L'insieme $NN$ definito tramite assiomi di Peano
Salve a tutti,
chiedo a priori scusa se nel forum si è già parlato di ciò, ma cercando non ho trovato nulla.
Allora, non ho mai definito nei miei studi l'insieme dei numeri naturali, però pensavo di farlo assiomaticamente, ovvero tramite gli assiomi di Peano, su per giù li capisco ma non riesco a focalizzare in che modo sto definendo l'insieme dei numeri naturali, ovvero l'insieme definito intuitivamente come formato da $0,1,2,3,4,5,....,1127,...,n,....$
Se mi sono spiegato male non esitate a dirlo...
Cordiali saluti
chiedo a priori scusa se nel forum si è già parlato di ciò, ma cercando non ho trovato nulla.
Allora, non ho mai definito nei miei studi l'insieme dei numeri naturali, però pensavo di farlo assiomaticamente, ovvero tramite gli assiomi di Peano, su per giù li capisco ma non riesco a focalizzare in che modo sto definendo l'insieme dei numeri naturali, ovvero l'insieme definito intuitivamente come formato da $0,1,2,3,4,5,....,1127,...,n,....$
Se mi sono spiegato male non esitate a dirlo...
Cordiali saluti
Risposte
Posta gli assiomi, spiega quello che capisci di ciascuno ed esponi i tuoi dubbi sulle parti che ti rimangono oscure.
E' un argomento delicato, meglio arrivarci per gradi, facendoti partecipare alla discussione, che non rifilandoti una spiegazione astratta molto lunga.
E' un argomento delicato, meglio arrivarci per gradi, facendoti partecipare alla discussione, che non rifilandoti una spiegazione astratta molto lunga.
Salve maurer,
considero primitivo il concetto di "zero", gli assiomi sono questi:
1)$0 in NN$
2)$AAx in NN(EES(x) in NN(S(x)=x+1))$
3)$AAx in NN(S(x)!=0)$
4)$AAx,y in NN(x=y->S(x)=S(y))$
5)$AAS sube NN(0 in NN ^^ AAx in NN(S(x) in NN) -> S=NN)$
giusto?
Cordiali saluti
considero primitivo il concetto di "zero", gli assiomi sono questi:
1)$0 in NN$
2)$AAx in NN(EES(x) in NN(S(x)=x+1))$
3)$AAx in NN(S(x)!=0)$
4)$AAx,y in NN(x=y->S(x)=S(y))$
5)$AAS sube NN(0 in NN ^^ AAx in NN(S(x) in NN) -> S=NN)$
giusto?
Cordiali saluti
\(0\) non è un concetto primitivo. Cosa significa, in vero, dire che lo \(0\) è un concetto primitivo?
L'assioma 1) significa "semplicemente" che \(\mathbb{N}\) è non vuoto, ha almeno un elemento e questo elemento dal quale si parte in \(\mathbb{N}\) lo si chiama zero e lo si indica con \(0\). Questo elemento dal quale si parte ha delle proprietà, chiarite dai successivi assiomi e dalle strutture algebriche costruibili su \(\mathbb{N}\) ma nulla mi vieterebbe si partire con \(1\) o con \(2\) o con \(100\) dando a \(1\), a \(2\) o \(100\) le proprietà che do a zero: ed infatti si dimostra che l'insieme dei numeri naturali è unico a meno di isomorfismi. Se io prendessi l'insieme dei numeri pari questo, con una opportuna funzione successore, costituirebbe un modello alternativo dell'insieme di Peano.
La 2 non è corretta. Quando parti con gli assiomi di Peano non hai la somma, quindi la scrittura \(x+1\) non ha senso e non perché non si possa decidere di punto in bianco di dimenticarsi della somma e di pensare a \(x+1\) come al successore di \(x\), ma perché sono convinto che quando l'hai scritto pensavi alla somma \(x+1\).
La 5 è sbagliata: \(\forall S \subseteq \mathbb{N} ((0 \in S \land \forall x \in S, S(x) \in S) \implies S=\mathbb{N})\).
L'assioma 1) significa "semplicemente" che \(\mathbb{N}\) è non vuoto, ha almeno un elemento e questo elemento dal quale si parte in \(\mathbb{N}\) lo si chiama zero e lo si indica con \(0\). Questo elemento dal quale si parte ha delle proprietà, chiarite dai successivi assiomi e dalle strutture algebriche costruibili su \(\mathbb{N}\) ma nulla mi vieterebbe si partire con \(1\) o con \(2\) o con \(100\) dando a \(1\), a \(2\) o \(100\) le proprietà che do a zero: ed infatti si dimostra che l'insieme dei numeri naturali è unico a meno di isomorfismi. Se io prendessi l'insieme dei numeri pari questo, con una opportuna funzione successore, costituirebbe un modello alternativo dell'insieme di Peano.
La 2 non è corretta. Quando parti con gli assiomi di Peano non hai la somma, quindi la scrittura \(x+1\) non ha senso e non perché non si possa decidere di punto in bianco di dimenticarsi della somma e di pensare a \(x+1\) come al successore di \(x\), ma perché sono convinto che quando l'hai scritto pensavi alla somma \(x+1\).
La 5 è sbagliata: \(\forall S \subseteq \mathbb{N} ((0 \in S \land \forall x \in S, S(x) \in S) \implies S=\mathbb{N})\).
[OT]
Ricordo quasi a memoria la definizione di \(\mathbb{N}\) che diede il mio prof. di Analisi I illo tempore, dopo una settimana di corsi (i.e., dopo aver spiegato gli insiemi, le funzioni iniettive e suriettive e quel po' di logica che serve), usando una versione modificata degli assiomi di Peano:
Dopo aver dato questa definizione, passò una settimana a definire le operazioni, l'ordine ed a mostrare il Principio del Buon Ordine.
Dopodiché costruì gli insiemi \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{C}\) in un mesetto e poco più... Ma divago.
Perché mi ricordo quasi a memoria la definizione?
Beh, cominciare un corso di Analisi con la frase "supponiamo che esista" è una grandissima trovata!
[/OT]
Ricordo quasi a memoria la definizione di \(\mathbb{N}\) che diede il mio prof. di Analisi I illo tempore, dopo una settimana di corsi (i.e., dopo aver spiegato gli insiemi, le funzioni iniettive e suriettive e quel po' di logica che serve), usando una versione modificata degli assiomi di Peano:
Supponiamo che esista un inseme non vuoto, che denoteremo con \(\mathbb{N}\), il quale gode delle seguenti tre proprietà:
[list=1][*:5c7u2rre] esiste una funzione iniettiva e non suriettiva \(c:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\);
[/*:m:5c7u2rre]
[*:5c7u2rre] esiste in \(\mathbb{N}\) un unico elemento, che denoteremo \(0\), tale che \(\mathbb{N}\setminus c(\mathbb{N}) =\{0\}\);
[/*:m:5c7u2rre]
[*:5c7u2rre] per ogni sottoinsieme non vuoto \(S\subseteq \mathbb{N}\), vale la seguente implicazione:
\[
\text{Se } 0\in S \text{ e se } n\in S\Rightarrow c(n)\in S \text{ per ogni } n\in S \text{, allora } S=\mathbb{N}
\]
(questa implicazione si chiama Principio d'Induzione Completa).[/*:m:5c7u2rre][/list:o:5c7u2rre]
Dopo aver dato questa definizione, passò una settimana a definire le operazioni, l'ordine ed a mostrare il Principio del Buon Ordine.
Dopodiché costruì gli insiemi \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{C}\) in un mesetto e poco più... Ma divago.
Perché mi ricordo quasi a memoria la definizione?
Beh, cominciare un corso di Analisi con la frase "supponiamo che esista" è una grandissima trovata!
[/OT]
Salve Wizard,
ho corretto, secondo le tue osservazioni, in questo modo:
1)$0 in NN$
2)$AAx in NN(EES(x) in NN)$
3)$AAx in NN(S(x)!=0)$
4)$AAx,y in NN(x=y->S(x)=S(y))$
5)$AAS sube NN((0 in S ^^ AAx in S(S(x) in S)) -> S=NN)$
giusto?
