Dubbi su relazione d'ordine
Salve, ho dei dubbi sulla relazione d'ordine.
Propongo questo esempio.
Sia A={due, tre, cinque} e sia "p(x,y)=x viene prima di y" in ordine alfabetico.
Faccio il solito prodotto cartesiano e verifico quali coppie rendono vera la proposizione.
Tali coppie dovrebbero essere gli elementi dell'insieme R={(due,tre),(cinque,due),(cinque,tre)}.
Questa relazione è una relazione d'ordine in quanto è immediato verificare che è transitiva ed antisimmetrica.
Quello che non capisco è cosa ho ottenuto di concreto dall'introduzione del concetto di relazione d'ordine. Grazie mille.
Propongo questo esempio.
Sia A={due, tre, cinque} e sia "p(x,y)=x viene prima di y" in ordine alfabetico.
Faccio il solito prodotto cartesiano e verifico quali coppie rendono vera la proposizione.
Tali coppie dovrebbero essere gli elementi dell'insieme R={(due,tre),(cinque,due),(cinque,tre)}.
Questa relazione è una relazione d'ordine in quanto è immediato verificare che è transitiva ed antisimmetrica.
Quello che non capisco è cosa ho ottenuto di concreto dall'introduzione del concetto di relazione d'ordine. Grazie mille.
Risposte
"WiZaRd":
il libro sta semplicemente definendo l'ordine per mezzo dell'appartenenza
Quindi devo dedurre che la relazione d'ordine $<$ ecc.. era stata definita già prima della definizione dei naturali così effettuata?
Per rispondere alle tue domande nello stesso ordine in cui le hai poste...
• l'insieme che viene ordinato è ovviamente \(\mathcal{P}\left(U\right)\) e l'ordinamento che ottieni è un ordinamento per inclusioni, ovvero puoi disporre gli elementi di \(\mathcal{P}\left(U\right)\) in ordine crescente o decrescente rispetto all'inclusione di uno nell'altro (ovviamente questo ordinamento non è totale);
• sì e no: definito il concetto di cardinalità così come il Pagani-Salsa ha fatto e costruiti i naturali così come il Pagani-Salsa ha fatto, atteso che \(<\) indichi l'ordinamento usuale dei numeri naturali, questo viene definito successivamente attraverso la relazione di inclusione, tuttavia un ordinamento così definito può essere definito anche per qualunque altro insieme e non necessariamente solo per l'insieme dei numeri naturali.
• l'insieme che viene ordinato è ovviamente \(\mathcal{P}\left(U\right)\) e l'ordinamento che ottieni è un ordinamento per inclusioni, ovvero puoi disporre gli elementi di \(\mathcal{P}\left(U\right)\) in ordine crescente o decrescente rispetto all'inclusione di uno nell'altro (ovviamente questo ordinamento non è totale);
• sì e no: definito il concetto di cardinalità così come il Pagani-Salsa ha fatto e costruiti i naturali così come il Pagani-Salsa ha fatto, atteso che \(<\) indichi l'ordinamento usuale dei numeri naturali, questo viene definito successivamente attraverso la relazione di inclusione, tuttavia un ordinamento così definito può essere definito anche per qualunque altro insieme e non necessariamente solo per l'insieme dei numeri naturali.
"WiZaRd":
Per rispondere alle tue domande nello stesso ordine in cui le hai poste...
• l'insieme che viene ordinato è ovviamente \(\mathcal{P}\left(U\right)\) e l'ordinamento che ottieni è un ordinamento per inclusioni, ovvero puoi disporre gli elementi di \(\mathcal{P}\left(U\right)\) in ordine crescente o decrescente rispetto all'inclusione di uno nell'altro (ovviamente questo ordinamento non è totale);
Ti ringrazio per il tempo che mi stai dedicando. Innanzitutto volevo essere certo di questa cosa. Sappiamo che, dato un insieme $A={a,b,c,d}$, questo insieme si può scrivere indifferentemente come ${b,a,c,d}={a,c,b,d}={a,b,d,c}$ e cosi via. Definire un ordinamento in $A$ significa SELEZIONARE UNO DEI TANTI MODI con i quali posso rappresentare il mio insieme per tabulazione?
No.
"WiZaRd":
No.
Allora continuo davvero a non capire. Tu mi dici che
"La relazione d'ordine struttura l'insieme in cui è introdotta secondo sé stessa: è questa la cosa interessante delle relazione d'ordine. L'insieme viene strutturato secondo un'ordine. Così come un insieme viene strutturato secondo il modo di comportarsi dei suoi elementi tra loro quando introduci in esso una operazione. Così come un insieme viene strutturato secondo il modo di equivalersi dei suoi elementi quando introduci in esso una relazione d'equivalenza."
Potresti farmi un esempio pratico cosi capisco meglio?
Ho $A={a,c,b}$ e vi introduco la relazione d'ordine definita da: x viene prima di y in ordine alfabetico.
Bene, verifico che è di ordine. Fatto questo, non riesco a capire cosa ho concluso.
Scusa se sono testardo, ma per me queste cose sono totalmente nuove
Che intendi con la frase :"L'insieme viene strutturato secondo un'ordine"?
Umm, ci dovrei essere. Sia $P(U)$ l'insieme delle parti di $U$ e $p(x,y)$ la proposizione $x$ è incluso non strettamente in $y$, con $x,y in P(U)$. Considero allora il sottoinsieme di $(P(U))^2$, cioè la relazione $R$ che abbiamo verificato essere d'ordine. Il fatto che tale relazione sia d'ordine, cioè almeno antisimmetrica e transitiva, mi permette di scrivere le seguenti "catene", e quindi di ordinare il mio insieme:
${1} sube {1} sube {1,2} sube {1,2}$
${2} sube {2} sube {1,2} sube {1,2}$
${O/} sube {O/}$.
Va meglio ?
Ancora. Abbiamo $A={b,a,c}$ e $p(x,y)$:=$x$ viene prima di $y$ in ordine alfabetico.
L'insieme che costituisce la relazione è: $R={(b,c),(a,b),(a,c)}$.
La relazione è transitiva ed antisimmetrica. Ciò mi permette dunque di scrivere la seguente "frase":
$a$ viene prima di $b$ in ordine alfabetico che viene prima di $c$.
${1} sube {1} sube {1,2} sube {1,2}$
${2} sube {2} sube {1,2} sube {1,2}$
${O/} sube {O/}$.
Va meglio
?Ancora. Abbiamo $A={b,a,c}$ e $p(x,y)$:=$x$ viene prima di $y$ in ordine alfabetico.
L'insieme che costituisce la relazione è: $R={(b,c),(a,b),(a,c)}$.
La relazione è transitiva ed antisimmetrica. Ciò mi permette dunque di scrivere la seguente "frase":
$a$ viene prima di $b$ in ordine alfabetico che viene prima di $c$.
Quando si inizia lo studio degli insiemi si dice espressamente che nella rappresentazione estensiva (o per tabulazione) di un insieme non hanno importanza né il numero di volte che si ripete un certo elemento né la posizione in cui gli elementi vengono elencati.
Se ora dicessimo che le relazioni d'ordine permettono di selezionare uno dei tanti modi di rappresentare per tabulazione un insieme, tenendo conto del fatto che ci possono essere più relazioni d'ordine definibili in un insieme, staremmo dicendo che in base alla relazione d'ordine scelta le diverse rappresentazioni per tabulazione di un insieme risultano diverse, staremmo cioè introducendo un criterio per rendere importante i diversi modi di rappresentare per tabulazione un insieme.
Ancora: se l'insieme non è totalmente ordinato secondo la relazione d'ordine in esso introdotta e diciamo che le relazioni d'ordine permettono di scegliere una particolare rappresentazione per tabulazione, gli elementi non confrontabili secondo la suddetta relazione d'ordine dove li andiamo a mettere.
Il concetto di insieme è un concetto intuitivo che prescinde dalla possibilità o meno di introdurre una relazione d'ordine in esso così come prescinde dalla possibilità di definire una o più operazioni nell'insieme.
Invero un insieme ordinato rispetto ad una relazione d'ordine non è l'insieme in questione ripensato con gli elementi disposti in un certo modo concordemente con la relazione in questione, ma è la coppia \(\left(S,\leq\right)\) dove \(S\) è l'insieme in cui si introduce la relazione d'ordine ed è chiamato sostegno e \(\leq\) è la relazione d'ordine ovvero una parte di \(S^{2}\). Quindi quando si dice che in insieme è stato introdotto un ordinamento, significa che si sta pensando alla parte di \(S^{2}\) che costituisce la relazione d'ordine, ovvero ad un insieme di coppie ordinate, oppure che si sta pensando alla coppia formata dal sostegno e dalla relazione d'ordine.
È per questo che quando mi domandi se una relazione d'ordine permette o meno di selezionare una particolare rappresentazione per tabulazione dell'insieme ti rispondo di no.
Quando dico che una relazione d'ordine struttura un insieme intendo dire che la relazione d'ordine mi permette di considerare la coppia \(\left(S,\leq\right)\), ovvero il mio insieme ordinato ed ovviamente se \(\leq^{\star}\) è diversa da \(\leq\) allora l'insieme ordinato \(\left(S,\leq^{\star}\right)\) è diverso dal precedente.
Per quanto riguarda l'esempio che hai fatto direi che va bene però al posto di \(\subseteq\) io metterei \(\leq\) poiché è questo il simbolo che stai usando per le relazioni d'ordine e stai usando l'inclusione per definire l'ordinamento in questo esempio.
P.S.
Ti dimentichi sempre di nominare la riflessività.
Se ora dicessimo che le relazioni d'ordine permettono di selezionare uno dei tanti modi di rappresentare per tabulazione un insieme, tenendo conto del fatto che ci possono essere più relazioni d'ordine definibili in un insieme, staremmo dicendo che in base alla relazione d'ordine scelta le diverse rappresentazioni per tabulazione di un insieme risultano diverse, staremmo cioè introducendo un criterio per rendere importante i diversi modi di rappresentare per tabulazione un insieme.
Ancora: se l'insieme non è totalmente ordinato secondo la relazione d'ordine in esso introdotta e diciamo che le relazioni d'ordine permettono di scegliere una particolare rappresentazione per tabulazione, gli elementi non confrontabili secondo la suddetta relazione d'ordine dove li andiamo a mettere.
Il concetto di insieme è un concetto intuitivo che prescinde dalla possibilità o meno di introdurre una relazione d'ordine in esso così come prescinde dalla possibilità di definire una o più operazioni nell'insieme.
Invero un insieme ordinato rispetto ad una relazione d'ordine non è l'insieme in questione ripensato con gli elementi disposti in un certo modo concordemente con la relazione in questione, ma è la coppia \(\left(S,\leq\right)\) dove \(S\) è l'insieme in cui si introduce la relazione d'ordine ed è chiamato sostegno e \(\leq\) è la relazione d'ordine ovvero una parte di \(S^{2}\). Quindi quando si dice che in insieme è stato introdotto un ordinamento, significa che si sta pensando alla parte di \(S^{2}\) che costituisce la relazione d'ordine, ovvero ad un insieme di coppie ordinate, oppure che si sta pensando alla coppia formata dal sostegno e dalla relazione d'ordine.
È per questo che quando mi domandi se una relazione d'ordine permette o meno di selezionare una particolare rappresentazione per tabulazione dell'insieme ti rispondo di no.
Quando dico che una relazione d'ordine struttura un insieme intendo dire che la relazione d'ordine mi permette di considerare la coppia \(\left(S,\leq\right)\), ovvero il mio insieme ordinato ed ovviamente se \(\leq^{\star}\) è diversa da \(\leq\) allora l'insieme ordinato \(\left(S,\leq^{\star}\right)\) è diverso dal precedente.
Per quanto riguarda l'esempio che hai fatto direi che va bene però al posto di \(\subseteq\) io metterei \(\leq\) poiché è questo il simbolo che stai usando per le relazioni d'ordine e stai usando l'inclusione per definire l'ordinamento in questo esempio.
P.S.
Ti dimentichi sempre di nominare la riflessività.
"WiZaRd":
Ti dimentichi sempre di nominare la riflessività.
Sul mio libro di algebra del liceo c'è scritto che una relazione è d'ordine se è almeno antisimmetrica e transitiva.
Sì va beh, ho capito il ragionamento che fa il tuo libro: l'assenza di riflessività definisce l'ordine stretto, io invece lo definisco con la disuguaglianza (\(\neq\)). Banalità, allora.
"WiZaRd":
Invero un insieme ordinato rispetto ad una relazione d'ordine non è l'insieme in questione ripensato con gli elementi disposti in un certo modo concordemente con la relazione in questione, ma è la coppia \(\left(S,\leq\right)\) dove \(S\) è l'insieme in cui si introduce la relazione d'ordine ed è chiamato sostegno e \(\leq\) è la relazione d'ordine ovvero una parte di \(S^{2}\). Quindi quando si dice che in insieme è stato introdotto un ordinamento, significa che si sta pensando alla parte di \(S^{2}\) che costituisce la relazione d'ordine, ovvero ad un insieme di coppie ordinate, oppure che si sta pensando alla coppia formata dal sostegno e dalla relazione d'ordine.
Quando dico che una relazione d'ordine struttura un insieme intendo dire che la relazione d'ordine mi permette di considerare la coppia \(\left(S,\leq\right)\), ovvero il mio insieme ordinato ed ovviamente se \(\leq^{\star}\) è diversa da \(\leq\) allora l'insieme ordinato \(\left(S,\leq^{\star}\right)\) è diverso dal precedente.
Umm, va un pò meglio però non ti seguo bene circa le definizioni che hai postato sopra.
Se ho capito bene, una relazione d'ordine introdotta in un insieme $A$, grazie alla sua antisimmetria e transitività, mi permette di scrivere una "proposizione a catena" nella quale si succedono i vari elementi dell'insieme $A$ secondo un ordine ben preciso, come nel caso degli esempi che ho fatto poco sopra?
Grazie.
Scusate l'intromissione, mi sembra di aver capito che il problema è un po' che lisdap vuole sapere a cosa serve dare a un insieme una relazione d'ordine. Come ha detto WiZaRd, è utile astrarre il concetto comune di "ordine" e usarlo per strutturare un insieme.
Uno se ha un insieme complicato vorrebbe essere in grado di metterci (per esempio) un ordine totale (cf. qui), perché poi diventa tutto più chiaro, potendo uno disporre in un certo senso gli elementi in un ordine "lineare" (come per [tex]\mathbb{R}[/tex]). E questo è possibile per ogni insieme usando l'assioma della scelta (cf. qui). A volte però si vuole che l'ordinamento dato sia compatibile con altre eventuali strutture dell'insieme, per esempio operazioni. Un ordine [tex]\leq[/tex] su un insieme [tex]X[/tex] si dice compatibile rispetto all'operazione [tex]\ast[/tex] se ogni volta che [tex]x,y,z \in X[/tex] e [tex]x \leq y[/tex] allora anche [tex]x \ast z \leq y \ast z[/tex] (pensa all'operazione di somma nell'insieme dei numeri reali, o all'operazione di intersezione o unione in un insieme ordinato per inclusione). Per esempio l'operazione di moltiplicazione in [tex]\mathbb{R}[/tex] è compatibile col suo ordinamento usuale limitatamente agli elementi non negativi, nel senso che in [tex]\mathbb{R}[/tex] se [tex]x \leq y[/tex] e [tex]z \geq 0[/tex] allora [tex]x \cdot z \leq y \cdot z[/tex]. Come puoi vedere, chiedere una compatibilità globale è a volte non il modo giusto di procedere, per farti un'idea vedi qui.
Strutturare un insieme in modo compatibile (in un qualche senso) con altre eventuali strutture è di grande interesse perché per esempio permette di scrivere teoremi di classificazione. Per esempio si dimostra che
Teorema. Ogni campo ordinato Dedekind-completo (cioè con la proprietà che ogni sottoinsieme non vuoto dotato di maggioranti ammette almeno un estremo superiore) è isomorfo al campo [tex]\mathbb{R}[/tex].
Come puoi osservare questa è una caratterizzazione utile dei numeri reali che usa una sua strutturazione compatibile come campo ordinato, in altre parole dice che [tex]\mathbb{R}[/tex] è totalmente recuperabile a partire dalla sua struttura di campo ordinato! Non serve altro che questo per conoscere il campo [tex]\mathbb{R}[/tex]! E ciò dimostra, se vuoi, che è utile strutturare gli insiemi che si vogliono studiare. Per esempio, [tex]\mathbb{C}[/tex] non ammette nessun ordine che lo renda un campo ordinato. Questo è utile da sapere perché dà informazioni su [tex]\mathbb{C}[/tex].
Ma capirai appieno l'utilità della strutturazione degli insiemi, non avere fretta!
Uno se ha un insieme complicato vorrebbe essere in grado di metterci (per esempio) un ordine totale (cf. qui), perché poi diventa tutto più chiaro, potendo uno disporre in un certo senso gli elementi in un ordine "lineare" (come per [tex]\mathbb{R}[/tex]). E questo è possibile per ogni insieme usando l'assioma della scelta (cf. qui). A volte però si vuole che l'ordinamento dato sia compatibile con altre eventuali strutture dell'insieme, per esempio operazioni. Un ordine [tex]\leq[/tex] su un insieme [tex]X[/tex] si dice compatibile rispetto all'operazione [tex]\ast[/tex] se ogni volta che [tex]x,y,z \in X[/tex] e [tex]x \leq y[/tex] allora anche [tex]x \ast z \leq y \ast z[/tex] (pensa all'operazione di somma nell'insieme dei numeri reali, o all'operazione di intersezione o unione in un insieme ordinato per inclusione). Per esempio l'operazione di moltiplicazione in [tex]\mathbb{R}[/tex] è compatibile col suo ordinamento usuale limitatamente agli elementi non negativi, nel senso che in [tex]\mathbb{R}[/tex] se [tex]x \leq y[/tex] e [tex]z \geq 0[/tex] allora [tex]x \cdot z \leq y \cdot z[/tex]. Come puoi vedere, chiedere una compatibilità globale è a volte non il modo giusto di procedere, per farti un'idea vedi qui.
Strutturare un insieme in modo compatibile (in un qualche senso) con altre eventuali strutture è di grande interesse perché per esempio permette di scrivere teoremi di classificazione. Per esempio si dimostra che
Teorema. Ogni campo ordinato Dedekind-completo (cioè con la proprietà che ogni sottoinsieme non vuoto dotato di maggioranti ammette almeno un estremo superiore) è isomorfo al campo [tex]\mathbb{R}[/tex].
Come puoi osservare questa è una caratterizzazione utile dei numeri reali che usa una sua strutturazione compatibile come campo ordinato, in altre parole dice che [tex]\mathbb{R}[/tex] è totalmente recuperabile a partire dalla sua struttura di campo ordinato! Non serve altro che questo per conoscere il campo [tex]\mathbb{R}[/tex]! E ciò dimostra, se vuoi, che è utile strutturare gli insiemi che si vogliono studiare. Per esempio, [tex]\mathbb{C}[/tex] non ammette nessun ordine che lo renda un campo ordinato. Questo è utile da sapere perché dà informazioni su [tex]\mathbb{C}[/tex].
Ma capirai appieno l'utilità della strutturazione degli insiemi, non avere fretta!
"lisdap":
Umm, va un pò meglio però non ti seguo bene circa le definizioni che hai postato sopra.
Se ho capito bene, una relazione d'ordine introdotta in un insieme $A$, grazie alla sua antisimmetria e transitività, mi permette di scrivere una "proposizione a catena" nella quale si succedono i vari elementi dell'insieme $A$ secondo un ordine ben preciso, come nel caso degli esempi che ho fatto poco sopra?
Grazie.
Oltre ad invitarti a rileggere più volte quanto scritto da Martino ed a rifletterci su, ti invito a riflettere su questo: posso ordinare gli elementi di \(\mathbb{N}\) per divisibilità (puoi verificare che la divisibilità sia una relazione d'ordine) ma non posso ordinate tutti gli elementi di \(\mathbb{N}\) per divisibilità; ne segue che non posso disporre in una "catena" tutti gli elementi di \(\mathbb{N}\).
Salve, dopo aver meditato dovrei finalmente aver capito la questione. Diciamo che stavolta ne sono molto più convinto. Cerco di dimostrare quanto ho compreso con un esempio:
Sia $A={5,18,365,9470}$ e sia p(x,y)=x ha un numero di cifre maggiore di y.
Dopo aver fatto il prodotto cartesiano $AxA$, considero la relazione $R$, cioè l'insieme delle coppie ordinate che verificano la proposizione. Più precisamente, $R={(5,18),(5,365),(5,9470),(18,365),(18,9470),(365,9470)}$. Tale relazione è antisimmetrica, antiriflessiva e transitiva, dunque di ordine, stretto precisamente. Come mi diceva Wizard ieri, aver creato questo insieme $R$ in generale non mi aggiunge nulla di interessante sull'insieme $A$; tuttavia, nel caso di relazioni d'ordine, l'insieme $R$ aggiunge invece cose molto interessanti sull'insieme a partire dal quale viene costruito $R$, cioè $A$ in questo caso. Quali sono queste cose interessanti di cui sto parlando? La risposta a questa domanda dovrebbe risolvere i miei dubbi, e provo a risponderci io per vedere se effettivamente li ho risolti.
In pratica, dato l'insieme $A$, il fatto che il sottinsieme di $A^2$, cioè $R$, goda almeno della proprietà antisimmetrica e transitiva mi permette di definire un criterio ineccepibile DAL PUNTO DI VISTA LOGICO attraverso il quale io posso dire che un elemento di $A$ viene prima di un altro e cosi via. Per esempio, consideriamo l'insieme $R$ di prima, cioè $R={(5,18),(5,365),(5,9470),(18,365),(18,9470),(365,9470)}$. Immaginiamo di avere uno scaffale con "abbastanza" piani: in ogni piano verrà posto uno ed un solo numero di $A$. Presa una qualunque coppia ordinata di $R$, per esempio $(5,18)$, posso dire per definizione che $5$ occupa il piano chiamato "primo" dello scaffale e che $18$ occupa il piano chiamato "secondo". A questo punto prendo un'altra coppia, per esempio $(18,365)$ e per definizione dico che $18$ occupa ovviamente il posto di prima, cioè il posto chiamato "secondo" e $365$ il posto chiamato "tre". Ora, osservo che quanto ho detto finora non mi dà problemi dal punto di vista logico, proprio GRAZIE AL FATTO CHE LA MIA RELAZIONE GODE DELLA PROPRIETA' ANTISIMMETRICA E TRANSITIVA. Infatti, dicendo che il numero $365$ occupa il posto chiamato "tre", io sto imponendo automaticamente una relazione anche tra $5$ e $365$, relazione che tuttavia esiste effettivamente (grazie alla transitività della relazione): infatti la coppia $(5,365) in R$.
Qualora infatti la relazione fosse stata questa ${(5,18),(5,9470),(18,365),(18,9470),(365,9470)}$, cioè privata della coppia $(5,365)$, quello che ho fatto prima NON LO POTEVO FARE.
Mi spiego meglio. Prendo la coppia $(5,18)$ della nuova relazione e per definizione dico che $5$ occupa il primo piano dello scaffale e $18$ occupa il secondo piano; prendo poi $(18,365)$ e dico che $18$ occupa il secondo piano, ovviamente e $365$ il terzo piano: MA QUESTO E' SBAGLIATO DAL PUNTO DI VISTA LOGICO. Così facendo, infatti, ho imposto anche che sussista una relazione tra $5$ e $365$, ma la coppia $(5,365)$ non esiste nella mia relazione (NON E' TRANSITIVA).
In conclusione, dato un insieme $A$, una relazione definita in $A$ che sia almeno simmetrica e transitiva mi permette di avere a disposizione un criterio il quale mi permette di dare un ordine agli elementi di $A$, criterio che è perfettamente sensato dal punto di vista logico, proprio perchè la relazione è almeno antisimmetrica e transitiva; infatti, come ho fatto vedere, qualora cada la transitività della relazione, non posso più ordinare gli elementi del mio insieme $A$ senza che vada contro la logica.
Spero di aver reso bene l'idea.
Scusate l'esposizione troppo euristica e poco rigorosa. Grazie mille
x Martino: ancora non ho letto per bene il tuo post precedente, perchè mi sono perso subito
P.S=Per farla breve, in generale una relazione introdotta in un insieme $A$ non mi dà nessun' altra informazione sull'insieme $A$ stesso, e con questo mi ricollego a quanto mi diceva Wizard qualche post fa. Oltre a quella di equivalenza, l'unica altra relazione che mi permette di dire qualcosa di interessante su $A$ è quella d'ordine, in quanto come ho spiegato (spero bene) sopra posso definire un criterio che ordini gli elementi di $A$, e senza che la logica "faccia storie".
Sia $A={5,18,365,9470}$ e sia p(x,y)=x ha un numero di cifre maggiore di y.
Dopo aver fatto il prodotto cartesiano $AxA$, considero la relazione $R$, cioè l'insieme delle coppie ordinate che verificano la proposizione. Più precisamente, $R={(5,18),(5,365),(5,9470),(18,365),(18,9470),(365,9470)}$. Tale relazione è antisimmetrica, antiriflessiva e transitiva, dunque di ordine, stretto precisamente. Come mi diceva Wizard ieri, aver creato questo insieme $R$ in generale non mi aggiunge nulla di interessante sull'insieme $A$; tuttavia, nel caso di relazioni d'ordine, l'insieme $R$ aggiunge invece cose molto interessanti sull'insieme a partire dal quale viene costruito $R$, cioè $A$ in questo caso. Quali sono queste cose interessanti di cui sto parlando? La risposta a questa domanda dovrebbe risolvere i miei dubbi, e provo a risponderci io per vedere se effettivamente li ho risolti.
In pratica, dato l'insieme $A$, il fatto che il sottinsieme di $A^2$, cioè $R$, goda almeno della proprietà antisimmetrica e transitiva mi permette di definire un criterio ineccepibile DAL PUNTO DI VISTA LOGICO attraverso il quale io posso dire che un elemento di $A$ viene prima di un altro e cosi via. Per esempio, consideriamo l'insieme $R$ di prima, cioè $R={(5,18),(5,365),(5,9470),(18,365),(18,9470),(365,9470)}$. Immaginiamo di avere uno scaffale con "abbastanza" piani: in ogni piano verrà posto uno ed un solo numero di $A$. Presa una qualunque coppia ordinata di $R$, per esempio $(5,18)$, posso dire per definizione che $5$ occupa il piano chiamato "primo" dello scaffale e che $18$ occupa il piano chiamato "secondo". A questo punto prendo un'altra coppia, per esempio $(18,365)$ e per definizione dico che $18$ occupa ovviamente il posto di prima, cioè il posto chiamato "secondo" e $365$ il posto chiamato "tre". Ora, osservo che quanto ho detto finora non mi dà problemi dal punto di vista logico, proprio GRAZIE AL FATTO CHE LA MIA RELAZIONE GODE DELLA PROPRIETA' ANTISIMMETRICA E TRANSITIVA. Infatti, dicendo che il numero $365$ occupa il posto chiamato "tre", io sto imponendo automaticamente una relazione anche tra $5$ e $365$, relazione che tuttavia esiste effettivamente (grazie alla transitività della relazione): infatti la coppia $(5,365) in R$.
Qualora infatti la relazione fosse stata questa ${(5,18),(5,9470),(18,365),(18,9470),(365,9470)}$, cioè privata della coppia $(5,365)$, quello che ho fatto prima NON LO POTEVO FARE.
Mi spiego meglio. Prendo la coppia $(5,18)$ della nuova relazione e per definizione dico che $5$ occupa il primo piano dello scaffale e $18$ occupa il secondo piano; prendo poi $(18,365)$ e dico che $18$ occupa il secondo piano, ovviamente e $365$ il terzo piano: MA QUESTO E' SBAGLIATO DAL PUNTO DI VISTA LOGICO. Così facendo, infatti, ho imposto anche che sussista una relazione tra $5$ e $365$, ma la coppia $(5,365)$ non esiste nella mia relazione (NON E' TRANSITIVA).
In conclusione, dato un insieme $A$, una relazione definita in $A$ che sia almeno simmetrica e transitiva mi permette di avere a disposizione un criterio il quale mi permette di dare un ordine agli elementi di $A$, criterio che è perfettamente sensato dal punto di vista logico, proprio perchè la relazione è almeno antisimmetrica e transitiva; infatti, come ho fatto vedere, qualora cada la transitività della relazione, non posso più ordinare gli elementi del mio insieme $A$ senza che vada contro la logica.
Spero di aver reso bene l'idea.
Scusate l'esposizione troppo euristica e poco rigorosa. Grazie mille
x Martino: ancora non ho letto per bene il tuo post precedente, perchè mi sono perso subito
P.S=Per farla breve, in generale una relazione introdotta in un insieme $A$ non mi dà nessun' altra informazione sull'insieme $A$ stesso, e con questo mi ricollego a quanto mi diceva Wizard qualche post fa. Oltre a quella di equivalenza, l'unica altra relazione che mi permette di dire qualcosa di interessante su $A$ è quella d'ordine, in quanto come ho spiegato (spero bene) sopra posso definire un criterio che ordini gli elementi di $A$, e senza che la logica "faccia storie".
Non proprio lisdap, da quello che scrivi sembri credere che le relazioni d'ordine siano tutte totali. Non riesci ad elencare gli elementi di un insieme secondo il loro ordine se questo non è totale. Pensa per esempio all'insieme dei sottoinsiemi di [tex]\{1,2,3\}[/tex] ordinato con l'inclusione.
Ti ripeto che è molto improbabile che tu riesca ad avere una visione completa dell'utilità delle relazioni d'ordine, devi vedere un po' più di matematica prima. Forse leggendo il mio precedente intervento con attenzione ti si schiariscono un po' le idee.
Ti ripeto che è molto improbabile che tu riesca ad avere una visione completa dell'utilità delle relazioni d'ordine, devi vedere un po' più di matematica prima. Forse leggendo il mio precedente intervento con attenzione ti si schiariscono un po' le idee.
"Martino":
Non proprio lisdap, da quello che scrivi sembri credere che le relazioni d'ordine siano tutte totali. Non riesci ad elencare gli elementi di un insieme secondo il loro ordine se questo non è totale. Pensa per esempio all'insieme dei sottoinsiemi di [tex]\{1,2,3\}[/tex] ordinato con l'inclusione.
Ti ripeto che è molto improbabile che tu riesca ad avere una visione completa dell'utilità delle relazioni d'ordine, devi vedere un po' più di matematica prima. Forse leggendo il mio precedente intervento con attenzione ti si schiariscono un po' le idee.
Allora, innanzitutto di ringrazio per la risposta. Penso che prima di fare qualsiasi considerazione bisogni chiarire il significato della frase "ordinare gli elementi di un insieme". Che significa questo?
E nel caso di relazioni di ordine totali va bene il discorso che ho fatto prima?
Ti ringrazio.
"Martino":
Ti ripeto che è molto improbabile che tu riesca ad avere una visione completa dell'utilità delle relazioni d'ordine, devi vedere un po' più di matematica prima.
Ciao, ora il concetto dovrebbe essere più chiaro. Innanzitutto metto in chiaro quello che mi chiedevo in questa discussione. Mi chiedevo: "Per definizione, una relazione d'ordine è una relazione bla bla bla. Fin qui non ci piove, è una definizione appunto." Poi mi è sorta la domanda:"qual è l'utilità che si ottiene dal prendere un certo insieme, costruire il sottoinsieme del suo prodotto cartesiano (cioè la relazione) e dire che quella è una relazione d'ordine? Dopo che ho fatto questo, cosa so di nuovo sull'insieme di partenza?
Ora, se ho capito bene, l'errore che facevo era quello di ragionare nel seguente modo:
1) pensare ad un insieme;
2) considerare una proposizione;
3) pensare al sottoinsieme del prodotto cartesiano, cioè alle coppie ordinate che soddisfano la proposizione e che per definizione costituiscono la relazione;
4) verificare che tale relazione era d'ordine.
5) cercare invano di comprendere cosa si otteneva di interessante nell'insieme di partenza facendo questi ragionamenti.
Ora, leggendo delle cose di geometria euclidea, mi sono accorto che il concetto di relazione d'ordine è molto più naturale, mi spiego meglio:
prendo una retta $r$, la oriento, cioè ne fisso il verso di percorrenza e considero due punti $A$ e$B$ su di essa. Spostandomi nel verso prescelto, sperimento che incontro prima il punto $A$ e poi il punto $B$. Senza crucciarmi di cosa voglia dire che $A$ viene prima di $B$, ma affidandomi solamente all'intuito e seguendo il metodo assiomatico-deduttivo adottato dalla geometria euclidea, generalizzo tale situazione, dicendo che per una retta orientata in quel modo $A$ precede $B$. A questo punto, se ragiono in termini di relazioni, cioè se considero un insieme $C$ che contiene tutti i punti della retta orientata e la proposizione "$x$ precede $y$", con $x,y in C$, rilevo ovviamente che tale relazione è antisimmetrica, antiriflessiva e transitiva: quindi dico che è di ordine.
Quello che voglio dire è che io ora ho definito il concetto di relazione d'ordine a partire da una certa situazione particolare, e quindi è ovvio che ora il significato della relazione d'ordine è immediato. Se invece avessi proceduto seguendo l'algoritmo iniziale, cioè avessi considerato un insieme $C$ di punti di una retta orientata, poi la proposizione $x$ precede $y$, il prodotto cartesiano ecc.. è chiaro che è difficile pensare a quale sia l'utilità di una simile relazione per l'insieme $C$. Insomma, il concetto di relazione d'ordine viene elaborato a partire da una realtà ben determinata!
"lisdap":Certo.
Insomma, il concetto di relazione d'ordine viene elaborato a partire da una realtà ben determinata!
"Martino":Certo.[/quote]
[quote="lisdap"]Insomma, il concetto di relazione d'ordine viene elaborato a partire da una realtà ben determinata!
Quindi insomma il discorso dovrebbe essere questo. Prendo un certo insieme tale che i suoi elementi sono ordinati (nel senso parlato del termine) in un certo modo, per esempio l'insieme dei punti di una retta orientata, l'insieme delle parole di un dizionario, l'insieme delle materie che costituiscono l'orario scolastico ecc...
Tutti questi insiemi sono caratterizzati da elementi ordinati in senso intuitivo.
Se ragiono poi in termini di relazioni matematiche, posso considerare l'insieme $A$ di tali elementi ed una certa proposizione, per esempio consideriamo l'insieme delle lettere dell'alfabeto e la proposizione "x viene prima di y". Questa relazione è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva e, dal momento che essa ha a che fare con un insieme ordinato in senso intuitivo secondo un certo criterio, io chiamo tale relazione di ordine. Quindi, in parole povere, dato un insieme $A$ ed una certa proposizione, io non è che vado ad ordinare gli elementi di $A$ secondo quanto dettato da quella proposizione: infatti il fatto che gli elementi di un insieme siano ordinati (in senso intuitivo) dipende soltanto dagli elementi stessi dell'insieme!; semmai posso solo VERIFICARE, attraverso la proprietà transitiva antiriflessiva, che il mio insieme è ordinato in senso intuitivo secondo una certa proposizione. Quello che voglio dire è che se prendo un insieme $A$ ed una certa proposizione, NON E' CHE POSSO ORDINARE GLI ELEMENTI DELL'INSIEME SECONDO QUELLA PROPOSIZIONE, bensì posso solo verificare che l'insieme è ordinato secondo il criterio stabilito dalla proposizione, giusto?
Salve lisdap,
forse sembrerò inopportuno, ma sai cos'è una relazione (a prescindere se essa è d'equivalenza o d'ordine)?
Cordiali saluti
forse sembrerò inopportuno, ma sai cos'è una relazione (a prescindere se essa è d'equivalenza o d'ordine)?
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve lisdap,
forse sembrerò inopportuno, ma sai cos'è una relazione (a prescindere se essa è d'equivalenza o d'ordine)?
Cordiali saluti
Dati due insiemi $A$ e $B$, si definisce relazione da $A$ a $B$ un qualunque sottoinsieme di $A X B$.
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