Costruzione di biezione e classi di equivalenza
Salve, questo è il mio primo post sul forum perciò scusatemi se sono abbastanza ignorante per voi.
Allora ho due domande.
Se qualcuno mi può aiutare a farli e se mi possa dire perchè sono stati fatti in questo modo sarà perfetto.
Grazie in anticipo.
Allora ho due domande.
1)Se esiste, costruire una biezione fra gli insiemi $ \R $ e $ \R − {0} $.
2) Sia X = {1, 2, 3, 4}. Definiamo una relazione R su P(X) come segue: per due elementi A, B ∈ P(X) si ha che A R B quando #A ≡ #B (mod 3)
(a) Dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza.
(b) Per ogni classe di equivalenza determinarne la cardinalità.
Se qualcuno mi può aiutare a farli e se mi possa dire perchè sono stati fatti in questo modo sarà perfetto.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ritorno IT, dopo lo scarsamente significativo (agli occhi dell’OP) scambio di pareri con k_b.
Per quanto riguarda il 2.
Evidentemente, sono in relazione tra loro:
Per quanto riguarda il 2.
Evidentemente, sono in relazione tra loro:
[*:chef9l8e] l’insieme vuoto ed i sottoinsiemi con tre elementi (\(0 \equiv 3 \mod 3\));
[/*:m:chef9l8e]
[*:chef9l8e] i sottoinsiemi con un elemento e l’insieme $S$ (\(1 \equiv 4 \mod 3\));
[/*:m:chef9l8e]
[*:chef9l8e] i sottoinsiemi con due elementi.[/*:m:chef9l8e][/list:u:chef9l8e]
Di qui, o concludi per ispezione diretta di tutte le possibilità, oppure osservi che quella descritta qui sopra è una partizione di $\mathcal{P}(S)$ e tieni presente la relazione che lega partizioni ed equivalenze.
[ot]Mi è stato portato agli occhi questo thread e penso sia urgente sottolineare una cosa nei confronti di OP. Non voglio entrare nella diatriba tra gugo82 e killing_buddha, dunque non risponderò a nessun tipo di discorso che sia diverso da una considerazione sui ragionamenti sotto.
La consegna è
e gugo82 ha giustamente proposto una biezione esplicita tra i due insiemi, tuttavia ha anticipato la costruzione dicendo che
Questa proposizione è in realtà circolare, infatti per definizione due insiemi hanno la stessa cardinalità se e solo se esiste una biezione tra i due insiemi; quindi, traducendo, la proposizione sopra significa che ''una biezione esiste perché... Una biezione esiste''. Di conseguenza non ha realmente giustificato l'esistenza della biezione.
Va però detto che ne ha mostrato l'esistenza esibendo la biezione che ha costruito.
Al contrario, killing_buddha, costruendo quelle due funzioni iniettive ha mostrato che i due insiemi hanno la stessa cardinalità (usando l'assioma della scelta!), quindi ha a tutti gli effetti dimostrato l'esistenza. Sul significato di costruzione della biezione si potrebbe speculare su cosa il professore intendesse realmente dire (costruzione esplicita? implicita?); non è dato saperlo con certezza. Nel caso esplicito, però, l'unico che ne ha esibita una è stato gugo82.
Detto ciò, però, il motivo reale per cui ho risposto è stato questo:
Il motivo per cui se togli da un insieme infinito un punto (o un numero finito di punti), la cardinalità resta la stessa è teoria arcinota (ha ancora senso chiamarla euristica?), tant'è che una delle dimostrazioni più comuni da trovare è identica a quella che hai proposto tu nell'esibire di una funzione inversa. Aggiungo anche che questa dimostrazione si applica in generale agli insiemi infiniti che contengono sottoinsiemi (stretti) infiniti (che senza l'assioma della scelta o qualche sua forma non accade sempre per ogni insieme infinito, come si può leggere anche qua). Sono aspetti che per uno alle prime armi possono sembrare sottigliezze, ma non lo sono manco per sbaglio.[/ot]
La consegna è
"cptpackage":
Se esiste, costruire una biezione fra gli insiemi $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R} − {0}$.
e gugo82 ha giustamente proposto una biezione esplicita tra i due insiemi, tuttavia ha anticipato la costruzione dicendo che
"gugo82":
Una biiezione esiste, poiché i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
Questa proposizione è in realtà circolare, infatti per definizione due insiemi hanno la stessa cardinalità se e solo se esiste una biezione tra i due insiemi; quindi, traducendo, la proposizione sopra significa che ''una biezione esiste perché... Una biezione esiste''. Di conseguenza non ha realmente giustificato l'esistenza della biezione.
