[Insiemi] esercizi
Apro una discussione specifica in modo da non tediarvi con n-mila discussioni diverse 
Sto provando ad risolvere alcuni esercizi e in uno in particolare chiede di dire quale affermazione e' equivalente rispetto ad un elenco dato (in ogni universo e per ogni coppia di insiemi P e Q):
$(P uu Q) \\ P = Q$
la mia risposta e' $P != Q$ mentre quella della dispensa e' $P nn Q = O/$
Mi chiedo: ma se l'intersezione di due insiemi e' l'insieme nullo, allora vuol dire che i due insiemi sono disgiunti e in effetti la relazione $(P uu Q) \\ P = Q$ sarebbe coerente con questo, ma lo sarebbe anche la mia $P != Q$ sempre per il motivo che sono disgiunti.... Che cos'e' che non capisco??????
Sto provando ad risolvere alcuni esercizi e in uno in particolare chiede di dire quale affermazione e' equivalente rispetto ad un elenco dato (in ogni universo e per ogni coppia di insiemi P e Q):
$(P uu Q) \\ P = Q$
la mia risposta e' $P != Q$ mentre quella della dispensa e' $P nn Q = O/$
Mi chiedo: ma se l'intersezione di due insiemi e' l'insieme nullo, allora vuol dire che i due insiemi sono disgiunti e in effetti la relazione $(P uu Q) \\ P = Q$ sarebbe coerente con questo, ma lo sarebbe anche la mia $P != Q$ sempre per il motivo che sono disgiunti.... Che cos'e' che non capisco??????
Risposte
Gundam ti è ben chiaro cosa voglia dire "intersezione" ??
quando scrivi $A nn B$ vuol dire che prendi quegli elementi che stanno sia in $A$ che in $B$
perciò quando scrivi $P nn notP$ intendi quegli elementi che stanno sia in $P$ che in $notP$.
ma questo proprio per la definizione di $notP$ è evidentemente sempre uguale a $O/$ è chiaro no?
perciò la domanda che ti fa il testo:
trovare $P$ tale che $P nn notP=P$ cosa può avere per risposta?
visto che qualunque sia $P$ si ha che $P nn notP=O/$
da $P nn notP=P$ e contemporaneamente $P nn notP=O/$ è ovvio che $P=O/$
hai capito?
quando scrivi $A nn B$ vuol dire che prendi quegli elementi che stanno sia in $A$ che in $B$
perciò quando scrivi $P nn notP$ intendi quegli elementi che stanno sia in $P$ che in $notP$.
ma questo proprio per la definizione di $notP$ è evidentemente sempre uguale a $O/$ è chiaro no?
perciò la domanda che ti fa il testo:
trovare $P$ tale che $P nn notP=P$ cosa può avere per risposta?
visto che qualunque sia $P$ si ha che $P nn notP=O/$
da $P nn notP=P$ e contemporaneamente $P nn notP=O/$ è ovvio che $P=O/$
hai capito?
Occavoli, ho capito.
Il mio errore era sul concetto di intersezione che e' l'insieme formato dagli elementi in COMUNE ai due insieme presi in considerazione, ma se uno dei due non ha elementi , quali elementi in comune posso avere? Nessuno!!
Ok, quindi $P nn not P = O/$ di conseguenza nella relazione $P nn not P = P$ $P=O/$
Uff che fatica, pero' questo mi fa capire quanto "sottili" siano le implicazioni degli enunciati e quanta attenzione bisogna porre (insomma sto cervello bisogna usarlo, non c'e' niente da fare
)
Il mio errore era sul concetto di intersezione che e' l'insieme formato dagli elementi in COMUNE ai due insieme presi in considerazione, ma se uno dei due non ha elementi , quali elementi in comune posso avere? Nessuno!!
Ok, quindi $P nn not P = O/$ di conseguenza nella relazione $P nn not P = P$ $P=O/$
Uff che fatica, pero' questo mi fa capire quanto "sottili" siano le implicazioni degli enunciati e quanta attenzione bisogna porre (insomma sto cervello bisogna usarlo, non c'e' niente da fare
)
Nuovo esercizio... devo stabilire se i seguenti sottoinsiemi sono nulli oppure no:
$A = {n in NN : n = n -3}$
visto che l'insieme universo in questo caso e' l'insieme dei numeri naturali, la proprieta' $n=n-3$ e' valida per $n>=4$, mentre per $n<4$ non e' valida, quindi non essendo la proprieta' sempre valida $A$ dovrebbe essere un insieme vuoto.
$B = {n in NN : n = 2n - 3}$
anche in questo caso la proprieta' $n=2n-3$ non e' sempre valida, quindi dovrebbe essere un insieme nullo, invece la riposta e' che $B={3}$; pero' dovrebbe essere valida per $n>=6$....
$C = {n in NN : 1/(n+2) in NN}
questa, per la definizione di $NN$ e' un insieme vuoto e non credo di avere dubbi, ma per gli altri invece non ho ben capito il motivo per cio $A$ sia nullo e $B={3}$
grazie
$A = {n in NN : n = n -3}$
visto che l'insieme universo in questo caso e' l'insieme dei numeri naturali, la proprieta' $n=n-3$ e' valida per $n>=4$, mentre per $n<4$ non e' valida, quindi non essendo la proprieta' sempre valida $A$ dovrebbe essere un insieme vuoto.
$B = {n in NN : n = 2n - 3}$
anche in questo caso la proprieta' $n=2n-3$ non e' sempre valida, quindi dovrebbe essere un insieme nullo, invece la riposta e' che $B={3}$; pero' dovrebbe essere valida per $n>=6$....
$C = {n in NN : 1/(n+2) in NN}
questa, per la definizione di $NN$ e' un insieme vuoto e non credo di avere dubbi, ma per gli altri invece non ho ben capito il motivo per cio $A$ sia nullo e $B={3}$
grazie
non ho afferrato la risposta dell'esercizio $A$, l'insieme in questione è vuoto? (che sarebbe esatta)
per il $B$ semplicemente è una equazione in una variabile, ovvero l'insieme è formato dalle soluzioni di quella equazione che in effetti è 3:
$n=2n-3$ $->$ $n-2n=3$ $->$ $-n=-3$ da cui $n=3$
ps: non credo sia il ragionamento rigoroso, però così è intuitivo (e capisci anche l'esercizio $A$)
per il $B$ semplicemente è una equazione in una variabile, ovvero l'insieme è formato dalle soluzioni di quella equazione che in effetti è 3:
$n=2n-3$ $->$ $n-2n=3$ $->$ $-n=-3$ da cui $n=3$
ps: non credo sia il ragionamento rigoroso, però così è intuitivo (e capisci anche l'esercizio $A$)
Si $A$ e' nullo e in effetti se considero la sua proprieta' come equazione verrebbe $n=n-3$ da cui $0=-3$ 
Rigoroso o no, pero' funziona
Grazie
Rigoroso o no, pero' funziona
Grazie
non c'è di che, se le cose prima non si capiscono intuitivamente è inutile studiare e studiare la teoria rigorosa
C'e' da dire che mi manca anche parecchia pratica e ho ripreso a studiare dopo tanti anni dal diploma superiore; spero che andando avanti le cose migliorino un po' 
se c'è costanza e determinazione nel raggiungere gli obiettivi, senz'altro!
Se $S$ e $T$ sono due insiemi non vuoti dimostrare che esiste una corrispondenza biunivoca tra $S \times T$ e $T \times S$
Partendo dalla definizione di prodotto cartesiano, per $S \times T$ ho:
$S \times T = {(s,t) : s in S, t in T}$
mentre il prodotto cartesiano di $T \times S$ e':
$T \times S = {(t,s) : t in T, s in S}$
dal concetto di coppia ordinata ho che $(s,t) = (t,s)$ se e solo se $S = T$, quindi in mancanza di questa informazione non c'e' una corrispondenza biunivoca.
Partendo dalla definizione di prodotto cartesiano, per $S \times T$ ho:
$S \times T = {(s,t) : s in S, t in T}$
mentre il prodotto cartesiano di $T \times S$ e':
$T \times S = {(t,s) : t in T, s in S}$
dal concetto di coppia ordinata ho che $(s,t) = (t,s)$ se e solo se $S = T$, quindi in mancanza di questa informazione non c'e' una corrispondenza biunivoca.
Ho un altro esercizio che mi crea delle perplessita'....
devo dimostrare tramite un controesempio che la proposizione $A uu B = A uu C => B = C$ e' falsa
ma per dire che e' falsa dovrei fare in modo che $A uu C$ sia falsa, oppure che $C$ contenga degli elementi diversi da quelli $B$, o sbaglio?
devo dimostrare tramite un controesempio che la proposizione $A uu B = A uu C => B = C$ e' falsa
ma per dire che e' falsa dovrei fare in modo che $A uu C$ sia falsa, oppure che $C$ contenga degli elementi diversi da quelli $B$, o sbaglio?
Devi trovare un insieme [tex]C[/tex] diverso da [tex]B[/tex] tale che valga l'uguaglianza. Se ci pensi un poco, se prendi ad esempio il caso in cui [tex]B\subset A[/tex] ed anche [tex]C \subset A[/tex] ma tali che [tex]B \cap C = \emptyset[/tex] allora ci sei!
Osserva che il caso più semplice sopra citato è proprio quello di [tex]B=A[/tex] e [tex]C= \emptyset[/tex], da cui: [tex]A \cup A = A \cup \emptyset =A[/tex] ma di certo [tex]A \neq \emptyset[/tex]
Osserva che il caso più semplice sopra citato è proprio quello di [tex]B=A[/tex] e [tex]C= \emptyset[/tex], da cui: [tex]A \cup A = A \cup \emptyset =A[/tex] ma di certo [tex]A \neq \emptyset[/tex]
Ho capito!! Grazie
"GundamRX91":
Se $S$ e $T$ sono due insiemi non vuoti dimostrare che esiste una corrispondenza biunivoca tra $S \times T$ e $T \times S$
Partendo dalla definizione di prodotto cartesiano, per $S \times T$ ho:
$S \times T = {(s,t) : s in S, t in T}$
mentre il prodotto cartesiano di $T \times S$ e':
$T \times S = {(t,s) : t in T, s in S}$
dal concetto di coppia ordinata ho che $(s,t) = (t,s)$ se e solo se $S = T$, quindi in mancanza di questa informazione non c'e' una corrispondenza biunivoca.
Inoltre pensavo anche al prodotto scalare come funzione, ma anche in questo caso non c'e' corrispondenza visto che comunque non e' iniettiva la funzione.... Dove mi perdo???
Probabilmente nel fatto che stai cercando una cosa che non devi cercare. Infatti non è necessario che $(s,t)=(t,s)$ nel senso di coppia ordinata. Devi semmai pensare ad una funzione, una relazione. Il risultato è semplice.
Ma e' semplicemente una relazione binaria? Cioe' un sottoinsieme del prodotto scalare $S \times T$ ??
Hai chiaro il concetto di corrispondenza biunivoca? Spero di si. Dunque:
- abbiamo due insiemi non vuoti $S$ e $T$;
- l'insieme $S x T$ è il prodotto cartesiano di $S$ e $T$ come l'hai definito, analogamente è l'insieme $TxS$;
- cerchiamo una relazione o funzione $f$ siffatta: $f: SxT -> TxS$, che sia una corrispondenza biunivoca.
A me la funzione $f(s,t)=(t,s), s in S, t in T$ sembra perfetta: associa ogni elemento di $(s,t) in SxT$ ad un elemento $(t,s) in TxS$ e viceversa.
- abbiamo due insiemi non vuoti $S$ e $T$;
- l'insieme $S x T$ è il prodotto cartesiano di $S$ e $T$ come l'hai definito, analogamente è l'insieme $TxS$;
- cerchiamo una relazione o funzione $f$ siffatta: $f: SxT -> TxS$, che sia una corrispondenza biunivoca.
A me la funzione $f(s,t)=(t,s), s in S, t in T$ sembra perfetta: associa ogni elemento di $(s,t) in SxT$ ad un elemento $(t,s) in TxS$ e viceversa.
Scusate ragazzi interferisco per un flash:
prodotto scalare S×T ??Si chiama prodotto cartesiano, come dice anche Rggb. Il prodotto scalare è un'altra cosa che davvero non c'entra nulla.
Probabilmente si tratta di un refuso, in quanto l'aveva già scritto correttamente prima.
@GundamRX91: comunque stacci attento
@GundamRX91: comunque stacci attento
"Rggb":
Hai chiaro il concetto di corrispondenza biunivoca? Spero di si. Dunque:
- abbiamo due insiemi non vuoti $S$ e $T$;
- l'insieme $S x T$ è il prodotto cartesiano di $S$ e $T$ come l'hai definito, analogamente è l'insieme $TxS$;
- cerchiamo una relazione o funzione $f$ siffatta: $f: SxT -> TxS$, che sia una corrispondenza biunivoca.
A me la funzione $f(s,t)=(t,s), s in S, t in T$ sembra perfetta: associa ogni elemento di $(s,t) in SxT$ ad un elemento $(t,s) in TxS$ e viceversa.
Si, la corrispondenza biunivoca dovrebbe essere una relazione binaria tra due insiemi, $A$ e $B$ tale che per ogni elemento $a in A$ corrisponde uno e uno solo elemento $b in B$ e viceversa.
Il problema e' che io consideravo le singole variabili della coppia ordinata, e confrontandole con le variabili dell'altra coppia ordinata (quella di $T \times S$ per intenderci) trovavo che essendo diverse non "potevo" associarle tra di loro, mentre invece devo "vedere" la coppia ordinata come elemento a se stante.
Grazie e scusate per le difficolta' legate alla mia ancora poca padronanza con il linguaggio matematico (spero che andando avanti con gli studi di migliorare anche in tal senso
)
Devo dimostrare che:
$A nn (B uu (C\\A)) = A nn B$
Io mi sono fermato ad un punto... Ho considerato che $C\\A$ si può anche esprimere come $C nn not A$, da cui:
$A nn (B uu (C nn not A))$ poi per la legge di distributività dell'unione rispetto all'intersezione si ha:
$A nn ((B uu C) nn (B uu not A))$ però a questo punto mi blocco e non so come continuare.... Cosa mi suggerite?
Grazie
$A nn (B uu (C\\A)) = A nn B$
Io mi sono fermato ad un punto... Ho considerato che $C\\A$ si può anche esprimere come $C nn not A$, da cui:
$A nn (B uu (C nn not A))$ poi per la legge di distributività dell'unione rispetto all'intersezione si ha:
$A nn ((B uu C) nn (B uu not A))$ però a questo punto mi blocco e non so come continuare.... Cosa mi suggerite?
Grazie
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