \( \preceq \) y} sono insiemi chiusi.
La domanda su Stack Exchange (un po' di lana caprina e non di grande importanza in sé) è se una simile definizione di continuità delle preferenze può ricollegarsi alla definizione topologica di funzione continua, cioè che la controimmagine di un aperto è un aperto (o di un chiuso un chiuso).
E nel caso quale funzione si dovrebbe considerare.
La proposta dell'OP è:
What spaces and what function should we consider, to find an equivalent topological definition of continuity of a preference relation? I got as far that it must be either some map $f: X times X rightarrow X$or a map $f: X times X rightarrow {0,1}$, with $X$ in the topology induced by \( \succeq \) and ${0,1}$ in the discrete topology. But where to from here?
A me pare nowhere. Non l'ho capita, che ci fai? L'insieme chiuso che dovrebbe essere controimmagine, {x:x\( \succeq \) y} , è un sottoinsieme di $X$ e non di $X times X$.
Ma il punto è un'altro, che un commentatore dice che sì, si può vedere come controimmagine di una funzione se la relazione di preferenza \( \succeq \) è una funzione. Scrive:
The set \( \succeq _y\) [intende {x:x\( \succeq \) y} , nota mia] is the preimage of $y$ if the binary relation \( \succeq \) is a function, which recovers the definition for functions.
Allora, premesso che per me (ma non solo per me, pure per un premio Nobel
, Arrow) si tratta di due nozioni di continuità distinte, e solo per motivi contingenti si chiamano entrambe continuità (forse un po' più di fantasia nei nomi ci vorrebbe), e cercare un collegamento è un po' stiracchiato, mi chiedo: una relazione di preferenza come definita sopra può essere una funzione?
A me sembra di no, in particolare per la riflessività + la completezza.
Ad esempio, prendiamo per sempicità un insieme $X$ di soli tre elementi, $a$, $b$ e $c$, così mi spiego con un disegnino:
Per la riflessività $a$ deve essere in relazione con $a$, $b$ con $b$ e $c$ con $c$ (frecce blu).
Ma per la completezza, deve essere \( a\succeq b\) o \( b\succeq a\). Quindi o la freccia rossa o la freccia verde.
Ma in entrambi i casi, per la definizione di funzione no bbuono.
Lo stesso vale ovviamente per $c$, ma non mi metto a scrivere le frecce.
A me sembra che si stanno incartando, però è possibile che mi sto incartando io, può darsi che c'è qualcosa che mi confonde (tenendo presente che lì il livello non è basso, la maggior parte dei risponditori sono a livello di Phd).
Per cui chiedo un parere agli esimi algebristi qui presenti.
Una preferenza in economia è, per definizione, una relazione \( \succeq \) su un insieme $X \subseteq \ mathbb (R^n)$:
Riflessiva
Transitiva
Completa
Quindi è un preordine (non c'è antisimmetria) con in più la completezza.
Una proprietà standard che si attribuisce alle relazioni di preferenza è la continuità, così definita:
Continuità. Per ogni $y$ in $X$ , gli insiemi {x:x\( \succeq \) y} e {x:x \( \preceq \) y} sono insiemi chiusi.
La domanda su Stack Exchange (un po' di lana caprina e non di grande importanza in sé) è se una simile definizione di continuità delle preferenze può ricollegarsi alla definizione topologica di funzione continua, cioè che la controimmagine di un aperto è un aperto (o di un chiuso un chiuso).
E nel caso quale funzione si dovrebbe considerare.
La proposta dell'OP è:
What spaces and what function should we consider, to find an equivalent topological definition of continuity of a preference relation? I got as far that it must be either some map $f: X times X rightarrow X$or a map $f: X times X rightarrow {0,1}$, with $X$ in the topology induced by \( \succeq \) and ${0,1}$ in the discrete topology. But where to from here?
A me pare nowhere. Non l'ho capita, che ci fai? L'insieme chiuso che dovrebbe essere controimmagine, {x:x\( \succeq \) y} , è un sottoinsieme di $X$ e non di $X times X$.
Ma il punto è un'altro, che un commentatore dice che sì, si può vedere come controimmagine di una funzione se la relazione di preferenza \( \succeq \) è una funzione. Scrive:
The set \( \succeq _y\) [intende {x:x\( \succeq \) y} , nota mia] is the preimage of $y$ if the binary relation \( \succeq \) is a function, which recovers the definition for functions.
Allora, premesso che per me (ma non solo per me, pure per un premio Nobel
, Arrow) si tratta di due nozioni di continuità distinte, e solo per motivi contingenti si chiamano entrambe continuità (forse un po' più di fantasia nei nomi ci vorrebbe), e cercare un collegamento è un po' stiracchiato, mi chiedo: una relazione di preferenza come definita sopra può essere una funzione?A me sembra di no, in particolare per la riflessività + la completezza.
Ad esempio, prendiamo per sempicità un insieme $X$ di soli tre elementi, $a$, $b$ e $c$, così mi spiego con un disegnino:
Per la riflessività $a$ deve essere in relazione con $a$, $b$ con $b$ e $c$ con $c$ (frecce blu).
Ma per la completezza, deve essere \( a\succeq b\) o \( b\succeq a\). Quindi o la freccia rossa o la freccia verde.
Ma in entrambi i casi, per la definizione di funzione no bbuono.
Lo stesso vale ovviamente per $c$, ma non mi metto a scrivere le frecce.
Risposte
Dici un esempio in cui non esiste una funzione di utilità?
Appena ho un attimo mi riguardo qualcuna di queste cose, che mi ritrovo a rivedere dopo tanto tempo.
Comunque, condizione necessaria perché esista una funzione di utilità sono transitività e completezza (ordine totale) delle preferenze .
Un caso in cui si può sempre rappresentare una preferenza (transitiva e completa) con una funzione di utilità è il caso in cui $X$ è finito (non so la dimostrazione).
Appena ho un attimo mi riguardo qualcuna di queste cose, che mi ritrovo a rivedere dopo tanto tempo.
Comunque, condizione necessaria perché esista una funzione di utilità sono transitività e completezza (ordine totale) delle preferenze .
Un caso in cui si può sempre rappresentare una preferenza (transitiva e completa) con una funzione di utilità è il caso in cui $X$ è finito (non so la dimostrazione).
"gabriella127":
Dici un esempio in cui non esiste una funzione di utilità?
Si.
Comunque, condizione necessaria perché esista una funzione di utilità sono transitività e completezza (ordine totale) delle preferenze.
Quelle sono richieste di base, mi sa che ci vuole l'antisimmetria, così che non ci possano essere 2 cose entrambe preferibili all'altra.
Un caso in cui si può sempre rappresentare una preferenza (transitiva e completa) con una funzione di utilità è il caso in cui $X$ è finito (non so la dimostrazione).
Se è anche antisimmetrica essendo un insieme finito si può semplicemente mandare il minimo in $1$, quello dopo in $2$, ecc.
Non so quale potrebbe essere il ruolo del'antisimmetria, matematicamente.
In tutta questa roba di teoria delle preferenze e utilità (che poi porta a costruire la teoria della domanda) l'antisimmetria è sempre esclusa. Ci devo pensare meglio, perché non mi sono mai posta il problema, ma penso che con l'antisimmetria verrebbe fuori un gran casino che renderebbe questa roba non adatta a costruire la teoria.
Quello che posso risponderti ora, su due piedi, è questo.
Oltre allla relazione di preferenza, si introduce anche la relazione di 'indifferenza' $ ~ $ , definita da
$x ~ y$ se e solo se $x succeq y$ e $y succeq x$.
Se si introducesse la antisimmetria si dovrebbe dire che se $x succeq y$ e $y succeq x$ allora $x=y$.
Da un lato sarebbe un non sense economico. Tieni presente che questi vettori sono panieri di beni tra cui il consumatore deve scegliere, significherebbe dire che il consumatore è indifferente tra due panieri solo se sono lo stesso paniere.
Invece ci possono essere due panieri diversi a cui è indifferente, perché gli danno la stessa utilità, uguale benessere.
E sulla relazione di indifferenza vengono costruite cose fondamentali come le curve di indifferenza, che sono al cuore della formalizzazione delle scelte di un consumatore (che si suppone ottimizzante, nel senso che cerca di massimizzare la sua utilità).
Diciamo che salterebbe tutta la teoria della domanda così come esiste.
Quindi l'antisimmetria non viene mai usata, per quel che mi risulta. Controllerò meglio, nei testi principali.
Certo, visto che c'è tanta letteratura, non si può escludere che un economista in un igloo in Groenlandia l'abbia usata , non lo so.
Capisco comunque quello che dici a proposito dell'insieme finito, mandare il minimo in $1$ etc., praticamente li numeri.
In tutta questa roba di teoria delle preferenze e utilità (che poi porta a costruire la teoria della domanda) l'antisimmetria è sempre esclusa. Ci devo pensare meglio, perché non mi sono mai posta il problema, ma penso che con l'antisimmetria verrebbe fuori un gran casino che renderebbe questa roba non adatta a costruire la teoria.
Quello che posso risponderti ora, su due piedi, è questo.
Oltre allla relazione di preferenza, si introduce anche la relazione di 'indifferenza' $ ~ $ , definita da
$x ~ y$ se e solo se $x succeq y$ e $y succeq x$.
Se si introducesse la antisimmetria si dovrebbe dire che se $x succeq y$ e $y succeq x$ allora $x=y$.
Da un lato sarebbe un non sense economico. Tieni presente che questi vettori sono panieri di beni tra cui il consumatore deve scegliere, significherebbe dire che il consumatore è indifferente tra due panieri solo se sono lo stesso paniere.
Invece ci possono essere due panieri diversi a cui è indifferente, perché gli danno la stessa utilità, uguale benessere.
E sulla relazione di indifferenza vengono costruite cose fondamentali come le curve di indifferenza, che sono al cuore della formalizzazione delle scelte di un consumatore (che si suppone ottimizzante, nel senso che cerca di massimizzare la sua utilità).
Diciamo che salterebbe tutta la teoria della domanda così come esiste.
Quindi l'antisimmetria non viene mai usata, per quel che mi risulta. Controllerò meglio, nei testi principali.
Certo, visto che c'è tanta letteratura, non si può escludere che un economista in un igloo in Groenlandia l'abbia usata
, non lo so.Capisco comunque quello che dici a proposito dell'insieme finito, mandare il minimo in $1$ etc., praticamente li numeri.
L'antisimmetria è in effetti una proprietà forte per certi versi; la nozione veramente "strutturale" è quella di preordine, perché un preordine su un insieme \(X\) è esattamente un monoide interno alle endorelazioni \(\textsf{Rel}(X,X)\). L'antisimmetria non è tanto una proprietà di \(\le\) quanto della coppia \((X,\le)\), che afferma che questo monoide è "scheletrico", ossia non ci sono catene non banali della forma \[a\le a_1\le \dots \le a_n\le a\] ossia catene di questa forma dove non è vero che \(a_i=a\) per ogni \(i=1,\dots,n\).
Ciò serve a dire che oltre all'economia ci sono altre circostanze (la topologia, la teoria della misura, etc) dove la struttura naturale che un insieme possiede è quella di un preordine, non antisimmetrico. Una regola informale è che una relazione di preordine su un insieme ordina i suoi elementi dimenticando un po' di struttura che l'insieme possiede, perché la relazione \(\sim\) è più coarse della relazione di uguaglianza. Ovviamente tutto questo catafalco si può rendere "parametrico" in una generica relazione di equivalenza su $X$, cosa che credo sia abbastanza utile. Si fa circa così:
Un "setoide" è una coppia \((X,\approx)\) dove $X$ è un insieme e \(\approx\) è una relazione di equivalenza.
Una relazione di preordine \(\preceq\) su un setoide \((X,\approx)\) è "\(\approx\)-antisimmetrica" se \[a\preceq b,b\preceq a \Rightarrow a \approx b\] (nella notazione infissa ovvia per le relazioni binarie).
Ciò serve a dire che oltre all'economia ci sono altre circostanze (la topologia, la teoria della misura, etc) dove la struttura naturale che un insieme possiede è quella di un preordine, non antisimmetrico. Una regola informale è che una relazione di preordine su un insieme ordina i suoi elementi dimenticando un po' di struttura che l'insieme possiede, perché la relazione \(\sim\) è più coarse della relazione di uguaglianza. Ovviamente tutto questo catafalco si può rendere "parametrico" in una generica relazione di equivalenza su $X$, cosa che credo sia abbastanza utile. Si fa circa così:
Un "setoide" è una coppia \((X,\approx)\) dove $X$ è un insieme e \(\approx\) è una relazione di equivalenza.
Una relazione di preordine \(\preceq\) su un setoide \((X,\approx)\) è "\(\approx\)-antisimmetrica" se \[a\preceq b,b\preceq a \Rightarrow a \approx b\] (nella notazione infissa ovvia per le relazioni binarie).
Mmhh... A quanto pare ci devo pensare pure io meglio...
Intanto però noto che l'esempio che hai fatto te dell'ordine lessicografico è antisimmetrico, mi sono basato anche un po' su quello.
Intanto però noto che l'esempio che hai fatto te dell'ordine lessicografico è antisimmetrico, mi sono basato anche un po' su quello.
"megas_archon":
Un "setoide" è una coppia \((X,\approx)\) dove $X$ è un insieme e \(\approx\) è una relazione di equivalenza.
Una relazione di preordine \(\preceq\) su un setoide \((X,\approx)\) è "\(\approx\)-antisimmetrica" se \[a\preceq b,b\preceq a \Rightarrow a \approx b\] (nella notazione infissa ovvia per le relazioni binarie).
Quindi esiste una nozione di antisimmeria più debole di quella con l'uguaglianza.
L'insieme $X$ con la relazione di indifferenza può essere vista così, come un setoide con una relazione di preordine (la relazione di preferenza) antisimmetrico in questo senso.
Scusa, una curiosità, quando usi il termine 'coarse' riguardo alla relazione di indifferenza lo usi tu per farti capire o esiste veramente una nozione di 'coarse' per le relazioni (così come per le topologie)?
Funziona esattamente come con le topologie. L'insieme delle relazioni tra due insiemi A e B è, per definizione, l'insieme delle parti di \(A\times B\): su questo insieme esiste un ordinamento ovvio, il contenimento: una relazione R è più coarse di una relazione S se \(R\subseteq S\). Dualmente, si dice che la relazione S raffina R, perché se \(R\subseteq S\), si ha che \(x\,R\,y\Rightarrow x\,S\,y\).
Ah ecco, grazie mille!
"otta96":
Comunque un altro esempio è un insieme non numerabile in cui si mette un buon ordine.
Dimostrare che non esiste una funzione di utilità è meno scontato però.
Ma alla fine una funzione di utilità c'è se esiste un sottoinsieme dei reali isomorfo nell'ordine all'insieme ordinato di partenza?
Ragiono in modo molto intuitivo.
Se riuscissimo ad immergere un buon ordine più che numerabile potremmo immergere anche aleph 1 (che è il suo segmento iniziale non numerabile più piccolo).
Quindi mostriamo che non esiste alcun sottoinzieme di R aleph 1 immerso, ordinato come aleph 1.
Supponiamo per assurdo che esista un insieme del genere.
Ora o aleph 1 immerso
1) si espande all'infinito lungo tutta la retta o
2) non si espande all'infinito.
1) Se si espande all'infinito lungo la retta reale è possibile per forza di cose scegliere una successione S numerabile presente in questo insieme (aleph 1 immerso) per cui per qualsiasi elemento dell'insieme (di aleph 1 immerso) esiste un elemento di questa successione che lo supera.
Questo però è assurdo perché in aleph 1 è vero che in corrispondenza di ogni suo sottoinsieme numerabile esiste qualche elemento che è maggiore di tutti gli elementi di questo sottoinsieme.
2) Se l'immersione è superiormente limitata dovrebbe esserci un punto di accumulazione a destra (che non appartiene all'insieme immerso, l'estremo superiore dell'insieme immerso) e si raggiunge una conclusione impossibile simile perché anche in questo caso esisterebbe una successione (un insieme numerabile) che lascia dietro ogni elemento dell'insieme aleph 1 immerso violando una regola strutturale del tipo di ordine di aleph 1.
@bub tutto giusto, in effetti è più facile di quanto pensassi, perchè stavo pensando ad una cosa un po' diversa più complicata.
"bub":
[quote="otta96"]Comunque un altro esempio è un insieme non numerabile in cui si mette un buon ordine.
Dimostrare che non esiste una funzione di utilità è meno scontato però.
Ma alla fine una funzione di utilità c'è se esiste un sottoinsieme dei reali isomorfo nell'ordine all'insieme ordinato di partenza?
Ragiono in modo molto intuitivo.
Se riuscissimo ad immergere un buon ordine più che numerabile potremmo immergere anche aleph 1 [/quote]
Di solito si usano i numeri \(\aleph\) per indicare cardinali, non ordinali, cosa intendi precisamente?
"megas_archon":
[quote="bub"][quote="otta96"]Comunque un altro esempio è un insieme non numerabile in cui si mette un buon ordine.
Dimostrare che non esiste una funzione di utilità è meno scontato però.
Ma alla fine una funzione di utilità c'è se esiste un sottoinsieme dei reali isomorfo nell'ordine all'insieme ordinato di partenza?
Ragiono in modo molto intuitivo.
Se riuscissimo ad immergere un buon ordine più che numerabile potremmo immergere anche aleph 1 [/quote]
Di solito si usano i numeri \(\aleph\) per indicare cardinali, non ordinali, cosa intendi precisamente?[/quote]
In un modo abbastanza diffuso di intendere gli ordinali e i cardinali in teoria degli insiemi, i cardinali sono definiti come ordinali particolari. Ad esempio omega e aleph 0 coincidono.
Mi spiego meglio.
Gli ordinali praticamente si costruiscono a partire dal vuoto applicando a ripetizione l'operazione di successore $x cup {x}$.
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Numero_cardinale
(Vedi numeri aleph)
Gli ordinali che "scattano" cioé gli insiemi di queste file che non sono equipotenti (non c'è relazione biunivoca) a nessuno dei precedenti ordinali (che in base a questa costruzione li contengono come elementi) sono identificati come cardinali. Ogni ordinale contiene come elementi tutti i precedenti.
omega è un ordinale che scatta ed è quindi anche un cardinale, omega + 1 (operazione + tra ordinali) non è un cardinale perché è equipotente ad omega (uno degli ordinali che lo precedono, qua gli ordinali sono insiemi ha senso chiedersi se sono equipotenti o meno).
In quest'ottica gli ordinali sono proprio certi insiemi particolari (che vengono confrontati con l'appartenenza per vedere quale è il più grande o il più piccolo, così si evita anche di usare una relazione "insieme di coppie" che non puó esistere su tutto il dominio insiemistico) che fungono da rappresentanti di ogni tipo di buon ordine.
Mentre invece i cardinali sono ordinali particolari.
Si è optato di usare dei rappresentanti sia per gli ordinali che i cardinali credo per evitare certi paradossi o il dover usare troppe collezioni separate dagli insiemi.
Non sempre vengono trattati così, spero di non aver creato confusione.
Se sostituisci ad aleph 1 che ho usato nel discorso precedente l'oggetto corrispondente "un insieme bene ordinato per cui scelto un elemento a caso questo viene preceduto al più da un numero numerabile di elementi ma è seguito sempre da un insieme di elementi più che numerabile" puoi usare anche altre definizioni dovrebbe funzionare lo stesso.
Mi scuso se ho creato confusione, avevo in mente questa cosa e non ci ho fatto nemmeno caso.
Certo, i cardinali sono ordinali iniziali, è unicamente un problema di notazione: per come è solitamente intesa la notazione, \(\omega_1\) ha un ordine, \(\aleph_1\) no.
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