Va però detto che ne ha mostrato l'esistenza esibendo la biezione che ha costruito.
Al contrario, killing_buddha, costruendo quelle due funzioni iniettive ha mostrato che i due insiemi hanno la stessa cardinalità (usando l'assioma della scelta!), quindi ha a tutti gli effetti dimostrato l'esistenza. Sul significato di costruzione della biezione si potrebbe speculare su cosa il professore intendesse realmente dire (costruzione esplicita? implicita?); non è dato saperlo con certezza. Nel caso esplicito, però, l'unico che ne ha esibita una è stato gugo82.
Detto ciò, però, il motivo reale per cui ho risposto è stato questo:
"gugo82":
Era euristica. Se ad un insieme infinito togli un punto, sempre lì rimani a livello di cardinalità.
Il motivo per cui se togli da un insieme infinito un punto (o un numero finito di punti), la cardinalità resta la stessa è teoria arcinota (ha ancora senso chiamarla euristica?), tant'è che una delle dimostrazioni più comuni da trovare è identica a quella che hai proposto tu nell'esibire di una funzione inversa. Aggiungo anche che questa dimostrazione si applica in generale agli insiemi infiniti che contengono sottoinsiemi (stretti) infiniti (che senza l'assioma della scelta o qualche sua forma non accade sempre per ogni insieme infinito, come si può leggere anche qua). Sono aspetti che per uno alle prime armi possono sembrare sottigliezze, ma non lo sono manco per sbaglio.[/ot]
[ot]
Questa dimostrazione costruisce (come ho già detto, non in senso tecnico, ma spero di non essere l'unico a non poter usare l'euristica) una funzione che è biiettiva tra due insiemi tali che esista una iniezione in un verso e una nell'altro. Cosicché i numeri reali (o le successioni infinitesime: struttura ridondante a cogliere cosa è in gioco) non hanno niente di speciale, in questo enunciato.[/ot]
l'unico che ne ha esibita una è stato gugo82
Questa dimostrazione costruisce (come ho già detto, non in senso tecnico, ma spero di non essere l'unico a non poter usare l'euristica) una funzione che è biiettiva tra due insiemi tali che esista una iniezione in un verso e una nell'altro. Cosicché i numeri reali (o le successioni infinitesime: struttura ridondante a cogliere cosa è in gioco) non hanno niente di speciale, in questo enunciato.[/ot]
[ot]
In effetti, nel senso di $h(x)$ su wiki, anche questa - per quanto mi riguarda - ha il diritto di essere chiamata esplicita.
In ogni caso, dato che la funzione costruita da gugo82 è in realtà una dimostrazione classica in cui sono stati battezzati i punti, in ciò che ha fatto lui l'uso degli infinitesimi è stata una pareidolia. Poteva anche prendere $(n)_{n \geq 0}$, una successione di razionali approssimante $\pi$ o una lista crescente di blasfemie tradotte in binario e il ragionamento non sarebbe cambiato di una virgola.[/ot]
"killing_buddha":l'unico che ne ha esibita una è stato gugo82
Questa dimostrazione costruisce (come ho già detto, non in senso tecnico, ma spero di non essere l'unico a non poter usare l'euristica) una funzione che è biiettiva tra due insiemi tali che esista una iniezione in un verso e una nell'altro. Cosicché i numeri reali (o le successioni infinitesime: struttura ridondante a cogliere cosa è in gioco) non hanno niente di speciale, in questo enunciato.
In effetti, nel senso di $h(x)$ su wiki, anche questa - per quanto mi riguarda - ha il diritto di essere chiamata esplicita.
