Esercizi sugli anelli
Salve ragazzi! Ho qui un po' di esercizi sugli anelli, come al solito qualcosa non quadra o qualquadra non cosa.
Il primo sembra molto banale ma non so se lo sia davvero, mi sento un po' stupido a non capirlo.
1.1
Sia A un anello commutativo con identità $1$. Provare per ogni $a,b in A$ le seguenti relazioni (tra le quali la regoletta del "$- * - = +$"):
a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
b) $(-1)^2=1$
c) $(-a)^2=a^2$
d) $(-a)(-b)=ab$
e) $-(a-b) = -a+b$
f) $-(-a)=a$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.
1.2
Sia A un anello commutativo con identità e sia $\phi$ una relazione $a\phib$ se e solo se $a$ e $b$ sono associati.
- Provare che $\phi$ è una relazione di equivalenza in A.
- Posto $A = ZZ$, determinare $ZZ_{/\phi}$
- E' vero che $[a]+[b ] = [a+b]$ è un'operazione ben definita nell'insieme quoziente $ZZ_{/\phi}$ ?
1.3
Si consideri l'anello $ZZ_11$ con la somma e il prodotto usuali
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
- Stabilire quali sono le unità in $ZZ_11$
- Trovare gli elementi associati a $[2]$ in $ZZ_11$
- Stabilire se $[4]$ è irriducibile o no, in $ZZ_11$
_____
Svolgimento 1.1
Date le proprietà di un anello...:
- Proprietà associativa
- Commutativa
- Esistenza dell'elemento neutro ($0$ per la somma, $1$ per il prodotto)
- Esistenza dell'inverso($-a$ per la somma, $a^-1$ per il prodotto)
- Proprietà associativa del prodotto rispetto alla somma
... dovrebbe risultare semplice muoversi con questo esercizio ma non credo di avere la dimestichezza adatta a svolgerlo, in pratica non saprei quali potrebbero essere i giusti passaggi per arrivare alla conclusione richiesta, ma io ci provo!
a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
$-(ab)=-ab=-1*a*1*b=1(-a*b)=-1(a)b=a(-1(b))=a(-b)$
b) $(-1)^2=1$
$(-1)^2 = (-1)(-1) =1(-1)(-1)= 1(1)= 1$
c) $(-a)^2=a^2$
$(-a)^2=(-a)(-a)= 1(-a)(-a)= 1(a^2)= a^2$
d) $(-a)(-b)=ab$
$(-a)(-b)=1(-a)1(-b)=-1(a)1(-b)=-(a(-b))= -(a(-1)(b))= -(-a(b))= ab$
e) $-(a-b) = -a+b$
$-(a-b) = -1(a)-(-1(b)) = -1(a)-(-b) = -1(a)+b = -a+b$
f) $-(-a)=a$
$-(-a) = -1(-1(a)) = -(-1(a)) = (1(a)) = a$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.
$(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari: $(-1)^{2n} = [(-1)^2]^n = [(-1)(-1)]^n = (1)^n = 1$
$(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari: $(-1)^{2n+1} = (-1)^{2n}*(-1) = [(-1)^2]^n * (-1) = [(-1)(-1)]^n *(-1) = (1)^n * (-1) = -1$
Svolgimento 1.2
$a$ e $b$ si dicono elementi associati se esiste un'unità $u in A$ t.c. $a=ub$ e quindi $b=u^-1a$
Dato che siamo in $ZZ$, le unità sono $1$ e $-1$.
quindi ci chiediamo: $\phi$ è relazione di equivalenza? Proviamolo!
- E' riflessiva?
$a\phia rArr a=ua rArr a=1*a rArr a=a$
- E' simmetrica?
$a\phib rArr a=ub rArr a=b$
$b\phia rArr b=ua rArr b=a$
E' transitiva?
$a\phib rArr a=ub$
$b\phic rArr b=uc$
$a\phic rArr a+b=ub+uc rArr a=uc rArr a=c$
Determiniamo $ZZ_{/\phi}$
$ZZ_{/\phi} = {[a]|a in ZZ}$
$[a]={b in ZZ | b \phi a}$
$b=ua$
sappiamo che la nostra relazione $a \phi b$ ci dice che $a=ub$ quindi sostituiamo $b=ua$ in $a=ub$ (giusto
)
$a=u(ua) rArr a=(u*u)*a rArr a=a$
quindi il nostro insieme quoziente è formato dalle classi di equivalenza nella forma $a=a$ (esatto
)
Verifichiamo con elementi arbitrari $in ZZ$ che le operazioni somma e prodotto sulle classi di resto sono ben definite:
$[1]+[1] = [2] = [1+1]$
$[2]*[2] = [4] = [2*2]$
Svolgimento 1.3
Anello $ZZ_11$ con somma e prodotto usuali sulle classi di resto
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
Stabiliamo quali sono le unità:
un elemento $u$ si dice unità (o elemento invertibile) se in $ZZ_11$ esiste il suo inverso rispetto al prodotto denotato con $u^-1$ t.c. $u*u^-1 = u^-1*u = 1$
Quindi
Gli elementi in $ZZ_11$ sono {[0],[1],[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10]}
L'unità è denotata con $*[u^-1]=[1]$ (giusto
)
Quindi le sue unità sono:
$[3]*[4] = [1]$
$[2]*[6] = [1]$
$[5]*[9] = [1]$
(quello che non ho capito è se le unità sono 3,2,5 oppure tutte e sei (3,4,2,6,5,9))
Cerchiamo gli elementi associati a $[2]$ t.c. $[2] = [u*b]$
gli elementi associati sono:
$[2] = [5*7]$
$[2] = [9*10]$
Ora l'esercizio ci chiede se la classe $[4]$ è irriducibile oppure no.
un elemento si dice irriducibile se non è riducibile, ossia se non si può decomporre in un prodotto tranne che nel prodotto di un'unità per un elemento associato ad esso.
Quindi $[4]$ non è irriducibile in $ZZ_11$, quindi è riducibile perchè si può scrivere come:
$[4] = [3] * [5]$
Aspetto vostre correzioni e suggerimenti


1.1
Sia A un anello commutativo con identità $1$. Provare per ogni $a,b in A$ le seguenti relazioni (tra le quali la regoletta del "$- * - = +$"):
a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
b) $(-1)^2=1$
c) $(-a)^2=a^2$
d) $(-a)(-b)=ab$
e) $-(a-b) = -a+b$
f) $-(-a)=a$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.
1.2
Sia A un anello commutativo con identità e sia $\phi$ una relazione $a\phib$ se e solo se $a$ e $b$ sono associati.
- Provare che $\phi$ è una relazione di equivalenza in A.
- Posto $A = ZZ$, determinare $ZZ_{/\phi}$
- E' vero che $[a]+[b ] = [a+b]$ è un'operazione ben definita nell'insieme quoziente $ZZ_{/\phi}$ ?
1.3
Si consideri l'anello $ZZ_11$ con la somma e il prodotto usuali
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
- Stabilire quali sono le unità in $ZZ_11$
- Trovare gli elementi associati a $[2]$ in $ZZ_11$
- Stabilire se $[4]$ è irriducibile o no, in $ZZ_11$
_____
Svolgimento 1.1
Date le proprietà di un anello...:
- Proprietà associativa
- Commutativa
- Esistenza dell'elemento neutro ($0$ per la somma, $1$ per il prodotto)
- Esistenza dell'inverso($-a$ per la somma, $a^-1$ per il prodotto)
- Proprietà associativa del prodotto rispetto alla somma
... dovrebbe risultare semplice muoversi con questo esercizio ma non credo di avere la dimestichezza adatta a svolgerlo, in pratica non saprei quali potrebbero essere i giusti passaggi per arrivare alla conclusione richiesta, ma io ci provo!
a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
$-(ab)=-ab=-1*a*1*b=1(-a*b)=-1(a)b=a(-1(b))=a(-b)$
b) $(-1)^2=1$
$(-1)^2 = (-1)(-1) =1(-1)(-1)= 1(1)= 1$
c) $(-a)^2=a^2$
$(-a)^2=(-a)(-a)= 1(-a)(-a)= 1(a^2)= a^2$
d) $(-a)(-b)=ab$
$(-a)(-b)=1(-a)1(-b)=-1(a)1(-b)=-(a(-b))= -(a(-1)(b))= -(-a(b))= ab$
e) $-(a-b) = -a+b$
$-(a-b) = -1(a)-(-1(b)) = -1(a)-(-b) = -1(a)+b = -a+b$
f) $-(-a)=a$
$-(-a) = -1(-1(a)) = -(-1(a)) = (1(a)) = a$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.
$(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari: $(-1)^{2n} = [(-1)^2]^n = [(-1)(-1)]^n = (1)^n = 1$
$(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari: $(-1)^{2n+1} = (-1)^{2n}*(-1) = [(-1)^2]^n * (-1) = [(-1)(-1)]^n *(-1) = (1)^n * (-1) = -1$
Svolgimento 1.2
$a$ e $b$ si dicono elementi associati se esiste un'unità $u in A$ t.c. $a=ub$ e quindi $b=u^-1a$
Dato che siamo in $ZZ$, le unità sono $1$ e $-1$.
quindi ci chiediamo: $\phi$ è relazione di equivalenza? Proviamolo!
- E' riflessiva?
$a\phia rArr a=ua rArr a=1*a rArr a=a$
- E' simmetrica?
$a\phib rArr a=ub rArr a=b$
$b\phia rArr b=ua rArr b=a$
E' transitiva?
$a\phib rArr a=ub$
$b\phic rArr b=uc$
$a\phic rArr a+b=ub+uc rArr a=uc rArr a=c$
Determiniamo $ZZ_{/\phi}$
$ZZ_{/\phi} = {[a]|a in ZZ}$
$[a]={b in ZZ | b \phi a}$
$b=ua$
sappiamo che la nostra relazione $a \phi b$ ci dice che $a=ub$ quindi sostituiamo $b=ua$ in $a=ub$ (giusto

$a=u(ua) rArr a=(u*u)*a rArr a=a$
quindi il nostro insieme quoziente è formato dalle classi di equivalenza nella forma $a=a$ (esatto

Verifichiamo con elementi arbitrari $in ZZ$ che le operazioni somma e prodotto sulle classi di resto sono ben definite:
$[1]+[1] = [2] = [1+1]$
$[2]*[2] = [4] = [2*2]$
Svolgimento 1.3
Anello $ZZ_11$ con somma e prodotto usuali sulle classi di resto
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
Stabiliamo quali sono le unità:
un elemento $u$ si dice unità (o elemento invertibile) se in $ZZ_11$ esiste il suo inverso rispetto al prodotto denotato con $u^-1$ t.c. $u*u^-1 = u^-1*u = 1$
Quindi
Gli elementi in $ZZ_11$ sono {[0],[1],[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10]}
L'unità è denotata con $*[u^-1]=[1]$ (giusto

Quindi le sue unità sono:
$[3]*[4] = [1]$
$[2]*[6] = [1]$
$[5]*[9] = [1]$
(quello che non ho capito è se le unità sono 3,2,5 oppure tutte e sei (3,4,2,6,5,9))
Cerchiamo gli elementi associati a $[2]$ t.c. $[2] = [u*b]$
gli elementi associati sono:
$[2] = [5*7]$
$[2] = [9*10]$
Ora l'esercizio ci chiede se la classe $[4]$ è irriducibile oppure no.
un elemento si dice irriducibile se non è riducibile, ossia se non si può decomporre in un prodotto tranne che nel prodotto di un'unità per un elemento associato ad esso.
Quindi $[4]$ non è irriducibile in $ZZ_11$, quindi è riducibile perchè si può scrivere come:
$[4] = [3] * [5]$
Aspetto vostre correzioni e suggerimenti

Risposte
Come al solito devo complicare le cose! maledetto me!
pfff ok... ora credo di aver capito ma non credermi mai quando ti dico di aver capito. Grazie per la pazienza
Quindi è tutto molto più semplice di quanto mi aspettassi........
Riscrivo le 3 proprietà:
Riflessiva:
$ a\phia rArr a=ua $ dove $u=a/a=1$ quindi $a=1*a=a$
Simmetrica:
$ a \phi b \Rightarrow b \phi a $
$ a \phi b rArr a=ub $
Quindi da qui ricaviamo $b$.
$b=u^-1a$ cioè quel famoso $v$ equivale a $u^-1$ quindi possiamo scrivere:
$a=ub$
$b=va$ Edit: ho corretto qui
Transitiva:
$ a \phi b ^^ b \phi c -> a \phi c $
$ a \phi b rArr a=ub $
$ b \phi c rArr b=vc $
Ripetiamo il discorso di prima:
Prendo $b$ e lo sostituisco in $a$ ed ottengo: $a=uvc$ quindi da questo possiamo dedurre che $ a\phi vc $
Sappiamo che $u$ e $v$ sono unità concludendo che $a=uvc=(1*1)c$. Qui possiamo dire che $(1*1)=1$ è ancora un'unità e la posso denotare con $w$ dicendo che $a=wc$ Edit: ho aggiunto una cosa
Corretto così


Quindi è tutto molto più semplice di quanto mi aspettassi........
Riscrivo le 3 proprietà:
Riflessiva:
$ a\phia rArr a=ua $ dove $u=a/a=1$ quindi $a=1*a=a$
Simmetrica:
$ a \phi b \Rightarrow b \phi a $
$ a \phi b rArr a=ub $
Quindi da qui ricaviamo $b$.
$b=u^-1a$ cioè quel famoso $v$ equivale a $u^-1$ quindi possiamo scrivere:
$a=ub$
$b=va$ Edit: ho corretto qui
Transitiva:
$ a \phi b ^^ b \phi c -> a \phi c $
$ a \phi b rArr a=ub $
$ b \phi c rArr b=vc $
Ripetiamo il discorso di prima:
Prendo $b$ e lo sostituisco in $a$ ed ottengo: $a=uvc$ quindi da questo possiamo dedurre che $ a\phi vc $
Sappiamo che $u$ e $v$ sono unità concludendo che $a=uvc=(1*1)c$. Qui possiamo dire che $(1*1)=1$ è ancora un'unità e la posso denotare con $w$ dicendo che $a=wc$ Edit: ho aggiunto una cosa
Corretto così


Tranquillo, sapessi quante volte le ho complicate pure io le cose prima di capire che esisteva una soluzione più semplice. E' tutta una questione di pratica ed esperienza, nulla più.
Venendo a noi ora le prima due proprietà scritte così sono corrette per quanto concerne la dimostrazione. Nella terza ancora non torna qualcosa. In particolare il fatto che $u$ e $v$ siano unità non ci permette di affermare che entrambe valgano $1$. Come sappiamo, ad esempio in $ZZ$, le unità possono assumere anche altri valori diversi da quello dell'identità. Quando hai concluso che $a \phi vc$ allora possiamo moltiplicare $vc$ per una particolare unità che interessa a noi, nella fattispecie $1$, in modo da ottenere il nostro $a$. Si ottiene dunque $a = 1vc$ (al posto di quell'uno potrebbe esserci una qualsiasi unità che chiamiamo $x$ ma a noi ne basta una particolare che fa al nostro scopo, no
). Ora se pongo $1v = w$ (ho usato un nome a caso) ho di fatto dimostrato che $a = wc$, ossia la mia tesi. Concordi
Venendo a noi ora le prima due proprietà scritte così sono corrette per quanto concerne la dimostrazione. Nella terza ancora non torna qualcosa. In particolare il fatto che $u$ e $v$ siano unità non ci permette di affermare che entrambe valgano $1$. Come sappiamo, ad esempio in $ZZ$, le unità possono assumere anche altri valori diversi da quello dell'identità. Quando hai concluso che $a \phi vc$ allora possiamo moltiplicare $vc$ per una particolare unità che interessa a noi, nella fattispecie $1$, in modo da ottenere il nostro $a$. Si ottiene dunque $a = 1vc$ (al posto di quell'uno potrebbe esserci una qualsiasi unità che chiamiamo $x$ ma a noi ne basta una particolare che fa al nostro scopo, no


Ok perfetto! Ora ho capito
quindi da $ a \phi vc $ ricavo $a=gvc$ quindi sappiamo che $v$ è un'unità ricavata precedentemente e concludiamo che $gv$ è ancora un'unità che denotiamo con $w$. Infine abbiamo che: $a=ub ^^ b=vc -> a=wc$
Edit: rileggendo il tuo ultimo messaggio: quindi è necessario prendere $g=1$ cioè $a=1vc$
quindi da $ a \phi vc $ ricavo $a=gvc$ quindi sappiamo che $v$ è un'unità ricavata precedentemente e concludiamo che $gv$ è ancora un'unità che denotiamo con $w$. Infine abbiamo che: $a=ub ^^ b=vc -> a=wc$
Edit: rileggendo il tuo ultimo messaggio: quindi è necessario prendere $g=1$ cioè $a=1vc$
Tenendo conto di quanto hai scritto nell'edit, ora è esatto
. A noi per soddisfare il fatto che gli elementi siano associati basta trovarne almeno una di unità.
Ci aggiorniamo per i punti successivi dell'esercizio.

Ci aggiorniamo per i punti successivi dell'esercizio.
Buongiorno darkfog
: 
Procedo con il secondo e terzo punto del secondo esercizio.
Nel secondo hai scritto bene la definizione di $[a]$ però non è esatto come è formato il nostro $ZZ_{\phi}$. In particolare non torna la sostituzione di $b$ che hai fatto in $a = \phi b$. Se siamo in $ZZ$ e sappiamo che le nostre unità sono $1$ e $-1$ risulterà che $b = +a$ oppure $b = -a$, no (possiamo scegliere tra due possibili unità)
Nel terzo punto se vuoi verificare che l'operazione $+$ sull'insieme quoziente è ben definita non basta fornire alcuni esempi, servirebbe una dimostrazione vera e propria. Suggerimento: si possono trovare numerosi controesempi tali per cui si mostra facilmente che invece tale operazione non è ben definita
.


Procedo con il secondo e terzo punto del secondo esercizio.
Nel secondo hai scritto bene la definizione di $[a]$ però non è esatto come è formato il nostro $ZZ_{\phi}$. In particolare non torna la sostituzione di $b$ che hai fatto in $a = \phi b$. Se siamo in $ZZ$ e sappiamo che le nostre unità sono $1$ e $-1$ risulterà che $b = +a$ oppure $b = -a$, no (possiamo scegliere tra due possibili unità)

Nel terzo punto se vuoi verificare che l'operazione $+$ sull'insieme quoziente è ben definita non basta fornire alcuni esempi, servirebbe una dimostrazione vera e propria. Suggerimento: si possono trovare numerosi controesempi tali per cui si mostra facilmente che invece tale operazione non è ben definita

"darkfog":
[...]
1.3
Si consideri l'anello $ZZ_11$ con la somma e il prodotto usuali
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
- Stabilire quali sono le unità in $ZZ_11$
- Trovare gli elementi associati a $[2]$ in $ZZ_11$
- Stabilire se $[4]$ è irriducibile o no, in $ZZ_11$
[...]
Svolgimento 1.3
Anello $ZZ_11$ con somma e prodotto usuali sulle classi di resto
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
Stabiliamo quali sono le unità:
un elemento $u$ si dice unità (o elemento invertibile) se in $ZZ_11$ esiste il suo inverso rispetto al prodotto denotato con $u^-1$ t.c. $u*u^-1 = u^-1*u = 1$
Quindi
Gli elementi in $ZZ_11$ sono {[0],[1],[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10]}
L'unità è denotata con $*[u^-1]=[1]$ (giusto)
Quindi le sue unità sono:
$[3]*[4] = [1]$
$[2]*[6] = [1]$
$[5]*[9] = [1]$
(quello che non ho capito è se le unità sono 3,2,5 oppure tutte e sei (3,4,2,6,5,9))
Cerchiamo gli elementi associati a $[2]$ t.c. $[2] = [u*b]$
gli elementi associati sono:
$[2] = [5*7]$
$[2] = [9*10]$
Ora l'esercizio ci chiede se la classe $[4]$ è irriducibile oppure no.
un elemento si dice irriducibile se non è riducibile, ossia se non si può decomporre in un prodotto tranne che nel prodotto di un'unità per un elemento associato ad esso.
Quindi $[4]$ non è irriducibile in $ZZ_11$, quindi è riducibile perchè si può scrivere come:
$[4] = [3] * [5]$
Aspetto vostre correzioni e suggerimenti
Ciao darkfog

Anche se non abbiamo ancora concluso in via definitiva l'esercizio numero due, intanto ti posto alcune dritte per il tre.
La strada per determinare le unità è quella giusta ma, rispetto a quelle che hai trovato te, ve ne sono anche delle altre.
Lo stesso dicasi per quanto riguarda la ricerca degli elementi associati a $[2]$ (il secondo punto dell'esercizio). Quando avrai trovato sia le unità che gli elementi associati a $[2]$ noterai una piccola magia (che di fatto però in questo caso altro non è che una banale coincidenza

Lo svolgimento dell'ultimo punto dell'esercizio è corretto

Spero di esserti stato d'aiuto.
Buongiorno onlyReferee!!!
Scusa se non ho risposto in questi giorni. Mi sto dedicando a logica e non volevo perdere alcuni fili. Ora faccio un passo indietro e cerco di usare i tuoi consigli per risolvere l'esercizio 1.2!!!
Siamo al secondo punto "- Posto $A=ℤ$, determinare $ℤ_/\phi$"
Determiniamo $ℤ_/\phi$ che è l'insieme quoziente.
Come adoro fare, parto con le definizioni.
L'insieme quoziente è l'insieme di tutte le classi di equivalenza e si denota con $ℤ_/\phi=A_/\phi={[a]|a in A}$
Per determinarlo dobbiamo conoscere le sue classi di equivalenza, quindi do anche la definizione di classe di equivalenza.
Una classe di equivalenza di un elemento $a in A$ [relativa ad una relazione di equivalenza (in questo caso la nostra relazione è $\phi$ t.c. $a\phib$ sono due elementi associati)] è l'insieme di tutti gli elementi $\phi$-equivalenti ad $a$ ed è denotata con $[a]={b in A | b \phi a}$
Abbiamo $[a]={b in A | b \phi a}$
$b \phi a rArr b=ua$
Ora come mi hai suggerito e come mi fa notare l'esercizio: siamo in $ZZ$ e le nostre unità sono $1$ e $-1$.
quindi quella $u$ può assumere due valori differenti: $u=1$ oppure $u=-1$. Scriviamo:
$b=1a$ e $b=(-1)a$ quindi le nostre classi di equivalenza sono:
$[a]={b in A | b=1a vv b=(-1)a} = {b in A | b=a vv b=-a}$
Adesso dobbiamo determinare l'insieme quoziente che è formato dalle classi di equivalenza che abbiamo trovato.
$ℤ_/\phi=A_/\phi={[a],[-a] | a in A}$
Giusto?
Ora vediamo un po' il terzo punto "- E' vero che $[a ]+[b ]=[a+b ]$ è un'operazione ben definita nell'insieme quoziente $ℤ_/\phi$ ? "
Sappiamo che l'insieme quoziente ha una classe di equivalenza positiva e una negativa quindi analizziamo due casi in cui:
nel 1°Caso) abbiamo la classica addizione definita tra le classi di equivalenza $[a ]+[b ]=[a+b ]$.
nel 2°Caso) abbiamo $[a ]+[-b ]=[a+(-b) ]$ oppure $[-a ]+[b ]=[(-a)+b ]$ ma potremmo trovarci anche di fronte a $[-a ]+[-b ]=[(-a)+(-b) ]$
giusto? ma come faccio a concludere che non è ben definita? Cioè: cosa vuol dire essere ben definita?.. cioè che per ogni valore assegnato ad $[a]$ e $$, la loro somma produce sempre lo stesso risultato? Non riesco a trovare una definizione sulle mie dispense, mi aiuteresti a capire?





Scusa se non ho risposto in questi giorni. Mi sto dedicando a logica e non volevo perdere alcuni fili. Ora faccio un passo indietro e cerco di usare i tuoi consigli per risolvere l'esercizio 1.2!!!
1.2
Sia $A$ un anello commutativo con identità e sia $\phi$ una relazione $a\phib$ se e solo se $a$ e $b$ sono associati.
- Provare che $\phi$ è una relazione di equivalenza in $A$. RISOLTO
- Posto $A=ℤ$, determinare $ℤ_/\phi$
- E' vero che $[a ]+[b ]=[a+b ]$ è un'operazione ben definita nell'insieme quoziente $ℤ_/\phi$ ?
Siamo al secondo punto "- Posto $A=ℤ$, determinare $ℤ_/\phi$"
Determiniamo $ℤ_/\phi$ che è l'insieme quoziente.
Come adoro fare, parto con le definizioni.
L'insieme quoziente è l'insieme di tutte le classi di equivalenza e si denota con $ℤ_/\phi=A_/\phi={[a]|a in A}$
Per determinarlo dobbiamo conoscere le sue classi di equivalenza, quindi do anche la definizione di classe di equivalenza.
Una classe di equivalenza di un elemento $a in A$ [relativa ad una relazione di equivalenza (in questo caso la nostra relazione è $\phi$ t.c. $a\phib$ sono due elementi associati)] è l'insieme di tutti gli elementi $\phi$-equivalenti ad $a$ ed è denotata con $[a]={b in A | b \phi a}$
Abbiamo $[a]={b in A | b \phi a}$
$b \phi a rArr b=ua$
Ora come mi hai suggerito e come mi fa notare l'esercizio: siamo in $ZZ$ e le nostre unità sono $1$ e $-1$.
quindi quella $u$ può assumere due valori differenti: $u=1$ oppure $u=-1$. Scriviamo:
$b=1a$ e $b=(-1)a$ quindi le nostre classi di equivalenza sono:
$[a]={b in A | b=1a vv b=(-1)a} = {b in A | b=a vv b=-a}$
Adesso dobbiamo determinare l'insieme quoziente che è formato dalle classi di equivalenza che abbiamo trovato.
$ℤ_/\phi=A_/\phi={[a],[-a] | a in A}$
Giusto?
Ora vediamo un po' il terzo punto "- E' vero che $[a ]+[b ]=[a+b ]$ è un'operazione ben definita nell'insieme quoziente $ℤ_/\phi$ ? "
Sappiamo che l'insieme quoziente ha una classe di equivalenza positiva e una negativa quindi analizziamo due casi in cui:
nel 1°Caso) abbiamo la classica addizione definita tra le classi di equivalenza $[a ]+[b ]=[a+b ]$.
nel 2°Caso) abbiamo $[a ]+[-b ]=[a+(-b) ]$ oppure $[-a ]+[b ]=[(-a)+b ]$ ma potremmo trovarci anche di fronte a $[-a ]+[-b ]=[(-a)+(-b) ]$
giusto? ma come faccio a concludere che non è ben definita? Cioè: cosa vuol dire essere ben definita?.. cioè che per ogni valore assegnato ad $[a]$ e $$, la loro somma produce sempre lo stesso risultato? Non riesco a trovare una definizione sulle mie dispense, mi aiuteresti a capire?
Ciao darkfog 
Non preoccuparti anche se non rispondi subito, chiaramente lo studio dei vari corsi viene prima del forum
. Giustamente qui ognuno può postare sempre se e quando può. Molto bella anche la logica comunque 
Parto dal secondo punto. Il ragionamento per determinare $ZZ_{/\phi}$ è corretto ma la conclusione ancora no. Prova a pensare: in base a quanto detto $a$ e $-a$ stanno nella stessa classe di equivalenza oppure rappresentano due classi distinte
Se fossero in due classi distinte vorrebbe dire che non sono associati ma questo contraddice il fatto che siano in relazione tra loro. Così alla fine dovrebbe risultarti che ciascuna classe di equivalenza è costituita da due elementi soltanto (tranne la classe $[0]$ per ovvie ragioni).
Ovviamente poi per le classi di equivalenza esiste un elemento "rappresentante" per ciascuna di esse che può essere scelto praticamente in maniera arbitraria (per convenzione). Giusto per semplificare e fare un esempio sugli studenti di una scuola se definisco la relazione "$\prec: a \prec b \text{ se gli studenti }a\text{ e }b\text{ sono nell stessa classe }$" posso stabilire che il rappresentante di ciascuna classe sia uno dei due rappresentanti di classe di ciascuna classe.
Ora, alla luce di questo, vogliamo capire se l'operazione $[a] + = [a + b]$ è o meno ben definita nel nostro $ZZ_{/\phi}$. Ci stiamo quindi chiedendo se effettuando tale operazione nel primo o nel secondo modo (primo o secondo membro) il risultato appartiene alla medesima classe di equivalenza. Se ciò non dovesse verificarsi anche in un solo caso allora tale operazione non risulta essere ben definita. Suggerimento: quando hai completato il ragionamento al punto precedente puoi vedere come con i numeri positivi va tutto bene, con i negativi...non necessariamente.

Non preoccuparti anche se non rispondi subito, chiaramente lo studio dei vari corsi viene prima del forum


Parto dal secondo punto. Il ragionamento per determinare $ZZ_{/\phi}$ è corretto ma la conclusione ancora no. Prova a pensare: in base a quanto detto $a$ e $-a$ stanno nella stessa classe di equivalenza oppure rappresentano due classi distinte

Ovviamente poi per le classi di equivalenza esiste un elemento "rappresentante" per ciascuna di esse che può essere scelto praticamente in maniera arbitraria (per convenzione). Giusto per semplificare e fare un esempio sugli studenti di una scuola se definisco la relazione "$\prec: a \prec b \text{ se gli studenti }a\text{ e }b\text{ sono nell stessa classe }$" posso stabilire che il rappresentante di ciascuna classe sia uno dei due rappresentanti di classe di ciascuna classe.
Ora, alla luce di questo, vogliamo capire se l'operazione $[a] + = [a + b]$ è o meno ben definita nel nostro $ZZ_{/\phi}$. Ci stiamo quindi chiedendo se effettuando tale operazione nel primo o nel secondo modo (primo o secondo membro) il risultato appartiene alla medesima classe di equivalenza. Se ciò non dovesse verificarsi anche in un solo caso allora tale operazione non risulta essere ben definita. Suggerimento: quando hai completato il ragionamento al punto precedente puoi vedere come con i numeri positivi va tutto bene, con i negativi...non necessariamente.
Ciao onlyReferee !!!! Sono tornatoooooooooo!
Sono in fase ripasso programma e mi sono ri-imbattuto nel secondo esercizio e mi son bloccato al secondo punto dove dobbiamo determinare l'insieme quoziente $ ℤ_/\phi $
Ci ho riflettuto un po' ma non riesco a venirne ancora fuori. Scrivo il ragionamento che ho fatto adesso.
Allora:
Per determinare l'insieme quoziente dobbiamo prima conoscere le classi di equivalenza per poi assegnarle ad esso.
$[a]={b in ZZ|b\phia}$
$b\phia rArr b=ua$ dove la nostra cara $u$ può valere $1$ o $-1$ perchè siamo in $ZZ$ e come da definizione, le unità di $ZZ$ sono appunto $1$ e $-1$
quindi affidandomi ancora una volta alla definizione di "elementi associati" (due elementi sono associati se sono uguali oppure opposti), scrivo i due casi:
1° caso)
$u=1$ quindi $b=1a rArr b=a$
2° caso)
$u=-1$ quindi $b=-1a rArr b=-a rArr -a=-a rArr -b=-a$
quindi il nostro insieme quoziente è formato da due classi distinte
$ZZ_{\phi} = {[a], a in ZZ|[b=a], [-b=-a]} = { [a], a in ZZ|[ a ] , [ -a ] }$
oppure ho pensato... sapendo che sono associati e devono essere uguali od opposti... scrivo:
$ZZ_{\phi} = {[a], a in ZZ|[b=a]}$
e poi $b$ varrà quanto varrà $a$ (negativo o positivo). Però questa è una definizione differente rispetto a quella che ho dato prima perchè la classe di equivalenza è unica nell'insieme quoziente.
Aspetto una tua illuminazione.

Ci ho riflettuto un po' ma non riesco a venirne ancora fuori. Scrivo il ragionamento che ho fatto adesso.
Allora:
Per determinare l'insieme quoziente dobbiamo prima conoscere le classi di equivalenza per poi assegnarle ad esso.
$[a]={b in ZZ|b\phia}$
$b\phia rArr b=ua$ dove la nostra cara $u$ può valere $1$ o $-1$ perchè siamo in $ZZ$ e come da definizione, le unità di $ZZ$ sono appunto $1$ e $-1$
quindi affidandomi ancora una volta alla definizione di "elementi associati" (due elementi sono associati se sono uguali oppure opposti), scrivo i due casi:
1° caso)
$u=1$ quindi $b=1a rArr b=a$
2° caso)
$u=-1$ quindi $b=-1a rArr b=-a rArr -a=-a rArr -b=-a$
quindi il nostro insieme quoziente è formato da due classi distinte
$ZZ_{\phi} = {[a], a in ZZ|[b=a], [-b=-a]} = { [a], a in ZZ|[ a ] , [ -a ] }$
oppure ho pensato... sapendo che sono associati e devono essere uguali od opposti... scrivo:
$ZZ_{\phi} = {[a], a in ZZ|[b=a]}$
e poi $b$ varrà quanto varrà $a$ (negativo o positivo). Però questa è una definizione differente rispetto a quella che ho dato prima perchè la classe di equivalenza è unica nell'insieme quoziente.
Aspetto una tua illuminazione.

Invece riguardo al terzo punto del secondo esercizio, non so perchè ho anche provato a verificare $[a]*$, avrò confuso con il terzo esercizio, perchè la traccia del secondo richiede la verifica di $[a]+=[a+b]$
Allora verifichiamola!
sappiamo che questa operazione risiede in $ZZ_{/\phi}$ quindi dobbiamo considerare come elementi dell'operazione gli elementi associati, cioè uguali o opposti.
Quindi $[-a]+[-b] != [a+b]$
mentre vale per $[a]+ = [a+b]$
ma siccome non è valida per tutti i casi, non è valida nell'insieme quoziente $ZZ_{/\phi}$
Giusto?
Allora verifichiamola!
sappiamo che questa operazione risiede in $ZZ_{/\phi}$ quindi dobbiamo considerare come elementi dell'operazione gli elementi associati, cioè uguali o opposti.
Quindi $[-a]+[-b] != [a+b]$
mentre vale per $[a]+ = [a+b]$
ma siccome non è valida per tutti i casi, non è valida nell'insieme quoziente $ZZ_{/\phi}$
Giusto?
"darkfog":
Ciao onlyReferee !!!! Sono tornatoooooooooo!Sono in fase ripasso programma e mi sono ri-imbattuto nel secondo esercizio e mi son bloccato al secondo punto dove dobbiamo determinare l'insieme quoziente $ ℤ_/\phi $
Ci ho riflettuto un po' ma non riesco a venirne ancora fuori. Scrivo il ragionamento che ho fatto adesso.
Allora:
Per determinare l'insieme quoziente dobbiamo prima conoscere le classi di equivalenza per poi assegnarle ad esso.
$[a]={b in ZZ|b\phia}$
$b\phia rArr b=ua$ dove la nostra cara $u$ può valere $1$ o $-1$ perchè siamo in $ZZ$ e come da definizione, le unità di $ZZ$ sono appunto $1$ e $-1$
quindi affidandomi ancora una volta alla definizione di "elementi associati" (due elementi sono associati se sono uguali oppure opposti), scrivo i due casi:
1° caso)
$u=1$ quindi $b=1a rArr b=a$
2° caso)
$u=-1$ quindi $b=-1a rArr b=-a rArr -a=-a rArr -b=-a$
quindi il nostro insieme quoziente è formato da due classi distinte
$ZZ_{\phi} = {[a], a in ZZ|[b=a], [-b=-a]} = { [a], a in ZZ|[ a ] , [ -a ] }$
oppure ho pensato... sapendo che sono associati e devono essere uguali od opposti... scrivo:
$ZZ_{\phi} = {[a], a in ZZ|[b=a]}$
e poi $b$ varrà quanto varrà $a$ (negativo o positivo). Però questa è una definizione differente rispetto a quella che ho dato prima perchè la classe di equivalenza è unica nell'insieme quoziente.
Aspetto una tua illuminazione.
Ciao darkfog e bentornato

La tua seconda "versione" del ragionamento che hai proposto è quella corretta. Il nostro insieme quoziente si può pertanto scrivere direttamente come $ZZ_{\phi} = \{[a] | [a] = \{b \in ZZ | b = \pm a\}\}$. Certo che, come dici te, la classe di equivalenza è unica nell'insieme quoziente. Con questa scrittura noi vogliamo indicare semplicemente che la stessa è composta da due elementi (che nel caso di $0$ poi si riducono semplicemente ad uno).
"darkfog":
Invece riguardo al terzo punto del secondo esercizio, non so perchè ho anche provato a verificare $ [a]* $, avrò confuso con il terzo esercizio, perchè la traccia del secondo richiede la verifica di $ [a]+=[a+b] $
Allora verifichiamola!
sappiamo che questa operazione risiede in $ ZZ_{/\phi} $ quindi dobbiamo considerare come elementi dell'operazione gli elementi associati, cioè uguali o opposti.
Quindi $ [-a]+[-b] != [a+b] $
mentre vale per $ [a]+ = [a+b] $
ma siccome non è valida per tutti i casi, non è valida nell'insieme quoziente $ ZZ_{/\phi} $
Giusto?
Sì ma conviene appunto utilizzare dei valori di $ZZ$ attribuendoli ad $a$ e $b$ per fornire un controesempio concreto per cui questo non vale
