Insieme vuoto
devo dimostrare che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme improprio di un generico insieme A:
$0 sube A$
pero' non so da dove partire...
Diciamo che so che un'insieme vuoto non ha elementi e che puo' essere visto come elemento di un generico insieme ($n$ sottoinsiemi possono essere considerati elementi dell'insieme stesso), ma non riesco ad arrivare alla dimostrazione richiesta. Probabilmente conosco i concetti ma ancora non riesco a collegarli.... suggerimenti???
PS. nel frattempo ci sto comunque pensando
$0 sube A$
pero' non so da dove partire...
Diciamo che so che un'insieme vuoto non ha elementi e che puo' essere visto come elemento di un generico insieme ($n$ sottoinsiemi possono essere considerati elementi dell'insieme stesso), ma non riesco ad arrivare alla dimostrazione richiesta. Probabilmente conosco i concetti ma ancora non riesco a collegarli.... suggerimenti???
PS. nel frattempo ci sto comunque pensando
Risposte
Sia $A$ un insieme generico.
Devi dimostrare che:
$AA x, $ $x in O/ rArr x in A$.
Detto in italiano: "Qualunque elemento appartenente all'insieme vuoto appartiene ad $A$"
Questa frase è vera o falsa? Perchè?
Devi dimostrare che:
$AA x, $ $x in O/ rArr x in A$.
Detto in italiano: "Qualunque elemento appartenente all'insieme vuoto appartiene ad $A$"
Questa frase è vera o falsa? Perchè?
Credo sia falsa perche' per definizione l'insieme vuoto non ha elementi se non se stesso come sottoinsieme improprio:
$ O/ := {x | x != x}$
$ O/ sube O/$
$ O/ := {x | x != x}$
$ O/ sube O/$
Ci stavo pensando....
Allora supponiamo di avere un'insieme B che e' sottoinsieme di un generico insieme A, e se nessun elemento di A appartiene a B allora B e' un insieme vuoto, da cui posso dire che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme dell'insieme A.
Sempre che sia corretto provo a formalizzare il pensiero:
$(B sub A)(AA x in A => x notin B = O/ sube A)$
Allora supponiamo di avere un'insieme B che e' sottoinsieme di un generico insieme A, e se nessun elemento di A appartiene a B allora B e' un insieme vuoto, da cui posso dire che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme dell'insieme A.
Sempre che sia corretto provo a formalizzare il pensiero:
$(B sub A)(AA x in A => x notin B = O/ sube A)$
Io ripenserei alle definizioni di sottoinsieme e di insieme vuoto. 
Mettiamola in modo più estremo.
($x \in \emptyset$) $=>$ ($"sta piovendo"$)
E' vera questa implicazione?
($x \in \emptyset$) $=>$ ($"sta piovendo"$)
E' vera questa implicazione?
A questo punto riporto la tabella della verità dell'implicazione per lasciar confrontare GundamRX91 con questo "brutto scherzo" (1) della logica e la seguente frase di Duns Scoto (2): Ex falso seguitur quodlibet (3)!
§§§
(1) Mi sia concesso!
(2) Credo che ci siano dei dubbi sull'autore!
§§§
(1) Mi sia concesso!
(2) Credo che ci siano dei dubbi sull'autore!
"j18eos":
Io ripenserei alle definizioni di sottoinsieme e di insieme vuoto.
un insieme B e' sottoinsieme di un'insieme A quando tutti gli elementi di B appartengono ad A:
$ B sube A$
in pratica abbiamo che l'insieme $B$ e' formato da $B = { AAx in A}$
L'insieme vuoto invece e' definito per non avere elementi: $O/ = { }$
Edit: non mi visualizza le parentesi graffe dell'insieme vuoto.... come si fa??
Edit 2: avevo sbagliato a scrivere....
"dissonance":
Mettiamola in modo più estremo.
($x \in \emptyset$) $=>$ ($"sta piovendo"$)
E' vera questa implicazione?
questa implicazione dovrebbe essere vera perche' l'enunciato "sta piovendo" e' vero a prescindere che $x$ appartenza o meno all'insieme vuoto $O/$
"GundamRX91":
Ci stavo pensando....
