Come si indica una funzione e sua definizione

[Sk_Anonymous]

Salve, volevo discutere non tanto del concetto di funzione, quanto piuttosto del modo con il quale si è soliti indicare una funzione, in quanto ho l'impressione che ci sia un pò di confusione a riguardo.
La definizione rigorosa di funzione che ho letto in giro, e che preferisco, è la seguente:
"Si definisce funzione $f$ un insieme di coppie ordinate $(x,y)$ di oggetti in cui non ve ne siano mai due con lo stesso primo elemento". Quindi, stando a questa definizione ed a quanto si legge da wikipedia, per funzione SI INTENDE UN INSIEME DI ELEMENTI CHE GODE DI CERTE PROPRIETA'.
Innanzitutto mi rivolgo a voi matematici chiedendovi: siete d'accordo con questa definizione, cioè siete d'accordo sul fatto di chiamare funzione un insieme di coppie ordinate?

P.S: mi sto riferendo in particolare a quello che c'è scritto qui.
http://unina.stidue.net/Analisi%20Matem ... izione.pdf

[G.D.5]

Perdonami ma io continuo a "sentire" il contorsionismo mentale di cui scrivevo in precedenza.

"lisdap":
...la posizione del punto materiale rispetto ad un certo sistema di riferimento fisso sul terreno è una grandezza variabile. E' chiaro che se mi riferisco ad un'altra situazione reale, la posizione può essere una grandezza costante. Se proprio vogliamo essere precisi, dovremmo parlare di "posizione dell'uccello di nome $x$ in data $y$ e all'istante $z$".

Io torno a scrivere: NO!

Io non amo la Fisica e non apprezzo il modo "disinvolto" con cui i fisici utilizzano gli strumenti che i matematici mettono a loro disposizione, perché anche la Fisica prevede un corpo di definizioni: in particolare, la parte di metrologia della Fisica raccoglie queste definizione in una specie di "vocabolario" (mi perdonino i fisici se non ne conosco il nome tecnico esatto) nel quale c'è scritto che una grandezza fisica è una caratteristica o una manifestazione di un corpo o di un fenomeno che può essere quantificata ovvero espressa per mezzo di numeri correlati ad un campione di questa caratteristica o di questa manifestazione. Che una grandezza fisica sia variabile o costante non esiste nemmeno lontanamente! Quando su un manuale di Fisica c'è scritta una cosa del tipo "... nel moto circolare uniforme la velocità (istantanea) è (in modulo) costante..." non si vuole significare che la grandezza fisica velocità istantanea è costante, si vuole significare che la misura della grandezza fisica velocità istantanea che caratterizza il moto circolare uniforme presenta una componente, quella relativa alla misura dell'intensità (o modulo) di questa grandezza, la cui misurazione nel tempo non fornisce misure diverse.
Mi rendo conto che trattasi mero tecnicismo e di puntualizzazioni che risultano più fastidiose e spocchiose che utili, ma, dato che in questo topic ne stiamo facendo una questione di principio circa il concetto di funzione e circa la sua definizione astratta esatta in Algebra, non mi sembra il caso di prenderci "licenze poetiche".

Ergo: non è che esitano grandezze fisiche costanti e grandezze fisiche variabili, esistono le grandezze fisiche e basta, che esistono in quando esiste un metodo (diretto o indiretto) che permette di misurarle ed è la misura, cioè il numero risultato dell'operazione di misura, altrimenti detta "misurazione", che può essere costante o variabile. Chiarito questo possiamo poi commettere abusi di linguaggio!

"lisdap":
Poi, nello stesso momento in cui faccio il video all'uccello, faccio un video alla lancetta del contagiri di una certa macchina che si muove sulla strada (perdona la fantasia ).
A questo punto premo il tasto rewind sulle due camere, prendo una penna e un pezzo di carta e, nello stesso istante in cui registro un certo valore di posizione, registro un certo valore di giri/min. Scrivo dunque l'insieme formato da questi due valori, ${a,b}$, $a,b in RR$. Ora, se io faccio leggere ad un amico l'insieme che ho scritto, lui mi dirà: "scusa Giuseppe, ma $a$ è il valore della posizione o dei giri/min? E $b$? Allora io correggo l'insieme ${a,b}$ in $(a,b)$ e dico:"il primo elemento della coppia ordinata fa riferimento alla posizione, mentre il secondo al numero dei giri dell'auto che transitava in quel momento". Il mio amico, quindi, non avrò ora più nulla da obiettare. Mando avanti i video e ripeto questo lavoro, ottenendo un numero elevato di coppie.

Corro il rischio di sembrare un rompi palle: mi spieghi qual è la correlazione tra il volo dell'uccello e i giri per minuto registrati sulla console della macchina? In quale esperimento dovrebbe risultare di interesse per un fisico cercare di collegare due fenomeni palesemente non solo non correlati ma del tutto dissociati ed indipendenti l'uno dall'altro?

