Il problema dei "sistemi ridotti"
Nel topic "Problema combinatorio" è stato posto un quesito interessante che merita IMHO una trattazione a parte.
Si chiede:
A) QUante sestine nel SuperEnalotto occorre giocare per essere sicuri di fare almeno un 5+1?
Per chi non ha familiarità del SuperEnalotto bisogna sapere che
- le sestine possibili sono tutte le combinazioni semplici di 90 numeri a 6 a 6 e sono: 622.614.630.
- una sestina giocata (costano ora 0,5 euro l'una) vince se azzecca 3, 4, 5, o tutti e 6 i numeri estratti
In tal caso si dice che il giocatore ha fatto 3, 4, 5, o 6.
- inoltre viene estratto un settimo numero (il jolly) e se una sestina giocata, che abbia già fatto 5 punti, ha il sesto numero (quello sbagliato) che azzecca il jolly. si dice che ha fatto un 5+1 e ha diritto ad una vincita maggiore di quella riconosciuta a un 5 normale.
Un altro quesito simile potrebbe essere:
B) QUante sestine nel SuperEnalotto occorre giocare per essere sicuri di fare almeno un 5? o un 4?
Analogamente nel Totocalcio (lì sono disposizioni con ripetizione di 3 segni su 14 posti) uno potrebbe chiedere:
C) QUante colonne occorre giocare al Totocalcio per essere sicuri di fare almeno un 13?
Tutti questi quesiti pongono il problema della riduzione che in generale possiamo formulare così:
D) Dato un insieme E di combinazioni semplici di N simboli a k a k, qual è il minimo numero di combinazioni (non necessariamente appartenenti ad E) tali che, comunque si prenda un elemento c di E, ci sia sempre una combinazione di queste che differisce da c in al più un segno? o in al più 2 segni? etc.
Il problema è anche: Quali sono queste combinazioni?
Per esempio, per rispondere al quesito (B) sul SuperEnalotto, l'insieme E da "ridurre" coincide con lo spazio di tutte le combinazioni di N elementi a k a k , e ciò semplifica il problema e forse consente l'esistenza di una formula chiusa.
Nel caso di un insieme E di partenza generico, il massimo che si può chiedere è un algoritmo di ricerca.
Qualcuno conosce le risposte a quesiti di questo tipo? Grazie
Si chiede:
A) QUante sestine nel SuperEnalotto occorre giocare per essere sicuri di fare almeno un 5+1?
Per chi non ha familiarità del SuperEnalotto bisogna sapere che
- le sestine possibili sono tutte le combinazioni semplici di 90 numeri a 6 a 6 e sono: 622.614.630.
- una sestina giocata (costano ora 0,5 euro l'una) vince se azzecca 3, 4, 5, o tutti e 6 i numeri estratti
In tal caso si dice che il giocatore ha fatto 3, 4, 5, o 6.
- inoltre viene estratto un settimo numero (il jolly) e se una sestina giocata, che abbia già fatto 5 punti, ha il sesto numero (quello sbagliato) che azzecca il jolly. si dice che ha fatto un 5+1 e ha diritto ad una vincita maggiore di quella riconosciuta a un 5 normale.
Un altro quesito simile potrebbe essere:
B) QUante sestine nel SuperEnalotto occorre giocare per essere sicuri di fare almeno un 5? o un 4?
Analogamente nel Totocalcio (lì sono disposizioni con ripetizione di 3 segni su 14 posti) uno potrebbe chiedere:
C) QUante colonne occorre giocare al Totocalcio per essere sicuri di fare almeno un 13?
Tutti questi quesiti pongono il problema della riduzione che in generale possiamo formulare così:
D) Dato un insieme E di combinazioni semplici di N simboli a k a k, qual è il minimo numero di combinazioni (non necessariamente appartenenti ad E) tali che, comunque si prenda un elemento c di E, ci sia sempre una combinazione di queste che differisce da c in al più un segno? o in al più 2 segni? etc.
