Esercizi di teoria dei gruppi
mi potete dire se lo svolgimento di questi esercizi è corretto?
1- Sia G un gruppo e N un sottogruppo normale di ordine 2, dimostrare che N è contenuto nel centro di G.
dim: N è un sottogruppo normale di G se e solo se gn(g)inv appartiene a N per ogni g di G e n di N
siccome Z(G)={x : gx=xg per ogni g di G}, preso un qualsiasi x di N, per la definizione di sottogruppo normale gx(g)inv=x cioè gx=xg per ogni x di N
questo mi implica che gN=Ng.
gli elementi di N, dunque, commutano con tutti gli elementi di G e questo vuol dire che N è contenuto in Z(G).
2- Sia G un gruppo abeliano e T(G) l'insieme degli elementi di G che hanno ordine finito. Dimostrare che T(G) è un sottogruppo e che l'unico elemento di G/T(G) di ordine finito è l'elemento neutro
dim:
T(G) è un sottogruppo di G se per ogni a,b di T(G) a*b sta ancora in T(G); siccome ord(a),ord(b)!=(infinito), pongo ord(a)=n e ord(b)=m, quindi ord(a*b)=(n+m) ed è diverso da infinito. Inoltre, se calcolo l'inverso di a ho che ord(a)inv=-n ed è diverso da infinito, e l'ord((a)*(b)inv)=n-m e anche quest'ultimo è differente da infinito. Tutto questo implica che T(G) è un sottogruppo di G.
Sia G/T(G) l'insieme delle classi laterali sinistre di T(G), G/T(G)={g*t : t appartiene a T(G)}
t appartiene a T(G) se e solo se ord(t) è diverso da infinito, quindi ord(t)=p p intero. Siccome g può essere qualunque, l'unica scelta possibile è che l'insieme delle classi laterali sinistre di T(G) sia il solo elemento neutro. G/T(G)={e}
3-scrivere le seguenti permutazioni come prodotto di cicli disgiunti, come prodotto di trasposizioni e trovarne il segno:
a=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 2 5 3 4 1 9 8 6
b=
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 6 4 2 7
dim:
data la permutazione a, in cicli a={(1,7,9,6)(2)(3,5,4)(8)}
in trasposizioni a={(1,7)(7,9)(9,6)(2)(3,5)(5,4)(8)}
siccome le trasposizioni sono 7, il segno è dato da e(a)=(-1) alla 7, e(a)=-1, quindi a è una permutazione dispari
b in cicli={(1,8,7,2,3)(4,5,6)}
in trasposizioni ={(1,8)(8,7)(7,2)(2,3)(4,5)(5,6)}
le trasposizioni sono 6 dunque e(b)=(-1) alla 6, e(b)=1 quindi b è una permutazione pari.
1- Sia G un gruppo e N un sottogruppo normale di ordine 2, dimostrare che N è contenuto nel centro di G.
dim: N è un sottogruppo normale di G se e solo se gn(g)inv appartiene a N per ogni g di G e n di N
siccome Z(G)={x : gx=xg per ogni g di G}, preso un qualsiasi x di N, per la definizione di sottogruppo normale gx(g)inv=x cioè gx=xg per ogni x di N
questo mi implica che gN=Ng.
gli elementi di N, dunque, commutano con tutti gli elementi di G e questo vuol dire che N è contenuto in Z(G).
2- Sia G un gruppo abeliano e T(G) l'insieme degli elementi di G che hanno ordine finito. Dimostrare che T(G) è un sottogruppo e che l'unico elemento di G/T(G) di ordine finito è l'elemento neutro
dim:
T(G) è un sottogruppo di G se per ogni a,b di T(G) a*b sta ancora in T(G); siccome ord(a),ord(b)!=(infinito), pongo ord(a)=n e ord(b)=m, quindi ord(a*b)=(n+m) ed è diverso da infinito. Inoltre, se calcolo l'inverso di a ho che ord(a)inv=-n ed è diverso da infinito, e l'ord((a)*(b)inv)=n-m e anche quest'ultimo è differente da infinito. Tutto questo implica che T(G) è un sottogruppo di G.
Sia G/T(G) l'insieme delle classi laterali sinistre di T(G), G/T(G)={g*t : t appartiene a T(G)}
t appartiene a T(G) se e solo se ord(t) è diverso da infinito, quindi ord(t)=p p intero. Siccome g può essere qualunque, l'unica scelta possibile è che l'insieme delle classi laterali sinistre di T(G) sia il solo elemento neutro. G/T(G)={e}
3-scrivere le seguenti permutazioni come prodotto di cicli disgiunti, come prodotto di trasposizioni e trovarne il segno:
a=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 2 5 3 4 1 9 8 6
b=
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 6 4 2 7
dim:
data la permutazione a, in cicli a={(1,7,9,6)(2)(3,5,4)(8)}
in trasposizioni a={(1,7)(7,9)(9,6)(2)(3,5)(5,4)(8)}
siccome le trasposizioni sono 7, il segno è dato da e(a)=(-1) alla 7, e(a)=-1, quindi a è una permutazione dispari
b in cicli={(1,8,7,2,3)(4,5,6)}
in trasposizioni ={(1,8)(8,7)(7,2)(2,3)(4,5)(5,6)}
le trasposizioni sono 6 dunque e(b)=(-1) alla 6, e(b)=1 quindi b è una permutazione pari.
Risposte
"Jazz_lover":
3-scrivere le seguenti permutazioni come prodotto di cicli disgiunti, come prodotto di trasposizioni e trovarne il segno:
$a= ( (1 2 3 4 5 6 7 8 9),(7 2 5 3 4 1 9 8 6) ) b= ((1 2 3 4 5 6 7 8),(8 3 1 5 6 4 2 7))$
dim:
data la permutazione a, in cicli $a={(1,7,9,6)(2)(3,5,4)(8)}$
in trasposizioni $a={(1,7)(7,9)(9,6)(2)(3,5)(5,4)(8)}$
siccome le trasposizioni sono 7, il segno è dato da $e(a)=(-1)^7 e(a)=-1$, quindi a è una permutazione dispari
b in cicli=${(1,8,7,2,3)(4,5,6)}$
in trasposizioni =${(1,8)(8,7)(7,2)(2,3)(4,5)(5,6)}$
le trasposizioni sono 6 dunque $e(b)=(-1)^6 e(b)=1$ quindi b è una permutazione pari.
questo mi sembra giusto... anche io lo farei così
Ciauz
[/quote]
questo mi sembra giusto... anche io lo farei così
Ciauz[/quote]
le trasposizioni sono corrette??
questo mi sembra giusto... anche io lo farei così
Ciauz[/quote]
le trasposizioni sono corrette??
"Jazz_lover":
le trasposizioni sono corrette??
Si..
Cmq
Con $ gng^1 \in N \forall g \in G, n \in N $ e hai $ Z(G)={x | gx=xg ,\forall g \in G} $ il ragionamento mi sembrerebbe giusto..
P.s: se scrivi in latex è + leggibile cmq
"Jazz_lover":
3-scrivere le seguenti permutazioni come prodotto di cicli disgiunti, come prodotto di trasposizioni e trovarne il segno:
a=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 2 5 3 4 1 9 8 6
b=
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 6 4 2 7
dim:
data la permutazione a, in cicli a={(1,7,9,6)(2)(3,5,4)(8)}
in trasposizioni a={(1,7)(7,9)(9,6)(2)(3,5)(5,4)(8)}
siccome le trasposizioni sono 7, il segno è dato da e(a)=(-1) alla 7, e(a)=-1, quindi a è una permutazione dispari
b in cicli={(1,8,7,2,3)(4,5,6)}
in trasposizioni ={(1,8)(8,7)(7,2)(2,3)(4,5)(5,6)}
le trasposizioni sono 6 dunque e(b)=(-1) alla 6, e(b)=1 quindi b è una permutazione pari.
Prima di tutto leva le graffe... la scomposizione in cicli disgiunti è unica e non sono elementi di un insieme ma prodotto di permutazioni. Inoltre leva gli elementi fissi perché sono identità ed è come se scrivessi $6 = 3*1*-2*-1$ invece di $6 = 3*2$
$a=(1,7,9,6)(3,5,4)$
$a = (1,6)(1,9)(1,7)(3,4)(3,5)$
In generale un ciclo $(1,2,3,4,5,...n) = (1,n)*(1,n-1)*...*(1,3)*(1,2)$, è un metodo semplice che ti impedisce di sbagliare.
Il tuo è sbagliato perché il 4 lo manda prima in 5 e poi in 3. Gli altri scambi vanno bene.
$b = (1,8,7,2,3)(4,5,6)$
$b = (1,3)(1,2)(1,7)(1,8)(4,6)(4,5)$ ma anche il tuo va bene.
"vict85":
[quote="Jazz_lover"]
3-scrivere le seguenti permutazioni come prodotto di cicli disgiunti, come prodotto di trasposizioni e trovarne il segno:
a=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 2 5 3 4 1 9 8 6
b=
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 6 4 2 7
dim:
data la permutazione a, in cicli a={(1,7,9,6)(2)(3,5,4)(8)}
in trasposizioni a={(1,7)(7,9)(9,6)(2)(3,5)(5,4)(8)}
siccome le trasposizioni sono 7, il segno è dato da e(a)=(-1) alla 7, e(a)=-1, quindi a è una permutazione dispari
b in cicli={(1,8,7,2,3)(4,5,6)}
in trasposizioni ={(1,8)(8,7)(7,2)(2,3)(4,5)(5,6)}
le trasposizioni sono 6 dunque e(b)=(-1) alla 6, e(b)=1 quindi b è una permutazione pari.
Prima di tutto leva le graffe... la scomposizione in cicli disgiunti è unica e non sono elementi di un insieme ma prodotto di permutazioni. Inoltre leva gli elementi fissi perché sono identità ed è come se scrivessi $6 = 3*1*-2*-1$ invece di $6 = 3*2$
$a=(1,7,9,6)(3,5,4)$
$a = (1,6)(1,9)(1,7)(3,4)(3,5)$
In generale un ciclo $(1,2,3,4,5,...n) = (1,n)*(1,n-1)*...*(1,3)*(1,2)$, è un metodo semplice che ti impedisce di sbagliare.
Il tuo è sbagliato perché il 4 lo manda prima in 5 e poi in 3. Gli altri scambi vanno bene.
$b = (1,8,7,2,3)(4,5,6)$
$b = (1,3)(1,2)(1,7)(1,8)(4,6)(4,5)$ ma anche il tuo va bene.[/quote]
quindi le trasposizioni della prima permutazione sono 5 giusto? gli elementi fissi contano come identità, quindi la permutazione è pari?
"vict85":
In generale un ciclo $(1,2,3,4,5,...n) = (1,n)*(1,n-1)*...*(1,3)*(1,2)$, è un metodo semplice che ti impedisce di sbagliare.
grazie per il tip
"Jazz_lover":
1- Sia G un gruppo e N un sottogruppo normale di ordine 2, dimostrare che N è contenuto nel centro di G.
Un sottogruppo di ordine 2 è formato da soli due elementi e uno di essi deve essere 1.
$N = {1, n}$
Prendiamo $gNg^-1 = N$ se prendiamo l'elemento 1 è banalmente vero.
Quindi prendiamo n. Sappiamo che se N è normale $AA g in G$ $gng^(-1) = n$ o $gng^(-1) = 1$ ma la seconda non può essere perché $gng^(-1) = 1 -> ng^-1 = g^-1 -> n=1$ ma questo contraddirebbe il fatto che N ha ordine 2 e quindi deve essere che $AA g in G$ $gng^(-1) = n$ e cioé che $gn = ng$. Quindi $n$ commuta con tutto $G$ ed è quindi incluso in $Z(G)$.
P.S: 1 fa sempre parte di $Z(G)$ quindi bastava dimostrare per n.
"Jazz_lover":
2- Sia G un gruppo abeliano e T(G) l'insieme degli elementi di G che hanno ordine finito. Dimostrare che T(G) è un sottogruppo e che l'unico elemento di G/T(G) di ordine finito è l'elemento neutro
dim:
T(G) è un sottogruppo di G se per ogni a,b di T(G) a*b sta ancora in T(G); siccome ord(a),ord(b)!=(infinito), pongo ord(a)=n e ord(b)=m, quindi ord(a*b)=(n+m) ed è diverso da infinito. Inoltre, se calcolo l'inverso di a ho che ord(a)inv=-n ed è diverso da infinito, e l'ord((a)*(b)inv)=n-m e anche quest'ultimo è differente da infinito. Tutto questo implica che T(G) è un sottogruppo di G.
Sia G/T(G) l'insieme delle classi laterali sinistre di T(G), G/T(G)={g*t : t appartiene a T(G)}
t appartiene a T(G) se e solo se ord(t) è diverso da infinito, quindi ord(t)=p p intero. Siccome g può essere qualunque, l'unica scelta possibile è che l'insieme delle classi laterali sinistre di T(G) sia il solo elemento neutro. G/T(G)={e}
Non ho capito se intende dire che $|
Della parte del sottogruppo non me ne preoccupo. Un solo appunto, negli elementi di ordine finito non è necessario dimostrare l'esistenza degli inversi se si sa che ci sono tutti i multipli dell'elemento.
Se $|G| = oo$, in caso contrario $T(G)=G$, abbiamo che $AA g !in T(G) quad quad |
Dato che $T(G) + a + T(G) + b = T(G) + a + b$ abbiamo che $AA g !in T(G) quad AA n in ZZ quad quad n(T(G) + g) = T(G) + ng$ e quindi $|
L'elemento neutro di $G//(T(G))$ è $T(G)$ che ha ordine finito perché generato da elementi di ordine finito.
"Jazz_lover":
[quote="vict85"][quote="Jazz_lover"]
3-scrivere le seguenti permutazioni come prodotto di cicli disgiunti, come prodotto di trasposizioni e trovarne il segno:
a=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 2 5 3 4 1 9 8 6
b=
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 6 4 2 7
dim:
data la permutazione a, in cicli a={(1,7,9,6)(2)(3,5,4)(8)}
in trasposizioni a={(1,7)(7,9)(9,6)(2)(3,5)(5,4)(8)}
siccome le trasposizioni sono 7, il segno è dato da e(a)=(-1) alla 7, e(a)=-1, quindi a è una permutazione dispari
b in cicli={(1,8,7,2,3)(4,5,6)}
in trasposizioni ={(1,8)(8,7)(7,2)(2,3)(4,5)(5,6)}
le trasposizioni sono 6 dunque e(b)=(-1) alla 6, e(b)=1 quindi b è una permutazione pari.
Prima di tutto leva le graffe... la scomposizione in cicli disgiunti è unica e non sono elementi di un insieme ma prodotto di permutazioni. Inoltre leva gli elementi fissi perché sono identità ed è come se scrivessi $6 = 3*1*-2*-1$ invece di $6 = 3*2$
$a=(1,7,9,6)(3,5,4)$
$a = (1,6)(1,9)(1,7)(3,4)(3,5)$
In generale un ciclo $(1,2,3,4,5,...n) = (1,n)*(1,n-1)*...*(1,3)*(1,2)$, è un metodo semplice che ti impedisce di sbagliare.
Il tuo è sbagliato perché il 4 lo manda prima in 5 e poi in 3. Gli altri scambi vanno bene.
$b = (1,8,7,2,3)(4,5,6)$
$b = (1,3)(1,2)(1,7)(1,8)(4,6)(4,5)$ ma anche il tuo va bene.[/quote]
quindi le trasposizioni della prima permutazione sono 5 giusto? gli elementi fissi contano come identità, quindi la permutazione è pari?[/quote]
no è dispari. Per pari e dispari comunque non è necessario dividere in trasposizioni. Dopo che hai diviso in cicli togli 1 al numero di elementi del ciclo e sommi, se il risultato è pari la permutazione è pari, altrimenti è dispari.
N.B.
In $S_5$ la permutazione (124) è equivalente a scrivere:
| 1 2 3 4 5 |
| 2 4 3 1 5 |
Ogni ciclo è una permutazione che muove solo determinati elementi in modo ciclico.
Quando tu dividi in cicli cerchi delle permutazioni tra di loro disgiunte che moltiplicate danno come risultato la permutazione iniziale. E' esattamente come la divisione in numeri primi.
Gli elementi fissi sono come scrivere la permutazione identità e quindi non hanno senso e possono essere omessi.
si scusa..volevo proprio dire dispari!
comunque si possono altrimenti contare il numero di trasposizioni e elevare -1 per questo numero. Grazie per aver esposto un metodo piu semplice!
Se ho un gruppo G in cui per un certo n>1 per a,b di G (ab)^n=a^n*b^n
dimostrare che per a,b di G, a^n-1*b^n=b^n*a^n-1
ho provato a dimostrarlo nel modo seguente:
se per a,b di G vale a^n-1*b^n=b^n*a^n-1
allora b^n=b^n*(a^n-1*(a^n-1)^-1)
b^n=b^n*((a)^n-1*(a^-1)^n-1)
b^n=b^n*((a*a^-1)^n-1)
b^n=b^n*(e)^n-1
b^n=b^n
quindi i due elementi commutano.
é corretto?
comunque si possono altrimenti contare il numero di trasposizioni e elevare -1 per questo numero. Grazie per aver esposto un metodo piu semplice!
Se ho un gruppo G in cui per un certo n>1 per a,b di G (ab)^n=a^n*b^n
dimostrare che per a,b di G, a^n-1*b^n=b^n*a^n-1
ho provato a dimostrarlo nel modo seguente:
se per a,b di G vale a^n-1*b^n=b^n*a^n-1
allora b^n=b^n*(a^n-1*(a^n-1)^-1)
b^n=b^n*((a)^n-1*(a^-1)^n-1)
b^n=b^n*((a*a^-1)^n-1)
b^n=b^n*(e)^n-1
b^n=b^n
quindi i due elementi commutano.
é corretto?
"Jazz_lover":
si scusa..volevo proprio dire dispari!
comunque si possono altrimenti contare il numero di trasposizioni e elevare -1 per questo numero. Grazie per aver esposto un metodo piu semplice!
Se ho un gruppo G in cui per un certo n>1 per a,b di G $(ab)^n=a^n*b^n$
dimostrare che per a,b di G, $a^n-1*b^n=b^n*a^n-1$
ho provato a dimostrarlo nel modo seguente:
se per a,b di G vale $a^(n-1)*b^n=b^n*a^(n-1)$
allora $b^n=b^n*(a^(n-1)*(a^(n-1))^(-1))$
$b^n=b^n*((a)^(n-1)*(a^(-1))^(n-1))$
$b^n=b^n*((a*a^(-1))^(n-1))$
$b^n=b^n*(e)^(n-1)$
$b^n=b^n$
quindi i due elementi commutano.
é corretto?
No, non puoi comportarti come se commutassero (si moltiplica sempre solo da un lato), lo devi dimostrare. E comunque non hai dimostrato niente.
Infatti se n è uguale all'ordine di $|G|$ (se è finito) allora $(ab)^n = a^nb^n = 1$ per qualsiasi a e b in qualsiasi G finito.
$a^(n-1)b^n = a^(-1)(ab)^n = b(ab)^(n-1)1 = b(ab)^(n-1)(a*a^(-1)) = b(ab)^(n-1) = (ba)^(n)*a^(-1) = (ba)^(n-1)*b$
Con $n=2$...
$(ab)^2 = a^2b^2$
$a*b*b = b*a*b quad -> quad a*b = b*a$
Quindi con $n=2$ commutano e quindi $(ab)^2 = (ba)^2$ (il passaggio è ovvio perché se vale $(ab)^2 = a^2b^2 = a*a*b^2 = b^2*a*a$).
Ipotizzo che la potenza commuti per $n = m-1$. E dimostro che questo implica quello dopo.
Noi sappiamo che:
$(ab)^m = a^mb^m$
$(ab)^m = (ab)^(m-1)*ab$
$a^(m-1)*b^m = (ab)^(m-1)*b = (ab)^(m-1)*b = (ba)^(m-1)*b$ [questo vale per ipotesi induttiva] $= b*(ab)^(m-1)$
Quindi nell'ipotesi induttiva vale $(ab)^(m-1)*b = b*(ab)^(m-1)$ e quindi dato che l'ipotesi vale per $n=2$ vale per qualsiasi $n>1$.
Se ho un gruppo ciclico G, finito di generatore g, H e K suoi sottogruppi di ordini rispettivamente 20 e 84. Come faccio a trovare i possibili ordini di G?
come si risolve il seguente problema?
Sia G un gruppo e N1 N2 sottogruppi normali di G con N1(intersecato)N2={e} e N1N2=G.
Mostrare che G è isomorfo a G/N1xG/N2.
(considerare l'applicazione G---->G/N1xG/N2 data da g---->(gN1,gN2) e usare il teorema di omomorfismo)
Sia G un gruppo e N1 N2 sottogruppi normali di G con N1(intersecato)N2={e} e N1N2=G.
Mostrare che G è isomorfo a G/N1xG/N2.
(considerare l'applicazione G---->G/N1xG/N2 data da g---->(gN1,gN2) e usare il teorema di omomorfismo)
"Jazz_lover":
Se ho un gruppo ciclico G, finito di generatore g, H e K suoi sottogruppi di ordini rispettivamente 20 e 84. Come faccio a trovare i possibili ordini di G?
Un gruppo ciclico ha un solo sottogruppo per ogni suo divisore, quindi le soluzioni al tuo problema sono infinite. Devono essere tutti multipli di $mcm(20, 84)$.
$20 = 2^2*5$
$84 = 2^2*3*7$
$mcm(20, 84) = 2^2*3*5*7 = 420$
Quindi $|G| = 420*k$ per un qualche $k in ZZ$
"Jazz_lover":
come si risolve il seguente problema?
Sia G un gruppo e N1 N2 sottogruppi normali di G con N1(intersecato)N2={e} e N1N2=G.
Mostrare che G è isomorfo a G/N1xG/N2.
(considerare l'applicazione G---->G/N1xG/N2 data da g---->(gN1,gN2) e usare il teorema di omomorfismo)
Ma ti ha detto come fare
$N_1$, $N_2$ normali, $N_1nnN_2 = {e}$, $N_1N_2=G$ $=>$ $G~=N_1XN_2$. Questa la puoi usare? Non credo, anzi penso che sia questo che devi dimostrare...
Ipotizzando di no...
lemma 1: $N_1$, $N_2$ normali, $N_1nnN_2 = {e}$ $N_1N_2=G$ $=>$ $AA g in G, EE h_1 in H_1, EE h_2 in H_2$, $g = h_1h_2$ inoltre si ha che $h_1h_2 = h_2h_1$
Dimostrazione del lemma: Il fatto che esiste deriva direttamente da $N_1N_2=G$. Scriviamo $h_1h_2h_1^(-1)h_2^(-1) = pi$ (ho solo portato dalla parte opposta $h_2h_1$). Allora per la normalità dei due sottogruppi abbiamo che $h_1h_2h_1^(-1) in H_2 => pi in H_2$ e che $h_2h_1^(-1)h_2^(-1) in H_1 => pi in H_1$. Ma $N_1nnN_2 = {e}$ quindi $pi = e => h_1h_2 = h_2h_1$.
Dimostrazione del problema: Condideriamo gli elementi di $G//N_1$. Prendiamo il laterale sinistro $gH_1$, per il [lemma 1] il laterale diventa $h_2h_1H_1$ ma $h_1 in H_1$ e quindi il laterale è nella forma $h_2H_1$. Il laterale ha quindi esattamente quanti elementi quanti ne ha $H_2$. In modo analogo si arriva a $h_1H_2$.
Quindi prendiamo l'isomorfismo $theta : G -> G//N_1XG//N_2$. Dato da $g |-> (gH_1, gH_2)$.
1
iniettivo? Ipotizziamo che esistano due elementi $g, g' in G$ tali che $theta(g)=theta(g')=(h_2H_1, h_1H_2)$. Allora si ha che $theta(g)*theta(g')^(-1) = 0$ e quindi $(h_2h'_2^(-1)H_1, h_1h'_1^(-1)H_2) = (H_1, H_2)$. Quindi $h_2h'_2^(-1) = 1$ e che $h_1h'_1^(-1) = 1$ quindi $g = g'$
suriettiva? sì perché per ogni $(h_2H_1, h_1H_2)$ si ha un $g = h_2h_1$.
2
$Ker(theta) = {e}$ per ovvie ragioni. Quindi $G//{e}=G$ e per il teorema degli omomorfismi si ha che $G//N_1XG//N_2 ~= G//{e} = G$.
P.S: Non è molto rispettoso mettere il testo del problema in grassetto e non dimostrare neanche di provarci... Ho l'orale di algebra lunedì e quindi faccio anche volentieri esercizi ma almeno prova a pensarci, come tra l'altro facevi all'inizio.
A parte la dimostrazione del lemma che non era necessario e ti trovi nei vari libri e dispense, il resto era semplicemente il seguire ciò che ha consigliato il testo. Anche se usare il teorema non era strettamente necessario. Il teorema dell'omomorfismo permetteva di dimostrarlo senza usare il lemma (ma personalmente volevo fa notare alcuni aspetti di G).
anchio la prossima settimana ho un esame di teoria dei gruppi.
Il fatto è che non avevo mai visto un esercizio applicato con il teorema di omomorfismo, il quale è abbastanza complesso; io stesso ho provato ad applicarlo all'esercizio, ma non riuscivo sul serio a venirne a capo.
Ora studio per bene il tuo ragionamento! grazie!
Il fatto è che non avevo mai visto un esercizio applicato con il teorema di omomorfismo, il quale è abbastanza complesso; io stesso ho provato ad applicarlo all'esercizio, ma non riuscivo sul serio a venirne a capo.
Ora studio per bene il tuo ragionamento! grazie!
ho una domanda generica: se ho un'applicazione e mi si chiede se è ben definita, che proprietà devo verificare oltre al neutro, all'associatività e all'inverso?
chi mi dice se il ragionamento seguente è corretto?
Dimostrare che se f è un isomorfismo da G a G', per ogni g di G, l'ordine di f(g) è uguale all'ordine di g
f:G---G' isomorfismo implica il fatto che per ogni g1,g2 appartenenti a G e g1!=g2 allora f(g1)!=f(g2)
Ipotizzo ord(g)=n e ord(f(g))=m
So che g^n=e
allora [f(g)]^m=f(g^m) ed è uguale a e' (neutro di G') se e solo se m=n
Infatti se m=n ------f(g^n)=f(e)=e'
La tesi è dimostata e scende dal fatto che, in un isomorfismo, a un elemento neutro di un gruppo corrisponde l'elemento neutro dell'altro gruppo.
Dimostrare che se f è un isomorfismo da G a G', per ogni g di G, l'ordine di f(g) è uguale all'ordine di g
f:G---G' isomorfismo implica il fatto che per ogni g1,g2 appartenenti a G e g1!=g2 allora f(g1)!=f(g2)
Ipotizzo ord(g)=n e ord(f(g))=m
So che g^n=e
allora [f(g)]^m=f(g^m) ed è uguale a e' (neutro di G') se e solo se m=n
Infatti se m=n ------f(g^n)=f(e)=e'
La tesi è dimostata e scende dal fatto che, in un isomorfismo, a un elemento neutro di un gruppo corrisponde l'elemento neutro dell'altro gruppo.
"Jazz_lover":
chi mi dice se il ragionamento seguente è corretto?
Dimostrare che se f è un isomorfismo da G a G', per ogni g di G, l'ordine di f(g) è uguale all'ordine di g
f:G---G' isomorfismo implica il fatto che per ogni g1,g2 appartenenti a G e g1!=g2 allora f(g1)!=f(g2)
Ipotizzo ord(g)=n e ord(f(g))=m
So che g^n=e
allora [f(g)]^m=f(g^m) ed è uguale a e' (neutro di G') se e solo se m=n
Infatti se m=n ------f(g^n)=f(e)=e'
La tesi è dimostata e scende dal fatto che, in un isomorfismo, a un elemento neutro di un gruppo corrisponde l'elemento neutro dell'altro gruppo.
Credo manchi la possibilità in cui $n|m$ in quel caso $f(g)^m = f(g)^(nk) = f(g^n)^k = f(e)^k = f(e)$. In generale il modo in cui hai ragionato è giusto.
Uso $o(g)$ per indicare l'ordine di g.
Per ogni $g in G$ abbiamo che $g^(o(g)) = e$ e che $f(g^(o(g))) = f(g)^(o(g))$ quindi $f(g)^(o(g)) = f(e)$
Quindi $o(f(g))\ |\ o(g)$ (questo deriva dal fatto che in un gruppo finito $a^n = e$ se $n = k*o(a)$ e quindi $o(a)|n$ ). In realtà per la dimostrazione basta dire che $o(f(g)) <= o(g)$.
Ipotizziamo per assurdo $o(f(g)) < o(g)$ e che quindi esista un $t
Un altro modo è dire che $\$ ha $o(g)$ elementi distinti. Quindi $f(\)$ essendo $f$ biiettiva avrà anch'essa $o(g)$ elementi distinti.
Ma $f(\) = \$ e $\$ possiede $o(f(g))$ elementi distinti da cui si ha che $o(g) = o(f(g))$
Ma $f(\
grazie vict85!
se ho un insieme H delle matrici della forma
1 a b
0 1 c
0 0 1
come faccio a trovarne una dimensione?
Grazie delle risposte!
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