Esercizii su relazioni
Salve ragazzi ho un problemino con degli esercizi sulle relazioni qualcuno può gentilmente farmi capire come si trova la simmetria/antisimmetria, transitività, e classe di equivalenza di di l'esercizio è questo:
Si consideri su $ZZ$ la seguente relazione:
$ R = { (a,b) in ZZ xx ZZ: EEh in ZZ text( t.c. )9a + 5b = 14h} $
Stabilire se $R$ definisce una relazione d'ordine o di equivalenza su $ZZ$. Inoltre,
se tale relazione è di equivalenza, descrivere la classe di equivalenza di $0$.
please aiutooooo
Si consideri su $ZZ$ la seguente relazione:
$ R = { (a,b) in ZZ xx ZZ: EEh in ZZ text( t.c. )9a + 5b = 14h} $
Stabilire se $R$ definisce una relazione d'ordine o di equivalenza su $ZZ$. Inoltre,
se tale relazione è di equivalenza, descrivere la classe di equivalenza di $0$.
please aiutooooo
Risposte
Innanzitutto, devi cominciare a immaginare quali proprietà delle relazioni interne a $ZZ$ ti sembrano soddisfatte.
Ad esempio, la proprietà riflessiva ti sembra soddisfatta? Perché?
E quella simmetrica? Perché?
Comincia da qui, poi passiamo avanti.
P.S.: Editando il messaggio ho pensato che la proprietà da te scritta, cioè $9a + 5a =14h$ contenesse un errore di battitura e l’ho modificata in $9a + 5b = 14h$. Vedi se va bene.
Ad esempio, la proprietà riflessiva ti sembra soddisfatta? Perché?
E quella simmetrica? Perché?
Comincia da qui, poi passiamo avanti.
P.S.: Editando il messaggio ho pensato che la proprietà da te scritta, cioè $9a + 5a =14h$ contenesse un errore di battitura e l’ho modificata in $9a + 5b = 14h$. Vedi se va bene.
Innanzitutto grazie sia per la risposta che per la correzione avevo sbagliato a scrivere,
io l'esercizio l'ho svolto così:
Propietà riflessiva:
$ AA a in ZZ 9a + 5a = 14h=>14a=14h $
Propietò simmetrica
$ AA a,b in ZZ 14h=9a+5b $
propieà transitiva e classe di equivalenza non saprei proprio
Per favore aiutatemi poiché non ho materiale su questo tipo di esercizi
e sto cercando di farli tramite la teoria ma non sò se sto facendo bene
io l'esercizio l'ho svolto così:
Propietà riflessiva:
$ AA a in ZZ 9a + 5a = 14h=>14a=14h $
Propietò simmetrica
$ AA a,b in ZZ 14h=9a+5b $
propieà transitiva e classe di equivalenza non saprei proprio
Per favore aiutatemi poiché non ho materiale su questo tipo di esercizi
e sto cercando di farli tramite la teoria ma non sò se sto facendo bene
"gugo82":
Innanzitutto, devi cominciare a immaginare quali proprietà delle relazioni interne a $ZZ$ ti sembrano soddisfatte.
Ad esempio, la proprietà riflessiva ti sembra soddisfatta? Perché?
E quella simmetrica? Perché?
Comincia da qui, poi passiamo avanti.
P.S.: Editando il messaggio ho pensato che la proprietà da te scritta, cioè $9a + 5a =14h$ contenesse un errore di battitura e l’ho modificata in $ AA a in ZZ 9a + 5a = 14h=>14a=14h $ . Vedi se va bene.
"peppemat":
Proprietà riflessiva:
$ AA a in ZZ 9a + 5a = 14h=>14a=14h $
Da definizione, per verificare che la $R$ sia riflessiva in $ZZ$ dobbiamo mostrare che ogni $a in ZZ$ risulta $aRa$, ossia che $a$ è in relazione con se stesso.
Fissiamo un $a in ZZ$. Per com’è definita $R$, per dimostrare che $aRa$ dobbiamo provare che esiste un numero $h in ZZ$ tale che $9a+5a = 14h$.
Ora, dato che $9a + 5a = 14 a$, possiamo prendere $h=a$ e siamo a posto.
Visto che questo discorso può essere ripetuto per ogni $a in ZZ$, è chiaro che $R$ è riflessiva.
"peppemat":
Proprietà simmetrica
$ AA a,b in ZZ 14h=9a+5b $
Qui proprio non ci sei. Stai confondendo la proprietà simmetrica di $R$ con quella dell’uguaglianza.
Da definizione, per verificare che la $R$ sia simmetrica in $ZZ$ dobbiamo mostrare che ogni $a, b in ZZ$ risulta $a R b => b R a$, ossia che se $a$ è in relazione con $b$ allora anche $b$ è in relazione con $a$.
Fissiamo un $a, b in ZZ$ in modo che $a R b$; per come è definita $R$, ciò significa che esiste un $h in ZZ$ tale che $9a + 5b = 14h$. Dobbiamo vedere se è possibile, con queste ipotesi, provare che $b R a$, ossia che esiste un $k in ZZ$ (potenzialmente diverso da $h$) tale che $9b + 5a = 14k$.
Proviamo a manipolare algebricamente $9b+5a$:
\[
9 b + 5 a = 5b + 4b + 5a + 4a - 4a = 9a + 5b + 4(b-a) = 14 h +4(b-a)
\]
in cui abbiamo usato l’ipotesi $9a+5b=14h$ ed un po’ di algebra elementare; affinché $bRa$ l’ultimo membro della precedente, cioè $14h + 4(b-a)$, dovrebbe essere un multiplo di $14$… Ma ciò non sembra in generale vero (ad esempio, lo è sotto l’ulteriore ipotesi che $b-a$ sia multiplo di $7$, ma questa ipotesi non è tra quelle di partenza del ragionamento!).
Quindi ci facciamo l’idea che, in generale, l’implicazione $aRb => bRa$ non sia sempre vera.
Per provare questo fatto, basta produrre un controesempio, i.e. trovare due numeri $a,b in ZZ$ tali che $aRb$ e che non si abbia $bRa$.
Chiaramente non vanno bene né $a=1$ e $b=1$, né $a=-2$ e $b=-2$, né in generale tutte le coppie fatte da elementi uguali.
Proviamo con $a=-1$ e $b=3$: abbiamo $9a+5b = -9 + 15 = 14 = 14*1=14h$, dunque $-1R3$; tuttavia $9b+5a=27-5=22 != 14 h$ (perché $22$ non è multiplo di $14$!), quindi \( 3 \not R -1\).
Possiamo lecitamente affermare che $R$ non è simmetrica.
"peppemat":
Proprietà transitiva e classe di equivalenza non saprei proprio
Visto che $R$ non è simmetrica, essa non è di equivalenza e perciò il secondo problema non si pone.
Rimane da verificare se $R$ è transitiva, ossia che $aRb ^^ bRc => aRc$, cioè che se esistono $h,k in ZZ$ tali che $9a+5b = 14 h$ e $9b + 5c = 14k$, allora esiste $l in ZZ$ tale che $9a + 5c = 14l$.
Prova e vedi cosa riesci a fare.
grazie per la risposta ora mi è tutto un infinito più chiaro, possiamo affermare allora che sia una relazione d'ordine e non di equivalenza giusto?
Posso chiederti un'altro favore se non è troppo ho un'altro esercizio dove sono riuscito (a meno credo) di dimostrare la relazione di equivalenza ma non le sue classi di equivalenza potresti controllare se ho fatto bene e nel caso spiegarmi come riuscire a determinare le relative classi.
L'esercizio è questo:
Si consideri su $ NN x NN $ la seguente relazione:
$ AA (a,b),(c,d) in NNxNN (a,b)R(c,d) hArr ab=cd $
Verifcare che $ R $ è una relazione di equivalenza su $ NN x NN $. Inoltre, determinare
le classi di equivalenza di (0; 0) e (8; 1).
allora io ho svolto l'esercizio così
-Riflessiva: sia $ a,b in NN $ (a,b)R(a,b) $ rArr $ ab=ba
-Simmetria: siano $ (a,b),(c,d) in NN $ tali che $ (a,b)R(c,d) $ cioè ab=cd dunque $ cd=ab => (c,d)R(a,b) $
-transitiva: siano $ (a,b) (c,d) (e,f) in NN $ tali che $ (a,b)R(c,d) $ e $ (c,d)R(e,f) $ cioe ab=cd e cd=ef $ => $ ab=cd=ef quindi ab=ef quindi $ (a,b)R(e,f) $
Non saprei se ho fatto bene però su questo esercizio sono molto speranzoso
grazie mille gugo82 sei il mio salvatore
Posso chiederti un'altro favore se non è troppo ho un'altro esercizio dove sono riuscito (a meno credo) di dimostrare la relazione di equivalenza ma non le sue classi di equivalenza potresti controllare se ho fatto bene e nel caso spiegarmi come riuscire a determinare le relative classi.
L'esercizio è questo:
Si consideri su $ NN x NN $ la seguente relazione:
$ AA (a,b),(c,d) in NNxNN (a,b)R(c,d) hArr ab=cd $
Verifcare che $ R $ è una relazione di equivalenza su $ NN x NN $. Inoltre, determinare
le classi di equivalenza di (0; 0) e (8; 1).
allora io ho svolto l'esercizio così
-Riflessiva: sia $ a,b in NN $ (a,b)R(a,b) $ rArr $ ab=ba
-Simmetria: siano $ (a,b),(c,d) in NN $ tali che $ (a,b)R(c,d) $ cioè ab=cd dunque $ cd=ab => (c,d)R(a,b) $
-transitiva: siano $ (a,b) (c,d) (e,f) in NN $ tali che $ (a,b)R(c,d) $ e $ (c,d)R(e,f) $ cioe ab=cd e cd=ef $ => $ ab=cd=ef quindi ab=ef quindi $ (a,b)R(e,f) $
Non saprei se ho fatto bene però su questo esercizio sono molto speranzoso
grazie mille gugo82 sei il mio salvatore
"peppemat":
grazie per la risposta ora mi è tutto un infinito più chiaro, possiamo affermare allora che sia una relazione d'ordine e non di equivalenza giusto?
Ma anche no, se non verifichi la transitività non puoi dire nulla.
L’hai verificata?
Posta i conti, che controlliamo.
"peppemat":
Posso chiederti un'altro favore se non è troppo ho un'altro esercizio dove sono riuscito (a meno credo) di dimostrare la relazione di equivalenza ma non le sue classi di equivalenza potresti controllare se ho fatto bene e nel caso spiegarmi come riuscire a determinare le relative classi.
L'esercizio è questo:
Si consideri su $ NN x NN $ la seguente relazione:
$ AA (a,b),(c,d) in NNxNN (a,b)R(c,d) hArr ab=cd $
Verifcare che $ R $ è una relazione di equivalenza su $ NN x NN $. Inoltre, determinare
le classi di equivalenza di (0; 0) e (8; 1).
allora io ho svolto l'esercizio così
-Riflessiva: sia $ a,b in NN $ (a,b)R(a,b) $ rArr $ ab=ba
-Simmetria: siano $ (a,b),(c,d) in NN $ tali che $ (a,b)R(c,d) $ cioè ab=cd dunque $ cd=ab => (c,d)R(a,b) $
-transitiva: siano $ (a,b) (c,d) (e,f) in NN $ tali che $ (a,b)R(c,d) $ e $ (c,d)R(e,f) $ cioe ab=cd e cd=ef $ => $ ab=cd=ef quindi ab=ef quindi $ (a,b)R(e,f) $
Non saprei se ho fatto bene però su questo esercizio sono molto speranzoso
Potresti scrivere meglio, ma sì, è corretto.
Per quanto riguarda le classi di equivalenza, devi stabilire quali sono le coppie $(c,d)$ che stanno in relazione con $(0,0)$ e quali quelle che stanno in relazione con $(8,1)$.
Vista la definizione di $R$, devi chiederti quali sono i numeri $c,d in NN$ tali che $cd=0$?
E quali quelli che $cd =8$?
La risposta è immediata, no?
"peppemat":
grazie mille gugo82 sei il mio salvatore
Al massimo sono il tuo gugo82, visto che non mi chiamo Salvatore...
"gugo82":
Rimane da verificare se R è transitiva, ossia che aRb∧bRc⇒aRc, cioè che se esistono h,k∈Z tali che 9a+5b=14h e 9b+5c=14k, allora esiste l∈Z tale che 9a+5c=14l.
per quanto riguarda la transitività io ho fatto così
$ 9a+5b=14h => 5b=14h-9a $
$ 9b+5c=14k $ questa può essere riscritta come $ 5b+4b+5c=14k =>5b=14k-4b+5c$
quindi $ 5b=14k-4b+5c=14h-9a =>
9a+5c=14h-14k+4b=>9a+5c=14(h-k)+4b
$
quindi abbiamo la transitività solo quando b è un multiplo di 14 giusto?
No.
Da $aRb ^^ bRc$ ricavi:
\[
\left. \begin{split} 9a+5b
&= 14h \\ 9b + 5c &= 14k\end{split} \right\} \quad \Rightarrow \quad 9a + 14 b + 5c = 14(h+k) \quad \Rightarrow \quad 9a + 5c =14\underbrace{(h+k-b)}_{=l \in \mathbb{Z}}
\]
quindi $aRc$. La $R$, dunque, è transitiva.
Se fosse anche antisimmetrica sarebbe una relazione d'ordine... Vuoi verificare?
Da $aRb ^^ bRc$ ricavi:
\[
\left. \begin{split} 9a+5b
&= 14h \\ 9b + 5c &= 14k\end{split} \right\} \quad \Rightarrow \quad 9a + 14 b + 5c = 14(h+k) \quad \Rightarrow \quad 9a + 5c =14\underbrace{(h+k-b)}_{=l \in \mathbb{Z}}
\]
quindi $aRc$. La $R$, dunque, è transitiva.
Se fosse anche antisimmetrica sarebbe una relazione d'ordine... Vuoi verificare?
Si si guggo82
poiche la relazione anti simmetrica dice che se aRb e bRa abbiamo a=b in questo caso dall'esempio che abbiamo dato non deduciamo già che è antisimmetrica quindi una relazione d'ordine?
"gugo82":
Chiaramente non vanno bene né a=1 e b=1, né a=−2 e b=−2, né in generale tutte le coppie fatte da elementi uguali.
poiche la relazione anti simmetrica dice che se aRb e bRa abbiamo a=b in questo caso dall'esempio che abbiamo dato non deduciamo già che è antisimmetrica quindi una relazione d'ordine?
Da un esempio valido non puoi dedurre nulla, al massimo puoi trarre un indizio che le cose possano funzionare.
Ma che le cose funzionano lo devi dimostrare.
E per dimostrare devi fare i conti.
P.S.: Che studi?
Questi sono errori logici che commettono i miei studenti del biennio al liceo...
Ma che le cose funzionano lo devi dimostrare.
E per dimostrare devi fare i conti.
P.S.: Che studi?
Questi sono errori logici che commettono i miei studenti del biennio al liceo...
Che ne dici così va bene
dobbiamo dimostrare che se
$ aRb $ ed $ bRa $ allora $ a=b =>EE h in ZZ$ tc $ 9a+5b=14h $ ed $ 9b+5a=14h $ allora
$ 9a+5b=9b+5a => 9a-5a=9b-5b => 4a=4b => a=b$
studio informatica fra pochi giorni ho un esame ed sono in seria difficoltà tra questo argomento (poiche non ho esercizi svolti per capire alcune cose) e sistemi di congruenze lineari che ho un esercizio svolto che ho postato e non capisco da dove derivano dei valori, l'ho postato in questo forum ma ancora nessuna risposta
dobbiamo dimostrare che se
$ aRb $ ed $ bRa $ allora $ a=b =>EE h in ZZ$ tc $ 9a+5b=14h $ ed $ 9b+5a=14h $ allora
$ 9a+5b=9b+5a => 9a-5a=9b-5b => 4a=4b => a=b$
studio informatica fra pochi giorni ho un esame ed sono in seria difficoltà tra questo argomento (poiche non ho esercizi svolti per capire alcune cose) e sistemi di congruenze lineari che ho un esercizio svolto che ho postato e non capisco da dove derivano dei valori, l'ho postato in questo forum ma ancora nessuna risposta
Guarda che scrivendo $9a+5b=14h ^^ 9b+5a=14h$ stai già implicitamente assumendo che $9a+5b=9b+5a$, che è la tesi... Ma, come noto dalle scuole, assumere la tesi tra le ipotesi è uno dei peccati capitali quando si fa Matematica.
Il punto di partenza giusto è $9a+5b=14h ^^ 9b+5a=14k$, con $h!=k$ in generale.
P.S.: Gli errori (gravi) che commetti a pochi giorni dall’esame sono l’indice del fatto che la tua preparazione matematica di base è (al più) solo tecnica e che non hai riflettuto adeguatamente sulla logica che in Matematica c'è dietro ogni contariello ed ogni piccola dimostrazione.
Devi lavorare per colmare il gap che ti porti dietro dalle scuole... Forza!
Il punto di partenza giusto è $9a+5b=14h ^^ 9b+5a=14k$, con $h!=k$ in generale.
P.S.: Gli errori (gravi) che commetti a pochi giorni dall’esame sono l’indice del fatto che la tua preparazione matematica di base è (al più) solo tecnica e che non hai riflettuto adeguatamente sulla logica che in Matematica c'è dietro ogni contariello ed ogni piccola dimostrazione.
Devi lavorare per colmare il gap che ti porti dietro dalle scuole... Forza!
mmmm sono 3 volte che non riesco a passare questo maledetto esame è davvero dura sono e uno degli ultimi esami alla laurea e sono davvero saturo
comunque vedi se così va bene
$9a+5b=14h h in ZZ$
$9b+5a=14k k in ZZ$ con $h != k$
allora possiamo scrivere
$9a+5b+9b+5a=14h+14k=>14a+14b=14(h+k)=> 14(a+b)=14(k+h)=> a+b=k+h$
pero non so come dimostrare che a=b
ti prego illuminami
comunque vedi se così va bene
$9a+5b=14h h in ZZ$
$9b+5a=14k k in ZZ$ con $h != k$
allora possiamo scrivere
$9a+5b+9b+5a=14h+14k=>14a+14b=14(h+k)=> 14(a+b)=14(k+h)=> a+b=k+h$
pero non so come dimostrare che a=b
ti prego illuminami
Vedi che qui stiamo ragionando insieme, non chiedermi di illuminarti: non ne so più di te su questo problema.
Per come siamo messi, la relazione potrebbe anche non essere antisimmetrica... Per esempio, cosa succede con $14$ e $0$?
Per come siamo messi, la relazione potrebbe anche non essere antisimmetrica... Per esempio, cosa succede con $14$ e $0$?
va be per 14 vuol dire che a+b=1 essendo in z mentre per zero a e b sono opposti giusto?
Non mi sono spiegato... Che succede con $a=14$ e $b=0$?
aspetta forse ci sono
che 14a=14h percià a=h perciò se abbiamo anche a=0 e b=14 abbiamo che 14b=14h => da qui deducimo che 14b=14h=14a => a=b giusto?
che 14a=14h percià a=h perciò se abbiamo anche a=0 e b=14 abbiamo che 14b=14h => da qui deducimo che 14b=14h=14a => a=b giusto?
No.
e come si potrebbe fare?
Quali sono le definizioni? Rivediamole insieme:
Una relazione su un insieme \(\displaystyle X \) è un sottoinsieme di \(\displaystyle X\times X \). Dato \(\displaystyle R\subseteq X\times X \), è comune scrivere \(\displaystyle aRb \) al posto di \(\displaystyle (a,b)\in R \).
Una relazione \(\displaystyle R \) sull'insieme \(\displaystyle X \) è riflessiva se \(\displaystyle \forall a\in X,\;aRa \) ovvero se la "diagonale" di \(\displaystyle X\times X \) è contenuta in \(\displaystyle R \).
Una relazione \(\displaystyle R \) sull'insieme \(\displaystyle X \) è simmetrica se \(\displaystyle \forall a,b \in X,\;aRb \Leftrightarrow bRa \) ovvero se la relazione è simmetrica rispetto alla "diagonale" di \(\displaystyle X\times X \).
Una relazione \(\displaystyle R \) sull'insieme \(\displaystyle X \) è transitiva se \(\displaystyle \forall a,b,c \in X,\;aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc \). Questo aspetto è più difficile da vedere geometricamente.
Una relazione è di equivalenza se è tutte queste ultime cose.
La tua relazione è data da \(\displaystyle R = \{ (a,b)\in \mathbb{Z} : \exists h\in \mathbb{Z},\;9a + 5b = 14h \} \).
Per capire con cosa stai lavorando, nota che puoi riscrivere \(\displaystyle R \) come \(\displaystyle R = \{ (a,b)\in \mathbb{Z} : 9a \equiv -5b \!\!\!\!\pmod{14} \} \). Siccome \(\displaystyle 9 \equiv -5 \!\!\!\!\pmod{14} \), \(\displaystyle R \) non è altro che la relazione di congruenza modulo \(\displaystyle 14 \). Ovviamente non penso che il professore apprezzerebbe questo genere di risoluzione.
Ti faccio la riflessività così da capire il principio generale. Dato \(\displaystyle a\in\mathbb{Z} \) si ha che \(\displaystyle 9a + 5a = 14a \). Pertanto la relazione è soddisfatta per \(\displaystyle h = a \).
Per la simmetria devi dimostrazione che se \(\displaystyle \exists h \) tale che \(\displaystyle 9a + 5b = 14h \) allora \(\displaystyle \exists k \) tale che \(\displaystyle 5a + 9b = 14k \). Sei in grado di trovare \(\displaystyle k \)?
Una relazione su un insieme \(\displaystyle X \) è un sottoinsieme di \(\displaystyle X\times X \). Dato \(\displaystyle R\subseteq X\times X \), è comune scrivere \(\displaystyle aRb \) al posto di \(\displaystyle (a,b)\in R \).
Una relazione \(\displaystyle R \) sull'insieme \(\displaystyle X \) è riflessiva se \(\displaystyle \forall a\in X,\;aRa \) ovvero se la "diagonale" di \(\displaystyle X\times X \) è contenuta in \(\displaystyle R \).
Una relazione \(\displaystyle R \) sull'insieme \(\displaystyle X \) è simmetrica se \(\displaystyle \forall a,b \in X,\;aRb \Leftrightarrow bRa \) ovvero se la relazione è simmetrica rispetto alla "diagonale" di \(\displaystyle X\times X \).
Una relazione \(\displaystyle R \) sull'insieme \(\displaystyle X \) è transitiva se \(\displaystyle \forall a,b,c \in X,\;aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc \). Questo aspetto è più difficile da vedere geometricamente.
Una relazione è di equivalenza se è tutte queste ultime cose.
La tua relazione è data da \(\displaystyle R = \{ (a,b)\in \mathbb{Z} : \exists h\in \mathbb{Z},\;9a + 5b = 14h \} \).
Per capire con cosa stai lavorando, nota che puoi riscrivere \(\displaystyle R \) come \(\displaystyle R = \{ (a,b)\in \mathbb{Z} : 9a \equiv -5b \!\!\!\!\pmod{14} \} \). Siccome \(\displaystyle 9 \equiv -5 \!\!\!\!\pmod{14} \), \(\displaystyle R \) non è altro che la relazione di congruenza modulo \(\displaystyle 14 \). Ovviamente non penso che il professore apprezzerebbe questo genere di risoluzione.
Ti faccio la riflessività così da capire il principio generale. Dato \(\displaystyle a\in\mathbb{Z} \) si ha che \(\displaystyle 9a + 5a = 14a \). Pertanto la relazione è soddisfatta per \(\displaystyle h = a \).
Per la simmetria devi dimostrazione che se \(\displaystyle \exists h \) tale che \(\displaystyle 9a + 5b = 14h \) allora \(\displaystyle \exists k \) tale che \(\displaystyle 5a + 9b = 14k \). Sei in grado di trovare \(\displaystyle k \)?
"peppemat":
Che ne dici così va bene
dobbiamo dimostrare che se
$ aRb $ ed $ bRa $ allora $ a=b =>EE h in ZZ$ tc $ 9a+5b=14h $ ed $ 9b+5a=14h $ allora
$ 9a+5b=9b+5a => 9a-5a=9b-5b => 4a=4b => a=b$
studio informatica fra pochi giorni ho un esame ed sono in seria difficoltà tra questo argomento (poiche non ho esercizi svolti per capire alcune cose) e sistemi di congruenze lineari che ho un esercizio svolto che ho postato e non capisco da dove derivano dei valori, l'ho postato in questo forum ma ancora nessuna risposta
ci sto provando ma a quanto pare non sto riuscendo molto
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