Esercizi sugli anelli
Salve ragazzi! Ho qui un po' di esercizi sugli anelli, come al solito qualcosa non quadra o qualquadra non cosa. 
Il primo sembra molto banale ma non so se lo sia davvero, mi sento un po' stupido a non capirlo. 
1.1
Sia A un anello commutativo con identità $1$. Provare per ogni $a,b in A$ le seguenti relazioni (tra le quali la regoletta del "$- * - = +$"):
a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
b) $(-1)^2=1$
c) $(-a)^2=a^2$
d) $(-a)(-b)=ab$
e) $-(a-b) = -a+b$
f) $-(-a)=a$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.
1.2
Sia A un anello commutativo con identità e sia $\phi$ una relazione $a\phib$ se e solo se $a$ e $b$ sono associati.
- Provare che $\phi$ è una relazione di equivalenza in A.
- Posto $A = ZZ$, determinare $ZZ_{/\phi}$
- E' vero che $[a]+[b ] = [a+b]$ è un'operazione ben definita nell'insieme quoziente $ZZ_{/\phi}$ ?
1.3
Si consideri l'anello $ZZ_11$ con la somma e il prodotto usuali
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
- Stabilire quali sono le unità in $ZZ_11$
- Trovare gli elementi associati a $[2]$ in $ZZ_11$
- Stabilire se $[4]$ è irriducibile o no, in $ZZ_11$
_____
Svolgimento 1.1
Date le proprietà di un anello...:
- Proprietà associativa
- Commutativa
- Esistenza dell'elemento neutro ($0$ per la somma, $1$ per il prodotto)
- Esistenza dell'inverso($-a$ per la somma, $a^-1$ per il prodotto)
- Proprietà associativa del prodotto rispetto alla somma
... dovrebbe risultare semplice muoversi con questo esercizio ma non credo di avere la dimestichezza adatta a svolgerlo, in pratica non saprei quali potrebbero essere i giusti passaggi per arrivare alla conclusione richiesta, ma io ci provo!
a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
$-(ab)=-ab=-1*a*1*b=1(-a*b)=-1(a)b=a(-1(b))=a(-b)$
b) $(-1)^2=1$
$(-1)^2 = (-1)(-1) =1(-1)(-1)= 1(1)= 1$
c) $(-a)^2=a^2$
$(-a)^2=(-a)(-a)= 1(-a)(-a)= 1(a^2)= a^2$
d) $(-a)(-b)=ab$
$(-a)(-b)=1(-a)1(-b)=-1(a)1(-b)=-(a(-b))= -(a(-1)(b))= -(-a(b))= ab$
e) $-(a-b) = -a+b$
$-(a-b) = -1(a)-(-1(b)) = -1(a)-(-b) = -1(a)+b = -a+b$
f) $-(-a)=a$
$-(-a) = -1(-1(a)) = -(-1(a)) = (1(a)) = a$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.
$(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari: $(-1)^{2n} = [(-1)^2]^n = [(-1)(-1)]^n = (1)^n = 1$
$(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari: $(-1)^{2n+1} = (-1)^{2n}*(-1) = [(-1)^2]^n * (-1) = [(-1)(-1)]^n *(-1) = (1)^n * (-1) = -1$
Svolgimento 1.2
$a$ e $b$ si dicono elementi associati se esiste un'unità $u in A$ t.c. $a=ub$ e quindi $b=u^-1a$
Dato che siamo in $ZZ$, le unità sono $1$ e $-1$.
quindi ci chiediamo: $\phi$ è relazione di equivalenza? Proviamolo!
- E' riflessiva?
$a\phia rArr a=ua rArr a=1*a rArr a=a$
- E' simmetrica?
$a\phib rArr a=ub rArr a=b$
$b\phia rArr b=ua rArr b=a$
E' transitiva?
$a\phib rArr a=ub$
$b\phic rArr b=uc$
$a\phic rArr a+b=ub+uc rArr a=uc rArr a=c$
Determiniamo $ZZ_{/\phi}$
$ZZ_{/\phi} = {[a]|a in ZZ}$
$[a]={b in ZZ | b \phi a}$
$b=ua$
sappiamo che la nostra relazione $a \phi b$ ci dice che $a=ub$ quindi sostituiamo $b=ua$ in $a=ub$ (giusto
)
$a=u(ua) rArr a=(u*u)*a rArr a=a$
quindi il nostro insieme quoziente è formato dalle classi di equivalenza nella forma $a=a$ (esatto )
Verifichiamo con elementi arbitrari $in ZZ$ che le operazioni somma e prodotto sulle classi di resto sono ben definite:
$[1]+[1] = [2] = [1+1]$
$[2]*[2] = [4] = [2*2]$
Svolgimento 1.3
Anello $ZZ_11$ con somma e prodotto usuali sulle classi di resto
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
Stabiliamo quali sono le unità:
un elemento $u$ si dice unità (o elemento invertibile) se in $ZZ_11$ esiste il suo inverso rispetto al prodotto denotato con $u^-1$ t.c. $u*u^-1 = u^-1*u = 1$
Quindi
Gli elementi in $ZZ_11$ sono {[0],[1],[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10]}
L'unità è denotata con $*[u^-1]=[1]$ (giusto )
Quindi le sue unità sono:
$[3]*[4] = [1]$
$[2]*[6] = [1]$
$[5]*[9] = [1]$
(quello che non ho capito è se le unità sono 3,2,5 oppure tutte e sei (3,4,2,6,5,9))
Cerchiamo gli elementi associati a $[2]$ t.c. $[2] = [u*b]$
gli elementi associati sono:
$[2] = [5*7]$
$[2] = [9*10]$
Ora l'esercizio ci chiede se la classe $[4]$ è irriducibile oppure no.
un elemento si dice irriducibile se non è riducibile, ossia se non si può decomporre in un prodotto tranne che nel prodotto di un'unità per un elemento associato ad esso.
Quindi $[4]$ non è irriducibile in $ZZ_11$, quindi è riducibile perchè si può scrivere come:
$[4] = [3] * [5]$
Aspetto vostre correzioni e suggerimenti
Il primo sembra molto banale ma non so se lo sia davvero, mi sento un po' stupido a non capirlo. 1.1
Sia A un anello commutativo con identità $1$. Provare per ogni $a,b in A$ le seguenti relazioni (tra le quali la regoletta del "$- * - = +$"):
a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
b) $(-1)^2=1$
c) $(-a)^2=a^2$
d) $(-a)(-b)=ab$
e) $-(a-b) = -a+b$
f) $-(-a)=a$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.
1.2
Sia A un anello commutativo con identità e sia $\phi$ una relazione $a\phib$ se e solo se $a$ e $b$ sono associati.
- Provare che $\phi$ è una relazione di equivalenza in A.
- Posto $A = ZZ$, determinare $ZZ_{/\phi}$
- E' vero che $[a]+[b ] = [a+b]$ è un'operazione ben definita nell'insieme quoziente $ZZ_{/\phi}$ ?
1.3
Si consideri l'anello $ZZ_11$ con la somma e il prodotto usuali
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
- Stabilire quali sono le unità in $ZZ_11$
- Trovare gli elementi associati a $[2]$ in $ZZ_11$
- Stabilire se $[4]$ è irriducibile o no, in $ZZ_11$
_____
Svolgimento 1.1
Date le proprietà di un anello...:
- Proprietà associativa
- Commutativa
- Esistenza dell'elemento neutro ($0$ per la somma, $1$ per il prodotto)
- Esistenza dell'inverso($-a$ per la somma, $a^-1$ per il prodotto)
- Proprietà associativa del prodotto rispetto alla somma
... dovrebbe risultare semplice muoversi con questo esercizio ma non credo di avere la dimestichezza adatta a svolgerlo, in pratica non saprei quali potrebbero essere i giusti passaggi per arrivare alla conclusione richiesta, ma io ci provo!
a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
$-(ab)=-ab=-1*a*1*b=1(-a*b)=-1(a)b=a(-1(b))=a(-b)$
b) $(-1)^2=1$
$(-1)^2 = (-1)(-1) =1(-1)(-1)= 1(1)= 1$
c) $(-a)^2=a^2$
$(-a)^2=(-a)(-a)= 1(-a)(-a)= 1(a^2)= a^2$
d) $(-a)(-b)=ab$
$(-a)(-b)=1(-a)1(-b)=-1(a)1(-b)=-(a(-b))= -(a(-1)(b))= -(-a(b))= ab$
e) $-(a-b) = -a+b$
$-(a-b) = -1(a)-(-1(b)) = -1(a)-(-b) = -1(a)+b = -a+b$
f) $-(-a)=a$
$-(-a) = -1(-1(a)) = -(-1(a)) = (1(a)) = a$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.
$(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari: $(-1)^{2n} = [(-1)^2]^n = [(-1)(-1)]^n = (1)^n = 1$
$(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari: $(-1)^{2n+1} = (-1)^{2n}*(-1) = [(-1)^2]^n * (-1) = [(-1)(-1)]^n *(-1) = (1)^n * (-1) = -1$
Svolgimento 1.2
$a$ e $b$ si dicono elementi associati se esiste un'unità $u in A$ t.c. $a=ub$ e quindi $b=u^-1a$
Dato che siamo in $ZZ$, le unità sono $1$ e $-1$.
quindi ci chiediamo: $\phi$ è relazione di equivalenza? Proviamolo!
- E' riflessiva?
$a\phia rArr a=ua rArr a=1*a rArr a=a$
- E' simmetrica?
$a\phib rArr a=ub rArr a=b$
$b\phia rArr b=ua rArr b=a$
E' transitiva?
$a\phib rArr a=ub$
$b\phic rArr b=uc$
$a\phic rArr a+b=ub+uc rArr a=uc rArr a=c$
Determiniamo $ZZ_{/\phi}$
$ZZ_{/\phi} = {[a]|a in ZZ}$
$[a]={b in ZZ | b \phi a}$
$b=ua$
sappiamo che la nostra relazione $a \phi b$ ci dice che $a=ub$ quindi sostituiamo $b=ua$ in $a=ub$ (giusto
)$a=u(ua) rArr a=(u*u)*a rArr a=a$
quindi il nostro insieme quoziente è formato dalle classi di equivalenza nella forma $a=a$ (esatto
) Verifichiamo con elementi arbitrari $in ZZ$ che le operazioni somma e prodotto sulle classi di resto sono ben definite:
$[1]+[1] = [2] = [1+1]$
$[2]*[2] = [4] = [2*2]$
Svolgimento 1.3
Anello $ZZ_11$ con somma e prodotto usuali sulle classi di resto
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
Stabiliamo quali sono le unità:
un elemento $u$ si dice unità (o elemento invertibile) se in $ZZ_11$ esiste il suo inverso rispetto al prodotto denotato con $u^-1$ t.c. $u*u^-1 = u^-1*u = 1$
Quindi
Gli elementi in $ZZ_11$ sono {[0],[1],[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10]}
L'unità è denotata con $*[u^-1]=[1]$ (giusto
)Quindi le sue unità sono:
$[3]*[4] = [1]$
$[2]*[6] = [1]$
$[5]*[9] = [1]$
(quello che non ho capito è se le unità sono 3,2,5 oppure tutte e sei (3,4,2,6,5,9))
Cerchiamo gli elementi associati a $[2]$ t.c. $[2] = [u*b]$
gli elementi associati sono:
$[2] = [5*7]$
$[2] = [9*10]$
Ora l'esercizio ci chiede se la classe $[4]$ è irriducibile oppure no.
un elemento si dice irriducibile se non è riducibile, ossia se non si può decomporre in un prodotto tranne che nel prodotto di un'unità per un elemento associato ad esso.
Quindi $[4]$ non è irriducibile in $ZZ_11$, quindi è riducibile perchè si può scrivere come:
$[4] = [3] * [5]$
Aspetto vostre correzioni e suggerimenti
Risposte
Ciao darkfog e ben ritrovato 
Allora, prima di rivedere in toto gli svolgimenti dei vari esercizi mi permetto di farti notare che alcune delle proprietà degli anelli che hai scritto sono errate (o comunque non sono scritte nella maniera corretta).
Riguardo al primo esercizio vi sono alcune proprietà (la prima sicuramente) che si possono dedurre direttamente da quelle degli anelli. Ricordiamoci infatti che abbiamo davanti prima di tutto un anello che, nella fattispecie, è anche unitario. Con ciò voglio dire che talvolta può bastare sfruttare le proprietà degli anelli (non unitari).
Allora, prima di rivedere in toto gli svolgimenti dei vari esercizi mi permetto di farti notare che alcune delle proprietà degli anelli che hai scritto sono errate (o comunque non sono scritte nella maniera corretta).
Riguardo al primo esercizio vi sono alcune proprietà (la prima sicuramente) che si possono dedurre direttamente da quelle degli anelli. Ricordiamoci infatti che abbiamo davanti prima di tutto un anello che, nella fattispecie, è anche unitario. Con ciò voglio dire che talvolta può bastare sfruttare le proprietà degli anelli (non unitari).
Per provare le varie proprietà presenti nell'esercizio $1$ conviene procedere secondo un determinato ordine. Inoltre bisogna iniziare tenendo presente che vale la seguente proprietà, detta legge di cancellazione: dato un anello $(A, +, \cdot, 1_{+})$, $\forall a, b, c \in A$ si ha che $a + b = a + c \Rightarrow b = c$. A partire da tale proprietà si prova successivamente che $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$ (anche questa ci serve). Ora ci conviene procedere provando le proprietà che hai trascritto secondo l'ordine seguente: f, a, d, c, e, b, g. Considera che soltanto b e g richiedono che l'anello abbia l'elemento identità per l'operazione prodotto (o che, equivalentemente in altre parole, l'anello sia unitario).
Infine tieni conto che in realtà la proprietà f è banale in quanto deriva direttamente dalla definizione di $-a$.
Infine tieni conto che in realtà la proprietà f è banale in quanto deriva direttamente dalla definizione di $-a$.
ciao onlyReferee! Grazie per i tuoi interventi 
Allora... parlando dell'esercizio 1.1 , sono andato a rileggermi sulle dispense le proprietà degli anelli però continuo a non capire quale ragionamento devo applicare per dimostrare perfettamente ogni punto dell'esercizio.
riguardo il punto f) per dimostrare che $-(-a)=a$, basta applicare la regoletta del " $- * - = +$ " ? o bisogna arrivare ad ottenere $0 = 0$ con la legge di cancellazione? Cioè sommando a sinistra e a destra $-a$ ottengo $-a-(-a)=a-a rArr 0 = 0$ però sono sempre punto e a capo perchè non so come dimostrare che $-(-a)$ equivale ad $a$. Così con tutti gli altri esercizi... non saprei proprio da dove partire e quale proprietà applicare ad ogni punto. E soprattutto: ogni punto corrisponde ad una ed una sola proprietà da applicare o si possono applicare più proprietà per dimostrare ogni uguaglianza?
per quanto riguarda a) $−(ab)=−(a)b=a(−b)$
anche qui non saprei quale passaggio effettuare per ottenere le uguaglianze. Nel senso: io guardo l'esercizio e dico: "ok, tutti sanno che $-(ab)$, $-(a)b$ e $a(-b)$ producono lo stesso risultato perchè la moltiplicazione è commutativa quindi $ab=ba$ e anche $-ab=-ba$ ma in pratica non so come procedere per dimostrarlo effettivamente
e così con tutti gli altri esercizi... vorrei solo capire come muovermi. Io provo a seguire gli esempi nelle dispense ma applicandole a questi esercizi non ci arrivo. Ad esempio trascrivo ora una proprietà con dimostrazione e ti chiedo: "è questo lo spirito di queste dimostrazioni? cioè, bisogna moltiplicare o sommare per l'elemento neutro o moltiplicare e sommare per l'opposto per arrivare ad una conclusione? E in che modo? Qual'è il modo migliore per capire questo tipo di esercizi?"
Proprietà di un anello: " l'opposto $-a$ di un elemento $a in A$ è $(-1)*a$ "
Dimostrazione: Proviamo che $(-1)*a$ soddisfa le condizioni per essere l'opposto di $a$.
Si ha:
$a+(-1)*a=$
$=1*a+(-1)*a=$
$=(1+(-1))*a=0*a =$
$= 0*a=0$
e quindi $a+(-1)*a=0$
Allora... parlando dell'esercizio 1.1 , sono andato a rileggermi sulle dispense le proprietà degli anelli però continuo a non capire quale ragionamento devo applicare per dimostrare perfettamente ogni punto dell'esercizio.
riguardo il punto f) per dimostrare che $-(-a)=a$, basta applicare la regoletta del " $- * - = +$ " ? o bisogna arrivare ad ottenere $0 = 0$ con la legge di cancellazione? Cioè sommando a sinistra e a destra $-a$ ottengo $-a-(-a)=a-a rArr 0 = 0$ però sono sempre punto e a capo perchè non so come dimostrare che $-(-a)$ equivale ad $a$. Così con tutti gli altri esercizi... non saprei proprio da dove partire e quale proprietà applicare ad ogni punto. E soprattutto: ogni punto corrisponde ad una ed una sola proprietà da applicare o si possono applicare più proprietà per dimostrare ogni uguaglianza?
per quanto riguarda a) $−(ab)=−(a)b=a(−b)$
anche qui non saprei quale passaggio effettuare per ottenere le uguaglianze. Nel senso: io guardo l'esercizio e dico: "ok, tutti sanno che $-(ab)$, $-(a)b$ e $a(-b)$ producono lo stesso risultato perchè la moltiplicazione è commutativa quindi $ab=ba$ e anche $-ab=-ba$ ma in pratica non so come procedere per dimostrarlo effettivamente
e così con tutti gli altri esercizi... vorrei solo capire come muovermi. Io provo a seguire gli esempi nelle dispense ma applicandole a questi esercizi non ci arrivo. Ad esempio trascrivo ora una proprietà con dimostrazione e ti chiedo: "è questo lo spirito di queste dimostrazioni? cioè, bisogna moltiplicare o sommare per l'elemento neutro o moltiplicare e sommare per l'opposto per arrivare ad una conclusione? E in che modo? Qual'è il modo migliore per capire questo tipo di esercizi?"
Proprietà di un anello: " l'opposto $-a$ di un elemento $a in A$ è $(-1)*a$ "
Dimostrazione: Proviamo che $(-1)*a$ soddisfa le condizioni per essere l'opposto di $a$.
Si ha:
$a+(-1)*a=$
$=1*a+(-1)*a=$
$=(1+(-1))*a=0*a =$
$= 0*a=0$
e quindi $a+(-1)*a=0$
Ciao darkfog
In realtà ogni esercizio ha una storia a sé: in alcuni bisogna sfruttare gli elementi neutro ed identità moltiplicando entrambi i membri di un'ugugualianza per gli stessi, in altri invece si procede sfruttando sia le proprietà degli anelli che le uguaglianze già provate.
Parto dal punto f che è molto semplice. Se noi vogliamo dimostrare che $-(-a) = 0$ dobbiamo mostrare che $a + (-a) = 0$. Questo però è banalmente vero per la definizione di opposto di $a$ rispetto all'operazione $+$ e pertanto non è necessario procedere oltre.
Passiamo al punto a. Per provare questo punto ci è utile provare prima quest'altra proprietà: $a \cdot 0 = 0$. Vediamo come farlo. Innanzitutto posso partire sommando $0$ a $a \cdot 0$ in quanto questo è l'elemento neutro dell'operazione $+$, ottenendo $a \cdot 0 + 0$. Ritorno ora al mio $a \cdot 0$ iniziale (dopo capirai perché). Al momento scrivo dunque:
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0.
$$
Ora riscrivo il mio $0$ nella seconda parte dell'uguaglianza come $0 + 0$:
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0).
$$
Applico la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma (una delle proprietà di un anello):
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0.
$$
Adesso viene il bello perché posso applicare la legge di cancellazione alla prima e l'ultima parte della mia catena di uguaglianze, ottenendo:
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0.
$$
Da qui deduco che $0 = a \cdot 0$. Ovviamente è del tutto simmetrica la dimostrazione per $0 \cdot a = 0$.
Veniamo dunque a dimostrare la proprietà al punto a, ossia $a(-b) = (-a)b = -(ab)$. Procediamo mostrando che $a(-b) = -(ab)$ (per mostrare che $(-a)b = -(ab)$ si procede di fatto allo stesso modo). Allora, dimostrare che $a(-b) = -(ab)$ è come provare che $a(-b) + (ab) = 0$. Anche qui applichiamo la proprietà distributiva già citata, ottenendo:
$$
a(-b) + (ab) = a (b - b).
$$
Faccio notare che siccome la somma è commutativa (proprietà degli anelli) siamo liberi di scrivere indifferentemente $a (-b +b)$ e $a (b - b)$. Ora per la definizione di elemento opposto rispetto all'operazione somma si ha che $b - b = 0$ e pertanto abbiamo:
$$
a(-b) + (ab) = a (b - b) = a 0 = 0.
$$
Se ci fai caso l'ultima uguaglianza l'abbiamo dimostrata giusto prima.
In realtà ogni esercizio ha una storia a sé: in alcuni bisogna sfruttare gli elementi neutro ed identità moltiplicando entrambi i membri di un'ugugualianza per gli stessi, in altri invece si procede sfruttando sia le proprietà degli anelli che le uguaglianze già provate.
Parto dal punto f che è molto semplice. Se noi vogliamo dimostrare che $-(-a) = 0$ dobbiamo mostrare che $a + (-a) = 0$. Questo però è banalmente vero per la definizione di opposto di $a$ rispetto all'operazione $+$ e pertanto non è necessario procedere oltre
.Passiamo al punto a. Per provare questo punto ci è utile provare prima quest'altra proprietà: $a \cdot 0 = 0$. Vediamo come farlo. Innanzitutto posso partire sommando $0$ a $a \cdot 0$ in quanto questo è l'elemento neutro dell'operazione $+$, ottenendo $a \cdot 0 + 0$. Ritorno ora al mio $a \cdot 0$ iniziale (dopo capirai perché). Al momento scrivo dunque:
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0.
$$
Ora riscrivo il mio $0$ nella seconda parte dell'uguaglianza come $0 + 0$:
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0).
$$
Applico la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma (una delle proprietà di un anello):
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0.
$$
Adesso viene il bello perché posso applicare la legge di cancellazione alla prima e l'ultima parte della mia catena di uguaglianze, ottenendo:
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0.
$$
Da qui deduco che $0 = a \cdot 0$. Ovviamente è del tutto simmetrica la dimostrazione per $0 \cdot a = 0$.
Veniamo dunque a dimostrare la proprietà al punto a, ossia $a(-b) = (-a)b = -(ab)$. Procediamo mostrando che $a(-b) = -(ab)$ (per mostrare che $(-a)b = -(ab)$ si procede di fatto allo stesso modo). Allora, dimostrare che $a(-b) = -(ab)$ è come provare che $a(-b) + (ab) = 0$. Anche qui applichiamo la proprietà distributiva già citata, ottenendo:
$$
a(-b) + (ab) = a (b - b).
$$
Faccio notare che siccome la somma è commutativa (proprietà degli anelli) siamo liberi di scrivere indifferentemente $a (-b +b)$ e $a (b - b)$. Ora per la definizione di elemento opposto rispetto all'operazione somma si ha che $b - b = 0$ e pertanto abbiamo:
$$
a(-b) + (ab) = a (b - b) = a 0 = 0.
$$
Se ci fai caso l'ultima uguaglianza l'abbiamo dimostrata giusto prima
.
ciao onlyReferee! Continuando il discorso dell'esercizio 1.1 ... Spero di aver capito, ma continuo ad avere dei dubbi perchè alcuni dei miei svolgimenti sembrano un po' banali e credo di non aver applicato le proprietà adatte.
a) $-(ab)=(-a)b=a(-b)$
Allora, dobbiamo provare che $-(ab)=a(-b)$
Scrivo: $-(ab)-a(-b)=0$
Si ottiene: $-(ab)-a(-b)=(ab)+a(-b)=a(b-b)=a(0)=0$
b) $(-1)^2=1$
Dobbiamo provare che $(-1)^2-1=0$
Otteniamo: $(-1)^2-1=(-1)(-1)-1=-(1(-1))-1=-(-1(1))-1=(1*1)-1=1-1=0$
c) $(-a)^2=a^2$
Proviamo che $(-a)^2-a^2=0$
Abbiamo che: $(-a)^2-a^2=(-a)(-a)-(a*a)=-(a(-a))-(a*a)=-(-a(a))-(a*a)=$
$=(a*a)-(a*a)=a^2-a^2=0$
d) $(-a)(-b)=ab$
Proviamo che $(-a)(-b)-ab=0$
Allora: $(-a)(-b)-ab=-(a(-b))-ab=$...(cambio segno)...$=(a(-b))+ab=a(b-b)=a(0)=0$
e) $-(a-b)=-a+b$
Proviamo che $-(a-b)+a-b=0$
Si ha: $-(a-b)+a-b=$...(cambio segno)...$=(a-b)-a+b=(a-a)+(b-b)=0+0=0$
f) $-(-a)=a$
Proviamo che $-(-a)-a=0$
Abbiamo: $-(-a)-a=(-a)+a=(a-a)=0$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è pari
Proviamo che $(-1)^{2n}-1=0$
SI ha: $(-1)^{2n}-1=[(-1)^2]^n-1=[(-1)(-1)]^n-1=(1)^n-1=1-1=0$
$(-1)^n=-1$ se $n$ è dispari
Proviamo che $(-1)^{2n+1}+1=0$
Si ha: $(-1)^{2n+1}+1=[(-1)^2]^n(-1)+1=[(-1)(-1)]^n(-1)+1=(1)^n(-1)+1=$
$=(1*(-1))+1=(-1+1)=0$
a) $-(ab)=(-a)b=a(-b)$
Allora, dobbiamo provare che $-(ab)=a(-b)$
Scrivo: $-(ab)-a(-b)=0$
Si ottiene: $-(ab)-a(-b)=(ab)+a(-b)=a(b-b)=a(0)=0$
b) $(-1)^2=1$
Dobbiamo provare che $(-1)^2-1=0$
Otteniamo: $(-1)^2-1=(-1)(-1)-1=-(1(-1))-1=-(-1(1))-1=(1*1)-1=1-1=0$
c) $(-a)^2=a^2$
Proviamo che $(-a)^2-a^2=0$
Abbiamo che: $(-a)^2-a^2=(-a)(-a)-(a*a)=-(a(-a))-(a*a)=-(-a(a))-(a*a)=$
$=(a*a)-(a*a)=a^2-a^2=0$
d) $(-a)(-b)=ab$
Proviamo che $(-a)(-b)-ab=0$
Allora: $(-a)(-b)-ab=-(a(-b))-ab=$...(cambio segno)...$=(a(-b))+ab=a(b-b)=a(0)=0$
e) $-(a-b)=-a+b$
Proviamo che $-(a-b)+a-b=0$
Si ha: $-(a-b)+a-b=$...(cambio segno)...$=(a-b)-a+b=(a-a)+(b-b)=0+0=0$
f) $-(-a)=a$
Proviamo che $-(-a)-a=0$
Abbiamo: $-(-a)-a=(-a)+a=(a-a)=0$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è pari
Proviamo che $(-1)^{2n}-1=0$
SI ha: $(-1)^{2n}-1=[(-1)^2]^n-1=[(-1)(-1)]^n-1=(1)^n-1=1-1=0$
$(-1)^n=-1$ se $n$ è dispari
Proviamo che $(-1)^{2n+1}+1=0$
Si ha: $(-1)^{2n+1}+1=[(-1)^2]^n(-1)+1=[(-1)(-1)]^n(-1)+1=(1)^n(-1)+1=$
$=(1*(-1))+1=(-1+1)=0$
Ciao darkfog
Allora, andiamo con ordine:
[list=a]
[*:3btz8gvu]Ok:[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]Per provare questa proprietà conviene prima provare che $(-1)a = -a$. Per far ciò possiamo provare in modo equivalente che $(-1)a +a = 0$. Scriviamo allora:
$$(-1)a +a = (-1)a + 1 a = (-1 + 1)a = 0 a = 0$$
Se ricordi l'ultima uguaglianza di questa catena l'avevamo già provata in un mio post precedente.
Ora per provare la proprietà è sufficiente sostituire $a = -1$ nella precedente ed applicare la f (che abbiamo già dimostrato). Queste due proprietà valgono solo perché abbiamo un anello con unità;[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]La tua idea è buona però arrivati alla conclusione siamo punto e a capo perché bisognerebbe provare anche che $a^2 -a^2 = 0$
. Esiste una strada più semplice. Come hai giustamente scritto all'inizio della dimostrazione ci conviene dimostrare che $(-a)^2 -a^2 = 0$. Possiamo dunque scrivere $(-a)^2 -a^2 = (-a)(-a) - (aa)$. Ora ricordandoci la proprietà al punto a che abbiamo già dimostrato possiamo applicarla al secondo termine della nostra differenza (nel nostro caso poniamo banalmente $a = b$ nella proprietà a). Otteniamo così: $$(-a)^2 -a^2 = (-a)(-a) - (aa) = (-a)(-a) + (-a)a = (-a)(a - a) = (-a) 0 = 0.$$
Anche l'ultima uguaglianza della catena l'abbiamo già dimostrata;[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]In questo caso si può procedere applicando due volte la a. Non mi è chiaro nella tua dimostrazione il passaggio in cui cambi il segno a tutti i termini della somma.
Abbiamo:
$$(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = -(-ab).$$
Ora applichiamo banalmente la f ottenendo $ab$ come volevamo dimostrare.[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]Il cambio di segno ad una somma di due termini purtroppo non è un'operazione così automatica come siamo abituati usualmente a fare nei calcoli. Un modo semplice per provare questa proprietà secondo me è porre $a - b = c$, ottenendo dunque:
$$
-(a - b) + a - b = 0\\
-c + c = 0.
$$
Da qui dopo si deduce facilmente la tesi;[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]Ok;[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]In questo punto e nel successivo basta che sfrutti la proprietà b che abbiamo già dimostrato. E' sufficiente scomporre l'esponente della potenza come hai fatto a seconda che $n$ sia pari o dispari. Non occorre dimostrare l'uguaglianza a zero di $(-1)^{2n} -1$ e $(-1)^{2n + 1} +1$.[/*:m:3btz8gvu][/list:o:3btz8gvu]
Allora, andiamo con ordine:
[list=a]
[*:3btz8gvu]Ok:[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]Per provare questa proprietà conviene prima provare che $(-1)a = -a$. Per far ciò possiamo provare in modo equivalente che $(-1)a +a = 0$. Scriviamo allora:
$$(-1)a +a = (-1)a + 1 a = (-1 + 1)a = 0 a = 0$$
Se ricordi l'ultima uguaglianza di questa catena l'avevamo già provata in un mio post precedente.
Ora per provare la proprietà è sufficiente sostituire $a = -1$ nella precedente ed applicare la f (che abbiamo già dimostrato). Queste due proprietà valgono solo perché abbiamo un anello con unità;[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]La tua idea è buona però arrivati alla conclusione siamo punto e a capo perché bisognerebbe provare anche che $a^2 -a^2 = 0$
. Esiste una strada più semplice. Come hai giustamente scritto all'inizio della dimostrazione ci conviene dimostrare che $(-a)^2 -a^2 = 0$. Possiamo dunque scrivere $(-a)^2 -a^2 = (-a)(-a) - (aa)$. Ora ricordandoci la proprietà al punto a che abbiamo già dimostrato possiamo applicarla al secondo termine della nostra differenza (nel nostro caso poniamo banalmente $a = b$ nella proprietà a). Otteniamo così: $$(-a)^2 -a^2 = (-a)(-a) - (aa) = (-a)(-a) + (-a)a = (-a)(a - a) = (-a) 0 = 0.$$Anche l'ultima uguaglianza della catena l'abbiamo già dimostrata;[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]In questo caso si può procedere applicando due volte la a. Non mi è chiaro nella tua dimostrazione il passaggio in cui cambi il segno a tutti i termini della somma.
Abbiamo:
$$(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = -(-ab).$$
Ora applichiamo banalmente la f ottenendo $ab$ come volevamo dimostrare.[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]Il cambio di segno ad una somma di due termini purtroppo non è un'operazione così automatica come siamo abituati usualmente a fare nei calcoli. Un modo semplice per provare questa proprietà secondo me è porre $a - b = c$, ottenendo dunque:
$$
-(a - b) + a - b = 0\\
-c + c = 0.
$$
Da qui dopo si deduce facilmente la tesi;[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]Ok;[/*:m:3btz8gvu]
[*:3btz8gvu]In questo punto e nel successivo basta che sfrutti la proprietà b che abbiamo già dimostrato. E' sufficiente scomporre l'esponente della potenza come hai fatto a seconda che $n$ sia pari o dispari. Non occorre dimostrare l'uguaglianza a zero di $(-1)^{2n} -1$ e $(-1)^{2n + 1} +1$.[/*:m:3btz8gvu][/list:o:3btz8gvu]
Accipicchia! ok! ora devo riordinare un po' le idee. vediamo se ho capito.
Abbiamo delle proprietà che dobbiamo sfruttare per arrivare a dimostrare tutte le uguaglianze. Praticamente dobbiamo trasformare le nostre uguaglianze arrivando a farle prendere una forma tale da poter applicare una delle proprietà. Giusto?