Il problema è anche: Quali sono queste combinazioni?
Per esempio, per rispondere al quesito (B) sul SuperEnalotto, l'insieme E da "ridurre" coincide con lo spazio di tutte le combinazioni di N elementi a k a k , e ciò semplifica il problema e forse consente l'esistenza di una formula chiusa.
Nel caso di un insieme E di partenza generico, il massimo che si può chiedere è un algoritmo di ricerca.
Qualcuno conosce le risposte a quesiti di questo tipo? Grazie
Risposte
qualche chiarimento:
A) il settimo numero è preso a caso tra gli 84 ?
ricordo vagamente qualcosa sul superenalotto risalente al periodo in cui è stato introdotto, e mi pare che con buona approssimazione si potesse considerare come se fosse l'estrazione di 6 numeri a caso, ma in realtà non è così, perché tali numeri sono i primi estratti di 6 ruote, e quindi non ho mai capito come si procede in caso qualcuno di essi dovesse essere uguale ad altri (forse si prende il secondo estratto?). comunque la cosa, anche se poco influente, rende la scelta dei sei o sette numeri non completamente "indipendente" né al contrario assimilabile ad un'estrazione senza reimmissione....
direi, comunque, di ritornare al vecchio topic per la risposta a tale quesito.
B) e C) sono abbastanza chiari, e credo anche piuttosto semplici.
D) "non c'ho capito nulla!"
qual è l'insieme degli N elementi? E è l'insieme di tutte le $((N),(k))$ combinazioni o è un sottoinsieme qualsiasi o è un particolare sottoinsieme? il numero minimo di combinazioni che possono anche non appartenere ad E fanno sempre parte delle $((N),(k))$ combinazioni? "segno" sta per elemento della combinazione? dopo aver chiarito queste cose, come si collegano l'appartenenza di c ad E e l'esistenza di una combinazione anche non appartenente ad E?
il numero minimo di combinazioni ovviamente dipende da E. come si traducono le varie richieste?
ciao.
A) il settimo numero è preso a caso tra gli 84 ?
ricordo vagamente qualcosa sul superenalotto risalente al periodo in cui è stato introdotto, e mi pare che con buona approssimazione si potesse considerare come se fosse l'estrazione di 6 numeri a caso, ma in realtà non è così, perché tali numeri sono i primi estratti di 6 ruote, e quindi non ho mai capito come si procede in caso qualcuno di essi dovesse essere uguale ad altri (forse si prende il secondo estratto?). comunque la cosa, anche se poco influente, rende la scelta dei sei o sette numeri non completamente "indipendente" né al contrario assimilabile ad un'estrazione senza reimmissione....
direi, comunque, di ritornare al vecchio topic per la risposta a tale quesito.
B) e C) sono abbastanza chiari, e credo anche piuttosto semplici.
D) "non c'ho capito nulla!"
qual è l'insieme degli N elementi? E è l'insieme di tutte le $((N),(k))$ combinazioni o è un sottoinsieme qualsiasi o è un particolare sottoinsieme? il numero minimo di combinazioni che possono anche non appartenere ad E fanno sempre parte delle $((N),(k))$ combinazioni? "segno" sta per elemento della combinazione? dopo aver chiarito queste cose, come si collegano l'appartenenza di c ad E e l'esistenza di una combinazione anche non appartenente ad E?
il numero minimo di combinazioni ovviamente dipende da E. come si traducono le varie richieste?
ciao.
Rispondo ad AdaBTTLS.
Intanto, il "jolly" si può considerare indipendente dagli altri 6 "estratti" (e questi ultimi fra loro).
Puoi pensare che i 7 numeri vengano estratti tutti insieme (in un'unica manciata) dal sacchetto della tombola, dove ci siano tutti i numeri da 1 a 90.
