$Def.$ formale dell'insieme singleton (unit set)
Salve a tutti,
vorrei sapere, gentilmente: esiste una def. formale dell'insieme singoletto che non è conseguenza logica dell'assioma della coppia non ordinata? E se si, potreste, cortesemente, formirmela.
Cordiali saluti
vorrei sapere, gentilmente: esiste una def. formale dell'insieme singoletto che non è conseguenza logica dell'assioma della coppia non ordinata? E se si, potreste, cortesemente, formirmela.
Cordiali saluti
Risposte
Non basta dire che si tratta di una struttura insiemistica con cardinale finito pari a 1 ?
Salve menale,
la tua osservazione:
sarebbe più da dimostrazione che definizione.
In realtà, forse mi sono spiegato male, io intendo (il seguente ragionamento).
Una coppia non ordinata è definita (o meglio postulata) nel seguente modo:
Si precisa che con le lettere latine minuscole $(a,b,c,...,z)$ indicheremo oggetti qualsiasi, che possono essere insiemi e non, mentre con le lettere latine maiuscole $(A,B,C,...Z)$ indicheremo, solamente, gli insiemi.
$Def.:$ = Siano $x$ e $y$ due oggetti qualsiasi ed $A$ un insieme, $A$ è una "coppia non ordinata di $x$ e $y$", ed indicasi con la scrittura $A={x,y}$,$harr$ $AAz:zinA harr z=x vv z=y$
Dalla def. sopra si deduce la def. di insieme singoletto:
$Def.:$ = Dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$ ed un insieme $A$, $A$ è un "insieme singoletto di $x$ (oppure: di $y$), ed indicasi con la scrittura $A={x}$, $harr$ $A={x,y} ^^ x=y$
Mi domandavo se ne esiste un'altra,.. Io personalmente ci sto pensando da quasi 4 ore, e spero di arrivare ad una conclusione (magari anche col vostro aiuto).
Cordiali saluti
la tua osservazione:
"menale":
Non basta dire che si tratta di una struttura insiemistica con cardinale finito pari a 1 ?
sarebbe più da dimostrazione che definizione.
In realtà, forse mi sono spiegato male, io intendo (il seguente ragionamento).
Una coppia non ordinata è definita (o meglio postulata) nel seguente modo:
Si precisa che con le lettere latine minuscole $(a,b,c,...,z)$ indicheremo oggetti qualsiasi, che possono essere insiemi e non, mentre con le lettere latine maiuscole $(A,B,C,...Z)$ indicheremo, solamente, gli insiemi.
$Def.:$ = Siano $x$ e $y$ due oggetti qualsiasi ed $A$ un insieme, $A$ è una "coppia non ordinata di $x$ e $y$", ed indicasi con la scrittura $A={x,y}$,$harr$ $AAz:zinA harr z=x vv z=y$
Dalla def. sopra si deduce la def. di insieme singoletto:
$Def.:$ = Dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$ ed un insieme $A$, $A$ è un "insieme singoletto di $x$ (oppure: di $y$), ed indicasi con la scrittura $A={x}$, $harr$ $A={x,y} ^^ x=y$
Mi domandavo se ne esiste un'altra,.. Io personalmente ci sto pensando da quasi 4 ore, e spero di arrivare ad una conclusione (magari anche col vostro aiuto).
Cordiali saluti
Beh, non so che teoria assiomatica/definizioni hai seguito finora.
Seguendo "axiomatic set theory" di michael meylin, niente di che, è solo un pdf trovato online eh... diciamo che un testo non ne ho a portata di mano. La definizione è questa:
{x} = {y | (M(x) -> y = x)}
Ora nelle precedenti definizioni, M(x) è la definizione di classe/insieme, ovvero è così definito:
M(x) <--> Esiste y : x € y
E' la definizione di insieme, tramite la proprietà che per ciò che ne è membro esiste una classe che lo contiene.
Seguendo "axiomatic set theory" di michael meylin, niente di che, è solo un pdf trovato online eh... diciamo che un testo non ne ho a portata di mano. La definizione è questa:
{x} = {y | (M(x) -> y = x)}
Ora nelle precedenti definizioni, M(x) è la definizione di classe/insieme, ovvero è così definito:
M(x) <--> Esiste y : x € y
E' la definizione di insieme, tramite la proprietà che per ciò che ne è membro esiste una classe che lo contiene.
Salve Simonixx,
poichè ti avvii al supermaneto dei 30 messaggi, e come stabiltio dalle regole del forum:
non è che potresti abituarti a scrivere nei codici di editing consigliati dal forum.
Cordiali saluti
P.S.= Te lo chiedo con gentilezza, anche perchè, solamente, in quel modo posso essere sicuro di quello che hai scritto ed, eventualmente, affrontare un' equa dialettica. Sei sicuro che il nome e cognome dell'autore da te segnalato è scritto giustamente?
poichè ti avvii al supermaneto dei 30 messaggi, e come stabiltio dalle regole del forum:
non è che potresti abituarti a scrivere nei codici di editing consigliati dal forum.
Cordiali saluti
P.S.= Te lo chiedo con gentilezza, anche perchè, solamente, in quel modo posso essere sicuro di quello che hai scritto ed, eventualmente, affrontare un' equa dialettica. Sei sicuro che il nome e cognome dell'autore da te segnalato è scritto giustamente?
Garnak , riuscito a trovare qualcosa di nuovo ?
1)Michael Meyling
2) ${x} = {y | (M(x) harr y = x)}$ dove per definizione di insieme: $M(x) harr EE y : x in y$
Ecco fatto..
2) ${x} = {y | (M(x) harr y = x)}$ dove per definizione di insieme: $M(x) harr EE y : x in y$
Ecco fatto..
Garnak , ho controllato sul testo "Elementi di Algebra" di Franciosi-de Giovanni ( testo veterano presso la mia facoltà ) e sostiene che quella di singoletto è una nozione che si deduce "logicamente" da quella di coppia ordinata ( per intenderci $ {{x},{x,y}} $ di prima componente $ x $ e di seconda componente $ y $ ) . Difatti definita la stessa se ne deduce che $ (x,x)={{x}} $ che contraddistingue il cosidetto insieme singleton o singoletto !!
Salve Simonixx,
grazie per la risposta, ma nonstante ciò non capisco la formalizzazione da te proposta.
Cordiali saluti
grazie per la risposta, ma nonstante ciò non capisco la formalizzazione da te proposta.
Cordiali saluti
Salve menale,
la tua osservazione:
anche questa volta è più da dimostrazione che definizione (trascurando il caso della def. di coppia ordinata).
Cordiali saluti
la tua osservazione:
"menale":
... quella di singoletto è una nozione che si deduce "logicamente" da quella di coppia ordinata ( per intenderci $ {{x},{x,y}} $ di prima componente $ x $ e di seconda componente $ y $ ) . Difatti definita la stessa se ne deduce che $ (x,x)={{x}} $ che contraddistingue il cosidetto insieme singleton o singoletto !!
anche questa volta è più da dimostrazione che definizione (trascurando il caso della def. di coppia ordinata).
Cordiali saluti
Salve a tutti,
dopo parecchie letture di testi e di appunti di diversi docenti di diverse facoltà, ho trovato una costruzione o formalizzazione dell'insieme singoletto (ed anche dell''insieme coppia non ordinata) innovativa. Per semplicità di trattazione preferisco considerare la nozione dell'insieme alla maniera di Hausdorff (o di Cantor).
La formalizzazione è la seguente:
$Def.$: Dato un oggetto qualsiasi $x$ ed un insieme $A$, $A$ è l'insieme singoletto di $x$, ed indicasi con la scrittura $A={x}$, $harr AAz:zinAharrz=x$
Dalla def. di sopra si definisce l'insieme di coppia ordinata nel seguente modo:
$Def.$: Dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$, con $x!=y$, ed un insieme $A$, $A$ è l'insieme coppia non ordinata di $x$ e $y$, ed indicasi con la scrittura $A={x;y}$, $harr AAz: zinAharrz=xvv_e$$_s$$_c$$_l$$_.$$z=y$.
E' possibile estendere la def. per $n$-oggetti qualsiasi.
Cordiali saluti
P.S= Vorrei sapere se una formalizzazione di questi tipo è lecita (io penso di si, ma preferirei sentire diverse campane in merito), dal tronde si differenzia da quella moderna sole per il fatto che nella def. di coppia non ordinata l'operatore $vv_e$$_s$$_c$$_l$$_.$ è non esclusivo ma inclusivo, cioè $vv_i$$_n$$_c$$_l$$_.$, a norma della def. di insieme alla maniera di Hausdorff (o di Cantor).
dopo parecchie letture di testi e di appunti di diversi docenti di diverse facoltà, ho trovato una costruzione o formalizzazione dell'insieme singoletto (ed anche dell''insieme coppia non ordinata) innovativa. Per semplicità di trattazione preferisco considerare la nozione dell'insieme alla maniera di Hausdorff (o di Cantor).
La formalizzazione è la seguente:
$Def.$: Dato un oggetto qualsiasi $x$ ed un insieme $A$, $A$ è l'insieme singoletto di $x$, ed indicasi con la scrittura $A={x}$, $harr AAz:zinAharrz=x$
Dalla def. di sopra si definisce l'insieme di coppia ordinata nel seguente modo:
$Def.$: Dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$, con $x!=y$, ed un insieme $A$, $A$ è l'insieme coppia non ordinata di $x$ e $y$, ed indicasi con la scrittura $A={x;y}$, $harr AAz: zinAharrz=xvv_e$$_s$$_c$$_l$$_.$$z=y$.
E' possibile estendere la def. per $n$-oggetti qualsiasi.
Cordiali saluti
P.S= Vorrei sapere se una formalizzazione di questi tipo è lecita (io penso di si, ma preferirei sentire diverse campane in merito), dal tronde si differenzia da quella moderna sole per il fatto che nella def. di coppia non ordinata l'operatore $vv_e$$_s$$_c$$_l$$_.$ è non esclusivo ma inclusivo, cioè $vv_i$$_n$$_c$$_l$$_.$, a norma della def. di insieme alla maniera di Hausdorff (o di Cantor).
Salve a tutti,
in aggiunta a ciò detto prima, vorrei dare la seguente def. di coppia non ordinata poichè più utile per i nostri scopi:
$Def.$=Siano dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$, con $x!=y$, ed tre insiemi $A$, $B$ e $C$, ove $A={x}$ e $B{y}$, $C$ è l'insieme coppia non ordinata, ed indicasi con la scrittura $C={x;y}$,$harrC=AuuB$.
La def. di sopra è molto utile per i nostri scopi, e da questa è possibile estendere il caso ad $n$-oggetti qualsiasi formando così $n$-uple non ordinate.
Che ne pensate?
Cordiali saluti
in aggiunta a ciò detto prima, vorrei dare la seguente def. di coppia non ordinata poichè più utile per i nostri scopi:
$Def.$=Siano dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$, con $x!=y$, ed tre insiemi $A$, $B$ e $C$, ove $A={x}$ e $B{y}$, $C$ è l'insieme coppia non ordinata, ed indicasi con la scrittura $C={x;y}$,$harrC=AuuB$.
La def. di sopra è molto utile per i nostri scopi, e da questa è possibile estendere il caso ad $n$-oggetti qualsiasi formando così $n$-uple non ordinate.
Che ne pensate?
Cordiali saluti
Dunque sono ancora sul piano della dimostrazione che della definizione , Garnak ? 
Salve menale,
ovviamente dipende dalla def. di coppia ordinata, la tua è quella di Kuratowski, ma, nonostante ciò, in alcuni contesti della matematica potrebbe essere posta come def. di singoletto.
Cosa ne pensi delle mie osservazioni in merito? Sono coerenti e complete?
Cordiali saluti
ovviamente dipende dalla def. di coppia ordinata, la tua è quella di Kuratowski, ma, nonostante ciò, in alcuni contesti della matematica potrebbe essere posta come def. di singoletto.
Cosa ne pensi delle mie osservazioni in merito? Sono coerenti e complete?
Cordiali saluti
Si Garnak , di sicuro c'è coerenza nelle tue osservazioni . L'unica cosa è capire quale tra quelle proposte sia la vera ( forse meglio dire " riconosciuta" ) definizione RIGOROSA di insieme singoletto . Inoltre è interessante capire quanto quella da me data ( tratta dal Franciosi-deGiovanni ) sia una definizione e quanto sia qualcosa che rientra nell'ambito della dimostrazione . In attesa di Tue delucidazioni . Saluti !
Salve menale,
premetto che la def. di insieme singoletto, o meglio quella largamente, accettata tra matematici è quella deducibile dall'assioma coppia ordinata. Per quanto riguarda la tua seconda osservazione, sto cercando il libro ove è presente la dimostrazione del teorema seguente:
$x=y->(x;y)={{x}}$ [avendo come coppia ordinata quella di Kuratowski ($(x;y)={{x};{x;y}}$)]
ed al più presto scriverò la dimostrazione.
Cordiali saluti
premetto che la def. di insieme singoletto, o meglio quella largamente, accettata tra matematici è quella deducibile dall'assioma coppia ordinata. Per quanto riguarda la tua seconda osservazione, sto cercando il libro ove è presente la dimostrazione del teorema seguente:
$x=y->(x;y)={{x}}$ [avendo come coppia ordinata quella di Kuratowski ($(x;y)={{x};{x;y}}$)]
ed al più presto scriverò la dimostrazione.
Cordiali saluti
Salve menale,
Diamo le seguenti def. canoniche:
$Def.1$= Dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$ ed un insieme $A$, $A$ dicesi coppia non ordinata di $x$ e $y$, ed indicasi con la scrittura $A={x;y}$,$harrAAz:zinAharrz=x vv z=y$.
$Def.2$= Dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$, ed un insieme $A$, $A$ dicesi singoletto di $x$,ed indicasi con la scrittura $A={x}$,$harrA={x;y}^^x=y$.
$Def.3$= Dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$ ed un insieme $A$, $A$ dicesi coppia ordinata di $x$ e $y$, ed indicasi con la scrittura $A={{x};{x;y}}$,$harr AAz: zin{x} vv zin{x;y}$
Dopo aver dato le def. di sopra, ecco il teorema:
$Te$$o$$r.$= $x=y->{{x};{x;y}}={{x}}$
$Dim.$=Partendo dalla $Def.3$ ed avendo $x=y$ si avrà che ${{x};{x;y}}={{x};{x;x}}$, per la $Def.1$ si avrà che ${{x};{x;y}}={{x};{x;x}}={{x};{x}}$ ed, sempre, per la $Def.1$ si avrà che ${{x};{x;y}}={{x};{x;x}}={{x};{x}}={{x}}$ che è ciò che volevasi dimostrare.
Spero che ti sia chiaro, in caso contrario fammi sapere.
Cordiali saluti
Diamo le seguenti def. canoniche:
$Def.1$= Dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$ ed un insieme $A$, $A$ dicesi coppia non ordinata di $x$ e $y$, ed indicasi con la scrittura $A={x;y}$,$harrAAz:zinAharrz=x vv z=y$.
$Def.2$= Dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$, ed un insieme $A$, $A$ dicesi singoletto di $x$,ed indicasi con la scrittura $A={x}$,$harrA={x;y}^^x=y$.
$Def.3$= Dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$ ed un insieme $A$, $A$ dicesi coppia ordinata di $x$ e $y$, ed indicasi con la scrittura $A={{x};{x;y}}$,$harr AAz: zin{x} vv zin{x;y}$
Dopo aver dato le def. di sopra, ecco il teorema:
$Te$$o$$r.$= $x=y->{{x};{x;y}}={{x}}$
$Dim.$=Partendo dalla $Def.3$ ed avendo $x=y$ si avrà che ${{x};{x;y}}={{x};{x;x}}$, per la $Def.1$ si avrà che ${{x};{x;y}}={{x};{x;x}}={{x};{x}}$ ed, sempre, per la $Def.1$ si avrà che ${{x};{x;y}}={{x};{x;x}}={{x};{x}}={{x}}$ che è ciò che volevasi dimostrare.
Spero che ti sia chiaro, in caso contrario fammi sapere.
Cordiali saluti
Grazie mille , Garnack per la disponibilità !!
Sei stato indubbiamente chiarissimo . Solo una piccola cosa : da dove hai attinto queste informazioni ? Tutte di tuo "pugno" ??
Salve a tutti,
in una osservazione precedente scrissi ciò:
in realtà, a norma della def. di insieme da me considerata (ovvero alla maniera di Hausdorff (o Cantor), cioè "formato da oggetti qualsiasi presi una sola volta" (ovvero sia "distinti tra loro")), giacchè si prendono due oggetti qualsiasi $x$ e $y$, ove $x!=y$, non è corretto, seppur ammissibile, che $C=AuuB$, ma è più rigoroso e formale che $C=A\DeltaB$ (ove $\Delta$ è il simbole della differenza simmetrica tra insiemi)
Cosa ne pensate in merito?
Cordiali saluti
P.S.=Ovviamente questa, come anche l'altra, sono osservazioni non canoniche ma utili in determinati contesti.
in una osservazione precedente scrissi ciò:
"garnak.olegovitc":
Salve a tutti,
in aggiunta a ciò detto prima, vorrei dare la seguente def. di coppia non ordinata poichè più utile per i nostri scopi:
$Def.$=Siano dati due oggetti qualsiasi $x$ e $y$, con $x!=y$, ed tre insiemi $A$, $B$ e $C$, ove $A={x}$ e $B{y}$, $C$ è l'insieme coppia non ordinata, ed indicasi con la scrittura $C={x;y}$,$harrC=AuuB$.
La def. di sopra è molto utile per i nostri scopi, e da questa è possibile estendere il caso ad $n$-oggetti qualsiasi formando così $n$-uple non ordinate.
Che ne pensate?
Cordiali saluti
in realtà, a norma della def. di insieme da me considerata (ovvero alla maniera di Hausdorff (o Cantor), cioè "formato da oggetti qualsiasi presi una sola volta" (ovvero sia "distinti tra loro")), giacchè si prendono due oggetti qualsiasi $x$ e $y$, ove $x!=y$, non è corretto, seppur ammissibile, che $C=AuuB$, ma è più rigoroso e formale che $C=A\DeltaB$ (ove $\Delta$ è il simbole della differenza simmetrica tra insiemi)
Cosa ne pensate in merito?
Cordiali saluti
P.S.=Ovviamente questa, come anche l'altra, sono osservazioni non canoniche ma utili in determinati contesti.
Salve menale,
le mie osservazioni scaturiscoo da accurate, attente e molteplici letture in merito. Esse sono come il frutto mentale di uno studio ricco di testi e appunti (da cui trarre informazioni e diversi punti di vista), alcune di esse sono delle mie personalizzazioni in merito altri, si scopre, che sono approfondimenti, e via dicendo...
Cordiali saluti
le mie osservazioni scaturiscoo da accurate, attente e molteplici letture in merito. Esse sono come il frutto mentale di uno studio ricco di testi e appunti (da cui trarre informazioni e diversi punti di vista), alcune di esse sono delle mie personalizzazioni in merito altri, si scopre, che sono approfondimenti, e via dicendo...
Cordiali saluti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo