[Insiemi] esercizi
Apro una discussione specifica in modo da non tediarvi con n-mila discussioni diverse 
Sto provando ad risolvere alcuni esercizi e in uno in particolare chiede di dire quale affermazione e' equivalente rispetto ad un elenco dato (in ogni universo e per ogni coppia di insiemi P e Q):
$(P uu Q) \\ P = Q$
la mia risposta e' $P != Q$ mentre quella della dispensa e' $P nn Q = O/$
Mi chiedo: ma se l'intersezione di due insiemi e' l'insieme nullo, allora vuol dire che i due insiemi sono disgiunti e in effetti la relazione $(P uu Q) \\ P = Q$ sarebbe coerente con questo, ma lo sarebbe anche la mia $P != Q$ sempre per il motivo che sono disgiunti.... Che cos'e' che non capisco??????
Sto provando ad risolvere alcuni esercizi e in uno in particolare chiede di dire quale affermazione e' equivalente rispetto ad un elenco dato (in ogni universo e per ogni coppia di insiemi P e Q):
$(P uu Q) \\ P = Q$
la mia risposta e' $P != Q$ mentre quella della dispensa e' $P nn Q = O/$
Mi chiedo: ma se l'intersezione di due insiemi e' l'insieme nullo, allora vuol dire che i due insiemi sono disgiunti e in effetti la relazione $(P uu Q) \\ P = Q$ sarebbe coerente con questo, ma lo sarebbe anche la mia $P != Q$ sempre per il motivo che sono disgiunti.... Che cos'e' che non capisco??????
Risposte
forse dico una bischerata...ma se dici che $P!=Q$ non escludi che qualche elemento sia in comune. Cioè se $P nn Q= O/$ allora sicuramente i due insieme sono disgiunti, $P!=Q$ non è detto.
Ma se sono disgiunti come fanno ad avere almeno un elemento in comune?
Vediamo, se ho l'insieme $A={1,2,3}$ e l'insieme $B={4,5,6}$ questi dovrebbero essere disgiunti proprio perche' non ci sono elementi comuni, mentre nel caso contrario dovrei avere $A={1,2,3}$ e $B={3,4,5,6}$ e sarebbero sempre diversi come insiemi.
Vediamo, se ho l'insieme $A={1,2,3}$ e l'insieme $B={4,5,6}$ questi dovrebbero essere disgiunti proprio perche' non ci sono elementi comuni, mentre nel caso contrario dovrei avere $A={1,2,3}$ e $B={3,4,5,6}$ e sarebbero sempre diversi come insiemi.
Hai fatto molto bene a mettere degli esempi: nel primo hai $A nn B = O/$, nel secondo $A!=B$.
Ora prova a eseguire $(A uu B)\\A$ in entrambi gli esempi... e guarda se il risultato è $B$ tutte e due le volte
Ora prova a eseguire $(A uu B)\\A$ in entrambi gli esempi... e guarda se il risultato è $B$ tutte e due le volte
Nel secondo caso $(A uu B) \\A != B$ in quanto nella differenza non c'e' l'elemento $3$ che e' comune ad entrambi.
"GundamRX91":
Ma se sono disgiunti come fanno ad avere almeno un elemento in comune?
Vediamo, se ho l'insieme $A={1,2,3}$ e l'insieme $B={4,5,6}$ questi dovrebbero essere disgiunti proprio perche' non ci sono elementi comuni, mentre nel caso contrario dovrei avere $A={1,2,3}$ e $B={3,4,5,6}$ e sarebbero sempre diversi come insiemi.
non ho afferrato quello che vuoi dire..cioè nei tuoi esempi ti sei risposto da solo, infatti il primo caso è sia $P nn Q=O/$ sia $P!=Q$; mentre il secondo esempio è $P!=Q$ ma $P nn Q!=O/$
appunto, ma il mio dubbio e' che non riesco a capire come la relazione $(P uu Q) \\ P = Q$ possa essere espressa come $P nn Q = O/$, se i due insiemi sono disgiunti!!
semplicemente perchè non per forza $P$ è unibile a $Q$ se e solo se hanno almeno un elemento in comune, per esempio se unisci l'insieme dei numeri pari interi positivi e l'insieme dei numeri dispari interi positivi (che non hanno elementi in comune, quindi $P nn Q=O/$) ottieni $NN$.