In ogni caso, dato che la funzione costruita da gugo82 è in realtà una dimostrazione classica in cui sono stati battezzati i punti, in ciò che ha fatto lui l'uso degli infinitesimi è stata una pareidolia. Poteva anche prendere $(n)_{n \geq 0}$, una successione di razionali approssimante $\pi$ o una lista crescente di blasfemie tradotte in binario e il ragionamento non sarebbe cambiato di una virgola.[/ot]
[ot]@fmnq: Saranno anche risultati arcinoti, però probabilmente non lo sono per uno studente alle prime armi che deve confrontarsi con la risoluzione dell’esercizio. Dunque, considerato da dove si parte, il termine euristica non è poi del tutto fuori posto.
Per quanto riguarda il testo dell’esercizio, si potrebbe discutere a lungo (e sarebbe pure divertente, oltre che costruttivo). Per me, però, “esibire” significa “esibire esplicitamente se possibile”[nota]Attraverso un numero o una formula che consenta il calcolo; in subordine, attraverso un algoritmo... Insomma, sono molto ingegneristico sotto questo punto di vista.[/nota];è chiaro che una costruzione astratta ha la sua nobiltà e pulizia, tuttavia perché accontentarsi dell’astratto quando si può avere sotto mano qualcosa di “concreto”?
Chiaro, si tratta di gusti... C’è anche chi, come Robertino, strepita quando gli si consiglia “tu devi uscire, và mmiezo 'a strada, tocc 'e femmene, va a arrubbà, fa chello che vuo' tu!”.
Infine, per quanto riguarda la generalità della costruzione, sarebbe un po’ riduttivo pensare che, vista la mia formazione, non fossi al corrente del fatto che “una delle dimostrazioni più comuni da trovare è identica a quella che” ho proposto. Dopotutto, anche le più moderne tecniche non fanno altro che chiosare “teorie arcinote”.
P.S.: Stesso dicasi per la successione di punti scelta per “bucare e riempire”... Qualsiasi altra successione sarebbe servita allo scopo, ovviamente. Ora che mi ci fai pensare, avrei potuto scegliere in maniera più artistica.
@k_b: Beh, i numeri reali hanno tanto di speciale.
Ad esempio, hanno un modello geometrico molto maneggevole e familiare, che gli studenti imparano ad usare dalle scuole medie. Ed è chiaro che l’uso dei reali in un esercizio del genere è anche subordinato a questo genere di considerazioni.[/ot]
Per quanto riguarda il testo dell’esercizio, si potrebbe discutere a lungo (e sarebbe pure divertente, oltre che costruttivo). Per me, però, “esibire” significa “esibire esplicitamente se possibile”[nota]Attraverso un numero o una formula che consenta il calcolo; in subordine, attraverso un algoritmo... Insomma, sono molto ingegneristico sotto questo punto di vista.[/nota];è chiaro che una costruzione astratta ha la sua nobiltà e pulizia, tuttavia perché accontentarsi dell’astratto quando si può avere sotto mano qualcosa di “concreto”?
Chiaro, si tratta di gusti... C’è anche chi, come Robertino, strepita quando gli si consiglia “tu devi uscire, và mmiezo 'a strada, tocc 'e femmene, va a arrubbà, fa chello che vuo' tu!”.
Infine, per quanto riguarda la generalità della costruzione, sarebbe un po’ riduttivo pensare che, vista la mia formazione, non fossi al corrente del fatto che “una delle dimostrazioni più comuni da trovare è identica a quella che” ho proposto. Dopotutto, anche le più moderne tecniche non fanno altro che chiosare “teorie arcinote”.
P.S.: Stesso dicasi per la successione di punti scelta per “bucare e riempire”... Qualsiasi altra successione sarebbe servita allo scopo, ovviamente. Ora che mi ci fai pensare, avrei potuto scegliere in maniera più artistica.
@k_b: Beh, i numeri reali hanno tanto di speciale.
Ad esempio, hanno un modello geometrico molto maneggevole e familiare, che gli studenti imparano ad usare dalle scuole medie. Ed è chiaro che l’uso dei reali in un esercizio del genere è anche subordinato a questo genere di considerazioni.[/ot]
[ot]
L'illazione è questa: che il concreto prevalga sull'astratto, che non ci sia ragione di "accontentarsi" dell'astratto quando "si può avere" il concreto. Che questo sia il rapporto di forza tra astratto e concreto, tra concettualizzazione ed implementazione, è una tua opinione, ed è sbagliata. E il fatto che tu abbia torto non è una mia opinione, è -appunto- un fatto.[/ot]
Si riesce o no a trovare una biiezione \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\setminus\{0\}\) che sia anche un isomorfismo di gruppi (somma su $RR$, prodotto su $RR^\times$)?
perché accontentarsi dell’astratto quando si può avere sotto mano qualcosa di “concreto”?
L'illazione è questa: che il concreto prevalga sull'astratto, che non ci sia ragione di "accontentarsi" dell'astratto quando "si può avere" il concreto. Che questo sia il rapporto di forza tra astratto e concreto, tra concettualizzazione ed implementazione, è una tua opinione, ed è sbagliata. E il fatto che tu abbia torto non è una mia opinione, è -appunto- un fatto.[/ot]
Si riesce o no a trovare una biiezione \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\setminus\{0\}\) che sia anche un isomorfismo di gruppi (somma su $RR$, prodotto su $RR^\times$)?
[ot]
Beh, avere accanto una ragazza è un po’ diverso dall’avere accanto una pagina di una rivista... Ma questo gretto materialismo non si adatta all’eterea purezza di cui ti bei tu usualmente.
Fuori dallo scherzo, Robertino, sotto questi due approcci c'è almeno un secolo di Filosofia della Matematica ed almeno due millenni e mezzo di Filosofia. Ne vogliamo parlare? Parliamone. Ma non credo che questo interessi lo OP.
Poi, sbagli a leggere nelle mie parole uno “stabilire dei rapporti di forza”: per me non esiste alcun “rapporto di forza” da stabilire. Entrambe le categorie (“astratto” e “concreto”) hanno pari dignità, ognuna di esse serve ad uno scopo e tra le due c'è sempre stata e sempre ci sarà una feconda interazione (in un verso e nell’altro[nota]Dopotutto, anche l’Algebra Moderna, la Teoria degli Insiemi, nasce da questioni “applicative” legate, in ultima analisi, alla trasmissione del calore.[/nota]); per le cose che piace fare a me, preferisco avere sotto mano oggetti “concreti”, un po’ di “ciccia” su cui mettere le mani e lavorare da buon “artigiano”, tutto qui.
Scrivendo, ora mi viene in mente che a te possono sembrare “concreti” anche gli oggetti con cui giochi, il che è giusto, perché nessun matematico potrebbe lavorare senza affibbiare un certo grado di concretezza agli oggetti su cui lavora (quasi cit.[nota]Questa frase l’ho letta quasi sicuramente tale e quale qualche anno fa da qualche parte, ma non ricordo dove... Forse un libro di Lolli.[/nota])... Quindi probabilmente il nocciolo della questione è che affibbiamo gradi di concretezza diversi ad oggetti diversi, ognuno secondo le proprie inclinazioni.
E come a me piace sfottere ed essere sfottuto dai miei amici ai quali piacciono le donne magre, tutte pelle e ossa, mentre io preferisco quelle più formose (capiamoci, non obese... Femminili), così prendo in giro te che “veneri” oggetti che sono troppo scarni per attirare la mia attenzione. Tu, invece, te la prendi e cominci a sproloquiare, con l’intento di offendere, per giunta...
Fatti un favore: prendimi meno sul serio, così come faccio io con te quando non scrivi di Matematica su queste pagine.
[/ot]
"killing_buddha":perché accontentarsi dell’astratto quando si può avere sotto mano qualcosa di “concreto”?
L'illazione è questa: che il concreto prevalga sull'astratto, che non ci sia ragione di "accontentarsi" dell'astratto quando "si può avere" il concreto. Che questo sia il rapporto di forza tra astratto e concreto, tra concettualizzazione ed implementazione, è una tua opinione, ed è sbagliata. E il fatto che tu abbia torto non è una mia opinione, è -appunto- un fatto.
Beh, avere accanto una ragazza è un po’ diverso dall’avere accanto una pagina di una rivista... Ma questo gretto materialismo non si adatta all’eterea purezza di cui ti bei tu usualmente.
Fuori dallo scherzo, Robertino, sotto questi due approcci c'è almeno un secolo di Filosofia della Matematica ed almeno due millenni e mezzo di Filosofia. Ne vogliamo parlare? Parliamone. Ma non credo che questo interessi lo OP.
Poi, sbagli a leggere nelle mie parole uno “stabilire dei rapporti di forza”: per me non esiste alcun “rapporto di forza” da stabilire. Entrambe le categorie (“astratto” e “concreto”) hanno pari dignità, ognuna di esse serve ad uno scopo e tra le due c'è sempre stata e sempre ci sarà una feconda interazione (in un verso e nell’altro[nota]Dopotutto, anche l’Algebra Moderna, la Teoria degli Insiemi, nasce da questioni “applicative” legate, in ultima analisi, alla trasmissione del calore.[/nota]); per le cose che piace fare a me, preferisco avere sotto mano oggetti “concreti”, un po’ di “ciccia” su cui mettere le mani e lavorare da buon “artigiano”, tutto qui.
Scrivendo, ora mi viene in mente che a te possono sembrare “concreti” anche gli oggetti con cui giochi, il che è giusto, perché nessun matematico potrebbe lavorare senza affibbiare un certo grado di concretezza agli oggetti su cui lavora (quasi cit.[nota]Questa frase l’ho letta quasi sicuramente tale e quale qualche anno fa da qualche parte, ma non ricordo dove... Forse un libro di Lolli.[/nota])... Quindi probabilmente il nocciolo della questione è che affibbiamo gradi di concretezza diversi ad oggetti diversi, ognuno secondo le proprie inclinazioni.
E come a me piace sfottere ed essere sfottuto dai miei amici ai quali piacciono le donne magre, tutte pelle e ossa, mentre io preferisco quelle più formose (capiamoci, non obese... Femminili), così prendo in giro te che “veneri” oggetti che sono troppo scarni per attirare la mia attenzione. Tu, invece, te la prendi e cominci a sproloquiare, con l’intento di offendere, per giunta...
Fatti un favore: prendimi meno sul serio, così come faccio io con te quando non scrivi di Matematica su queste pagine.
[/ot]
Ma non si può metterli in una struttura binomiale? Tipo \( \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \frac{a!}{b!(a-b)!} \) $\forall a \in R, b \in R-\{ 0 \} $ ? Sarebbe valida come risposta?
"cptpackage":
Ma non si può metterli in una struttura binomiale? Tipo \( \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \frac{a!}{b!(a-b)!} \) $\forall a \in R, b \in R-\{ 0 \} $ ? Sarebbe valida come risposta?
Cos'è $a!$ se $a\in RR$? Perché rimuovi lo zero dal dominio di "ciò che sta sotto il binomiale"[nota]hanno un nome? Binomiando e binomiore?[/nota]?
"cptpackage":
Ma non si può metterli in una struttura binomiale? Tipo \( \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \frac{a!}{b!(a-b)!} \) $\forall a \in R, b \in R-\{ 0 \} $ ? Sarebbe valida come risposta?
Le formule da usare dipendono da cosa devi fare.
Ad esempio, il coefficiente binomiale serve per contare il numero di sottoinsiemi con $b$ elementi distinti scelti tra $a$ elementi disponibili (queste sono quelle che in Calcolo Combinatorio si chiamano combinazioni semplici).
In questo problema nessuno ti sta chiedendo di contare sottoinsiemi, quindi tirare in ballo un coefficiente binomiale (senza una strategia) potrebbe anche non servirti a nulla e/o complicarti la vita.
Quello che il problema ti chiede è di ragionare sulle cardinalità dei sottoinsiemi di un insieme con $4$ elementi. In particolare, si tratta di stabilire se una relazione definita in base alla cardinalità è o non è un’equivalenza.
La strategia che mi viene in mente (implementata nel mio post precedente) è questa:
Come vedi, i coefficienti binomiali non mi sono serviti a nulla...
Ma io non sono te: tu probabilmente hai attaccato il problema diversamente ed hai giudicato che ti servisse contare quanti sottoinsiemi di $k$ elementi potevi creare.
Il che porta alla domanda: come avevi pensato di risolvere il problema?
Tieni, per le prossime volte, presente che (in generale) se non hai un’idea precisa di come risolvere il problema è inutile tentare di “indovinare” una formula.
La scelta delle formule e delle rappresentazioni grafiche sta a valle di un ragionamento complessivo sul problema.
@k_b: Di solito $a$ e $b$ si chiamano primo e secondo indice del coefficiente binomiale \(\binom{a}{b}\)... Però “binomiando” ha il suo perché come nome.
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