Allora supponiamo di avere un'insieme B che e' sottoinsieme di un generico insieme A, e se nessun elemento di A appartiene a B allora B e' un insieme vuoto, da cui posso dire che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme dell'insieme A.
Sempre che sia corretto provo a formalizzare il pensiero:
$(B sub A)(AA x in A => x notin B = O/ sube A)$
ma la frase in grassetto e' vera oppure no?
Pero' allora l'enunciato di Gi8 e' vero e non falso come avevo scritto in precedenza....
$AAx, x in O/ => x in A$
$AAx, x in O/ => x in A$
Mannaggia non riesco a "vedere" la connessione tra le cose.....
Il "trucco" è questo:
Quando hai da dimostrare una implicazione $X rArr Y$, con $X$ falsa sempre, l'implicazione è vera
Più semplicemente, come diceva correttamente j18eos, "dal falso segue ogni cosa"
Ora, l'implicazione che abbiamo noi è: $x in O/ rArr x in A$
Dunque....
Quando hai da dimostrare una implicazione $X rArr Y$, con $X$ falsa sempre, l'implicazione è vera
Più semplicemente, come diceva correttamente j18eos, "dal falso segue ogni cosa"
Ora, l'implicazione che abbiamo noi è: $x in O/ rArr x in A$
Dunque....
Se $x in O/ => x in A$ e' vera allora posso anche dire che $O/ = A$, ma quando due insiemi sono uguali posso considerare l'insieme come sottoinsieme di se stesso, da cui:
$O/ supe A$
$O/ supe A$
"GundamRX91":
Se $x in O/ => x in A$ e' vera allora posso anche dire che $O/ = A$...
Perchè?
Puoi dire che $O/ sube A$, ma non che sono uguali
"Gi8":
[quote="GundamRX91"]Se $x in O/ => x in A$ e' vera allora posso anche dire che $O/ = A$...
Perchè?
Puoi dire che $O/ sube A$, ma non che sono uguali[/quote]
Per la definizione di sottoinsieme... un elemento di un sottoinsieme appartiene anche all'insieme da cui il sottoinsieme deriva, pero' se assumo che l'insieme nullo contenga un solo elemento allora quell'elemento e' contenuto anche nell'insieme A con la conseguenza che, avendo gli stessi elementi, i due insiemi sono uguali.
Oddio, sto diventando matto!!!!
Definizione: (Sottoinsieme)
"Siano $B$ e $C$ insiemi
$B$ è sottoinsieme di $C$, e si indica $B sube C$, se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $C$
In formule: $AA x, $ $x in B rArr x in C$",
Definizione: (Insiemi uguali)
"Siano $B$ e $C$ insiemi
$B$ è uguale a $C$, e si indica $B = C$, se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $C$ e ogni elemento di $C$ è anche elemento di $B$,
ovvero se $B sube C$ $ ^^$ $ C sube B$
In formule: $AA x, $ $x in B rArr x in C $ $^^$ $x in C rArr x in B$
"Siano $B$ e $C$ insiemi
$B$ è sottoinsieme di $C$, e si indica $B sube C$, se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $C$
In formule: $AA x, $ $x in B rArr x in C$",
Definizione: (Insiemi uguali)
"Siano $B$ e $C$ insiemi
$B$ è uguale a $C$, e si indica $B = C$, se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $C$ e ogni elemento di $C$ è anche elemento di $B$,
ovvero se $B sube C$ $ ^^$ $ C sube B$
In formule: $AA x, $ $x in B rArr x in C $ $^^$ $x in C rArr x in B$
@GundamRX91
Ignora il presente messaggio finché non avrai capito la dimostrazione.
Vero. Ma occhio, è un'arma a doppio taglio.
Che è vera.
Ma anche $x in O/ rArr x notin A$ è vera.
Ignora il presente messaggio finché non avrai capito la dimostrazione.
"Gi8":
Il "trucco" è questo:
Quando hai da dimostrare una implicazione $X rArr Y$, con $X$ falsa sempre, l'implicazione è vera
Più semplicemente, come diceva correttamente j18eos, "dal falso segue ogni cosa"
Vero. Ma occhio, è un'arma a doppio taglio.
