Permutazioni e Gruppi

[furlan1]

Ciao a tutti...

Ho questo esercizio:

Elencare tutte le permutazioni pari e tutte le permutazioni dispari
di S3 .

Ora con la notazione a tabella ho scritto tutte le 6 permutazioni di Sn...

Come posso procedere ora?

[misanino]

Perchè 2+3=5 che è dispari
6+7=13 che è dispari
......

[furlan1]

Molto chiari...

Ora svolgo altri esercizi al massimo richiedo qualcosa...

Grazie per il momento..

[misanino]

Figurati.
Buono svolgimento di esercizi

[furlan1]

SOTTOGRUPPI:

Considera il sottoinsieme H={f $in$ $S_5$:f(1)=1}.
Come dimostrare che è un sottogruppo di $S_5$.

In generale,se Y $sube$ {1,2,...,n},dimostrare che

H={f$in$ $S_n$:$AA$y$in$f(y)=y}


Come potere procedere con la dimostrazione?

[Paolo902]

"furlan":SOTTOGRUPPI:

Considera il sottoinsieme H={f $in$ $S_5$:f(1)=1}.
Come dimostrare che è un sottogruppo di $S_5$.

In generale,se Y $sube$ {1,2,...,n},dimostrare che

H={f$in$ $S_n$:$AA$y$in$f(y)=y}


Come potere procedere con la dimostrazione?

L'idea potrebbe essere questa. Tu hai $S_n$ e hai il tuo $H={f in S_n " tali che " forall y in Y " si ha " f(y)=y}$, dove $Y subseteq {1,2,...n}$.
Praticamente, in $H$ ci stanno le biiezioni di $S_n$ che lasciano almeno un punto fissato.

Allora, non è difficile convincersi che $H$ è un sottogruppo di $S_n$: infatti, se tu hai una permutazione che lascia fisso un elemento, allora hai che anche la permutazione inversa lascia fisso quell'elemento (se $sigma(1)=1$, ad esempio, in $S_5$, allora, evidentemente, $sigma^(-1)(1)=1$).

Allora, se $sigma$ e $tau$ sono due permutazioni che stanno in $H$ puoi certo dire che $sigma(y)=y$ e $tau^(-1)(y)=y$. Da ciò, ovviamente, $sigma circ tau^(-1)(y)=y$ e, quindi, $sigma circ tau^(-1) in H$.

Quindi, $H$ è un sottogruppo di $S_n$.

Ok? Chiaro?

[misanino]

"furlan":SOTTOGRUPPI:

Considera il sottoinsieme H={f $in$ $S_5$:f(1)=1}.
Come dimostrare che è un sottogruppo di $S_5$.

In generale,se Y $sube$ {1,2,...,n},dimostrare che

H={f$in$ $S_n$:$AA$y$in$f(y)=y}


Come potere procedere con la dimostrazione?

Dato un gruppo G si ha che H è un sottogruppo di G se:
1. $AA h_1,h_2\in H$ si ha $h_1*h_2\in H$
2. $AA h\in H$ si ha $h^(-1)\in H$

Consideriamo allora il tuo primo quesito.
Sia $H={f \in S_5 \ :f(1)=1}$
Siano $f_1,f_2\in H$.
Allora $f_1*f_2(1)=f_1(1)=1$ e quindi $f_1*f_2\in H$
Poi sia $f\in H$.
Allora $f^(-1)(1)=f^(-1)f(1)=1$ e quindi $f\in H$.
Perciò H è un sottogruppo.

Per quanto riguarda il secondo quesito ho bisogno alcuni chiarimenti:

quando dici Y $sube$ {1,2,...,n} intendi dire che Y è un sottoinsieme giusto? e quindi può contenere più di un elemento, giusto?
invece quando scrivi H={f$in$ $S_n$:$AA$y$in$f(y)=y} usi la lettera $y$ per indicare ogni $y\in Y$? e quindi questa volta H non fissa solo un elemento, ma tutti gli elementi di Y, giusto?

[Paolo902]

"misanino":
Dato un gruppo G si ha che H è un sottogruppo di G se:
1. $AA h_1,h_2\in H$ si ha $h_1*h_2\in H$
2. $AA h\in H$ si ha $h^(-1)\in H$

... che è condensabile in una sola volta: $H " sottogruppo " iff " " forallx,y in H => xy^(-1) in H$, che è appunto il criterio che ho usato io.

[misanino]

"Paolo90":[quote="misanino"]
Dato un gruppo G si ha che H è un sottogruppo di G se:
1. $AA h_1,h_2\in H$ si ha $h_1*h_2\in H$
2. $AA h\in H$ si ha $h^(-1)\in H$

... che è condensabile in una sola volta: $H " sottogruppo " iff " " forallx,y in H => xy^(-1) in H$, che è appunto il criterio che ho usato io.

[/quote]

Lo so che è il criterio che hai usato tu.
Valgono entrambi i criteri. Si può scegliere quello che si vuole.
Ho usato l'altro perchè ho pensato che poteva essere il modo in cui anche Furlan ha parlato di sottogruppi

[furlan1]

"misanino":[quote="furlan"]SOTTOGRUPPI:


Allora $f_1*f_2(1)=f_1(1)=1$ e quindi $f_1*f_2\in H$
Poi sia $f\in H$.
Allora $f^(-1)(1)=f^(-1)f(1)=1$ e quindi $f\in H$.

[/quote]


Non mi è chiaro il primo passaggio...

[misanino]

Devi mostare $f_1*f_2 \in H$ e quindi devi mostrare $(f_1*f_2)(1)=1$
Ora $(f_1*f_2)(1)=f_1*(f_2(1))$.
Ma $f_2\in H$ e quindi $f_2(1)=1$.
Perciò $(f_1*f_2)(1)=f_1*(f_2(1))=f_1(1)=1$
D'accordo?

Per la generalizzazione a $S_n$ vale ciò che ha detto Paolo90 col criterio che abbiamo detto essere equivalente a quello che ho usato io.

[Paolo902]

"misanino":
Lo so che è il criterio che hai usato tu.
Valgono entrambi i criteri. Si può scegliere quello che si vuole.
Ho usato l'altro perchè ho pensato che poteva essere il modo in cui anche Furlan ha parlato di sottogruppi

Sì, lo sapevo che tu lo sapevi, non ne dubitavo .

Era solo per chiarire a Furlan che alla fine io e te avevamo fatto la stessa cosa.

[furlan1]

Domattina ci ragiono su e casomai richiedo...grazie di nuovo a tutti.