Sì, se i primi estratti di due ruote coincidono, allora, invece che il primo, si prende il secondo estratto su quella delle due ruote, la cui città viene dopo in ordine alfabetico. E così via...
Il jolly, non a caso, è il primo estratto sula ruota di Venezia (ma, se esso coincide con qualcuno degli altri 6 estratti, si prende il secondo, il terzo, e così via ...).
Ma veniamo al dunque.
Non so se i quesiti B) e C) sono semplici, come tu dici.
Bada che non si chiede una qualsiasi soluzione ma quella minimale. E si chiede anche un algoritmo per determinare l'insieme "ridotto".
Quanto al quesito (D), è questo il quesito basilare.
Lo riformulo in modo che risulti più comprensibile, ma in modo leggermente più formale.
Nel seguito c, c', etc.. indicano combinazioni qualsiasi di N segni presi a k a k.
Sia E un insieme qualsiasi di combinazioni di N segni a k a k (di norma si pensa ad un sottoinsieme proprio dello "spazio" di tutte le suddette combinazioni).
Ammettiamo ora di aver trovato un insieme di combinazioni, e sia R, tale che, per ogni c in E esiste una c' in R che, o coincide con c, o differisce da c in un solo segno.
In tal caso R si dirà un "ridotto" di E (questo perchè di norma R ha meno elementi di E). Si badi che non si chiede che R sia un sottoinsieme di E.
A questo punto è ovvio che, fra tutti i "ridotti" R di E, ce ne sarà uno (o più) di cardinalità minima.
Chiameremo un tale ridotto di E un "ridotto minimale di E".
Allora il quesito D si può enunciare così:
a) Assegnato un E qualsiasi, trovare la taglia dei suoi ridotti minimali (ossia la taglia minima dei suoi ridotti)
b) Trovare un algoritmo in grado di generare tutti e soli gli elementi di uno dei ridotti minimali di E.
Nota che per i sistemisti (soprattutto di Totocalcio) le risposte ai quesiti C) e D) sono molto importanti perchè, quando essi generano un sistema di migliaia di colonne basandosi su un pronostico che per certe partite escluda uno o due dei tre segni possibili (1 X 2) , di solito il sistema che generano è formato da migliaia e migliaia di colonne e, per così com'è, non hanno soldi a sufficienza per giocarlo. Allora si accontentano di fare un punto di meno del massimo (che è 14) in cambio di una cospicua riduzione di spesa. Si tratta allora di trovare un sistema ridotto di quello originario che gode della seguente proprietà: se per caso una delle colonne del sistema originario beccava il 14, allora il sistema ridotto sicuramente avrà una colonna che fa almeno 13 (in caso fortunato potrebbe anche fare il 14).
Spero di aver chiarito abbastanza ...
Intanto, il "jolly" si può considerare indipendente dagli altri 6 "estratti" (e questi ultimi fra loro).
Puoi pensare che i 7 numeri vengano estratti tutti insieme (in un'unica manciata) dal sacchetto della tombola, dove ci siano tutti i numeri da 1 a 90.
Sì, se i primi estratti di due ruote coincidono, allora, invece che il primo, si prende il secondo estratto su quella delle due ruote, la cui città viene dopo in ordine alfabetico. E così via...
Il jolly, non a caso, è il primo estratto sula ruota di Venezia (ma, se esso coincide con qualcuno degli altri 6 estratti, si prende il secondo, il terzo, e così via ...).
Ma veniamo al dunque.
Non so se i quesiti B) e C) sono semplici, come tu dici.
Bada che non si chiede una qualsiasi soluzione ma quella minimale. E si chiede anche un algoritmo per determinare l'insieme "ridotto".
Quanto al quesito (D), è questo il quesito basilare.
Lo riformulo in modo che risulti più comprensibile, ma in modo leggermente più formale.
Nel seguito c, c', etc.. indicano combinazioni qualsiasi di N segni presi a k a k.