Però mi viene da dire una cosa, se lo zero non è un concetto primitivo allora come lo potrei definire, rifacendomi sempre all'approccio assiomatico di Peano?
Cordiali saluti
"WiZaRd":
\(0\) non è un concetto primitivo. Cosa significa, in vero, dire che lo \(0\) è un concetto primitivo?
L'assioma 1) significa "semplicemente" che \(\mathbb{N}\) è non vuoto, ha almeno un elemento e questo elemento dal quale si parte in \(\mathbb{N}\) lo si chiama zero e lo si indica con \(0\). Questo elemento dal quale si parte ha delle proprietà, chiarite dai successivi assiomi e dalle strutture algebriche costruibili su \(\mathbb{N}\) ma nulla mi vieterebbe si partire con \(1\) o con \(2\) o con \(100\) dando a \(1\), a \(2\) o \(100\) le proprietà che do a zero: ed infatti si dimostra che l'insieme dei numeri naturali è unico a meno di isomorfismi. Se io prendessi l'insieme dei numeri pari questo, con una opportuna funzione successore, costituirebbe un modello alternativo dell'insieme di Peano.
La 2 non è corretta. Quando parti con gli assiomi di Peano non hai la somma, quindi la scrittura \(x+1\) non ha senso e non perché non si possa decidere di punto in bianco di dimenticarsi della somma e di pensare a \(x+1\) come al successore di \(x\), ma perché sono convinto che quando l'hai scritto pensavi alla somma \(x+1\).
La 5 è sbagliata: \(\forall S \subseteq \mathbb{N} ((0 \in S \land \forall x \in S, S(x) \in S) \implies S=\mathbb{N})\).
ho corretto, secondo le tue osservazioni, in questo modo:
1)$0 in NN$
2)$AAx in NN(EES(x) in NN)$
3)$AAx in NN(S(x)!=0)$
4)$AAx,y in NN(x=y->S(x)=S(y))$
5)$AAS sube NN((0 in S ^^ AAx in S(S(x) in S)) -> S=NN)$
giusto?
Però mi viene da dire una cosa, se lo zero non è un concetto primitivo allora come lo potrei definire, rifacendomi sempre all'approccio assiomatico di Peano?
Cordiali saluti
Salve gugo82,
ma, nel principio d'induzione completa, è condizione sufficiente che un sottoinsieme $S sube NN$ deve essere non vuoto? Scusami della banalità della mia domanda!
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
"gugo82":
[OT]
Supponiamo che esista un inseme non vuoto, che denoteremo con \(\mathbb{N}\), il quale gode delle seguenti tre proprietà:
[list=1][*:o7w4a08i] esiste una funzione iniettiva e non suriettiva \(c:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\);
[/*:m:o7w4a08i]
[*:o7w4a08i] esiste in \(\mathbb{N}\) un unico elemento, che denoteremo \(0\), tale che \(\mathbb{N}\setminus c(\mathbb{N}) =\{0\}\);
[/*:m:o7w4a08i]
[*:o7w4a08i] per ogni sottoinsieme non vuoto \(S\subseteq \mathbb{N}\), vale la seguente implicazione:
\[
\text{Se } 0\in S \text{ e se } n\in S\Rightarrow c(n)\in S \text{ per ogni } n\in S \text{, allora } S=\mathbb{N}
\]
(questa implicazione si chiama Principio d'Induzione Completa).[/*:m:o7w4a08i][/list:o:o7w4a08i]
[/OT]
ma, nel principio d'induzione completa, è condizione sufficiente che un sottoinsieme $S sube NN$ deve essere non vuoto? Scusami della banalità della mia domanda!
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
Garnak da quello che so relativamente alla definizione assiomatica di $NN$, le nozioni primitive sono rappresentate dai simboli $0,NN,s$.
Salve GundamRX91,
ma $s$ è il successore?
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Garnak da quello che so relativamente alla definizione assiomatica di $NN$, le nozioni primitive sono rappresentate dai simboli $0,NN,s$.
ma $s$ è il successore?
Cordiali saluti
Si è lui, la funzione successore.
Salve GundamRX91,
funzione? Funzione come quella che scrivere gugo82?
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Si è lui, la funzione successore.
funzione? Funzione come quella che scrivere gugo82?
Cordiali saluti
Yes!! 
Salve GundamRX91,
Ma, se sbaglio corregimi, che motivo ho di definire il successore come funzione visto che esso è primitivo? Anche perchè se definisco in $NN$ una funzione mi complico un pò la vita, ovvero è come se definissi $NN$ essere una struttura (infatti la funzione successore può essere intesa come un'operazione unaria, o sbaglio?)...
Cordiali saluti
Ma, se sbaglio corregimi, che motivo ho di definire il successore come funzione visto che esso è primitivo? Anche perchè se definisco in $NN$ una funzione mi complico un pò la vita, ovvero è come se definissi $NN$ essere una struttura (infatti la funzione successore può essere intesa come un'operazione unaria, o sbaglio?)...
Cordiali saluti
Aspetta, non ho ben capito il tuo dubbio... Il tuo scopo è definire in modo assiomatico l'insieme dei numeri naturali $NN$, ok?
Il metodo assiomatico "dice" che devi definire degli enti che sono le nozioni primitive e degli assiomi che agiscono sulle nozioni. Per te le nozioni non sono altro che degli enunciati: $NN$ è un insieme di numeri, $0$ è un numero che chiamo zero, se $a$ è un numero di $NN$ allora $s(a)$ è il numero successore ad $a$, dove questo "successore" all'atto pratico è una funzione da $NN$ in se.
Per ora non vedo nulla di strano.... che ne pensi?
Il metodo assiomatico "dice" che devi definire degli enti che sono le nozioni primitive e degli assiomi che agiscono sulle nozioni. Per te le nozioni non sono altro che degli enunciati: $NN$ è un insieme di numeri, $0$ è un numero che chiamo zero, se $a$ è un numero di $NN$ allora $s(a)$ è il numero successore ad $a$, dove questo "successore" all'atto pratico è una funzione da $NN$ in se.
Per ora non vedo nulla di strano.... che ne pensi?
Salve GundamRX91,
si vero, hai ragione... quindi $NN$ è, con questi assiomi, in particolare con la funzione successore, una struttura algebrica a tutti gli effetti... ok! E su questo non ci piove.
Bene, se definisco così l'insieme $NN$ avrò che $NN$ è l'insieme ${0,S(0),S(S(0)),S(S(S(0))),....}$ giusto?
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Aspetta, non ho ben capito il tuo dubbio... Il tuo scopo è definire in modo assiomatico l'insieme dei numeri naturali $NN$, ok?
Il metodo assiomatico "dice" che devi definire degli enti che sono le nozioni primitive e degli assiomi che agiscono sulle nozioni. Per te le nozioni non sono altro che degli enunciati: $NN$ è un insieme di numeri, $0$ è un numero che chiamo zero, se $a$ è un numero di $NN$ allora $s(a)$ è il numero successore ad $a$, dove questo "successore" all'atto pratico è una funzione da $NN$ in se.
Per ora non vedo nulla di strano.... che ne pensi?
si vero, hai ragione... quindi $NN$ è, con questi assiomi, in particolare con la funzione successore, una struttura algebrica a tutti gli effetti... ok! E su questo non ci piove.
Bene, se definisco così l'insieme $NN$ avrò che $NN$ è l'insieme ${0,S(0),S(S(0)),S(S(S(0))),....}$ giusto?
Cordiali saluti
Esatto! 
Salve GundamRX91,
si ma i numeri $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,124588,...$ dove sono?
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Esatto!
si ma i numeri $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,124588,...$ dove sono?
Cordiali saluti
Allora, abbiamo detto che il simbolo $0$ è lo zero, ovvero $0$, allora il simbolo $s(0)$ è il simbolo $1$, $s(s(0))$ il simbolo $2$.... 
Salve GundamRX91,
se ho capito bene allora ho una cosa del tipo:
[tex]0[/tex]
[tex]1 \triangleq S(0)[/tex]
[tex]2 \triangleq S(S(0))[/tex] ovvero anche [tex]2 \triangleq S(1)[/tex]
[tex]3 \triangleq S(S(S(0)))[/tex] ovvero anche [tex]3 \triangleq S(2)[/tex]
[tex]4 \triangleq S(S(S(S(0))))[/tex] ovvero anche [tex]4 \triangleq S(3)[/tex]
[tex]5 \triangleq S(S(S(S(S(0)))))[/tex] ovvero anche [tex]5 \triangleq S(4)[/tex]
[tex]6 \triangleq S(S(S(S(S(S(0))))))[/tex] ovvero anche [tex]6 \triangleq S(5)[/tex]
[tex]7 \triangleq S(S(S(S(S(S(S(0)))))))[/tex] ovvero anche [tex]7 \triangleq S(6)[/tex]
[tex]8 \triangleq S(S(S(S(S(S(S(S(0))))))))[/tex] ovvero anche [tex]8 \triangleq S(7)[/tex]
[tex]9 \triangleq S(S(S(S(S(S(S(S(S(0)))))))))[/tex] ovvero anche [tex]9 \triangleq S(8)[/tex]
.
.
.
giusto?
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Allora, abbiamo detto che il simbolo $0$ è lo zero, ovvero $0$, allora il simbolo $s(0)$ è il simbolo $1$, $s(s(0))$ il simbolo $2$....
se ho capito bene allora ho una cosa del tipo:
[tex]0[/tex]
[tex]1 \triangleq S(0)[/tex]
[tex]2 \triangleq S(S(0))[/tex] ovvero anche [tex]2 \triangleq S(1)[/tex]
[tex]3 \triangleq S(S(S(0)))[/tex] ovvero anche [tex]3 \triangleq S(2)[/tex]
[tex]4 \triangleq S(S(S(S(0))))[/tex] ovvero anche [tex]4 \triangleq S(3)[/tex]
[tex]5 \triangleq S(S(S(S(S(0)))))[/tex] ovvero anche [tex]5 \triangleq S(4)[/tex]
[tex]6 \triangleq S(S(S(S(S(S(0))))))[/tex] ovvero anche [tex]6 \triangleq S(5)[/tex]
[tex]7 \triangleq S(S(S(S(S(S(S(0)))))))[/tex] ovvero anche [tex]7 \triangleq S(6)[/tex]
[tex]8 \triangleq S(S(S(S(S(S(S(S(0))))))))[/tex] ovvero anche [tex]8 \triangleq S(7)[/tex]
[tex]9 \triangleq S(S(S(S(S(S(S(S(S(0)))))))))[/tex] ovvero anche [tex]9 \triangleq S(8)[/tex]
.
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giusto?
Cordiali saluti
In vero l'unico concetto primitivo dell'assiomatica di Peano è il concetto di insieme.
Si suppone che esista un insieme non vuoto.
Si suppone che con questo insieme sia definibile una funzione che mandi l'insieme in sé stesso e tale da essere iniettiva e non suriettiva.
Si suppone che la non suriettività di questa funzione, chiamata funzione successore, sia dovuta al fatto che l'elemento che sicuramente è presente in questo insieme per mezzo del primo assioma sia quello privo di controimmagine e che questo elemento sia l'unico ad essere privo di controimmagine.
Si suppone che questa funzione successore sia tale per cui se una parte di questo insieme non vuoto contenga quell'unico elemento che non rende suriettiva la funzione successore e sia altresì "chiusa" chiusa rispetto a questa funzione, allora questa parte coincide con l'insieme iniziale.
Si dimostra che a meno di isomorfismi questo insieme è unico.
Si chiama questo insieme l'insieme dei numeri naturali. L'elemento che rende suriettiva la funzione si chiama zero. Si adotta la consueta simbologia.
Un concetto è primitivo quando si rinuncia a definirlo data la sua semplicità ed il suo significato si accoglie come a priori noto per mezzo dell'intuizione.
