Iniettività e suriettività
ciao a tutti...andando all'università e frequentando i precorsi ho avuto modo di notare che quanto imparato al liceo era poca roba...in particolare mi trovo un pò in difficoltà nel dover stabilire se le seguenti funzioni sono iniettive e/o suriettive...eccole qui
$ f: (RR)^(2) rarr (RR)^(2), AA (x,y) in (RR)^(2), f(x,y)=(x+y,2x-y) $
$ g: (RR)^(2) rarr (RR)^(2), AA (x,y) in (RR)^(2), g(x,y)=(x,x) $
qualcuno gentilmente potrebbe darmi qualche dritta e indicarmi come fare quando mi trovo in casi simili?...ve ne sarei davvero molto grato
$ f: (RR)^(2) rarr (RR)^(2), AA (x,y) in (RR)^(2), f(x,y)=(x+y,2x-y) $
$ g: (RR)^(2) rarr (RR)^(2), AA (x,y) in (RR)^(2), g(x,y)=(x,x) $
qualcuno gentilmente potrebbe darmi qualche dritta e indicarmi come fare quando mi trovo in casi simili?...ve ne sarei davvero molto grato
Risposte
Nel caso generale non c'è nulla salvo un po' di intuizione (oppure una grande capacità di risolvere sistemi impossibili!) che ti aiuta...
Nel caso particolare, si tratta di funzioni lineari e quindi sappiamo dire tutto. Però, direi che, se stai frequentando i precorsi, i "cannoni" dell'Algebra Lineare non sono idonei... Vediamo un po': iniziamo dall'iniettività della prima funzione. Qual è la definizione di iniettività?
Nel caso particolare, si tratta di funzioni lineari e quindi sappiamo dire tutto. Però, direi che, se stai frequentando i precorsi, i "cannoni" dell'Algebra Lineare non sono idonei... Vediamo un po': iniziamo dall'iniettività della prima funzione. Qual è la definizione di iniettività?
Visto che ho iniziato a studiare questa parte, provo a rispondere io... 
Una funzione e' iniettiva quando ogni elemento del dominio ha la propria immagine nel codominio?
$AAa in A => f(x) in B$
Una funzione e' iniettiva quando ogni elemento del dominio ha la propria immagine nel codominio?
$AAa in A => f(x) in B$
No, Gundam, altrimenti ogni funzione sarebbe iniettiva. Una applicazione di dice iniettiva se elementi distinti hanno immagini distinte.
In formule, $f$ iniettiva se e soltanto se
$x_1!=x_2 => f(x_1)!=f(x_2)$
o, equivalentemente, $f(x_1)=f(x_2)=>x_1=x_2$.
Sapresti dimostrare l'equivalenza fra le due definizioni?
In formule, $f$ iniettiva se e soltanto se
$x_1!=x_2 => f(x_1)!=f(x_2)$
o, equivalentemente, $f(x_1)=f(x_2)=>x_1=x_2$.
Sapresti dimostrare l'equivalenza fra le due definizioni?
In effetti forse la mia risposta e' per le funzioni suriettive...o no?
Riguardo l'equivalenza delle definizioni provo a pensarci e poi rispondo
Riguardo l'equivalenza delle definizioni provo a pensarci e poi rispondo
"GundamRX91":
In effetti forse la mia risposta e' per le funzioni suriettive...o no?
No; una funzione $f:A to B$ si dice suriettiva se ogni elemento dell'insieme $B$ (codominio) ha almeno una controimmagine (ossia se l'immagine di $f$ coincide con l'insieme di arrivo).
Guardati bene queste cose sul libro di teoria, mi raccomando, ché sono davvero molto importanti.
Vediamo se ho capito allora
Una funzione e' iniettiva se elementi distinti hanno immagini distinte, invece se ogni immagine del codominio ha la corrispondente controimmagine allora e' suriettiva; se si verificano entrambe le condizioni abbiamo una funzione bigettiva.
Essendo una funzione un sottoinsieme del dominio si ha che al massimo tutti gli elementi del codominio "assegnano" la funzione, mentre non e' vero il contrario, cioe' tutti gli elementi del dominio non e' detto che abbiano un'immagine. Tra l'altro un'immagine potrebbe avere anche due controimmagini, come nel caso della funzione $y=x^2$ con $RR$ come dominio.
