Dubbi su relazione d'ordine
Salve, ho dei dubbi sulla relazione d'ordine.
Propongo questo esempio.
Sia A={due, tre, cinque} e sia "p(x,y)=x viene prima di y" in ordine alfabetico.
Faccio il solito prodotto cartesiano e verifico quali coppie rendono vera la proposizione.
Tali coppie dovrebbero essere gli elementi dell'insieme R={(due,tre),(cinque,due),(cinque,tre)}.
Questa relazione è una relazione d'ordine in quanto è immediato verificare che è transitiva ed antisimmetrica.
Quello che non capisco è cosa ho ottenuto di concreto dall'introduzione del concetto di relazione d'ordine. Grazie mille.
Propongo questo esempio.
Sia A={due, tre, cinque} e sia "p(x,y)=x viene prima di y" in ordine alfabetico.
Faccio il solito prodotto cartesiano e verifico quali coppie rendono vera la proposizione.
Tali coppie dovrebbero essere gli elementi dell'insieme R={(due,tre),(cinque,due),(cinque,tre)}.
Questa relazione è una relazione d'ordine in quanto è immediato verificare che è transitiva ed antisimmetrica.
Quello che non capisco è cosa ho ottenuto di concreto dall'introduzione del concetto di relazione d'ordine. Grazie mille.
Risposte
Salve, allora, dovrei aver chiarito i miei dubbi sulle relazioni d'ordine. Lasciamo stare tutto quello che ho scritto prima, dal momento che mi sono accorto di aver scritto alcune cose errate.
Faccio un esempio. Sia $A={a,b}$ e sia $P(A)={{a},{b},{a,b},O/}$ l'insieme delle parti di $A$. Sia abbia inoltre la proposizione aperta "$x sube y$".
Le coppie della relazione sono: $R={({a},{a}),({a},{a,b}),({b},{b}),({b},{a,b}),({a,b},{a,b}),(O/,{a}),(O/,{b}),(O/,{a,b}),(O/,O/)}$ e la relazione è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, quindi è detta di ordine. Siccome nulla posso dire sul legame che esiste tra ${a}$ e ${b}$, per definizione si dice che l'insieme $P(A)$ è ordinato parzialmente. Ora, tutte queste considerazioni che ho fatto sono banali e derivano dalle definizioni. A questo punto la solita domanda è: che significa che la proposizione $x sube y$ va a generare un ordine parziale in $P(A)$? A questa domanda, che è il punto cardine di tutto il post, cerco di rispondere così:
significa che posso scrivere delle catene "parziali", in questo caso, in cui posso distinguere un primo, secondo, terzo elemento e cosi via, per esempio, posso scrivere che $O/ sube {a} sube {a,b}$, $O/ sube {b} sube {a,b}$ e cosi via. Questo mi permette di fare una distinzione tra gli elementi di $P(A)$, e dunque qui sta il significato di ordine dell'insieme.
Se avessi considerato un insieme di lettere e la proposizione "$x$ viene prima di $y$ in ordine alfabetico", avrei ottenuto un ordine totale nell'insieme $A$, ma che significa questa cosa? Significa che posso scrivere la frase "$a$ viene prima di $b$ che viene prima di $c$ che viene prima di $d$..." e così via, e quindi significa avere un criterio che ti permette di dare un ordine, in questo caso totale, all'insieme.
Spero di aver toccato il tasto giusto stavolta. Grazie mille.
Faccio un esempio. Sia $A={a,b}$ e sia $P(A)={{a},{b},{a,b},O/}$ l'insieme delle parti di $A$. Sia abbia inoltre la proposizione aperta "$x sube y$".
Le coppie della relazione sono: $R={({a},{a}),({a},{a,b}),({b},{b}),({b},{a,b}),({a,b},{a,b}),(O/,{a}),(O/,{b}),(O/,{a,b}),(O/,O/)}$ e la relazione è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, quindi è detta di ordine. Siccome nulla posso dire sul legame che esiste tra ${a}$ e ${b}$, per definizione si dice che l'insieme $P(A)$ è ordinato parzialmente. Ora, tutte queste considerazioni che ho fatto sono banali e derivano dalle definizioni. A questo punto la solita domanda è: che significa che la proposizione $x sube y$ va a generare un ordine parziale in $P(A)$? A questa domanda, che è il punto cardine di tutto il post, cerco di rispondere così:
significa che posso scrivere delle catene "parziali", in questo caso, in cui posso distinguere un primo, secondo, terzo elemento e cosi via, per esempio, posso scrivere che $O/ sube {a} sube {a,b}$, $O/ sube {b} sube {a,b}$ e cosi via. Questo mi permette di fare una distinzione tra gli elementi di $P(A)$, e dunque qui sta il significato di ordine dell'insieme.
Se avessi considerato un insieme di lettere e la proposizione "$x$ viene prima di $y$ in ordine alfabetico", avrei ottenuto un ordine totale nell'insieme $A$, ma che significa questa cosa? Significa che posso scrivere la frase "$a$ viene prima di $b$ che viene prima di $c$ che viene prima di $d$..." e così via, e quindi significa avere un criterio che ti permette di dare un ordine, in questo caso totale, all'insieme.
Spero di aver toccato il tasto giusto stavolta. Grazie mille.
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OK però non partire con la proposizione aperta: una relazione (d'ordine e non) si può determinare anche senza una proposizione aperta.
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