Sono riuscito a capire tutti i punti. Ora sta a me imparare e riuscire a capire quali proprietà applicare, quando e dove applicarle.
L'unico dubbio che mi è rimasto adesso è il pungo g).
Non ho capito come applicare la proprietà di b) in g). Dimmi se il mio ragionamento è corretto:
se dobbiamo ottenere "$(-1)^n=1$ se $n$ è pari", applicando la proprietà di b) in g) $(-1)a=-a$ avremmo $(-1)(-a)=a$
$(-1)^{2n}=[(-1)^2]^n=[(-1)(-1)]^n=$ (applico la proprietà) $=(1)^n=1$
Abbiamo delle proprietà che dobbiamo sfruttare per arrivare a dimostrare tutte le uguaglianze. Praticamente dobbiamo trasformare le nostre uguaglianze arrivando a farle prendere una forma tale da poter applicare una delle proprietà. Giusto?
Sono riuscito a capire tutti i punti. Ora sta a me imparare e riuscire a capire quali proprietà applicare, quando e dove applicarle.
L'unico dubbio che mi è rimasto adesso è il pungo g).
Non ho capito come applicare la proprietà di b) in g). Dimmi se il mio ragionamento è corretto:
se dobbiamo ottenere "$(-1)^n=1$ se $n$ è pari", applicando la proprietà di b) in g) $(-1)a=-a$ avremmo $(-1)(-a)=a$
$(-1)^{2n}=[(-1)^2]^n=[(-1)(-1)]^n=$ (applico la proprietà) $=(1)^n=1$
Il ragionamento tuo per $(-1)^n = 1$ con $n$ pari è quasi esatto. Forse non mi sono spiegato benissimo. In realtà ciò che dobbiamo sfruttare è la proprietà vera e propria $(-1)(-1) = 1$, non $(-1)a = -a$.
Poi ti conviene riscrivere $(-1)^{2n}$ come $[(-1)^n]^2$ (se noti ho invertito l'ordine degli esponenti). In questo modo hai all'interno delle parentesi più interne una potenza che può dare come risultato $(+1)$ o $(-1)$ ma poi dato che questo valore è elevato al quadrato avremmo un numero pari di $(-1)$ che vengono moltiplicati tra loro. Ora poiché abbiamo visto per la b che $(-1)(-1) = 1$ allora a maggior ragione il nostro risultato sarà $1$ moltiplicando tra loro un numero pari di $(-1)$.
Un ragionamento analogo basta farlo anche nel caso di $n$ dispari e siamo a posto
.
Poi ti conviene riscrivere $(-1)^{2n}$ come $[(-1)^n]^2$ (se noti ho invertito l'ordine degli esponenti). In questo modo hai all'interno delle parentesi più interne una potenza che può dare come risultato $(+1)$ o $(-1)$ ma poi dato che questo valore è elevato al quadrato avremmo un numero pari di $(-1)$ che vengono moltiplicati tra loro. Ora poiché abbiamo visto per la b che $(-1)(-1) = 1$ allora a maggior ragione il nostro risultato sarà $1$ moltiplicando tra loro un numero pari di $(-1)$
.Un ragionamento analogo basta farlo anche nel caso di $n$ dispari e siamo a posto
.
Ok, ora ho capito però ho un dubbio sul quale vorrei ragionare insieme a te.
Se eleviamo prima per $n$ e poi per $2$ otteniamo:
$(-1)^n=1$ se $n$ è pari
$(-1)^{2n}=[(-1)^n]^2=(-1)^n*(-1)^n=(-1)(-1)$ ma dato che $n$ si suppone sia pari, non dovremmo ottenere $(1)(1)$ ? cioè $(-1)^n$ con $n$ pari $=$ $(1)$
mentre se eleviamo prima per $2$ e poi per $n$ abbiamo $[(-1)^2]^n=[(-1)(-1)]^n$ poi all'interno delle quadre otteniamo $(1)^n$ e quindi qui possiamo dire che il risultato di $1$, elevato a qualsiasi numero (pari o dispari), è sempre 1.
poi per $n$ dispari abbiamo $[(-1)(-1)]^n *(-1)$ quindi $(1)^n*(-1)$ e possiamo dire che il risultato di 1 elevato ad n (pari o dispari) è sempre 1 e quindi $1*(-1)=-1$
Sbaglio? C'è qualcosa che sto trascurando?
Se eleviamo prima per $n$ e poi per $2$ otteniamo:
$(-1)^n=1$ se $n$ è pari
$(-1)^{2n}=[(-1)^n]^2=(-1)^n*(-1)^n=(-1)(-1)$ ma dato che $n$ si suppone sia pari, non dovremmo ottenere $(1)(1)$ ? cioè $(-1)^n$ con $n$ pari $=$ $(1)$
mentre se eleviamo prima per $2$ e poi per $n$ abbiamo $[(-1)^2]^n=[(-1)(-1)]^n$ poi all'interno delle quadre otteniamo $(1)^n$ e quindi qui possiamo dire che il risultato di $1$, elevato a qualsiasi numero (pari o dispari), è sempre 1.
poi per $n$ dispari abbiamo $[(-1)(-1)]^n *(-1)$ quindi $(1)^n*(-1)$ e possiamo dire che il risultato di 1 elevato ad n (pari o dispari) è sempre 1 e quindi $1*(-1)=-1$
Sbaglio? C'è qualcosa che sto trascurando?
"darkfog":
Ok, ora ho capito però ho un dubbio sul quale vorrei ragionare insieme a te.
[...]
Ben volentieri
."darkfog":
[...]
Se eleviamo prima per $n$ e poi per $2$ otteniamo:
$(-1)^n=1$ se $n$ è pari
$(-1)^{2n}=[(-1)^n]^2=(-1)^n*(-1)^n=(-1)(-1)$ ma dato che $n$ si suppone sia pari, non dovremmo ottenere $(1)(1)$ ? cioè $(-1)^n$ con $n$ pari $=$ $(1)$
[...]
No, attenzione: mi stai mischiando $n$ ed $n/2$ qui
. Per evitare di generare confusione in casi come questo conviene sempre utilizzare un nome diverso per i vari valori "in gioco" (nella fattispecie per dire come è scomposto $n$). Ad esempio puoi scrivere che $n = 2 m$ (vedi che ho usato nomi diversi ). Se supponi che $n$ sia pari puoi dire al massimo che $m$ è pari o dispari, ergo $(-1)^n = (-1)^{2m} = (-1)^{m} (-1)^{m}$."darkfog":
[...]
mentre se eleviamo prima per $2$ e poi per $n$ abbiamo $[(-1)^2]^n=[(-1)(-1)]^n$ poi all'interno delle quadre otteniamo $(1)^n$ e quindi qui possiamo dire che il risultato di $1$, elevato a qualsiasi numero (pari o dispari), è sempre 1.
poi per $n$ dispari abbiamo $[(-1)(-1)]^n *(-1)$ quindi $(1)^n*(-1)$ e possiamo dire che il risultato di 1 elevato ad n (pari o dispari) è sempre 1 e quindi $1*(-1)=-1$
[...]
Sì, questo è corretto. Attenzione però sempre ad usare gli indici nella maniera corretta. In particolare per maggiore chiarezza ti conviene scrivere, se $n$ è dispari, $n = 2m + 1$.
Infine, sottolineo che noi ovviamente sappiamo già che $(-1)^2 = 1$ e pertanto potremmo essere indotti a pensare scrivere $[(-1)^m]^2 = [(-1)^2]^m$ (e di fatto per le proprietà delle potenze lo sanno anche i muri che è così) però appunto, ai fini della nostra dimostrazione, per sfruttare la proprietà b che abbiamo già dimostrato ci semplifichiamo la vita scrivendola nel secondo modo, no
Ok perfetto! 
quindi scrivere $[(-1)^2]^n$ e $[(-1)^n]^2$ è la medesima cosa, però in questo caso preferibile usare prima l'elevamento ad $n$ e poi a $2$ per raggiungere la forma desiderata per applicare la proprietà?