Aspetta forse mi sto incasinando.... il quesito iniziale era sapere se potevo esprimere $(P uu Q) \\ P = Q$ come $P != Q$ oltre a (la soluzione della dispensa) $P nn Q = O/$. Se la mia risposta e' errata vorrei capire perche' 
Proviamo a vedere così: verifica e non lo prendere per vero.
Io introdurrei un insieme di riferimento $Omega$ che è un sovrainsieme di tutti gli insiemi dati e rispetto al quale definiamo il complemento.
Allora parti da $(PuuQ)-P\ =\ (PuuQ)nnP^c\ =\ QnnP^c\ =\ Q\ hArr\ Q sube P^c \ hArr \ QnnP=emptyset \ rArr \ P!=Q$; a meno che non siano entrambi vuoti.
Nota che l'ultima è un'implicazione da un lato solo.
Ridagli un'occhiata per vedere se le implicazioni sono corrette
Io introdurrei un insieme di riferimento $Omega$ che è un sovrainsieme di tutti gli insiemi dati e rispetto al quale definiamo il complemento.
Allora parti da $(PuuQ)-P\ =\ (PuuQ)nnP^c\ =\ QnnP^c\ =\ Q\ hArr\ Q sube P^c \ hArr \ QnnP=emptyset \ rArr \ P!=Q$; a meno che non siano entrambi vuoti.
Nota che l'ultima è un'implicazione da un lato solo.
Ridagli un'occhiata per vedere se le implicazioni sono corrette
"GundamRX91":
Aspetta forse mi sto incasinando.... il quesito iniziale era sapere se potevo esprimere $(P uu Q) \\ P = Q$ come $P != Q$ oltre a (la soluzione della dispensa) $P nn Q = O/$. Se la mia risposta e' errata vorrei capire perche'
non puoi perchè $P!=Q$ dice che gli insiemi sono diversi, ma questo NON $rArr$ che essi non abbiano elementi in comune...dati due insiemi qualunque essi sono diversi $hArr$ hanno almeno un elemento non in comune. Dire che il complementare dell'unione di due insiemi è (scusa il gioco di parole) uno dei due insiemi significa, anzi, implica che gli insiemi sono disgiunti ovvero che $P nn Q=O/$
Hai ragione $P != Q$ non implica che non abbiano elementi in comune, mentre se sono disgiunti si.
Come sospettavo il mio ragionamento aveva una falla.... grazie come sempre per la pazienza, senza di voi non ci sarei arrivato, se non forse con tempi biblici
Come sospettavo il mio ragionamento aveva una falla.... grazie come sempre per la pazienza, senza di voi non ci sarei arrivato, se non forse con tempi biblici
ma scherzi? è un piacere..siamo qui a posta..mi piace aiutare (fin dove posso ovviamente)
è un piacere..siamo qui a posta..mi piace aiutare (fin dove posso ovviamente)
Ok, allora eccomi ancora con un problema
Si tratta sempre verificare l'equivalenza di affermazioni; questa dice che $P nn not P = P$
sempre con un'insieme Universo e sempre considerando una coppia di insiemi P e Q.
La mia risposta e' $not P != O/$
La risposta della dispensa e' $P = O/$
Le mie considerazioni: $P$ e' un sottoinsieme di U e in effetti se interseco $P$ con se stesso ottengo un'insieme nullo $P nn P = O/$, mentre se lo interseco con il complemento di $P$ ottengo $P$.
$P = O/$ sarebbe anche possibile in quanto l'intersezione di un'insieme nullo con l'insieme nullo dovrebbe essere sempre l'insieme nullo....Pero' vorrei capire perche' e' errato pensare alla risposta $not P != O/ $
Grazie
Si tratta sempre verificare l'equivalenza di affermazioni; questa dice che $P nn not P = P$
sempre con un'insieme Universo e sempre considerando una coppia di insiemi P e Q.
La mia risposta e' $not P != O/$
La risposta della dispensa e' $P = O/$
Le mie considerazioni: $P$ e' un sottoinsieme di U e in effetti se interseco $P$ con se stesso ottengo un'insieme nullo $P nn P = O/$, mentre se lo interseco con il complemento di $P$ ottengo $P$.
$P = O/$ sarebbe anche possibile in quanto l'intersezione di un'insieme nullo con l'insieme nullo dovrebbe essere sempre l'insieme nullo....Pero' vorrei capire perche' e' errato pensare alla risposta $not P != O/ $
Grazie
"GundamRX91":
$P$ e' un sottoinsieme di U e in effetti se interseco $P$ con se stesso ottengo un'insieme nullo $P nn P = O/$, mentre se lo interseco con il complemento di $P$ ottengo $P$.
ma sei proprio sicuro?
"blackbishop13":
[quote="GundamRX91"]
$P$ e' un sottoinsieme di U e in effetti se interseco $P$ con se stesso ottengo un'insieme nullo $P nn P = O/$, mentre se lo interseco con il complemento di $P$ ottengo $P$.
ma sei proprio sicuro?
[/quote]dalla tua faccia immagino di aver scritto delle grosse fesserie
Dammi un po' di tempo, ora devo preparare la cena, poi ci ritorno su 
Intanto ho scritto sicuramente una cosa errata: $P nn P = P$ e non $O/$
Poi il complemento di $P$ per definizione e' l'insieme universo $U$ esclusi gli elementi propri di $P$, di conseguenza
$P nn not P = P$
e' l'intersezione di $P$ con l'insieme $U$ (esclusi gli elementi di $P$)
Ora devo capire che relazione c'e' tra $P$ e l'insieme nullo $O/$
Poi il complemento di $P$ per definizione e' l'insieme universo $U$ esclusi gli elementi propri di $P$, di conseguenza
$P nn not P = P$
e' l'intersezione di $P$ con l'insieme $U$ (esclusi gli elementi di $P$
)Ora devo capire che relazione c'e' tra $P$ e l'insieme nullo $O/$
Scusa ma con $notP$ intendi il compemento di $P$. (credo di si)
Comunque $P nn not P=emptyset$
Comunque $P nn not P=emptyset$
Si intendo il complemento di $P$.
La relazione $P nn not P = P$ l'ho trovata come esercizio della dispensa.... ma l'intersezione tra due insiemi non e' quell'insieme formato dai soli elementi comuni ad entrambi? Nel caso di $P$ e del suo complemento (che poi sarebbe l'insieme Universo meno gli elementi proprio di $P$), l'intersezione non e' $P$ stesso?
La relazione $P nn not P = P$ l'ho trovata come esercizio della dispensa.... ma l'intersezione tra due insiemi non e' quell'insieme formato dai soli elementi comuni ad entrambi? Nel caso di $P$ e del suo complemento (che poi sarebbe l'insieme Universo meno gli elementi proprio di $P$), l'intersezione non e' $P$ stesso?
"GundamRX91":
Si intendo il complemento di $P$.
La relazione $P nn not P = P$ l'ho trovata come esercizio della dispensa.... ma l'intersezione tra due insiemi non e' quell'insieme formato dai soli elementi comuni ad entrambi? Nel caso di $P$ e del suo complemento (che poi sarebbe l'insieme Universo meno gli elementi proprio di $P$), l'intersezione non e' $P$ stesso?
Contraddizione. Come possono gli elementi di $not P$ appartenere anche a $P$?
"Paolo90":
[quote="GundamRX91"]Si intendo il complemento di $P$.
La relazione $P nn not P = P$ l'ho trovata come esercizio della dispensa.... ma l'intersezione tra due insiemi non e' quell'insieme formato dai soli elementi comuni ad entrambi? Nel caso di $P$ e del suo complemento (che poi sarebbe l'insieme Universo meno gli elementi proprio di $P$), l'intersezione non e' $P$ stesso?
Contraddizione. Come possono gli elementi di $not P$ appartenere anche a $P$?[/quote]
Infatti non gli appartengono, anche perche' non ci sono elementi in quella "porzione" dell'insieme $U-P$, o sbaglio?
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