Esercizi di teoria dei gruppi

[Jazz_lover]

mi potete dire se lo svolgimento di questi esercizi è corretto?

1- Sia G un gruppo e N un sottogruppo normale di ordine 2, dimostrare che N è contenuto nel centro di G.

dim: N è un sottogruppo normale di G se e solo se gn(g)inv appartiene a N per ogni g di G e n di N

siccome Z(G)={x : gx=xg per ogni g di G}, preso un qualsiasi x di N, per la definizione di sottogruppo normale gx(g)inv=x cioè gx=xg per ogni x di N
questo mi implica che gN=Ng.
gli elementi di N, dunque, commutano con tutti gli elementi di G e questo vuol dire che N è contenuto in Z(G).


2- Sia G un gruppo abeliano e T(G) l'insieme degli elementi di G che hanno ordine finito. Dimostrare che T(G) è un sottogruppo e che l'unico elemento di G/T(G) di ordine finito è l'elemento neutro

dim:
T(G) è un sottogruppo di G se per ogni a,b di T(G) a*b sta ancora in T(G); siccome ord(a),ord(b)!=(infinito), pongo ord(a)=n e ord(b)=m, quindi ord(a*b)=(n+m) ed è diverso da infinito. Inoltre, se calcolo l'inverso di a ho che ord(a)inv=-n ed è diverso da infinito, e l'ord((a)*(b)inv)=n-m e anche quest'ultimo è differente da infinito. Tutto questo implica che T(G) è un sottogruppo di G.
Sia G/T(G) l'insieme delle classi laterali sinistre di T(G), G/T(G)={g*t : t appartiene a T(G)}
t appartiene a T(G) se e solo se ord(t) è diverso da infinito, quindi ord(t)=p p intero. Siccome g può essere qualunque, l'unica scelta possibile è che l'insieme delle classi laterali sinistre di T(G) sia il solo elemento neutro. G/T(G)={e}


3-scrivere le seguenti permutazioni come prodotto di cicli disgiunti, come prodotto di trasposizioni e trovarne il segno:

a=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 2 5 3 4 1 9 8 6

b=
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 6 4 2 7

dim:
data la permutazione a, in cicli a={(1,7,9,6)(2)(3,5,4)(8)}
in trasposizioni a={(1,7)(7,9)(9,6)(2)(3,5)(5,4)(8)}

siccome le trasposizioni sono 7, il segno è dato da e(a)=(-1) alla 7, e(a)=-1, quindi a è una permutazione dispari

b in cicli={(1,8,7,2,3)(4,5,6)}
in trasposizioni ={(1,8)(8,7)(7,2)(2,3)(4,5)(5,6)}

le trasposizioni sono 6 dunque e(b)=(-1) alla 6, e(b)=1 quindi b è una permutazione pari.

[Jazz_lover]

nessuno sa dirmi come calcolare la dimensione di un gruppo di matrici??

[miuemia]

per lo meno dovresti dire dove variano questi parametri $a,b,c$....

[Jazz_lover]

"miuemia":per lo meno dovresti dire dove variano questi parametri $a,b,c$....

a,b,c appartenenti ad R

[miuemia]

se è soltanto $a,b,c\inRR$ e senza altra relazione fra questi parmetri allora la dimensione è 3.

[Jazz_lover]

"miuemia":se è soltanto $a,b,c\inRR$ e senza altra relazione fra questi parmetri allora la dimensione è 3.

con che ragionamenti sei arrivato a questo risultato?

[miuemia]

hai tre parametri liberi quindi una base per quello spazio vettoriale è costituito dalle matrici:
$((1,1,0),(0,1,0),(0,0,1))$
$((1,0,1),(0,1,0),(0,0,1))$
$((1,0,0),(0,1,1),(0,0,1))$

[ntt1]

Chiedo scusa......tornando agli esercizi sulle permutazioni volevo chiedere una cosa a tutti, ma sopratutto a vict85 che mi sembra molto bravo sull'argomento: Se ho una sequenza iniziale (ad esempio 1 2 3 4 5) sulla quale opera una permutazione di cui però non conosco la notazione e che mi restituisce un'altra sequenza, posso in generale dire che (conoscendo la sequenza di uscita) questa permutazione è unica?Posso trovarne la notazione ciclica e quindi contare i cicli?Mi dispiace se ho detto qualche sciocchezza, ma faccio confusione sull'alrgomento.Una spiegazione è gradita, ma lo sono anche consigli su libri di testo da cui poter capire meglio.Grazie, ciao.

[vict85]

"ntt":Chiedo scusa......tornando agli esercizi sulle permutazioni volevo chiedere una cosa a tutti, ma sopratutto a vict85 che mi sembra molto bravo sull'argomento: Se ho una sequenza iniziale (ad esempio 1 2 3 4 5) sulla quale opera una permutazione di cui però non conosco la notazione e che mi restituisce un'altra sequenza, posso in generale dire che (conoscendo la sequenza di uscita) questa permutazione è unica?Posso trovarne la notazione ciclica e quindi contare i cicli?Mi dispiace se ho detto qualche sciocchezza, ma faccio confusione sull'alrgomento.Una spiegazione è gradita, ma lo sono anche consigli su libri di testo da cui poter capire meglio.Grazie, ciao.

In $S_n$ come in qualsiasi gruppo la soluzione delle equazioni di primo grado $ax=b$ e $xa = b$ sono uniche.

Per l'esattezza le soluzioni sono $x = a^(-1)b$ e $x = ba^(-1)$.

Nel caso il gruppo non sia commutativo, come in $S_n$, le due soluzioni messe sopra potrebbero dare soluzioni diverse.

Esiste anche una dimostrazione di questa unicità. E credo che ci sia in qualsiasi libro (anche se forse è segnata come ovvia o lasciata come esercizio allo studente).
Dimostrare che quelle sono soluzioni è facile, basta sostituirle al posto delle $x$ o moltiplicare entrambi i membri dell'equazione a sinistra (destra nella seconda) per $a^(-1)$.
Per dimostrare la loro unicità basta ipotizzare per assurdo che ce ne siano almeno due distinte, quindi metterne due a caso a sistema e vedi subito che queste sono uguali.

[ntt1]

Grazie vict85, avevo immaginato qualcosa del genere.Ma avendo l'input e l'output di una permutazione non nota, ci sono metodi generali o algoritmi che possano trovarne la notazione ciclica?Quando parlavo di testi, nel post precedente, mi riferivo sopratutto a questo argomento.Girando un pò (anzi molto) su internet non ho trovato granchè, o almeno niente di comprensibile per le mie possibilità.Ti ringrazio ancora per la risposta....Ciao.

[vict85]

"ntt":Grazie vict85, avevo immaginato qualcosa del genere.Ma avendo l'input e l'output di una permutazione non nota, ci sono metodi generali o algoritmi che possano trovarne la notazione ciclica?Quando parlavo di testi, nel post precedente, mi riferivo sopratutto a questo argomento.Girando un pò (anzi molto) su internet non ho trovato granchè, o almeno niente di comprensibile per le mie possibilità.Ti ringrazio ancora per la risposta....Ciao.

Basta fare la moltiplicazione...

Faccio un esempio esplicitando tutti i passaggi:

$(123456)x = (15)(24)(36)$

$x = (123456)^(-1)(15)(24)(36)$

$x = (165432)(15)(24)(36)$

moltiplico cioè prendo 1 e vedo che diventa prima 5 e poi 4. Quindi prendo 4 e vedo che diventa 2 e poi 1. Quindi scrivo:

$x = (14)...$

Ora prendo 2 e vedo che diventa 4 e poi 3. Prendo 3 e osservo che diventa 6 e poi 5. Prendo 5 e osservo che diventa 1 e poi 6. Prendo 6 e diventa prima 3 e poi 2. Quindi scrivo:

$x = (14)(2356)$

E ho trovato la soluzione.

Controllando

$(123456)(14)(2356) = (15)(24)(36)$

[vict85]

"ntt":ma sopratutto a vict85 che mi sembra molto bravo sull'argomento

Sono solo interessato ma nella realtà ho fatto un solo corso di algebra (anche se era su questi argomenti)...

[ntt1]

Grazie vict85 e ti chiedo scusa per aver tardato a rispondere e a ringraziarti.Il tuo post è molto chiaro, anche perchè fai un esempio semplice semplice.Resta il fatto che devo molto approfondire le mie conoscenze su questa materia in quanto il mio obiettivo sarebbe di implementare un algoritmo in C (sempre che non esista già!) per scrivere in cicli una permutazione di cui si conosce solo l'ingresso e l'uscita.Approfitto però delle tue conoscenze e della tua disponibilità nel rispondere, per porre un altro quesito (a te e al forum) anche se non so se questa è la sezione adatta (se non lo è, prego gli admin di cancellare il post).
Il problema è questo: Ho una funzione y=f(x) definita in un intervallo di estremi a b (a Grazie ciao.

[vict85]

"ntt":Grazie vict85 e ti chiedo scusa per aver tardato a rispondere e a ringraziarti.Il tuo post è molto chiaro, anche perchè fai un esempio semplice semplice.Resta il fatto che devo molto approfondire le mie conoscenze su questa materia in quanto il mio obiettivo sarebbe di implementare un algoritmo in C (sempre che non esista già!) per scrivere in cicli una permutazione di cui si conosce solo l'ingresso e l'uscita.Approfitto però delle tue conoscenze e della tua disponibilità nel rispondere, per porre un altro quesito (a te e al forum) anche se non so se questa è la sezione adatta (se non lo è, prego gli admin di cancellare il post).
Il problema è questo: Ho una funzione y=f(x) definita in un intervallo di estremi a b (a Grazie ciao.

Mi sono accorto di una cosa... ho scritto $(123456)x=(...)$ invece nel senso che gli hai dato tu avrei dovuto scrivere $x(123456)=(...)$ perché la composizione di fattori si legge da destra a sinistra...

Algoritmo in C... certo che ne esistono. Esistono addirittura degli algoritmi per trovare tutti i sottogruppi di un determinato gruppo.
Non credo sia un algoritmo difficile. Probabilmente lo puoi fare direttamente. Prima comunque crea le funzioni per inversione, composizione di funzioni e potenza (inversione e potenza possono essere la stessa funzione).

Per prima cosa però dovresti pensare come memorizzare le permutazioni (non i cicli). In ogni caso ti ricordo che $S_n$ è il gruppo delle biiezioni di un insieme in sé stesso (dove $n$ è la cardinalità dell'insieme).


Non capisco la tua domanda.... $f: NN -> ??$ (cioè qual'è il codominio?)
E' possibile elencare ogni f(x) ma cosa intendi per regola generale? Se $n$ è la cardinalità del dominio e $t$ quella del codominio ci saranno $n^t$ funzioni diverse.

[ntt1]

Ciao....scusami ancora vict85 se rispondo con ritardo ma ultimamente ho pochissimo tempo.Allora, per quanto riguarda gli algoritmi, mi sto facendo un'idea di come poter procedere ma se tu conosci fonti (internet, ma anche libri ....) da cui poter imparare (prima che utilizzare) tali algoritmi, ogni segnalazione sarebbe molto gradita. Per quanto riguarda il tuo errore o meglio la tua precisazione, non ci sono problemi, apprezzo la tua precisione.
Parlando del problema relativo al calcolo di una relazione generale tra dominio e codominio sicuramente sono stato poco chiaro, anche se la cosa è molto banale (almeno da spiegare):
-Conosco il dominio di estremi a e b (con a < b) composto da tutti i valori interi compresi tra a e b (estremi inclusi)
-Conosco l'intero codominio di estremi c e d (c < d) composto da "alcuni" (non tutti!!!) i valori compresi tra c e d (estremi inclusi)
-Per ogni punto del dominio, conosco il codominio;ovvero conosco il valore di y = f (x) dove ovviamente y è un valore del codominio e x è un valore del dominio.

Detto questo, come faccio a trovare la regola generale che lega i punti del dominio a quelli del codominio?In pratica, come trovo la relazione f ???Ci sono tecniche che consentono di generalizzare questa ricerca (sotto i presupposti elencati prima) o dipende da qualcosa in particolare?

[vict85]

"ntt":Ciao....scusami ancora vict85 se rispondo con ritardo ma ultimamente ho pochissimo tempo.Allora, per quanto riguarda gli algoritmi, mi sto facendo un'idea di come poter procedere ma se tu conosci fonti (internet, ma anche libri ....) da cui poter imparare (prima che utilizzare) tali algoritmi, ogni segnalazione sarebbe molto gradita. Per quanto riguarda il tuo errore o meglio la tua precisazione, non ci sono problemi, apprezzo la tua precisione.
Parlando del problema relativo al calcolo di una relazione generale tra dominio e codominio sicuramente sono stato poco chiaro, anche se la cosa è molto banale (almeno da spiegare):
-Conosco il dominio di estremi a e b (con a < b) composto da tutti i valori interi compresi tra a e b (estremi inclusi)
-Conosco l'intero codominio di estremi c e d (c < d) composto da "alcuni" (non tutti!!!) i valori compresi tra c e d (estremi inclusi)
-Per ogni punto del dominio, conosco il codominio;ovvero conosco il valore di y = f (x) dove ovviamente y è un valore del codominio e x è un valore del dominio.

Detto questo, come faccio a trovare la regola generale che lega i punti del dominio a quelli del codominio?In pratica, come trovo la relazione f ???Ci sono tecniche che consentono di generalizzare questa ricerca (sotto i presupposti elencati prima) o dipende da qualcosa in particolare?

Se per regola generale intendi poter trovare una formula matematica fatta di funzioni elementari allora la risposta è no. Non puoi essere sicuro neanche che una formula di questo tipo esista.

[ntt1]

Perdona la mia sconsiderata curiosità: e se fossi sicuro che la regola generale esiste?Posso trovarla?

[vict85]

non credo esista un metodo generale... ma se esiste dovrebbe essere possibile trovarla. D'altra parte è come trovare formule per descrivere una serie.