Sia E un insieme qualsiasi di combinazioni di N segni a k a k (di norma si pensa ad un sottoinsieme proprio dello "spazio" di tutte le suddette combinazioni).
Ammettiamo ora di aver trovato un insieme di combinazioni, e sia R, tale che, per ogni c in E esiste una c' in R che, o coincide con c, o differisce da c in un solo segno.
In tal caso R si dirà un "ridotto" di E (questo perchè di norma R ha meno elementi di E). Si badi che non si chiede che R sia un sottoinsieme di E.
A questo punto è ovvio che, fra tutti i "ridotti" R di E, ce ne sarà uno (o più) di cardinalità minima.
Chiameremo un tale ridotto di E un "ridotto minimale di E".
Allora il quesito D si può enunciare così:
a) Assegnato un E qualsiasi, trovare la taglia dei suoi ridotti minimali (ossia la taglia minima dei suoi ridotti)
b) Trovare un algoritmo in grado di generare tutti e soli gli elementi di uno dei ridotti minimali di E.
Nota che per i sistemisti (soprattutto di Totocalcio) le risposte ai quesiti C) e D) sono molto importanti perchè, quando essi generano un sistema di migliaia di colonne basandosi su un pronostico che per certe partite escluda uno o due dei tre segni possibili (1 X 2) , di solito il sistema che generano è formato da migliaia e migliaia di colonne e, per così com'è, non hanno soldi a sufficienza per giocarlo. Allora si accontentano di fare un punto di meno del massimo (che è 14) in cambio di una cospicua riduzione di spesa. Si tratta allora di trovare un sistema ridotto di quello originario che gode della seguente proprietà: se per caso una delle colonne del sistema originario beccava il 14, allora il sistema ridotto sicuramente avrà una colonna che fa almeno 13 (in caso fortunato potrebbe anche fare il 14).
Spero di aver chiarito abbastanza ...
Faccio anche un esempio istruttivo.
Ammettiamo che E sia costituito dalle seguenti 22 combinazioni di 9 elementi a 4 a 4:
1469, 1578, 2378, 2478, 2567, 2568, 2579, 2678, 3467, 3468, 3479,
3489, 3569, 3578, 3679, 3689, 4578, 4569, 4679, 4689, 5678, 5789.
Ci sono vari ridotti di E, ma ce n'è uno di taglia 2 (che è senz'altro minima). Vedete il potere della riduzione? C'è risparmio per un fattore 11!
Il bello, in quest'esempio, è che il ridotto minimale di E (mi pare che qui sia unico) ha entrambi i suoi elementi non appartenenti a E!
Sapreste trovarlo?
Ammettiamo che E sia costituito dalle seguenti 22 combinazioni di 9 elementi a 4 a 4:
1469, 1578, 2378, 2478, 2567, 2568, 2579, 2678, 3467, 3468, 3479,
3489, 3569, 3578, 3679, 3689, 4578, 4569, 4679, 4689, 5678, 5789.
Ci sono vari ridotti di E, ma ce n'è uno di taglia 2 (che è senz'altro minima). Vedete il potere della riduzione? C'è risparmio per un fattore 11!
Il bello, in quest'esempio, è che il ridotto minimale di E (mi pare che qui sia unico) ha entrambi i suoi elementi non appartenenti a E!
Sapreste trovarlo?
solo per vedere se ho capito una parte del problema, rispondo al quesito: {2578, 3469}. non so se la soluzione è unica. staremo a vedere. ciao.
"adaBTTLS":
solo per vedere se ho capito una parte del problema, rispondo al quesito: {2578, 3469}. non so se la soluzione è unica. staremo a vedere. ciao.
Non mi sembra che ce ne siano altre. Quale tecnica hai usato per individuarle ?
C'e' da dire che questa coppia di combinazioni risolve la riduzione di altre 18 combinazioni, che aggiunte alle 22 iniziali, sono in tutto 40.