Per esempio nella Teoria degli Insiemi (ingenua e ZF) i concetti primitivi sono quelli di insieme e di relazione binaria di appartenenza: non sono definiti ed il loro significa è chiarito dall'intuizione. Gli assiomi che poi si forniscono chiariscono come si comportano questi concetti primitivi.
Perché \(0\) è un ente primitivo? Quel è il suo significato intuitivo? Quello di essere neutro rispetto alla somma? E la somma cos'è? Dov'è presente? Dov'è definita? Anzi: dove si è detto che la somma è primitiva (giacché come potrebbe lo \(0\) essere poi primitivo rispetto a qualcosa di costruito ad arte)? È forse il minimo di \(\mathbb{N}\)? E cos'è il minimo? Dov'è l'ordinamento? E dove si è detto che l'ordinamento sia qualcosa di primitivo (giacché come potrebbe lo \(0\) essere primitivo rispetto a qualcosa di costruito ad arte)?
Perché la funzione successore è qualcosa di primitivo? È forse il concetto di funzione un concetto primitivo? È forse primitivo perché è quella funzione che manda un elemento nel suo successivo? E cos'è il successivo se non l'immagine di \(x \in \mathbb{N}\) per mezzo di questa funzione? È forse primitivo perché manda un elemento in quello immediatamente più grande? E cos'è l'elemento immediatamente più grande se l'ordine ancora non è stato ancora definito?
Si suppone che esista un insieme non vuoto.
Si suppone che con questo insieme sia definibile una funzione che mandi l'insieme in sé stesso e tale da essere iniettiva e non suriettiva.
Si suppone che la non suriettività di questa funzione, chiamata funzione successore, sia dovuta al fatto che l'elemento che sicuramente è presente in questo insieme per mezzo del primo assioma sia quello privo di controimmagine e che questo elemento sia l'unico ad essere privo di controimmagine.
Si suppone che questa funzione successore sia tale per cui se una parte di questo insieme non vuoto contenga quell'unico elemento che non rende suriettiva la funzione successore e sia altresì "chiusa" chiusa rispetto a questa funzione, allora questa parte coincide con l'insieme iniziale.
Si dimostra che a meno di isomorfismi questo insieme è unico.
Si chiama questo insieme l'insieme dei numeri naturali. L'elemento che rende suriettiva la funzione si chiama zero. Si adotta la consueta simbologia.
Un concetto è primitivo quando si rinuncia a definirlo data la sua semplicità ed il suo significato si accoglie come a priori noto per mezzo dell'intuizione.
Per esempio nella Teoria degli Insiemi (ingenua e ZF) i concetti primitivi sono quelli di insieme e di relazione binaria di appartenenza: non sono definiti ed il loro significa è chiarito dall'intuizione. Gli assiomi che poi si forniscono chiariscono come si comportano questi concetti primitivi.
Perché \(0\) è un ente primitivo? Quel è il suo significato intuitivo? Quello di essere neutro rispetto alla somma? E la somma cos'è? Dov'è presente? Dov'è definita? Anzi: dove si è detto che la somma è primitiva (giacché come potrebbe lo \(0\) essere poi primitivo rispetto a qualcosa di costruito ad arte)? È forse il minimo di \(\mathbb{N}\)? E cos'è il minimo? Dov'è l'ordinamento? E dove si è detto che l'ordinamento sia qualcosa di primitivo (giacché come potrebbe lo \(0\) essere primitivo rispetto a qualcosa di costruito ad arte)?
Perché la funzione successore è qualcosa di primitivo? È forse il concetto di funzione un concetto primitivo? È forse primitivo perché è quella funzione che manda un elemento nel suo successivo? E cos'è il successivo se non l'immagine di \(x \in \mathbb{N}\) per mezzo di questa funzione? È forse primitivo perché manda un elemento in quello immediatamente più grande? E cos'è l'elemento immediatamente più grande se l'ordine ancora non è stato ancora definito?
Dire "si suppone che esista un insieme non vuoto" come concetto primitivo non potrebbe essere "scomposto" in due concetti: "si suppone che esista un insieme" e "si suppone che esista un elemento di questo insieme" ? Mi sembra sia equivalente...
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