Insieme vuoto

[gundamrx91-votailprof]

devo dimostrare che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme improprio di un generico insieme A:

$0 sube A$

pero' non so da dove partire...
Diciamo che so che un'insieme vuoto non ha elementi e che puo' essere visto come elemento di un generico insieme ($n$ sottoinsiemi possono essere considerati elementi dell'insieme stesso), ma non riesco ad arrivare alla dimostrazione richiesta. Probabilmente conosco i concetti ma ancora non riesco a collegarli.... suggerimenti???

PS. nel frattempo ci sto comunque pensando

[gundamrx91-votailprof]

"j18eos":Potresti postare con chiarezza di particolari la tua soluzione?

Ok

Parto dal concetto di sottoinsieme: un'insieme A e' un sottoinsieme di un'insieme B se tutti gli elementi di A appartengono a B:

$(A sube B)(x in A => x in B)$

questa proposizione in base alla tavola di verita' dei connettivi logici mi dice che se due enunciati sono veri lo e' anche l'implicazione.

Ritornando al concetto di sottoinsieme anche l'insieme nullo, per essere un sottoinsieme, deve avere tutti i suoi elementi che appartengono anche ad un generico insieme B:

$(O/ sube B)(x in O/ => in B)

questa proposizione, sempre in base alla tavola di verita' dei connettivi logici, e' vera anche se il primo enunciato ($x in O/$) e' falso (per definizione l'insieme nullo non ha elementi - dall'assioma dell'insieme vuoto) , da cui posso dedurre che l'insieme nullo e' un sottoinsieme di $B$

[gundamrx91-votailprof]

Ma poi era giusta la mia elucubrazione????

[Rggb1]

Va bene; ma discorsivamente meglio ancora dire "un insieme è sottoinsieme di un altro se ogni suo elemento appartiene all'altro".

Nell'altro modo, in italiano arrivi all'ossimoro "tutti di nessuno" nel caso dell'insieme vuoto...

[j18eos]

Non ti ho risposto perché ero troppo sicuro della correttezza ed in questi casi sbaglio facilmente!

[gundamrx91-votailprof]

Meno male....

Ok per i consigli e grazie a tutti per la pazienza

[j18eos]

Prego, di NULLA!

[Sk_Anonymous]

Ciao, senza che apro una nuova discussione, posto qui.
Devo dimostrare il seguente teorema:
"L'insieme vuoto è un sottoinsieme di ogni insieme".
In maniera più schematica, separando ipotesi e tesi, il teorema si dovrebbe enunciare così:
TEOREMA
Ipotesi: Sia $A$ un insieme, sia $A$ vuoto, sia $B$ un insieme;
Tesi: $A$ è un sottoinsieme di $B$. Innanzitutto è corretto enunciare questo teorema in questo modo un pò più schematico?
Ora provo a dimostrarlo. Consideriamo gli "oggetti" $A_0$ e $B_0$, che soddisfano le ipotesi. $A_0$ è un insieme (per ipotesi), e da quest'informazione non posso cavare nulla visto che il concetto di insieme è primitivo. Stessa cosa per $B_0$. Sempre per ipotesi, però, $A_0$ è vuoto, e dalla definizione di insieme vuoto posso ricavare la conclusione che "$A_0$ non contiene nessun elemento".
Ora la tesi mi dice che l'oggetto $A_0$ gode della proprietà di essere un sottoinsieme di $B_0$, e ciò per definizione significa che $A_0$ gode della proprietà che ogni suo elemento è anche elemento di $B_0$. Quindi, ricapitolando, devo dimostrare che dal fatto che $A_0$ gode della proprietà "non contiene nessun elemento", $A_0$ gode anche della proprietà "ogni suo elemento è anche elemento di $B_0$. Spero che fin qui i miei ragionamenti sono stati corretti!

[Kashaman]

Il tutto secondo me si può enunciare come segue.
Proposizione :
Sia $J=0 $ l'insieme vuoto. E $B$ un insieme qualunque.
Allora $J sube B$


E.. più o meno ciò che dici non è sbagliato. Hai idee?

----------------------
Guarda solo dopo aver tentato di finire di dimostrare il teorema!

Premessa :
Di norma , se vogliamo provare che $AsubeB$ , si dovrebbe far vedere che se $x \in A => x \in B$,

Nel nostro caso $J sube B <=>( AA x \in J => x \in B)$
Ma la locuzione $x \in J$ è falsa, in quanto $J$ non ha elementi. Quindi , per una questione di logica più che altro, da una premessa falsa, l'intera proposizione è vera. Pertanto risulta verificato che $J=0 sube B$ . Fine.

[dissonance]

Complemento a quanto dice Kashaman:

Una volta, durante una lezione, il professore scrisse alla lavagna:
\[
x \in \varnothing\qquad \Rightarrow\qquad \text{sta piovendo}.
\]
Era una bellissima giornata di primavera. La proposizione è vera.

[garnak.olegovitc1]

Salve lisdap,

"lisdap":Ciao, senza che apro una nuova discussione, posto qui.
Devo dimostrare il seguente teorema:
"L'insieme vuoto è un sottoinsieme di ogni insieme".
In maniera più schematica, separando ipotesi e tesi, il teorema si dovrebbe enunciare così:
TEOREMA
Ipotesi: Sia $A$ un insieme, sia $A$ vuoto, sia $B$ un insieme;
Tesi: $A$ è un sottoinsieme di $B$. Innanzitutto è corretto enunciare questo teorema in questo modo un pò più schematico?
Ora provo a dimostrarlo. Consideriamo gli "oggetti" $A_0$ e $B_0$, che soddisfano le ipotesi. $A_0$ è un insieme (per ipotesi), e da quest'informazione non posso cavare nulla visto che il concetto di insieme è primitivo. Stessa cosa per $B_0$. Sempre per ipotesi, però, $A_0$ è vuoto, e dalla definizione di insieme vuoto posso ricavare la conclusione che "$A_0$ non contiene nessun elemento".
Ora la tesi mi dice che l'oggetto $A_0$ gode della proprietà di essere un sottoinsieme di $B_0$, e ciò per definizione significa che $A_0$ gode della proprietà che ogni suo elemento è anche elemento di $B_0$. Quindi, ricapitolando, devo dimostrare che dal fatto che $A_0$ gode della proprietà "non contiene nessun elemento", $A_0$ gode anche della proprietà "ogni suo elemento è anche elemento di $B_0$. Spero che fin qui i miei ragionamenti sono stati corretti!

anche per assurdo si potrebbe dimostrare, tutto sommato devi dimostrare che:

proprietà: siano dati \( A \) un insieme e \( \emptyset \) l'insieme vuoto, allora \( \emptyset \subseteq A \).
proof: supponiamo per assurdo che \( \emptyset \nsubseteq A \) allora \( \exists x \in \emptyset \) tale che \( x \notin A \),ottendo però una contraddizione con l'ipotesi, infatti per ipotesi noi abbiamo \( \emptyset \) l'insieme vuoto e quindi \( \not\exists x \in \emptyset \).


Spero di essere stato chiaro!!
Cordiali saluti