Se ho capito bene, allora a questo punto riscrivo g)
$(-1)^n=1$ se $n=2m$ (pari)
Abbiamo $(-1)^{2m}=[(-1)^m]^2=(-1)^m*(-1)^m=1$ giusto?
poi dimostriamo anche $(-1)^n=-1$ se $n=2m+1$ (dispari)
Abbiamo: $(-1)^{2m+1}=[(-1)^m]^2*(-1)=(-1)^m*(-1)^m*(-1)=(1)*(-1)=-1$ giusto?
quindi scrivere $[(-1)^2]^n$ e $[(-1)^n]^2$ è la medesima cosa, però in questo caso preferibile usare prima l'elevamento ad $n$ e poi a $2$ per raggiungere la forma desiderata per applicare la proprietà?Se ho capito bene, allora a questo punto riscrivo g)
$(-1)^n=1$ se $n=2m$ (pari)
Abbiamo $(-1)^{2m}=[(-1)^m]^2=(-1)^m*(-1)^m=1$ giusto?
poi dimostriamo anche $(-1)^n=-1$ se $n=2m+1$ (dispari)
Abbiamo: $(-1)^{2m+1}=[(-1)^m]^2*(-1)=(-1)^m*(-1)^m*(-1)=(1)*(-1)=-1$ giusto?
No, forse non mi sono espresso bene: nell'ultimo mio post ho scritto che è conveniente la seconda forma (quella col quadrato all'interno delle parentesi), non la prima 
. Se prendi ad esempio quanto hai scritto nel tuo ultimo post riguardo al caso di $n$ pari e consideri che nulla si può dire sulla parità di $m = n /2$ come fai a concludere che il prodotto $(-1)^m (-1)^m = 1$ Si procede analogamente per il caso di $n$ dispari...
. Se prendi ad esempio quanto hai scritto nel tuo ultimo post riguardo al caso di $n$ pari e consideri che nulla si può dire sulla parità di $m = n /2$ come fai a concludere che il prodotto $(-1)^m (-1)^m = 1$ Si procede analogamente per il caso di $n$ dispari...
ouch! ok, questa volta ho capito! spero! 
Allora scrivo
$(-1)^n=1$ se $n=2m$
$(-1)^{2m}=[(-1)^2]^m=[(-1)(-1)]^m=(1)^m=1$
$(-1)^n=-1$ se $n=2m+1$
$(-1)^{2m+1}=(-1)^{2m}*(-1)=[(-1)^2]^m*(-1)=[(-1)(-1)]^m*(-1)=(1)^m*(-1)=1*(-1)=-1$
Ok, ora è giusto !
!
Fantasticooooooooooooo!!!!!!!!!! grazie mille onlyReferee
Ho riletto il thread per svolgere l'esercizio da capo per vedere se lo avessi capito davvero. Lo riscrivo tutto qui e poi ti chiederò un ultimo dubbio sul punto d) che mi è sorto or ora. (oltre alla soluzione che abbiamo già trovato, i punti a) e c) li ho riscritti in un altro modo, sono corretti anche così?)
a)
$−(ab)=(−a)b=a(−b)$
Proviamo che: $−(ab)=a(−b)$
Scrivo: $−(ab)−a(−b)=0$
Si ottiene: $−(ab)−a(−b)=(ab)+a(−b)=a(b−b)=a(0)=0$
oppure, l'ho riscritta in questo modo (dimmi se è ugualmente efficace):
$-a(b)-a(-b)=-a(b-b)=-a(0)=0$
b)
$(−1)^2=1$ (Sfruttiamo la proprietà $(-1)a=-a$
Dobbiamo provare che $(−1)(-1)=-(-1)$
Si ha: $(-1)(-1)+(-1)=0$. Dimostriamolo: $(-1)(-1)+(-1)=(-1)(-1)+(-1)(1)=-1(1-1)=-1*0=0$
c)
$(−a)^2=a^2$
Proviamo che $(−a)^2−a^2=0$
Abbiamo: $(−a)^2−a^2=(-a)(-a)-aa=(-a)(-a)+(-a)(a)=-a(a-a)=-a*0=0$
oppure in questo modo: (dimmi se è corretto), $(-a)^2-a^2=(-a)(-a)-aa=-(-a(a))-aa=aa-aa=a(a-a)=a*0=0$
d)
$(−a)(−b)=ab$
(qui ho da chiederti: per questo punto, non c'è bisogno di arrivare all'uguaglianza $0$,
ponendo $(-a)(-b)-ab=0$
Riscrivo il tuo svolgimento: $(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = -(-ab)$
Mentre il mio è questo, dopo aver posto $(-a)(-b)-ab=0$
$(-a)(-b)-ab=-(-a(b))-ab=ab-ab=a(b-b)=a*0=0$
In realtà la domanda vera e propria è: come mai in alcuni svolgimenti bisogna dimostrare che il risultato è $0$ dopo aver portato il membro destro a sinistra cambiando il segno?
Parlando nello specifico di questo punto d), capisco perchè non lo si è fatto; perchè è evidente che spostare i due "segni meno", fuori dalle parentesi per ottenere $ab$, è più semplice e veloce per arrivare al risultato. sbaglio?
e)
$−(a−b)=−a+b$ (come mi hai consigliato, pongo $c=a-b$)
Proviamo che $−(a−b)+a−b=0$
Si ha: $-c+c=0 rArr -c=-c rArr -a+b=-a+b$
f)
$−(−a)=a$
Proviamo che $−(−a)−a=0$
Si ha: $−(−a)−a=(−a)+a=(a−a)=0$
g)
$ (-1)^n=1 $ se $ n=2m $
$ (-1)^{2m}=[(-1)^2]^m=[(-1)(-1)]^m=(1)^m=1 $
$ (-1)^n=-1 $ se $ n=2m+1 $
$ (-1)^{2m+1}=(-1)^{2m}*(-1)=[(-1)^2]^m*(-1)=[(-1)(-1)]^m*(-1)=(1)^m*(-1)=1*(-1)=-1 $
Ho riletto il thread per svolgere l'esercizio da capo per vedere se lo avessi capito davvero. Lo riscrivo tutto qui e poi ti chiederò un ultimo dubbio sul punto d) che mi è sorto or ora. (oltre alla soluzione che abbiamo già trovato, i punti a) e c) li ho riscritti in un altro modo, sono corretti anche così?)
a)
$−(ab)=(−a)b=a(−b)$
Proviamo che: $−(ab)=a(−b)$
Scrivo: $−(ab)−a(−b)=0$
Si ottiene: $−(ab)−a(−b)=(ab)+a(−b)=a(b−b)=a(0)=0$
oppure, l'ho riscritta in questo modo (dimmi se è ugualmente efficace):
$-a(b)-a(-b)=-a(b-b)=-a(0)=0$
b)
$(−1)^2=1$ (Sfruttiamo la proprietà $(-1)a=-a$
Dobbiamo provare che $(−1)(-1)=-(-1)$
Si ha: $(-1)(-1)+(-1)=0$. Dimostriamolo: $(-1)(-1)+(-1)=(-1)(-1)+(-1)(1)=-1(1-1)=-1*0=0$
c)
$(−a)^2=a^2$
Proviamo che $(−a)^2−a^2=0$
Abbiamo: $(−a)^2−a^2=(-a)(-a)-aa=(-a)(-a)+(-a)(a)=-a(a-a)=-a*0=0$
oppure in questo modo: (dimmi se è corretto), $(-a)^2-a^2=(-a)(-a)-aa=-(-a(a))-aa=aa-aa=a(a-a)=a*0=0$
d)
$(−a)(−b)=ab$
(qui ho da chiederti: per questo punto, non c'è bisogno di arrivare all'uguaglianza $0$,
ponendo $(-a)(-b)-ab=0$
Riscrivo il tuo svolgimento: $(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = -(-ab)$
Mentre il mio è questo, dopo aver posto $(-a)(-b)-ab=0$
$(-a)(-b)-ab=-(-a(b))-ab=ab-ab=a(b-b)=a*0=0$
In realtà la domanda vera e propria è: come mai in alcuni svolgimenti bisogna dimostrare che il risultato è $0$ dopo aver portato il membro destro a sinistra cambiando il segno?
Parlando nello specifico di questo punto d), capisco perchè non lo si è fatto; perchè è evidente che spostare i due "segni meno", fuori dalle parentesi per ottenere $ab$, è più semplice e veloce per arrivare al risultato. sbaglio?
e)
$−(a−b)=−a+b$ (come mi hai consigliato, pongo $c=a-b$)
Proviamo che $−(a−b)+a−b=0$
Si ha: $-c+c=0 rArr -c=-c rArr -a+b=-a+b$
f)
$−(−a)=a$
Proviamo che $−(−a)−a=0$
Si ha: $−(−a)−a=(−a)+a=(a−a)=0$
g)
$ (-1)^n=1 $ se $ n=2m $
$ (-1)^{2m}=[(-1)^2]^m=[(-1)(-1)]^m=(1)^m=1 $
$ (-1)^n=-1 $ se $ n=2m+1 $
$ (-1)^{2m+1}=(-1)^{2m}*(-1)=[(-1)^2]^m*(-1)=[(-1)(-1)]^m*(-1)=(1)^m*(-1)=1*(-1)=-1 $
In tutti e tre i punti a, c e d nelle dimostrazioni che proponi te esegui un'operazione che, stando alle proprietà degli anelli non è prevista, ossia raccogliere secondo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione e non all'addizione (la sottrazione, sebbene si possa vedere come addizione in cui si prende l'opposto del secondo elemento, non è definita negli anelli).
Rispondendo più nello specifico alla tua domanda del punto d, diciamo che non esiste purtroppo una modalità unica e fissa per dimostrare le proprietà. Esistono casi in cui vi è un'unica strada per dimostrare, altri in cui vi sono due modi equivalenti ed entrambi "facili" ed altri in cui ve ne è uno più semplice ed altri che però sono più complessi. Nella fattispecie della proprietà al punto d esattamente come dici te, potendo sfruttare la proprietà a precedentemente dimostrata risultava più facile e veloce portare fuori dalle parentesi i due segni meno.
Rispondendo più nello specifico alla tua domanda del punto d, diciamo che non esiste purtroppo una modalità unica e fissa per dimostrare le proprietà. Esistono casi in cui vi è un'unica strada per dimostrare, altri in cui vi sono due modi equivalenti ed entrambi "facili" ed altri in cui ve ne è uno più semplice ed altri che però sono più complessi. Nella fattispecie della proprietà al punto d esattamente come dici te, potendo sfruttare la proprietà a precedentemente dimostrata risultava più facile e veloce portare fuori dalle parentesi i due segni meno.
Perfetto! Grazie mille onlyReferee Ora il mio quadro sugli anelli è più chiaro. Non sapevo che non si potesse prendere in considerazione la sottrazione associata alla distributività sugli anelli. Grazie ancora sei un angelo
Ora il mio quadro sugli anelli è più chiaro. Non sapevo che non si potesse prendere in considerazione la sottrazione associata alla distributività sugli anelli. Grazie ancora sei un angelo
"darkfog":
[...]
1.2
Sia A un anello commutativo con identità e sia $\phi$ una relazione $a\phib$ se e solo se $a$ e $b$ sono associati.
- Provare che $\phi$ è una relazione di equivalenza in A.
- Posto $A = ZZ$, determinare $ZZ_{/\phi}$
- E' vero che $[a]+[b ] = [a+b]$ è un'operazione ben definita nell'insieme quoziente $ZZ_{/\phi}$ ?
[...]
Svolgimento 1.2
$a$ e $b$ si dicono elementi associati se esiste un'unità $u in A$ t.c. $a=ub$ e quindi $b=u^-1a$
Dato che siamo in $ZZ$, le unità sono $1$ e $-1$.
quindi ci chiediamo: $\phi$ è relazione di equivalenza? Proviamolo!
- E' riflessiva?
$a\phia rArr a=ua rArr a=1*a rArr a=a$
- E' simmetrica?
$a\phib rArr a=ub rArr a=b$
$b\phia rArr b=ua rArr b=a$
E' transitiva?
$a\phib rArr a=ub$
$b\phic rArr b=uc$
$a\phic rArr a+b=ub+uc rArr a=uc rArr a=c$
Determiniamo $ZZ_{/\phi}$
$ZZ_{/\phi} = {[a]|a in ZZ}$
$[a]={b in ZZ | b \phi a}$
$b=ua$
sappiamo che la nostra relazione $a \phi b$ ci dice che $a=ub$ quindi sostituiamo $b=ua$ in $a=ub$ (giusto
$a=u(ua) rArr a=(u*u)*a rArr a=a$
quindi il nostro insieme quoziente è formato dalle classi di equivalenza nella forma $a=a$ (esatto
Verifichiamo con elementi arbitrari $in ZZ$ che le operazioni somma e prodotto sulle classi di resto sono ben definite:
$[1]+[1] = [2] = [1+1]$
$[2]*[2] = [4] = [2*2]$
[...]
Rieccoci qui alle prese con la serie di esercizi. Direi che possiamo passare anche allo svolgimento del secondo se ti va
.Partiamo dal primo punto. Riguardo al tuo svolgimento, noi all'inizio sappiamo soltanto che abbiamo un anello commutativo $A$ con identità (che possiamo indicare con $1$ per semplicità). Pertanto non è corretto quando affermi "[...]Dato che siamo in $ZZ$, le unità sono $1$ e $-1$.[...]". $ZZ$ lo si considera soltanto dal secondo punto in poi.
Poi, al fine di fare chiarezza, è giusto distinguere quando si parla di unità e quando invece di identità in un anello. Di unità (definita come elemento dell'anello che è invertibile) ce ne possono essere anche più di una, l'identità associata ad un'operazione (o meglio l'elemento identità) è invece unica.
Vediamo allora come provare che la nostra relazione $\phi$ è di equivalenza, ossia che $\forall a, b, c \in A$ valgono le seguenti proprietà:
[*:6s1hycgn]Proprietà riflessiva: $a \phi a$ è ciò che dobbiamo verificare, nella tua dimostrazione scritto così sembra che tu dia già per scontato che valga dato che ci fai seguire subito l'implicazione. Per far sì che $a \phi a$ valga deve essere, come hai scritto, che $a = u a$, ossia che esista un'unità $u$ dell'anello tale per cui l'uguaglianza sia vera. Esiste tale unità
Certo che sì perché nel nostro caso sappiamo, grazie alle ipotesi, che questa vale...(lo hai scritto prima);[/*:m:6s1hycgn][*:6s1hycgn]Proprietà simmetrica: anche qui l'ordine della dimostrazione non va bene. Tale proprietà ci chiede di verificare se vale l'implicazione $a \phi b \Rightarrow b \phi a$. Al solito dire che $a \phi b$ signfica affermare che $a = u b$. Viceversa affermare che $b \phi a$ signfica scrivere che $b = v a$, dove $u$ e $v$ sono, al solito, due unità del nostro anello (ho usato apposta due lettere diverse per le due unità perché le stesse potrebbero anche non coincidere). Ora, se sappiamo per ipotesi che $a = u b$ possiamo trovare un'unità $v$ tale per cui $b = v a$
La risposta è affermativa anche in questo caso e la nostra unità $v$ sarà ... Suggerimento: basta che pensi alla definizione di unità di un anello;[/*:m:6s1hycgn][*:6s1hycgn]Proprietà transitiva: non ho capito a che pro sommi membro a membro le due prime uguaglianze nella tua dimostrazione. Ci chiediamo pertanto se, dati $a \phi b$ e $b \phi c$, possiamo concludere che $a \phi c$. Le due ipotesi che hai trascritto vanno però modificate leggermente poiché non possiamo assumere direttamente di poter usare la medesima unità $u$ sia per rappresentare $a$ che $b$ in termini di elementi associati. Possiamo dunque scrivere le nostre ipotesi come $a \phi b \Rightarrow a = ub$ e $b \phi c \Rightarrow b = vc$. Per verificare la nostra tesi innanzitutto ci conviene sostituire la nostra espressione per $b$ all'interno di quella di $a$, ottenendo: $a = uvc$. Dato che $u$ è unità possiamo allora scrivere che $a \phi vc$. Questo si avvicina molto alla nostra proprietà che vogliamo provare ma manca ancora un piccolo passo...su cui ti lascio pensare. Suggerimento: ricorda anche qui che abbiamo un'identità.[/*:m:6s1hycgn][/list:u:6s1hycgn]
Ciao onlyReferee!!!!!!
Esercizio 1.2)
Allora... parto subito scrivendo la definizione di unità: "Un elemento $u in A$ si dice unità (o elemento invertibile) se esiste un suo inverso rispetto al prodotto, ossia un elemento $v$ t.c. $uv=vu=1$"
e riscrivo la definizione di elementi associati: "due elementi $a,b in A$ si dicono associati l'uno all'altro se esiste un'unità $u in A$ t.c. $a=ub$ e quindi $b=u^-1a$. Due elementi sono allora associati se sono uguali oppure sono opposti."
Ora mi cimento a riscrivere bene il tutto con i tuoi consigli
Dimostriamo che $ \phi $ è una relazione di equivalenza:
Proprietà riflessiva:
$ a\phia rArr a=ua' $. Da qui ricaviamo $a'=u^-1a$ e sostituiamo:
$a=u*u^-1a=u/u*a=1*a=a$. Abbiamo ottenuto $a=a$ e per definizione "Due elementi associati sono uguali oppure sono opposti" (esatto )
Proprietà simmetrica:
$ a \phi b \Rightarrow b \phi a $
$ a \phi b rArr a=ub$
$ b \phi a rArr b=va$
Sostituiamo $b$ in $a=ub$ ed otteniamo: $a=uva$ e per definizione di unità $uv=1$ quindi anche qui otteniamo $a=a$. E sostituendo in modo analogo $a$ in $b$ si ottiene $b=b$.
Proprietà transitiva:
$ a \phi b ^^ b \phi c -> a \phi c $
$ a \phi b rArr a=ub$
$ b \phi c rArr b=vc$
Per verificare che $a$ è associato a $c$ sostituiamo $b$ in $a$ per ottenere $a=uvc$, e grazie al tuo suggerimento (spero di averlo capito!!!), in $a=uvc$ abbiamo $vc=b$ quindi questo conferma che: $a=ub$, $b=vc$, $a=wc$ dove $w=uv=1$. (esatto )
Esercizio 1.2)
Allora... parto subito scrivendo la definizione di unità: "Un elemento $u in A$ si dice unità (o elemento invertibile) se esiste un suo inverso rispetto al prodotto, ossia un elemento $v$ t.c. $uv=vu=1$"
e riscrivo la definizione di elementi associati: "due elementi $a,b in A$ si dicono associati l'uno all'altro se esiste un'unità $u in A$ t.c. $a=ub$ e quindi $b=u^-1a$. Due elementi sono allora associati se sono uguali oppure sono opposti."
Ora mi cimento a riscrivere bene il tutto con i tuoi consigli
Sia A un anello commutativo con identità e sia $ \phi $ una relazione $ a\phib $ se e solo se a e b sono associati.
- Provare che $ \phi $ è una relazione di equivalenza in A.
Dimostriamo che $ \phi $ è una relazione di equivalenza:
Proprietà riflessiva:
$ a\phia rArr a=ua' $. Da qui ricaviamo $a'=u^-1a$ e sostituiamo:
$a=u*u^-1a=u/u*a=1*a=a$. Abbiamo ottenuto $a=a$ e per definizione "Due elementi associati sono uguali oppure sono opposti" (esatto
)Proprietà simmetrica:
$ a \phi b \Rightarrow b \phi a $
$ a \phi b rArr a=ub$
$ b \phi a rArr b=va$
Sostituiamo $b$ in $a=ub$ ed otteniamo: $a=uva$ e per definizione di unità $uv=1$ quindi anche qui otteniamo $a=a$. E sostituendo in modo analogo $a$ in $b$ si ottiene $b=b$.
Proprietà transitiva:
$ a \phi b ^^ b \phi c -> a \phi c $
$ a \phi b rArr a=ub$
$ b \phi c rArr b=vc$
Per verificare che $a$ è associato a $c$ sostituiamo $b$ in $a$ per ottenere $a=uvc$, e grazie al tuo suggerimento (spero di averlo capito!!!), in $a=uvc$ abbiamo $vc=b$ quindi questo conferma che: $a=ub$, $b=vc$, $a=wc$ dove $w=uv=1$. (esatto
)
Ok per le definizioni. Non ci siamo però per le proprietà: mi stai scambiando in numerosi casi ipotesi e tesi 
. Riprendiamo le varie proprietà per vedere come scriverle per bene:
$a \phi a$ è ciò che vogliamo dimostrare essere vero, non qualcosa da cui possiamo ora dedurre qualcos'altro. In particolare ci dobbiamo domandare cosa vuole che $a$ ed $a$ sono in relazione tra loro secondo la relazione $\phi$. Significa che possiamo scrivere $a = u a$ dove $u$ è un'unità del nostro anello. E' possibile far questo Sì perché se noi scegliamo $u = ...$ (completa te) allora la nostra relazione è valida e la proprietà riflessiva risulta soddisfatta. Non serve che passi inutilmente per $a'$ ed $u^{-1}$;
No, stesso discorso di prima. In questo caso la nostra ipotesi è $a \phi b$ e vogliamo appunto verificare se questo ci implica anche che $b \phi a$. Cosa vuole dire questa seconda implicazione Vuole dire che deve verificarsi $b = v a$. Ciò che noi sappiamo è che $a = u b$. Allora ci chiediamo quale $v$ bisogna scegliere affinché ciò che vogliamo si verifichi. Ricordiamoci che $u$ in quanto unità è anche invertibile 
.
In questo caso la prima parte (quella sottolineata) va bene perché hai sfruttato le ipotesi nella maniera corretta . Dopo la sostituzione di $b$ però non ci interessa più nulla perchè la nostra tesi è relativa ad $a$ e $c$. E' quindi da $a = uvc$ che dobbiamo andare avanti. In particolare posso scrivere $a = u(vc)$ e, poiché $u$ è unità, deduco che $a\phi vc$. Questo fatto potrebbe non interessarci ma...se è vero che il fatto che esista tale relazione mi permette ora di scrivere $a = 1 vc$ (in quanto $1$ è identità ma anche unità appunto) posso ora sfruttare il fatto che anche $v$ è unità concludendo che ...
. Riprendiamo le varie proprietà per vedere come scriverle per bene:"darkfog":
[...]
Proprietà riflessiva:
$ a\phia rArr a=ua' $. Da qui ricaviamo $ a'=u^-1a $ e sostituiamo:
$ a=u*u^-1a=u/u*a=1*a=a $. Abbiamo ottenuto $ a=a $ e per definizione "Due elementi associati sono uguali oppure sono opposti" (esatto
[...]
$a \phi a$ è ciò che vogliamo dimostrare essere vero, non qualcosa da cui possiamo ora dedurre qualcos'altro. In particolare ci dobbiamo domandare cosa vuole che $a$ ed $a$ sono in relazione tra loro secondo la relazione $\phi$. Significa che possiamo scrivere $a = u a$ dove $u$ è un'unità del nostro anello. E' possibile far questo
Sì perché se noi scegliamo $u = ...$ (completa te) allora la nostra relazione è valida e la proprietà riflessiva risulta soddisfatta. Non serve che passi inutilmente per $a'$ ed $u^{-1}$;"darkfog":
[...]
Proprietà simmetrica:
$ a \phi b \Rightarrow b \phi a $
$ a \phi b rArr a=ub $
$ b \phi a rArr b=va $
Sostituiamo $ b $ in $ a=ub $ ed otteniamo: $ a=uva $ e per definizione di unità $ uv=1 $ quindi anche qui otteniamo $ a=a $. E sostituendo in modo analogo $ a $ in $ b $ si ottiene $ b=b $.
[...]
No, stesso discorso di prima. In questo caso la nostra ipotesi è $a \phi b$ e vogliamo appunto verificare se questo ci implica anche che $b \phi a$. Cosa vuole dire questa seconda implicazione
Vuole dire che deve verificarsi $b = v a$. Ciò che noi sappiamo è che $a = u b$. Allora ci chiediamo quale $v$ bisogna scegliere affinché ciò che vogliamo si verifichi. Ricordiamoci che $u$ in quanto unità è anche invertibile ."darkfog":
[...]
Proprietà transitiva:
$ a \phi b ^^ b \phi c -> a \phi c $
$ a \phi b rArr a=ub $
$ b \phi c rArr b=vc $
Per verificare che $ a $ è associato a $ c $ sostituiamo $ b $ in $ a $ per ottenere $ a=uvc $, e grazie al tuo suggerimento (spero di averlo capito!!!), in $ a=uvc $ abbiamo $ vc=b $ quindi questo conferma che: $ a=ub $, $ b=vc $, $ a=wc $ dove $ w=uv=1 $. (esatto
In questo caso la prima parte (quella sottolineata) va bene perché hai sfruttato le ipotesi nella maniera corretta
. Dopo la sostituzione di $b$ però non ci interessa più nulla perchè la nostra tesi è relativa ad $a$ e $c$. E' quindi da $a = uvc$ che dobbiamo andare avanti. In particolare posso scrivere $a = u(vc)$ e, poiché $u$ è unità, deduco che $a\phi vc$. Questo fatto potrebbe non interessarci ma...se è vero che il fatto che esista tale relazione mi permette ora di scrivere $a = 1 vc$ (in quanto $1$ è identità ma anche unità appunto) posso ora sfruttare il fatto che anche $v$ è unità concludendo che ...
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