Sì, esatto! Infatti, data una combinazione qualsiasi di N segni su k posti, non è difficile dimostrare
che ci sono $K(N-k)$ combinazioni "vicine" a quella data, cioè che differiscono da essa per un solo segno.
Per N=9, k=4, si ha 4(9-5)=20 .
Ed essendoci 2 combinazioni (ben "distanti" fra loro) alla base della mia collezione di 22, avrei potuto dare l'esercizio assegnandone ben 40, da ridurre anch'esse a 2 sole, quelle appunto che Ada ha trovato.
Per rispondere anche ad Umby, sospetto che il metodo scelto da Ada per risolvere il quesito da me posto è il cosiddetto "criterio di maggioranza". Aspetto che Ada fornisca i dettagli ...
che ci sono $K(N-k)$ combinazioni "vicine" a quella data, cioè che differiscono da essa per un solo segno.
Per N=9, k=4, si ha 4(9-5)=20 .
Ed essendoci 2 combinazioni (ben "distanti" fra loro) alla base della mia collezione di 22, avrei potuto dare l'esercizio assegnandone ben 40, da ridurre anch'esse a 2 sole, quelle appunto che Ada ha trovato.
Per rispondere anche ad Umby, sospetto che il metodo scelto da Ada per risolvere il quesito da me posto è il cosiddetto "criterio di maggioranza". Aspetto che Ada fornisca i dettagli ...
non lo so che cosa intendi per "criterio di maggioranza": li ho trovati molto "euristicamente", facilitata dal fatto che le due "basi" non avevano elementi in comune e dal fatto che per ogni coppia di combinazioni l'appartenere alla stessa "sequenza" implicasse l'avere almeno due elementi in comune.
@ Umby: tu li hai saputi trovare oppure sei rimasto "condizionato" leggendo la mia soluzione?
@ Umby: tu li hai saputi trovare oppure sei rimasto "condizionato" leggendo la mia soluzione?
Metti tutte le 22 quaterne che ti ho dato in colonna.
Su ogni colonna ci sarà un segno (o più segni) che ricorre più spesso ....
Su ogni colonna ci sarà un segno (o più segni) che ricorre più spesso ....
"adaBTTLS":
@ Umby: tu li hai saputi trovare oppure sei rimasto "condizionato" leggendo la mia soluzione?
Sicuramente ne sono rimasto condizionato, leggendola. E la mia prima osservazione è stata "ma come cavolo ha fatto Ada a trovarla?"
curioso del fatto di conoscere se ci fosse stata una seconda soluzione al problema, allora l'ho studiato un po e mi sono accorto subito che il numero 1 era l'unico con una frequenza piu' bassa (2).
Ho pensato che le due combinazioni con l' 1 andassero separate, le ho incolonnate, ed ho aggiunto a queste due combinazioni tutte le altre che differivano di 2 o 3 elementi (sperando che tutte le combinazioni si agganciassero alle due iniziali). Così è stato.
Ovviamente c'e' da dire che il gruppo delle 22 combinazioni, proposte da Enzo_Seacoli_Piccrill_donabbondio_Devimal etc etc.... era stato opportunamente creato. Cosa voglio dire? Che non è sempre cosi facile. Ecco perchè ti avevo chiesto se tu avessi usato un ragionamento piu' tecnico.
"Davimal":
Per N=9, k=4, si ha 4(9-5)=20 .
4(9-4)
Sì esatto, era una svista (avevo scritto la formula generale esatta due righe più su).
Ora pongo (io, davimal, non altri) un quesito più interessante di cui non conosco la soluzione.
Sono date tutte e 27 le disposizioni (non combinazioni) di 3 segni su 3 posti.
111, 11X, 112, 1X1, 1XX, 1X2, 121, 12X, 122,
X11, X1X, X12, XX1, XXX, XX2, X21, X2X, X22,
211, 21X, 212, 2X1, 2XX, 2X2, 221, 22X, 222.
