Dubbi su relazione d'ordine

[Sk_Anonymous]

Salve, ho dei dubbi sulla relazione d'ordine.
Propongo questo esempio.
Sia A={due, tre, cinque} e sia "p(x,y)=x viene prima di y" in ordine alfabetico.
Faccio il solito prodotto cartesiano e verifico quali coppie rendono vera la proposizione.
Tali coppie dovrebbero essere gli elementi dell'insieme R={(due,tre),(cinque,due),(cinque,tre)}.
Questa relazione è una relazione d'ordine in quanto è immediato verificare che è transitiva ed antisimmetrica.
Quello che non capisco è cosa ho ottenuto di concreto dall'introduzione del concetto di relazione d'ordine. Grazie mille.

[G.D.5]

Premessa importante: tutto è "griffato" IMHO.

Cosa hai ottenuto di concreto dall'introduzione della suddetta relazione d'ordine? Niente. Niente perché potrei anche definire una relazione ad minchiam ma che sia d'ordine pur non rispetto l'ordinario concetto di ordine per le parole (i.e. l'ordine lessicografico).

La relazione d'ordine struttura l'insieme in cui è introdotta secondo sé stessa: è questa la cosa interessante delle relazione d'ordine. L'insieme viene strutturato secondo un'ordine. Così come un insieme viene strutturato secondo il modo di comportarsi dei suoi elementi tra loro quando introduci in esso una operazione. Così come un insieme viene strutturato secondo il modo di equivalersi dei suoi elementi quando introduci in esso una relazione d'equivalenza.

Cosa hanno di importante queste strutturazioni dell'insieme? Hanno di importante il fatto che l'insieme viene squadrato da capo a piedi indipendentemente dalla natura intrinseca dei suoi oggetti, ma secondo il modo di comportarsi (rispetto all'ordine, rispetto alle operazioni, rispetto alle equivalenze...) dei suoi oggetti.

Per esempio: l'insieme dei naturali, oltre che essere presentato con i famigerati assiomi di Peano, una volta fatto un certo discorso sugli insiemi bene ordinati, sugli insiemi naturalmente ordinati e sugli insiemi Dedekind-infiniti, può essere presentato come l'unico insieme naturalmente ordinato e superiormente non limitato, a meno di un'unica applicazione biettiva e crescente. Ancora: l'insieme dei numeri reali è unico a meno di isomorfismi dove gli isomorfismi sono dovuti alle operazioni che strutturano algebricamente le diverse costruzioni dell'insieme dei reali.

Non so se ho ben reso l'idea: tieni presente che quello che ho detto è molto impreciso e detto alla buona, però l'idea è quella.

[Sk_Anonymous]

"WiZaRd":Premessa importante: tutto è "griffato" IMHO.

Cosa hai ottenuto di concreto dall'introduzione della suddetta relazione d'ordine? Niente. Niente perché potrei anche definire una relazione ad minchiam ma che sia d'ordine pur non rispetto l'ordinario concetto di ordine per le parole (i.e. l'ordine lessicografico).

La relazione d'ordine struttura l'insieme in cui è introdotta secondo sé stessa: è questa la cosa interessante delle relazione d'ordine. L'insieme viene strutturato secondo un'ordine. Così come un insieme viene strutturato secondo il modo di comportarsi dei suoi elementi tra loro quando introduci in esso una operazione. Così come un insieme viene strutturato secondo il modo di equivalersi dei suoi elementi quando introduci in esso una relazione d'equivalenza.

Cosa hanno di importante queste strutturazioni dell'insieme? Hanno di importante il fatto che l'insieme viene squadrato da capo a piedi indipendentemente dalla natura intrinseca dei suoi oggetti, ma secondo il modo di comportarsi (rispetto all'ordine, rispetto alle operazioni, rispetto alle equivalenze...) dei suoi oggetti.

Per esempio: l'insieme dei naturali, oltre che essere presentato con i famigerati assiomi di Peano, una volta fatto un certo discorso sugli insiemi bene ordinati, sugli insiemi naturalmente ordinati e sugli insiemi Dedekind-infiniti, può essere presentato come l'unico insieme naturalmente ordinato e superiormente non limitato, a meno di un'unica applicazione biettiva e crescente. Ancora: l'insieme dei numeri reali è unico a meno di isomorfismi dove gli isomorfismi sono dovuti alle operazioni che strutturano algebricamente le diverse costruzioni dell'insieme dei reali.

Non so se ho ben reso l'idea: tieni presente che quello che ho detto è molto impreciso e detto alla buona, però l'idea è quella.

Ummm, non mi è molto chiara la cosa. Io sto studiando queste cose dal libro del liceo (non le avevo mai studiate prima), quindi è chiaro che il mio obiettivo è quello di avere soltanto un "infarinatura" generale su tali argomenti. Riprendendo l'esempio di prima, il mio libro dice questo: dopo aver verificato che si tratta di una relazione almeno antisimmetrica e transitiva, quindi di ordine, disegniamo il grafo della relazione; dal grafo di evince che dal cinque escono due frecce e non ne arriva nessuna, dal due ne esce e ne arriva una mentre dal tre non ne esce nessuna. Dunque si può ordinare l'insieme scrivendo cinque, due, tre. Non riesco a capire bene questa cosa, nel senso che la vedo non come un concetto universale ma come semplicemente un "caso". Effettivamente, però, qualunque relazione d'ordine consideravo, il suo grafo aveva sempre questa proprietà. Evidentemente, dunque, c'è qualcosa che mi sfugge. Grazie.

[vict85]

Quello è un caso, tu sei probabilmente nella sezione sbagliata (questa è una sezione universitaria) e quell'esempio non ha assolutamente nulla di importante.

Casi più importanti sono senza dubbio l'ordine in \(\displaystyle \mathbb{R} \), \(\displaystyle \mathbb{Q} \) o l'ordine parziale sull'insieme delle parti di un insieme. In ogni caso come detto da WiZaRd l'aspetto importante da comprendere sull'algebra moderna è che cerca di studiare caratteristiche di un oggetto matematico da un qualche insieme minimale di proprietà e strutture su di esso.
Per esempio il suo scopo è studiare un insieme completamente ordinato, su cui sono definite due operazioni che hanno certe proprietà, che soddisfa certe proprietà di tipo insiemistico. Il tutto indipendente dal fatto che \(\displaystyle \mathbb{R} \) possa esserlo. Si generalizza un certo esempio per permettere l'uso di strumenti costruiti per l'esempio concreto nello studio di altri casi che soddisfano le stesse regole.
Tieni comunque conto che la matematica non può lavorare su qualcosa di astratto come il concetto di numero reale. In particolare perché questo concetto potrebbe cambiare da persona a persona. Questo è stato tra l'altro la maggiore ragione di errore di Euclide perché ha dato per scontato alcune operazioni sui suoi concetti primitivi. Ciò su cui la matematica lavora è sulle proprietà che un certo oggetto possiede. Quello quindi che è importante fare è di tradurre il concetto intuitivo che si ha in mente in proprietà matematiche che un oggetto può avere o meno.

[Sk_Anonymous]

"vict85":Quello è un caso, tu sei probabilmente nella sezione sbagliata (questa è una sezione universitaria) e quell'esempio non ha assolutamente nulla di importante.

Casi più importanti sono senza dubbio l'ordine in \(\displaystyle \mathbb{R} \), \(\displaystyle \mathbb{Q} \) o l'ordine parziale sull'insieme delle parti di un insieme. In ogni caso come detto da WiZaRd l'aspetto importante da comprendere sull'algebra moderna è che cerca di studiare caratteristiche di un oggetto matematico da un qualche insieme minimale di proprietà e strutture su di esso.
Per esempio il suo scopo è studiare un insieme completamente ordinato, su cui sono definite due operazioni che hanno certe proprietà, che soddisfa certe proprietà di tipo insiemistico. Il tutto indipendente dal fatto che \(\displaystyle \mathbb{R} \) possa esserlo. Si generalizza un certo esempio per permettere l'uso di strumenti costruiti per l'esempio concreto nello studio di altri casi che soddisfano le stesse regole.
Tieni comunque conto che la matematica non può lavorare su qualcosa di astratto come il concetto di numero reale. In particolare perché questo concetto potrebbe cambiare da persona a persona. Questo è stato tra l'altro la maggiore ragione di errore di Euclide perché ha dato per scontato alcune operazioni sui suoi concetti primitivi. Ciò su cui la matematica lavora è sulle proprietà che un certo oggetto possiede. Quello quindi che è importante fare è di tradurre il concetto intuitivo che si ha in mente in proprietà matematiche che un oggetto può avere o meno.

Allora, il Pagani-Salsa (edizione 1995) presenta, a pag. 37 a seguire, il capitolo degli insiemi finiti. Spiega come sono stati definiti i numeri naturali da Cantor, e definisce in modo rigoroso le varie operazioni elementari basandosi sul concetto di cardinalità e rifacendosi alle operazioni insiemistiche.
Poi dice che, per come è stato definito $NN$, si deduce che esso è ordinato secondo la relazione di appartenenza $in$.
A me interessa soltanto capire questa cosa, poi delle altre questioni matematiche più profonde che ci sono dietro questi concetti, per il momento, non mi interessa.
Che vuol dire che $NN$ è ordinato secondo la relazione di appartenenza $in$?
Da quello che ho capito studiando in maniera generale le relazioni, risponderei così:
Considero l'insieme $NNxNN$ e vedo quali coppie ordinate soddisfano la proposizione $x in y$, con $x$ e $y$ $in NN$. In particolare, per come sono stati definiti i naturali, a ogni simbolo numerico (1,2,3 ecc..) corrisponde un certo insieme. Per esempio, il numero zero è definito come la cardinalità dell'insieme vuoto, il numero $1$ come la cardinalità dell'insieme che contiene l'insieme vuoto, il numero $2$ come la cardinalità dell'insieme che contiene l'insieme vuoto e l'insieme che contiene l'insieme vuoto e cosi via. Dunque, ha senso parlare di "un numero che appartiene ad un altro numero", in quanto ciò significa parlare di un insieme che è elemento di un insieme più vasto.
Quindi, dopo aver scritto le coppie ordinate che soddisfano quella proposizione, scopro che tale relazione è di ordine. E' questo fatto dunque che mi permette di scrivere $NN$ come ${1,2,3,4,5,6,...,n}$ e non come ${1,5,2,3,7,9,...,}$? Dire che $NN$ è ordinato vuol dire che quando indico i suoi elementi per tabulazione, sebbene sia indifferente l'ordine con il quale li elenco, c'è tuttavia un'ordine di elencazione da preferire, che è appunto ${1,2,3,4,5,...,n}$?
Grazie.

[vict85]

Si, dire che è completamente ordinato indica che per ogni coppia $a, b\in\mathbb{N}$ solo uno tra $ab$ e $a=b$ è vera. In pratica dice che 1 è prima di 2 che è prima di 3 e così via.

[Sk_Anonymous]

"vict85":Si, dire che è completamente ordinato indica che per ogni coppia $a, b\in\mathbb{N}$ solo uno tra $ab$ e $a=b$ è vera. In pratica dice che 1 è prima di 2 che è prima di 3 e così via.

Ok. Un'altra cosa che mi risulta poco chiara, anche perchè il testo a proposito è molto sintetico, è la seguente. Il simbolo $<$ che "collega due numeri" non è altro che il simbolo $in$ che lega l'elemento al suo insieme?
Per esempio, per come sono stati definiti i naturali, abbiamo che $1=card({O/})$ mentre $2=card({O/,{O/}})$, da cui si deduce che ${O/} in {O/,{O/}}$. Quest'ultima cosa la posso scrivere anche come $1<2$?

[G.D.5]

Sarebbe però interessante capire come il Pagani-Salsa definisce il concetto di cardinalità.
A parte questo, ammettendo che il concetto di cardinalità sia stato ben definito, il libro sta semplicemente definendo l'ordine per mezzo dell'appartenenza, quindi la risposta all'ultima domanda è "sì".

[Sk_Anonymous]

"WiZaRd":Sarebbe però interessante capire come il Pagani-Salsa definisce il concetto di cardinalità.
A parte questo, ammettendo che il concetto di cardinalità sia stato ben definito, il libro sta semplicemente definendo l'ordine per mezzo dell'appartenenza, quindi la risposta all'ultima domanda è "sì".

Ok, comunque il testo afferma che "si definisce cardinalità di un insieme $A$ la classe degli insiemi equipotenti ad $A$".

[G.D.5]

OK. Allora va bene.

[Sk_Anonymous]

Ed il minore uguale, seguendo sempre la logica di questa trattazione, come è definito?

[G.D.5]

\(n \leq m\) sse \(n

Cita

Segnala

[Sk_Anonymous]

"lisdap":Ed il minore uguale, seguendo sempre la logica di questa trattazione, come è definito?

Provo a rispondermi in parte da solo.
Abbiamo detto che $1=card({O/})$ mentre $2=card({O/,{O/}})$, da cui si deduce che ${O/} in {O/,{O/}}$, cosa che si può dire anche come $1<2$.

Ora, la scritta ${O/} in {O/,{O/}}$, dove ${O/}$ è elemento di ${O/,{O/}}$, la posso tradurre anche in termini di relazione fra insiemi giusto? Cioè, anziché considerare l'elemento ${O/}$, considero l'insieme ${{O/}}$ e quindi posso riscrivere la relazione (fra elemento e insieme) ${O/} in {O/,{O/}}$ come ${{O/}} sub {O/,{O/}}$ giusto?


Grazie mille.

[G.D.5]

No, perché per definizione \(1:=\{\varnothing\}\) e non è \(\{\{\varnothing\}\}=\{\varnothing\}\).

[Sk_Anonymous]

"WiZaRd":No, perché per definizione \(1:=\{\varnothing\}\) e non è \(\{\{\varnothing\}\}=\{\varnothing\}\).

Rileggi, ho modificato il post. Grazie

Da quello che ho capito i simboli di minore, minore uguale ecc.. sono definiti a partire da quelli di relazione fra insiemi.

Esempio. abbiamo ${a,b}$. Posso dunque dire che $a in {a,b}$. Però, se anziché considerare $a$ considero l'insieme che contiene $a$, cioè ${a}$, allora è evidente che posso dire che ${a} sub {a,b}$ e che ciò è la stessa cosa di prima o no?

[G.D.5]

Quello che dici è vero e corretto, però poco interessante perché se a quel punto si definisse l'ordine largo rispetto all'inclusione, si avrebbero un ordine stretto ed un ordine largo definiti in funzione di relazioni elementari tra insiemi formalmente diverse, sicché occorrerebbe chiarire in che modo possano identificarsi i suddetti ordinamenti, perché ti ricordo che dovrebbe valere \(n < m \implies n \leq m\).

[Sk_Anonymous]

"WiZaRd":Quello che dici è vero e corretto, però poco interessante perché se a quel punto si definisse l'ordine largo rispetto all'inclusione, si avrebbero un ordine stretto ed un ordine largo definiti in funzione di relazioni elementari tra insiemi formalmente diverse, sicché occorrerebbe chiarire in che modo possano identificarsi i suddetti ordinamenti, perché ti ricordo che dovrebbe valere \(n < m \implies n \leq m\).

Però continuo a non capire. Il Pagani-Salsa definisce il simbolo $<$ come abbiamo detto sopra. Poi però sul simbolo $<=$ non dice nulla e ciò mi crea confusione.

[G.D.5]

In generale, definito \(<\), si definisce poi \(\leq\) con \(<\) e \(=\). Viceversa, definito \(\leq\), si definisce poi \(<\) con \(\leq\) e \(\neq\).

[Sk_Anonymous]

Allora, ritorno un attimo sul concetto di relazione d'ordine altrimenti non ci capisco nulla.
Sia $U={1,2}$ e sia $P(U)={{1},{2},{1,2},{O/}}$ l'insieme delle parti di $U$.
Considero quindi la proposizione $p(x,y)=x sube y$, con $x,y in P(U)$.
Il libro dice che questa è una relazione d'ordine. Lo verifico allora.
Considero $P(U)xP(U)$ e vedo quali coppie ordinate soddisfano la proposizione. Tali coppie, se ho fatto tutto bene, sono gli elementi dell'insieme $R={({1},{1,2}),({2},{1,2}),({2},{2}),({1},{1}),({1,2},{1,2}),({O/},{O/})}$.
Quindi cosa ho ottenuto?

[G.D.5]

Ti sei dimenticato di \(\left(\{2\};\{2\}\right),\left(\{2\};\{1,2\}\right)\).
Di nuovo: di fatto non hai ottenuto nulla di particolare, hai "semplicemente" ottenuto una strutturazione dell'insieme secondo un certo ordinamento.

[Sk_Anonymous]

"WiZaRd":Ti sei dimenticato di \(\left(\{2\};\{2\}\right),\left(\{2\};\{1,2\}\right)\).
Di nuovo: di fatto non hai ottenuto nulla di particolare, hai "semplicemente" ottenuto una strutturazione dell'insieme secondo un certo ordinamento.

Si grazie, ho corretto.
E allora ti chiedo: quale sarebbe questo certo ordinamento che ho ottenuto?
P.S=l'insieme che "avrei ordinato" è ovviamente $P(U)$ no?
Ciao.