Iniettività e suriettività
ciao a tutti...andando all'università e frequentando i precorsi ho avuto modo di notare che quanto imparato al liceo era poca roba...in particolare mi trovo un pò in difficoltà nel dover stabilire se le seguenti funzioni sono iniettive e/o suriettive...eccole qui
$ f: (RR)^(2) rarr (RR)^(2), AA (x,y) in (RR)^(2), f(x,y)=(x+y,2x-y) $
$ g: (RR)^(2) rarr (RR)^(2), AA (x,y) in (RR)^(2), g(x,y)=(x,x) $
qualcuno gentilmente potrebbe darmi qualche dritta e indicarmi come fare quando mi trovo in casi simili?...ve ne sarei davvero molto grato
$ f: (RR)^(2) rarr (RR)^(2), AA (x,y) in (RR)^(2), f(x,y)=(x+y,2x-y) $
$ g: (RR)^(2) rarr (RR)^(2), AA (x,y) in (RR)^(2), g(x,y)=(x,x) $
qualcuno gentilmente potrebbe darmi qualche dritta e indicarmi come fare quando mi trovo in casi simili?...ve ne sarei davvero molto grato
Risposte
Guarda per la formalizzazione si può essere molto sintetici: prima $f$ andava da $RR$ in $RR$, la sua "sorella" suriettiva 
si chiama $f^(*)$ e va da $RR$ in $RR^+$: chiaro?
Per quanto riguarda la composizione, penso di sì, che siano la stessa cosa: comunque, non ti preoccupare, le usi tutti i giorni le funzioni composte. Ad esempio, $ f(x) = (x-2)^2$, può considerarsi come una funzione composta.
P.S. Non ho la bacchetta
si chiama $f^(*)$ e va da $RR$ in $RR^+$: chiaro?Per quanto riguarda la composizione, penso di sì, che siano la stessa cosa: comunque, non ti preoccupare, le usi tutti i giorni le funzioni composte. Ad esempio, $ f(x) = (x-2)^2$, può considerarsi come una funzione composta.
P.S. Non ho la bacchetta
Ok per la bacchetta, anche se mi ero gia' premunito mettendo dei bei guantoni
Riguardo la formalizzazione ho capito... potevo semplificarmi la vita semplicemente come hai scritto tu.
Bene anche per le funzioni composte, almeno intuitivamente sò a cosa vado incontro.
Guardavo gli esercizi e mi ritrovo perplesso su entrambe, perche' non capisco se si tratta di funzioni con due argomenti $(x,y)$ o e' solo
un modo per indicarle.....
Riguardo la formalizzazione ho capito... potevo semplificarmi la vita semplicemente come hai scritto tu.
Bene anche per le funzioni composte, almeno intuitivamente sò a cosa vado incontro.
Guardavo gli esercizi e mi ritrovo perplesso su entrambe, perche' non capisco se si tratta di funzioni con due argomenti $(x,y)$ o e' solo
un modo per indicarle.....
Be', no sono due variabili. Lo spazio in cui vivono è $RR^2= RR times RR$...
se non ho capito male, mi stai suggerendo che si sta lavorando nell'ambito dei quadrati di $RR$ e quindi e' formato da numeri reali positivi....
La prima funzione penso che non sia ne iniettiva ne suriettiva perche'..... non so se sia il procedimento giusto, ma ho provato ad assegnare dei
valori alla coppia $(x,y)$ e calcolare $(x+y, 2x-y)$ e ho trovato che alcuni valori sono negativi e questo andrebbe in contrasto con con l'insieme stesso (visto che contiene solo numeri positivi $<=> RR^+$)
No, Gundam, assolutamente no... Conosci il concetto di prodotto cartesiano?
Si, il prodotto cartesiano $A times B$ e' l'insieme formato da le coppie ordinate in cui $(a in A) ^^ (b in B)$.
Esatto; e le funzioni del primo post sono definite su $RR times RR$.
Quindi le immagini e le controimmagini, invece di una variabile "secca", sono sostituite da una coppia ordinata..... ci penso e poi provo a risponderti
La prima funzione non è nè iniettiva nè suriettiva, mentre la seconda funzione non è iniettiva mentre è suriettiva (credo.....)
Sto cercando di capire la soluzione di un esercizio:
sia $f:NN -> NN$
$f(n)={(n+5, se\ n<=8),(2n+1, se\ n>8):}$
$F$ è iniettiva?
$14 in f(NN)$ e' vero?
la funzione non e' iniettiva e 14 non appartiene al sottoinsieme $f(NN)$ in quanto l'immagine di $f$ e' data dagli interi 6,7,8,9,10,11,12,13 e da tutti gli interi
dispari $>=17$
Ma lo zero non viene conteggiato? $f(0)=5$ quindi 5 sarebbe da aggiungere alla lista; invece poi non dovrebbe ripartire con gli interi dispari $>=19$, visto che $n>8$ quindi il primo valore che posso usare sarebbe 9 (da cui $2*9+1=19$) e non 8 proprio perche' c'e' il simbolo di $>$ invece del $>=$?
sia $f:NN -> NN$
$f(n)={(n+5, se\ n<=8),(2n+1, se\ n>8):}$
$F$ è iniettiva?
$14 in f(NN)$ e' vero?
la funzione non e' iniettiva e 14 non appartiene al sottoinsieme $f(NN)$ in quanto l'immagine di $f$ e' data dagli interi 6,7,8,9,10,11,12,13 e da tutti gli interi
dispari $>=17$
Ma lo zero non viene conteggiato? $f(0)=5$ quindi 5 sarebbe da aggiungere alla lista; invece poi non dovrebbe ripartire con gli interi dispari $>=19$, visto che $n>8$ quindi il primo valore che posso usare sarebbe 9 (da cui $2*9+1=19$) e non 8 proprio perche' c'e' il simbolo di $>$ invece del $>=$?
"GundamRX91":
sia $f:NN -> NN$
$f(n)={(n+5, se\ n<=8),(2n+1, se\ n>8):}$
...
la funzione non e' iniettiva
Sicuro? Perchè non è iniettiva?
"GundamRX91":
Ma lo zero non viene conteggiato? $f(0)=5$ quindi 5 sarebbe da aggiungere alla lista;
Su questo hai ragione. Il fatto è che alcuni testi (e alcuni professori) considerano $0 in NN$, altri no.
Quindi a volte potresti avere $NN={1,2,3,4,....}$, altre volte $NN={0,1,2,3,4,...}$.
E' un dibattito aperto
(anche se stupido, dovrebbe esserci una definizione rigorosa e tutti dovrebbero seguirla)"GundamRX91":
invece poi non dovrebbe ripartire con gli interi dispari $>=19$, visto che $n>8$ quindi il primo valore che posso usare sarebbe 9 (da cui $2*9+1=19$) e non 8 proprio perche' c'e' il simbolo di $>$ invece del $>=$?
Ti dò assolutamente ragione. $17$ non appartiene all'immagine di $f$
Nella soluzione, relativamente all'iniettivita' della funzione, dice: "i due casi separati originano due funzioni iniettive, il punto e' capire se la funzione sia iniettiva globalmente. Supponiamo esistano due numeri naturali $n_1 <= 8$ e $n_2 >8$ per cui
$f(n_1) = f(n_2) <=> n_1+5 = 2n_2 +1$ da cui $n_1=2n_2 - 4$, uguaglianza non possibile perche' $n_2 >8$ comporta che il minimo valore assunto dall'espressione sia $2n_2-4=14$"
$f(n_1) = f(n_2) <=> n_1+5 = 2n_2 +1$ da cui $n_1=2n_2 - 4$, uguaglianza non possibile perche' $n_2 >8$ comporta che il minimo valore assunto dall'espressione sia $2n_2-4=14$"
Esattamente. Hai dimostrato che $AA n_1 in {1,2,...,8}, AA n_2 in {9,10,11,12,.....}, n_1!=n_2 rArr f(n_1)!=f(n_2)$.
Dunque non esistono due numeri diversi che hanno la stessa immagine. Pertanto $f$ è iniettiva.
Dunque non esistono due numeri diversi che hanno la stessa immagine. Pertanto $f$ è iniettiva.
In effetti nella soluzione dell'esercizio ci sono dei punti poco chiari. Grazie per la spiegazione
PS. ho editato il vecchio messaggio che era un duplicato del precedente.... oggi la nostra lan ha fatto i capricci
PS. ho editato il vecchio messaggio che era un duplicato del precedente.... oggi la nostra lan ha fatto i capricci
Altro esercizio: dimostrare che $f:[3/2,\infty[ \to [0,\infty[$
definita da $f(x)=sqrt((2x-3)/(x+4))$
e' iniettiva ma non suriettiva.
Nella dimostrazione si ipotizza di avere due elementi $x_1,x_2 > 3/2$ da cui si ha che:
$f(x_1)=f(x_2) <=> sqrt((3x_1 -2)/(x_1 +4)) = sqrt((3x_2 -2)/(x_2 +4)) <=> (3x_1 -2)/(x_1 +4)= (3x_2 -4)/(x_2 -4)$
da cui poi si arriva a dimostrare che la funzione e' iniettiva.
Quello che non capisco e' perche' e' stata sostituita la $x$ del numeratore con $x_1=3/2$ e $x_2=3/2$ mentre il denominatore e' rimasto invariato.
definita da $f(x)=sqrt((2x-3)/(x+4))$
e' iniettiva ma non suriettiva.
Nella dimostrazione si ipotizza di avere due elementi $x_1,x_2 > 3/2$ da cui si ha che:
$f(x_1)=f(x_2) <=> sqrt((3x_1 -2)/(x_1 +4)) = sqrt((3x_2 -2)/(x_2 +4)) <=> (3x_1 -2)/(x_1 +4)= (3x_2 -4)/(x_2 -4)$
da cui poi si arriva a dimostrare che la funzione e' iniettiva.
Quello che non capisco e' perche' e' stata sostituita la $x$ del numeratore con $x_1=3/2$ e $x_2=3/2$ mentre il denominatore e' rimasto invariato.
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