Qual è il "ridotto" di taglia minima per questo insieme di 27 disposizioni?
Noto che per disposizioni di 3 segni su 3 posti, ogni disposizione ha 6 vicini, per cui il confine inferiore per la cardinalità di un "ridotto" è 27/7=3,86 circa, ovvero nel caso migliore si potrà trovare un insieme di sole 4 disposizioni che formano un ridotto (in tal caso un ridotto di taglia sicuramente minima).
Bene, io ho trovato un ridotto di 6 disposizioni, ma non riesco a diminuirne la taglia ...
La cosa che indispettisce è il fatto (ben noto ai sistemisti) che, se consideriamo le disposizioni sempre di 3 segni ma su 4 posti, allora ogni disposizione ha 8 vicini e quindi il confine inferiore per la taglia di un ridotto è 81/(8+1)=9. E un ridotto di 9 disposizioni è conosciuto (si tratta ovviamente di un ridotto di taglia minima). Se volete ve lo trascrivo. In questo caso si realizza quindi un risparmio per un fattore 81/9 = 9, mentre per 3 segni su 3 posti, almeno finora, il fattore di risparmio realizzabile non supera un misero 27/6=4.75, che è quasi la metà del fattore di risparmio visto prima. A voi la parola ...
Ora pongo (io, davimal, non altri) un quesito più interessante di cui non conosco la soluzione.
Sono date tutte e 27 le disposizioni (non combinazioni) di 3 segni su 3 posti.
111, 11X, 112, 1X1, 1XX, 1X2, 121, 12X, 122,
X11, X1X, X12, XX1, XXX, XX2, X21, X2X, X22,
211, 21X, 212, 2X1, 2XX, 2X2, 221, 22X, 222.
Qual è il "ridotto" di taglia minima per questo insieme di 27 disposizioni?
Noto che per disposizioni di 3 segni su 3 posti, ogni disposizione ha 6 vicini, per cui il confine inferiore per la cardinalità di un "ridotto" è 27/7=3,86 circa, ovvero nel caso migliore si potrà trovare un insieme di sole 4 disposizioni che formano un ridotto (in tal caso un ridotto di taglia sicuramente minima).
Bene, io ho trovato un ridotto di 6 disposizioni, ma non riesco a diminuirne la taglia ...
La cosa che indispettisce è il fatto (ben noto ai sistemisti) che, se consideriamo le disposizioni sempre di 3 segni ma su 4 posti, allora ogni disposizione ha 8 vicini e quindi il confine inferiore per la taglia di un ridotto è 81/(8+1)=9. E un ridotto di 9 disposizioni è conosciuto (si tratta ovviamente di un ridotto di taglia minima). Se volete ve lo trascrivo. In questo caso si realizza quindi un risparmio per un fattore 81/9 = 9, mentre per 3 segni su 3 posti, almeno finora, il fattore di risparmio realizzabile non supera un misero 27/6=4.75, che è quasi la metà del fattore di risparmio visto prima. A voi la parola ...
"Davimal":
A voi la parola ...
Mi aspettavo già questo nuovo "test". Ci avrei scommesso...
E allora ? Qual è la tua risposta? Mi aspetto una dimostrazione di impossibilità ...
"Davimal":
E allora ? Qual è la tua risposta? Mi aspetto una dimostrazione di impossibilità ...
Ti posso dare una dimostrazione di possibilità, va bene comunque ?
Dunque:
Prendendo una sola combinazione, si ottengono 7 ridotte (1+6)
Prendendone 2, ne abbiamo 14
Con 3, invece 21
..... ovviamente sto parlando di combinazioni ottimali
Con 4, invece 28? e no
.... con 4 gli insiemi delle combinazioni ridotte si sovrappongono per cui al massimo risolviamo 23 delle 27. (solo 2 in piu'... )Con 5, invece arriviamo al nostro 27.
Quindi, non è vero che non ci sono soluzioni con 5 comb. Anzi, ce ne sono tante, tante, tante.
Tante ? Ma quante ? ...... vediamo un po' se mi sai rispondere....
prima dici:
"... nel caso migliore si potrà trovare un insieme di sole 4 disposizioni che formano un ridotto ..."
e poi:
"Mi aspetto una dimostrazione di impossibilità ..."
quest'ultima cosa, certamente ...
la presenza di 111, 222, XXX garantisce che almeno tre disposizioni del ridotto devono contenere due simboli uguali
per una questione di simmetria (e di completezza dell'insieme delle disposizioni di partenza) è indifferente partire da
11X, 1X1, X11, 112, 121, 211, o una analoga delle altre 12. quante disposizioni "copro" con la prima? ....................
addirittura col ridotto si intenderebbe "coprire" tutte le disposizioni, non solo le combinazioni corrispondenti?
................ se la strada è giusta, mi fa piacere aver dato un'indicazione, ma non mi diverte continuare, altrimenti, non so....
"... nel caso migliore si potrà trovare un insieme di sole 4 disposizioni che formano un ridotto ..."
e poi:
"Mi aspetto una dimostrazione di impossibilità ..."
quest'ultima cosa, certamente ...
la presenza di 111, 222, XXX garantisce che almeno tre disposizioni del ridotto devono contenere due simboli uguali
per una questione di simmetria (e di completezza dell'insieme delle disposizioni di partenza) è indifferente partire da
11X, 1X1, X11, 112, 121, 211, o una analoga delle altre 12. quante disposizioni "copro" con la prima? ....................
addirittura col ridotto si intenderebbe "coprire" tutte le disposizioni, non solo le combinazioni corrispondenti?
................ se la strada è giusta, mi fa piacere aver dato un'indicazione, ma non mi diverte continuare, altrimenti, non so....
Umby ha scritto:
Quindi, non è vero che non ci sono soluzioni con 5 comb. Anzi, ce ne sono tante, tante, tante.
E chi l'ha detto che non ci sono soluzioni con 5 sole disposizioni? (disposizioni con ripetizione, non combinazioni)
Ho solo detto che "io finora non sono riuscito a trovarne nemmeno una, ma ho trovato solo una soluzione con 6 disposizioni".
Nè ho mai escluso che non si possa fare di meglio.
Quanto alla dimostrazione di impossibilità, essa si riferiva ovviamente all'impossibilità di trovare un ridotto ottimale, cioè con sole 4 disposizioni, essendo 4 il lower bound per la taglia di un ridotto dell'insieme completo delle 27 disposizioni con ripetizione di 3 segni a 3 a 3.
Interessante l'osservazione di Ada che: già per "far fuori" 111, 222 e XXX servono altrettante disposizioni! Quindi con un'altra sola in più sembra ovvio che non ce la si faccia a "beccare" per contiguità tutte le restanti. Questa è, a grandi linee, la "dimostrazione di impossibilità" da me richiesta.
Grazie.
Quanto a ciò che dice Umby, sembra che lui abbia trovato una soluzione con 5 sole disposizioni. Io non l'ho ancora trovata (per ora non ho voluto usare il computer). Ma è certo che se ce n'è una, anche senza conoscerla, posso stimare al buio quante altre ce ne sono:
ce n'è una per ogni permutazione dei 3 segni, che sono 6
ce n'è una per ogni permutazione simultanea dei 3 posti, che sono altre 6
Al massimo ce ne possono essere addirittura 36, ma credo che, essendoci sovrapposizione fra tutte queste possibilità, siano in numero alquanto inferiore. Giusto?
Quanto prima (ora devo andare), troverò anch'io questa soluzione con 5 sole stringhe, ammesso che Umby non stia celiando (ma non credo).
A presto
prego.
"adaBTTLS":
addirittura col ridotto si intenderebbe "coprire" tutte le disposizioni, non solo le combinazioni corrispondenti?
Si, le disposizioni. Infatti quando giochi una schedina al totocalcio c'e' differenza tra, ad esempio, "1X1" con "X11".
La classica riduzione è quella che ti permette di giocare un sistema con meno colonne rispetto a quello integrale. Ovviamente cosi' facendo non hai più la certezza di fare il "13" (nel caso indovini le giocate), ma solo il "12".
L'esempio piu' comune è quello delle 7 doppie. Il sistema integrale si compone di 128 colonne. Il ridotto di solo 16 colonne. Queste 16 colonne sono scelte in modo opportuno affinchè per ognuna delle 128 colonne dell'integrale ce ne sia almeno una delle 16 che differisce di una sola unità. ( da qui nasce la certezza di fare come minimo il 12 ).
Umby ha scritto
"L'esempio piu' comune è quello delle 7 doppie. Il sistema integrale si compone di 128 colonne. Il ridotto di solo 16 colonne. "
Ecco, ora siamo entrati veramente "in medias res".
Umby ha citato un risultato fra i più notevoli dove si realizza un "risparmio" di 128/16 = 8.
E difatti per N=2 , L=7 si ha un lower bound pari a : 1+L(N-1)=8 appunto, cosicchè in questo caso (come nel caso N=3 e L=4, da me già citato) tale lower bound viene conseguito dalla soluzione trovata ( tabulata su certi manualetti ad uso dei sistemisti).
Ora quello che mi sono sempre chiesto è: chi lavora alla ricerca di questo algoritmi? dove si può trovare la bibliografia relativa al soggetto?
Qui riporto solo ciò che ho trovato scritto su un sito dedicato al totocalcio, cioè:
www.toto1x2.it/Liste/singolavincita.htm:
"Ridotti assoluti
"In questa categoria sono catalogati tutti quei sistemi che garantiscono la vincita n-1 nel solo rispetto del "pronostico, senza nessun'altra condizione. Sono oggetto di studio, in Italia, da almeno mezzo secolo e il "miglioramento di una di queste soluzioni costituisce, per uno studioso, un biglietto da visita di prestigio."
Ecco mi chiedo: chi è che li studia? e come entrare in contatto con questi "studiosi"?
Per esempio, col mio uso del lower-bound è facile dimostrare che il sistema di 7 doppie (128 colonne integrali) segnalato da Umby, una volta ridotto a 16 colonne, non può essere ulteriormente migliorato.
Non è già un bel risultato, questo? Magari ci sono dozzine di "studiosi" che ci stanno provando senza sapere che stanno solo perdendo tempo!
Ah, dimenticavo!
Ecco (trovata senza l'uso del computer) la soluzione per il ridotto delle 27 disposizioni di 3 segni a 3 a 3 con sole cinque terne:
{1XX, X11, 221, 212, X22}
La cosa strana è che non ci sono mai tutti e tre i segni presenti in una stessa terna, ovvero in ciascuna terna c'è un segno ripetuto 2 volte (in omaggio a quanto diceva Ada) ma mai 3, e inoltre in 3 delle 5 terne il segno che si trova ripetuto è lo stesso (nella mia compilazione è il doppio 2)
Mi chiedo se anche la soluzione trovata da Umby è così (a meno di una permutazione ubiqua dei 3 segni).
Ecco (trovata senza l'uso del computer) la soluzione per il ridotto delle 27 disposizioni di 3 segni a 3 a 3 con sole cinque terne:
{1XX, X11, 221, 212, X22}
La cosa strana è che non ci sono mai tutti e tre i segni presenti in una stessa terna, ovvero in ciascuna terna c'è un segno ripetuto 2 volte (in omaggio a quanto diceva Ada) ma mai 3, e inoltre in 3 delle 5 terne il segno che si trova ripetuto è lo stesso (nella mia compilazione è il doppio 2)
Mi chiedo se anche la soluzione trovata da Umby è così (a meno di una permutazione ubiqua dei 3 segni).
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