"Gi8":
Ora, l'implicazione che abbiamo noi è: $x in O/ rArr x in A$
Che è vera.
Ma anche $x in O/ rArr x notin A$ è vera.
Andiamo per gradi 
Io devo dimostrare che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme di un generico insieme A (per ora mi limito a scrivere solo i pensieri poi provo a formalizzarli).
Se e' un sottoinsieme significa che tutti gli elementi dell'insieme nullo appartengono all'insieme A.
Pero' sappiamo che l'insieme nullo non ha elementi per definizione.
Pero' sappiamo anche che l'insieme nullo e' un sottoinsieme di se stesso che diventa quindi un elemento di A (il sottoinsieme nullo intendo).
Ma se il sottoinsieme nullo appartiene ad A e all'insieme nullo, allora l'insieme nullo e' un sottoinsieme di A.
Vi prego ditemi che e' giusto....altrimenti mi arrendo
Io devo dimostrare che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme di un generico insieme A (per ora mi limito a scrivere solo i pensieri poi provo a formalizzarli).
Se e' un sottoinsieme significa che tutti gli elementi dell'insieme nullo appartengono all'insieme A.
Pero' sappiamo che l'insieme nullo non ha elementi per definizione.
Pero' sappiamo anche che l'insieme nullo e' un sottoinsieme di se stesso che diventa quindi un elemento di A (il sottoinsieme nullo intendo).
Ma se il sottoinsieme nullo appartiene ad A e all'insieme nullo, allora l'insieme nullo e' un sottoinsieme di A.
Vi prego ditemi che e' giusto....altrimenti mi arrendo
Aspetta, aspetta... fai un po' di confusione.
Non è detto che l'insieme vuoto sia un elemento di un generico insieme $A$. Esempi
e.1 - $A={ 1, 2, 3, O/ }$, l'insieme vuoto è un elemento di $A$, che ha infatti elementi '$1$', '$2$', '$3$' e '$O/$'. Si può anche scrivere $A={1, 2, 3, {}}$
e.2 - $B={ 1, 2, 3, pi }$, l'insieme vuoto NON è un elemento di $B$
Detta altrimenti, cerca sempre di distinguere fra elemento ed insieme.
"GundamRX91":
Io devo dimostrare che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme di un generico insieme A (per ora mi limito a scrivere solo i pensieri poi provo a formalizzarli).
...
Pero' sappiamo anche che l'insieme nullo e' un sottoinsieme di se stesso che diventa quindi un elemento di A (il sottoinsieme nullo intendo).
Non è detto che l'insieme vuoto sia un elemento di un generico insieme $A$. Esempi
e.1 - $A={ 1, 2, 3, O/ }$, l'insieme vuoto è un elemento di $A$, che ha infatti elementi '$1$', '$2$', '$3$' e '$O/$'. Si può anche scrivere $A={1, 2, 3, {}}$
e.2 - $B={ 1, 2, 3, pi }$, l'insieme vuoto NON è un elemento di $B$
Detta altrimenti, cerca sempre di distinguere fra elemento ed insieme.
Ok, facciamo un passo indietro.
Un sottoinsieme e' tale quando tutti i suoi elementi appartengono anche all'insieme da cui deriva, quindi:
$(A sube B) (x in A => x in B) $
dove sappiamo che questa implicazione e' vera perche' sono veri sia $x in A$ sia $x in B$
stessa cosa per l'insieme nullo:
$(O/ sube B) (x in O/ => x in B) $
in quanto l'implicazione e' vera nonostante $x in O/$ sia falsa e $x in B$ sia vera, e quindi se e' vera deve essere per forza un sottoinsieme di $B$!!!!
Un sottoinsieme e' tale quando tutti i suoi elementi appartengono anche all'insieme da cui deriva, quindi:
$(A sube B) (x in A => x in B) $
dove sappiamo che questa implicazione e' vera perche' sono veri sia $x in A$ sia $x in B$
stessa cosa per l'insieme nullo:
$(O/ sube B) (x in O/ => x in B) $
in quanto l'implicazione e' vera nonostante $x in O/$ sia falsa e $x in B$ sia vera, e quindi se e' vera deve essere per forza un sottoinsieme di $B$!!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo