L'insieme $NN$ definito tramite assiomi di Peano
Salve a tutti,
chiedo a priori scusa se nel forum si è già parlato di ciò, ma cercando non ho trovato nulla.
Allora, non ho mai definito nei miei studi l'insieme dei numeri naturali, però pensavo di farlo assiomaticamente, ovvero tramite gli assiomi di Peano, su per giù li capisco ma non riesco a focalizzare in che modo sto definendo l'insieme dei numeri naturali, ovvero l'insieme definito intuitivamente come formato da $0,1,2,3,4,5,....,1127,...,n,....$
Se mi sono spiegato male non esitate a dirlo...
Cordiali saluti
chiedo a priori scusa se nel forum si è già parlato di ciò, ma cercando non ho trovato nulla.
Allora, non ho mai definito nei miei studi l'insieme dei numeri naturali, però pensavo di farlo assiomaticamente, ovvero tramite gli assiomi di Peano, su per giù li capisco ma non riesco a focalizzare in che modo sto definendo l'insieme dei numeri naturali, ovvero l'insieme definito intuitivamente come formato da $0,1,2,3,4,5,....,1127,...,n,....$
Se mi sono spiegato male non esitate a dirlo...
Cordiali saluti
Risposte
"GundamRX91":
In generale se è vero che spesso si può capire dal contesto il significato di una notazione, non sarebbe male che si decidesse, a livello internazionale, uno standard, così non ci sarebbe il problema di specificarla in base al contesto o in base alle preferenze personali.
E come li metti d'accordo tutti? Penso che l'unica maniera per farlo e' dire ai programmatori di LaTex di togliere uno dei due simboli.
"garnak.olegovitc":
P.S.=Un'ultima cosa, ovviamente dati due insiemi $A$ e $B$, nel nostro caso $A sube B$ se $AAx in A(x in B)$, giusto?
Ovviamente.
[OT, tanto per segnalare...]
Una variazione sul tema dell'inclusione è il simbolo \(\subset \subset\), che si trova frequentemente nei testi di PDE.
Scrivere \(U\subset \subset V\) (qui \(U,V\) sono sottoinsiemi di uno spazio metrico finito-dimensionale, tipicamente \(\mathbb{R}^N\) euclideo) significa che \(U\) è un insieme a chiusura compatta contenuta nell'interno di \(V\).
[/OT]
Una variazione sul tema dell'inclusione è il simbolo \(\subset \subset\), che si trova frequentemente nei testi di PDE.
Scrivere \(U\subset \subset V\) (qui \(U,V\) sono sottoinsiemi di uno spazio metrico finito-dimensionale, tipicamente \(\mathbb{R}^N\) euclideo) significa che \(U\) è un insieme a chiusura compatta contenuta nell'interno di \(V\).
[/OT]
Salve gugo82,
chiedo scusa se riprendo l'argomento,
mi sovviene una domanda spontanea... perchè la funzione successore è \(c:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) e non \(c:\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}\)? Ringrazio anticipatamente!
Ovviamente la domanda non ha unico destinatario.
Cordiali saluti
chiedo scusa se riprendo l'argomento,
"gugo82":
[OT]
Supponiamo che esista un inseme non vuoto, che denoteremo con \(\mathbb{N}\), il quale gode delle seguenti tre proprietà:
[list=1][*:3a946akm] esiste una funzione iniettiva e non suriettiva \(c:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\);
[/*:m:3a946akm]
[*:3a946akm] esiste in \(\mathbb{N}\) un unico elemento, che denoteremo \(0\), tale che \(\mathbb{N}\setminus c(\mathbb{N}) =\{0\}\);
[/*:m:3a946akm]
[*:3a946akm] per ogni sottoinsieme non vuoto \(S\subseteq \mathbb{N}\), vale la seguente implicazione:
\[
\text{Se } 0\in S \text{ e se } n\in S\Rightarrow c(n)\in S \text{ per ogni } n\in S \text{, allora } S=\mathbb{N}
\]
(questa implicazione si chiama Principio d'Induzione Completa).[/*:m:3a946akm][/list:o:3a946akm]
[/OT]
mi sovviene una domanda spontanea... perchè la funzione successore è \(c:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) e non \(c:\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}\)? Ringrazio anticipatamente!
Ovviamente la domanda non ha unico destinatario.
Cordiali saluti
Scusa ma in una funzione in cui il dominio è il prodotto cartesiano tra due insiemi, l'argomento della funzione sarà una coppia ordinata; ora quale dei due elementi mappi, tramite la funzione, sul codominio?
Salve GundamRX91,
bhè tutti e due come coppia ordinata, ma a parte ciò... in definitiva la mia ipotesi era quello di considerare la funzione successorre non come un operatore unario ma binario ..... ma mi sembra di aver trovato risposta alla mia domanda
mi bastava pensarci un pò per poter capire che non poteva esser quello che ipotizzavo io..
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Scusa ma in una funzione in cui il dominio è il prodotto cartesiano tra due insiemi, l'argomento della funzione sarà una coppia ordinata; ora quale dei due elementi mappi, tramite la funzione, sul codominio?
bhè tutti e due come coppia ordinata, ma a parte ciò... in definitiva la mia ipotesi era quello di considerare la funzione successorre non come un operatore unario ma binario ..... ma mi sembra di aver trovato risposta alla mia domanda
mi bastava pensarci un pò per poter capire che non poteva esser quello che ipotizzavo io..Cordiali saluti
Il fatto è che la funzione successore è una funzione ricorsiva: [tex]c(c(c(c(c(x)))))[/tex], se avessi una coppia ordinata come argomento della funzione dovresti decidere di volta in volta quale elemento della coppia usare.
Salve GundamRX91,
diciamo che avevo fatto un ragionamento un pò, forse, più semplice, e almeno, spero, giusto,... pensavo che se ci rifaciamo alla classica notazione analitica per il successore, ovvero $S(x)=x+1$, essa è uguale per tutti gli $x$, ma non che tutti hanno lo stesso successore a meno che sono uguali tra loro, in questa notazione il numero $1$ non è una variabile ma una costante ed in quanto tale non è ammissibile un' interpretazione di successore come operatore binario poichè ciò ammetterebbe due variabili che in questo caso non ho... questa è una mia interpretazione, penso di non aver fatto errori ..
Grazie comunque della risposta!
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Il fatto è che la funzione successore è una funzione ricorsiva: [tex]c(c(c(c(c(x)))))[/tex], se avessi una coppia ordinata come argomento della funzione dovresti decidere di volta in volta quale elemento della coppia usare.
diciamo che avevo fatto un ragionamento un pò, forse, più semplice, e almeno, spero, giusto,... pensavo che se ci rifaciamo alla classica notazione analitica per il successore, ovvero $S(x)=x+1$, essa è uguale per tutti gli $x$, ma non che tutti hanno lo stesso successore a meno che sono uguali tra loro, in questa notazione il numero $1$ non è una variabile ma una costante ed in quanto tale non è ammissibile un' interpretazione di successore come operatore binario poichè ciò ammetterebbe due variabili che in questo caso non ho... questa è una mia interpretazione, penso di non aver fatto errori ..
Grazie comunque della risposta!
Cordiali saluti
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