Una funzione e' iniettiva se elementi distinti hanno immagini distinte, invece se ogni immagine del codominio ha la corrispondente controimmagine allora e' suriettiva; se si verificano entrambe le condizioni abbiamo una funzione bigettiva.
Essendo una funzione un sottoinsieme del dominio si ha che al massimo tutti gli elementi del codominio "assegnano" la funzione, mentre non e' vero il contrario, cioe' tutti gli elementi del dominio non e' detto che abbiano un'immagine. Tra l'altro un'immagine potrebbe avere anche due controimmagini, come nel caso della funzione $y=x^2$ con $RR$ come dominio.
attento Gundam, hai scritto bene le definizioni di funzioni iniettiva e suriettiva, ma stai facendo un errore pesante: cos'è una funzione? prova a ripetere la definizione di funzione, e vedrai che hai scritto una brutta cosa.
"GundamRX91":
Una funzione e' iniettiva se elementi distinti hanno immagini distinte
Perfetto.
"GundamRX91":
invece se ogni immagine del codominio ha la corrispondente controimmagine allora e' suriettiva
Leggermente impreciso. E' suriettiva quando ogni elemento del codominio ha controimmagine; non mi piace dire "immagine" del codominio, lo trovo impreciso (perchè, se mi parli di immagine mi viene automaticamente da pensare che ci sia una controimmagine). Hai capito?
"GundamRX91":
se si verificano entrambe le condizioni abbiamo una funzione bigettiva.
Certo.
"GundamRX91":
Essendo una funzione un sottoinsieme del dominio si ha che al massimo tutti gli elementi del codominio "assegnano" la funzione, mentre non e' vero il contrario, cioe' tutti gli elementi del dominio non e' detto che abbiano un'immagine.
Non ho capito.
"GundamRX91":
Tra l'altro un'immagine potrebbe avere anche due controimmagini, come nel caso della funzione $y=x^2$ con $RR$ come dominio.
Esatto, il che si esprime dicendo che la funzione $f:RR to RR$ che manda $x to x^2$ non è...
P.S. Scusa black, ci siamo sovrapposti.
Ragazzi, scusatemi, ancora faccio fatica ad essere preciso, senza contare che l'ultimo post e' frutto del ragionamento mentre guidavo per venire in ufficio, quindi vi lascio solo immaginare la pericolosita' della cosa
Dunque la definizione di funzione e': presi due insiemi non nulli $A$ e $B$ si definisce $f$ funzione da $A$ a $B$ un sottoinsieme del prodotto cartesiano $AxB$ tale che per ogni $a in A$ esiste un solo $b in B$ tale che $(a,b) in f$.
Dunque la definizione di funzione e': presi due insiemi non nulli $A$ e $B$ si definisce $f$ funzione da $A$ a $B$ un sottoinsieme del prodotto cartesiano $AxB$ tale che per ogni $a in A$ esiste un solo $b in B$ tale che $(a,b) in f$.
"Paolo90":
[quote="GundamRX91"] Tra l'altro un'immagine potrebbe avere anche due controimmagini, come nel caso della funzione $y=x^2$ con $RR$ come dominio.
Esatto, il che si esprime dicendo che la funzione $f:RR to RR$ che manda $x to x^2$ non è...
P.S. Scusa black, ci siamo sovrapposti.
[/quote]Paolo per caso ti riferisci alla funzione identita'?
No, non mi riferisco all'identità (non l'abbiamo nominata).
Comunque, la definizione di funzione va bene. Adesso, partiamo dalle cose semplici.
Prendi $f: RR to RR$ che associa ad ogni $x to f(x)=x^2$: insomma, la funzione quadrato che prende un numero reale e ne restituisce il quadrato.
Domande:
1. è una funzione? (della serie quanti erano i sette nani...)
2. è iniettiva?
3. è suriettiva?
Prova a rispondere a queste domande, se ti va.
Comunque, la definizione di funzione va bene. Adesso, partiamo dalle cose semplici.
Prendi $f: RR to RR$ che associa ad ogni $x to f(x)=x^2$: insomma, la funzione quadrato che prende un numero reale e ne restituisce il quadrato.
Domande:
1. è una funzione? (della serie quanti erano i sette nani...)
2. è iniettiva?
3. è suriettiva?
Prova a rispondere a queste domande, se ti va.
1) credo di si....
2) no, perche' elementi diversi possono avere la stessa immagine nel codominio
3) di getto direi che potrebbe essere suriettiva, pero' mi sfugge qualcosa....
2) no, perche' elementi diversi possono avere la stessa immagine nel codominio
3) di getto direi che potrebbe essere suriettiva, pero' mi sfugge qualcosa....
E' una funzione e giustamente non è iniettiva perchè ad esempio $f(-3)=f(3)$ ma $3!=-3$ (ricordo che basta un solo [contro]esempio per inficiare la definizione di iniettività).
Quanto alla suriettività devi chiederti: preso un qualunque numero reale $r$ riesci a trovare un altro reale $x$ tale che $f(x)=r$?
P.S. Spero vada bene quanto ti sto facendo fare e spero ti sia utile.
Quanto alla suriettività devi chiederti: preso un qualunque numero reale $r$ riesci a trovare un altro reale $x$ tale che $f(x)=r$?
P.S. Spero vada bene quanto ti sto facendo fare e spero ti sia utile.
Paolo intanto ti ringrazio per la disponibilita', come ringrazio tutti gli altri, e ti posso dire che va benissimo quello che fai perche' mi fai ragionare, e cio' e' solo e sempre utile
Tornando al quesito della funzione suriettiva se l'insieme universo della funzione fosse $NN$ allora per ogni elemento $b in B$ del codominio avrebbe la rispettiva controimmagine, invece usando l'insieme $RR$ dei numeri reali forse non e' detto.... in questo momento mi vengono in mente infiniti numeri decimali per cui non sarebbe possibile avere un valore preciso di una radice quadrata....
Tornando al quesito della funzione suriettiva se l'insieme universo della funzione fosse $NN$ allora per ogni elemento $b in B$ del codominio avrebbe la rispettiva controimmagine, invece usando l'insieme $RR$ dei numeri reali forse non e' detto.... in questo momento mi vengono in mente infiniti numeri decimali per cui non sarebbe possibile avere un valore preciso di una radice quadrata....
Non è questione dei decimal, Gundam. Anche un numero bruttissimo 2,34567403947564839302827394303922 ammette radice quadrata. Il problema non sono i decimali, il problema è dato dai numeri ...
P.S. Un suggerimento: l'hai detto tu, se fosse solo $NN$ il codominio saremmo a posto. Insomma, com'è un quadrato?
P.S. Un suggerimento: l'hai detto tu, se fosse solo $NN$ il codominio saremmo a posto. Insomma, com'è un quadrato?
Credo che il problema sia da attribuire al fatto che non e' possibile, usando l'insieme dei numeri reali negativi, estrarre la radice quadrata di un numero (negativo). Se nel mio codominio e' presente il numero -4, non trovero' la relativa controimmagine nel dominio, proprio
perche' non esiste la radice quadrata di -4. Da questo quindi posso dire che $y=x^2$ non e' una funzione suriettiva nell'ambito di $RR$.
perche' non esiste la radice quadrata di -4. Da questo quindi posso dire che $y=x^2$ non e' una funzione suriettiva nell'ambito di $RR$.
E sì, Gundam direi proprio di sì.
La funzione quadrato $RR to RR$ non è suriettiva perchè ad esempio $f(-2)=emptyset$. Chiaro?
Domanda: se ti chiedessi di rendere suriettiva la funzione in questione, che cosa faresti?
La funzione quadrato $RR to RR$ non è suriettiva perchè ad esempio $f(-2)=emptyset$. Chiaro?
Domanda: se ti chiedessi di rendere suriettiva la funzione in questione, che cosa faresti?
Mi sembra troppo banale come risposta, ma.... potrei restringere il campo d'azione....
[FURBO MODE=ON]
$A sube RR={(AAx in RR) | x in A <=> x>0}
[FURBO MODE=OFF]
Forse la formalizzazione e' pure sbagliata... pero' per renderla suriettiva devo fare in modo che ogni elemento $b in B$ del codominio abbia la propria controimmagine nel dominio, e a parte definire un sottoinsieme di $RR$ con i soli numeri positivi non mi viene in mente altro; suggerimenti ??
[FURBO MODE=ON]
$A sube RR={(AAx in RR) | x in A <=> x>0}
[FURBO MODE=OFF]
Forse la formalizzazione e' pure sbagliata... pero' per renderla suriettiva devo fare in modo che ogni elemento $b in B$ del codominio abbia la propria controimmagine nel dominio, e a parte definire un sottoinsieme di $RR$ con i soli numeri positivi non mi viene in mente altro; suggerimenti ??
Perfetto, era proprio quello che intendevo.
Ti ho fatto la domanda per farti riflettere su una cosa: se tu hai una funzione qualsiasi, metti non iniettiva nè surgettiva, non è per nulla difficile "renderla" suriettiva. Appunto, come hai osservato restringi il codominio all'insieme delle immagini e hai fatto.
Ti faccio osservare che non è così banale "rendere" iniettiva una funzione che non lo è: esistono tecniche specifiche, con cui è bene prendere la mano fin da subito nei corsi di Algebra perchè danno l'idea di come funzionano poi le cose con i vari teoremi fondamentali di isomorfismo tra le varie strutture (gruppi, anelli).
Ecco, io volevo solo farti riflettere su questo. Quando vuoi, puoi tornare ad esaminare il problema iniziale, oppure proporre tu una nuova funzione di cui bisogna capire iniettività/suriettività.
P.S. Se conosci già il concetto di composizione di applicazioni (o composizione di funzioni) ti faccio notare che quello che hai fatto è stato "scomporre" la tua funzione di partenza nel prodotto (=composizione) di una funzione suriettiva e di una iniettiva: detta $f:RR to RR$ che manda $x to x^2$, tu hai scritto $f = j circ h$ dove $h: RR to RR^+$ e manda $x to x^2$ mentre $j:RR^+ to RR$ che manda $x to x$ (immersione canonica).
Ti ho fatto la domanda per farti riflettere su una cosa: se tu hai una funzione qualsiasi, metti non iniettiva nè surgettiva, non è per nulla difficile "renderla" suriettiva. Appunto, come hai osservato restringi il codominio all'insieme delle immagini e hai fatto.
Ti faccio osservare che non è così banale "rendere" iniettiva una funzione che non lo è: esistono tecniche specifiche, con cui è bene prendere la mano fin da subito nei corsi di Algebra perchè danno l'idea di come funzionano poi le cose con i vari teoremi fondamentali di isomorfismo tra le varie strutture (gruppi, anelli).
Ecco, io volevo solo farti riflettere su questo. Quando vuoi, puoi tornare ad esaminare il problema iniziale, oppure proporre tu una nuova funzione di cui bisogna capire iniettività/suriettività.
P.S. Se conosci già il concetto di composizione di applicazioni (o composizione di funzioni) ti faccio notare che quello che hai fatto è stato "scomporre" la tua funzione di partenza nel prodotto (=composizione) di una funzione suriettiva e di una iniettiva: detta $f:RR to RR$ che manda $x to x^2$, tu hai scritto $f = j circ h$ dove $h: RR to RR^+$ e manda $x to x^2$ mentre $j:RR^+ to RR$ che manda $x to x$ (immersione canonica).
dai davvero era corretto? Non ci credo.... E la formalizzazione e' corretta?
Tornando serio, ma non troppo, ti devo rispondere che ancora non sono alla composizione di funzioni, anche se guardando la mia dispensa e' subito dopo la definizione delle funzioni iniettive, suriettive e bigettive.
E visto che ci sono ne aprofitto per togliermi un dubbio: da bravo informatico sò cosa solo le funzioni di funzioni; le composizioni "assomigliano" a questo o non centra proprio nulla??
Relativamente l'esercizio del primo post voglio proprio provarci, quindi ti aspetto a bacchettarmi le mani
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo