Permutazioni e Gruppi
Ciao a tutti...
Ho questo esercizio:
Elencare tutte le permutazioni pari e tutte le permutazioni dispari
di S3 .
Ora con la notazione a tabella ho scritto tutte le 6 permutazioni di Sn...
Come posso procedere ora?
Ho questo esercizio:
Elencare tutte le permutazioni pari e tutte le permutazioni dispari
di S3 .
Ora con la notazione a tabella ho scritto tutte le 6 permutazioni di Sn...
Come posso procedere ora?
Risposte
Conosci la definizione di permutazione pari e dispari?
se sì, non ti serve altro che applicare la definizione ad ogni singola permutazione.
se no, cercala, o chiedi.
se sì, non ti serve altro che applicare la definizione ad ogni singola permutazione.
se no, cercala, o chiedi.
Ogni permutazioni è un prodotto di scambi giusto?
e,il numero di scambi di una permutazione mi dice se è pari o dispari...
e,il numero di scambi di una permutazione mi dice se è pari o dispari...
Una trasposizione è una permutazione di 2 elementi (penso che sia questo che tu chiami scambio)
e ogni permutazione è prodotto di trasposizioni.
Se il numero di trasposizioni è pari, la permutazione si dice pari.
Se è dispari, si dice dispari.
Così ad esempio (12) è dispari e (123)=(13)(23) è pari.
Nota che il modo in cui scrivere una permutazione come prodotto di trasposizioni non è unico! Però il numero di tali trasposizioni rimane sempre pari o dispari.
Ad esempio posso vedere (12) come (12) o come (23)(13)(23) che sono 2 scritture diverse ma il numero di trasposizioni è sempre dispari
e ogni permutazione è prodotto di trasposizioni.
Se il numero di trasposizioni è pari, la permutazione si dice pari.
Se è dispari, si dice dispari.
Così ad esempio (12) è dispari e (123)=(13)(23) è pari.
Nota che il modo in cui scrivere una permutazione come prodotto di trasposizioni non è unico! Però il numero di tali trasposizioni rimane sempre pari o dispari.
Ad esempio posso vedere (12) come (12) o come (23)(13)(23) che sono 2 scritture diverse ma il numero di trasposizioni è sempre dispari
mmmm....più che scambi si chiamano trasposizioni.
Le trasposizioni sono permutazioni di due elementi.
C'è un teorema che dice che ogni permutazione può esser scritta come prodotto di trasposizioni.
Se il numero delle trasposizioni è pari allora la permutazione è pari, altrimenti la permutazione è dispari
Esempio
(1,2,3)=(1,3)(1,2)
Quindi è pari
NB: tutti i tricicli sono permutazioni pari
NB:si può dimostrare che tutti le permutazioni pari sono tricicli oppure prodotto di tricicli
Le trasposizioni sono permutazioni di due elementi.
C'è un teorema che dice che ogni permutazione può esser scritta come prodotto di trasposizioni.
Se il numero delle trasposizioni è pari allora la permutazione è pari, altrimenti la permutazione è dispari
Esempio
(1,2,3)=(1,3)(1,2)
Quindi è pari
NB: tutti i tricicli sono permutazioni pari
NB:si può dimostrare che tutti le permutazioni pari sono tricicli oppure prodotto di tricicli
Ok,ciò che avete appena detto sono teoremi che già conosco e ho studiato.
Ma non riesco a tradurre questo nello svolgere l'esercizio.
Cioè,non riesco a capire come svolgerlo...
Ma non riesco a tradurre questo nello svolgere l'esercizio.
Cioè,non riesco a capire come svolgerlo...
Va bene.
Cerchiamo un po' di semplificare e arrivare al sodo.
Classifichiamo tutti i k-cicli.
Ad esempio (12) è un 2-ciclo.
(123) è un 3-ciclo.
D'accordo?
Ora se ho un k-ciclo dove k è pari, allora la permutazione è dispari. Quindi (12) è un 2-ciclo e quindi è dispari
Se ho un k-ciclo dove k è dispari, allora la permutazione è pari. Quindi (123) è un 3-ciclo e quindi è pari
Cerchiamo un po' di semplificare e arrivare al sodo.
Classifichiamo tutti i k-cicli.
Ad esempio (12) è un 2-ciclo.
(123) è un 3-ciclo.
D'accordo?
Ora se ho un k-ciclo dove k è pari, allora la permutazione è dispari. Quindi (12) è un 2-ciclo e quindi è dispari
Se ho un k-ciclo dove k è dispari, allora la permutazione è pari. Quindi (123) è un 3-ciclo e quindi è pari
@ angus89
mi pareva di ricordare che (132) fosse dispari.
@ furlan
in fondo sono solo 6 permutazioni: prova a prenderne una e vediamo come faresti a classificarla: ad esempio questa che ho appena scritto in riferimento ad angus89 quante trasposizioni contiene? ti consiglio di scriverla nella forma $((1,2,3),(3,1,2))$. è più chiaro?
mi pareva di ricordare che (132) fosse dispari.
@ furlan
in fondo sono solo 6 permutazioni: prova a prenderne una e vediamo come faresti a classificarla: ad esempio questa che ho appena scritto in riferimento ad angus89 quante trasposizioni contiene? ti consiglio di scriverla nella forma $((1,2,3),(3,1,2))$. è più chiaro?
$((1,2,3),(1,3,2))$ $((1,2,3),(2,1,3))$ $((1,2,3),(3,1,2))$ $((1,2,3),(3,2,1))$ $((1,2,3),(1,2,3))$ $((1,2,3),(2,3,1))$
Ok?
Ok?
Queste sono tutte le permutazioni di $S_3$
Ora distinguile fra pari e dispari
Ora distinguile fra pari e dispari
è qui il problema...
in ordine:D,D,???,D,D,???...
Mi potreste spiegare la terza e ultima permutazione?
in ordine:D,D,???,D,D,???...
Mi potreste spiegare la terza e ultima permutazione?
Scusate...P,P,??,P,D,???...
allora, la 5.a che hai scritto è l'identità, ed è pari (0 trasposizioni),
la 1.a, la 2.a e la 4.a lasciano un elemento fisso, dunque scambiano tra loro due elementi (1 trasposizione) e sono pertanto dispari,
la 6.a è pari (2 trasposizioni): da 123 scambiando 1 e 2 ottieni 213 e poi scambiando 2 e 3 ottieni 312, cioè 1 al secondo posto, 2 al terzo posto, 3 al primo posto,
la terza (quella che io ricordavo dispari): da 123 scambiando 1 e 3 si ha 321 e poi scambiando 2 e 3 si ha 231, cioè le trasposizioni sono due: ha ragione angus89, è pari.
ci sei ora?
la 1.a, la 2.a e la 4.a lasciano un elemento fisso, dunque scambiano tra loro due elementi (1 trasposizione) e sono pertanto dispari,
la 6.a è pari (2 trasposizioni): da 123 scambiando 1 e 2 ottieni 213 e poi scambiando 2 e 3 ottieni 312, cioè 1 al secondo posto, 2 al terzo posto, 3 al primo posto,
la terza (quella che io ricordavo dispari): da 123 scambiando 1 e 3 si ha 321 e poi scambiando 2 e 3 si ha 231, cioè le trasposizioni sono due: ha ragione angus89, è pari.
ci sei ora?
Non riesco a entrare nel ragionamento sulla 3 e sulla 6...
(123) significa che 1 va in 2, 2 va in 3 e 3 va in 1, cioè si passa a (231): prova a fare gli scambi ...
(132) significa che da (123) si passa a (231) : OK?
(132) significa che da (123) si passa a (231) : OK?
Forse il tuo problema è che non capisci la notazione che usiamo noi.
Quando noi scriviamo (12) intendiamo l'elemento che tu scrivi come $((1,2,3),(2,1,3))$ .
Cioè scrivere (12) significa dire che 1 viene mandato in 2, 2 viene mandato in 1 e 3 viene mandato in 3 (dato che non appare)
Così se scriviamo (123) intendiamo che 1 viene mandato in 2, 2 viene mandato in 3, 3 viene mandato in 1 e quindi corrisponde all'elemento che tu scrivi come $((1,2,3),(2,3,1))$.
Perciò ora capisci cosa sono i k-cicli e a quali elementi corrispondono nel tuo modo di scriverli.
Quindi prova a dirci quali permutazioni sono pari e quali dispari
Quando noi scriviamo (12) intendiamo l'elemento che tu scrivi come $((1,2,3),(2,1,3))$ .
Cioè scrivere (12) significa dire che 1 viene mandato in 2, 2 viene mandato in 1 e 3 viene mandato in 3 (dato che non appare)
Così se scriviamo (123) intendiamo che 1 viene mandato in 2, 2 viene mandato in 3, 3 viene mandato in 1 e quindi corrisponde all'elemento che tu scrivi come $((1,2,3),(2,3,1))$.
Perciò ora capisci cosa sono i k-cicli e a quali elementi corrispondono nel tuo modo di scriverli.
Quindi prova a dirci quali permutazioni sono pari e quali dispari
Ok.Ora leggendo in un libro ho trovato questo teorema.
Sia f=($i_1$,$i_2$,...,$i_k$) un k-ciclo,allora f è il prodotto di k-1 scambi.
Da questa è possibile dire se una permutazione è pari o dispari giusto?
Nel caso della 3 (1,3,2) è pari perchè k-1 vale(3-1)=2;Quindi se è un numero pari la permutazione è pari altrimenti è dispari giusto?
Sia f=($i_1$,$i_2$,...,$i_k$) un k-ciclo,allora f è il prodotto di k-1 scambi.
Da questa è possibile dire se una permutazione è pari o dispari giusto?
Nel caso della 3 (1,3,2) è pari perchè k-1 vale(3-1)=2;Quindi se è un numero pari la permutazione è pari altrimenti è dispari giusto?
Scusa, ma io cosa ti ho detto?
Che se k è dispari la permutazione è pari
E questo ovviamente significa che se k-1 è pari allora la permutazione è pari
Che se k è dispari la permutazione è pari
E questo ovviamente significa che se k-1 è pari allora la permutazione è pari
Ok...ora allora ho capito...
Pongo se possibile altri quesiti visto che mi sembrate ferrati sull'argomento.
Se f è una permutazione pari,allora:
$f^2$
$f^3$
f composto (1,2)
Come stabilire se sono pari o dispari?
Pongo se possibile altri quesiti visto che mi sembrate ferrati sull'argomento.
Se f è una permutazione pari,allora:
$f^2$
$f^3$
f composto (1,2)
Come stabilire se sono pari o dispari?
Se $f$ è una permutazione pari, allora è prodotto di un numero pari di permutazione.
Allora $f^2=f*f$ e ogni $f$ è prodotto di un numero pari di trasposizioni.
Ora pari più pari dà pari e quindi $f^2$ è pari.
Così $f^3=f*f*f$ e pari+pari+pari=pari e quindi $f^3$ è pari.
Infine, se prendo $f*(12)$, abbiamo che f è pari, (12) è dispari e pari+ dispari=dispari e quindi $f*(12)$ è dispari
Allora $f^2=f*f$ e ogni $f$ è prodotto di un numero pari di trasposizioni.
Ora pari più pari dà pari e quindi $f^2$ è pari.
Così $f^3=f*f*f$ e pari+pari+pari=pari e quindi $f^3$ è pari.
Infine, se prendo $f*(12)$, abbiamo che f è pari, (12) è dispari e pari+ dispari=dispari e quindi $f*(12)$ è dispari
perchè pari+dispari =dispari?
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