Ammesso e non concesso che esista un siffatto esperimento, di solito (cioè sempre) in Fisica si esprimono le misure accompagnandole con le unità di misura che esprimono il grado di omogeneità tra la misura effettuata e l'evento osservato, ovvero quanto senso abbia la misura riportata se riferita all'osservazione di un fenomeno caratterizzato e descritto per mezzo di determinate grandezze fisiche. Ergo nel momento in cui piazzi i valori \(a\) e \(b\), devi accompagnare ciascun valore con l'unità di misura sicché sarà alquanto improbabile che una persona che sappia "leggere" quelle misure non sappia rendersi conto di quale grandezza ciascuna misura misuri!

"lisdap":
Infine metto queste coppie in un insieme, e vedo se godono di una certa proprietà. Se è il caso, chiamo tale insieme funzione.

Diciamo che questo ci sta!
Da un punto di vista matematico non ce ne frega niente se la posizione dell'uccello e i giri per minuto del motore dell'auto siano cose correlate o meno, ci interessa che le coppie abbiano una determinata caratteristica.
Però, se vogliamo astrarre, diciamo anche che non basta dire che l'insieme delle coppie ordinate costituisce una funzione: la funzione consiste nel dato di un dominio, di un codominio e di una parte del prodotto cartesiano del dominio e del codominio ed è solo questa parte di questo prodotto cartesiano che tu hai avendo l'insieme delle coppie ordinate.

Un'altra cosa che non condivido è quando scrivi (nel precedente intervento) che "il fatto che una grandezza sia funzione di un'altra indica che la grandezza che varia, varia perché varia la grandezza di cui è funzione".
Da un punto di vista fisico questo non è mica esatto: non è mica il trascorrere del tempo che produce l'accelerazione di un corpo in caduta libera, è la forza di gravità. Il punto è che si può far corrispondere l'aumento di velocità di un corpo in caduta libera con gli istanti di tempo e quindi dire che la velocità del corpo in caduta libera varia col tempo. Ma non è il tempo la causa fisica di questa variazione di velocità. La causa fisica (lo "zampino") è (quello del)la gravità.

Infine non capisco perché mescolare i concetti: il concetto astratto di applicazione con quello empirico dell'osservazione sperimentale con quello dei fenomeni correlati con quello delle cause di un effetto fisico! Tutto questo ti ha portato a sentenziare che l'utilizzo di un concetto astratto per legare due grandezze di cui una non è la causa fisica del cambiamento dell'altra sono tali per cui una è la causa fisica dell'altra proprio perché abbiamo potuto legarle per mezzo di un concetto astratto!

Comprendi?

[Sk_Anonymous]

"WiZaRd":
Io non amo la Fisica e non apprezzo il modo "disinvolto" con cui i fisici utilizzano gli strumenti che i matematici mettono a loro disposizione, perché anche la Fisica prevede un corpo di definizioni: in particolare, la parte di metrologia della Fisica raccoglie queste definizione in una specie di "vocabolario" (mi perdonino i fisici se non ne conosco il nome tecnico esatto) nel quale c'è scritto che una grandezza fisica è una caratteristica o una manifestazione di un corpo o di un fenomeno che può essere quantificata ovvero espressa per mezzo di numeri correlati ad un campione di questa caratteristica o di questa manifestazione. Che una grandezza fisica sia variabile o costante non esiste nemmeno lontanamente! Quando su un manuale di Fisica c'è scritta una cosa del tipo "... nel moto circolare uniforme la velocità (istantanea) è (in modulo) costante..." non si vuole significare che la grandezza fisica velocità istantanea è costante, si vuole significare che la misura della grandezza fisica velocità istantanea che caratterizza il moto circolare uniforme presenta una componente, quella relativa alla misura dell'intensità (o modulo) di questa grandezza, la cui misurazione nel tempo non fornisce misure diverse.
Mi rendo conto che trattasi mero tecnicismo e di puntualizzazioni che risultano più fastidiose e spocchiose che utili, ma, dato che in questo topic ne stiamo facendo una questione di principio circa il concetto di funzione e circa la sua definizione astratta esatta in Algebra, non mi sembra il caso di prenderci "licenze poetiche".

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Tra il mio pensiero e il tuo ci sono molte differenze. Io non metto assolutamente in dubbio ciò che sai, però, come la maggior parte dei matematici, ho l'impressione che accetti la definizione di funzione, il concetto di coppia ordinata ecc... senza chiederti minimamente quali sono i motivi che hanno spinto lo scienziato a formalizzare queste cose. E' impossibile che un tizio si è svegliato un giorno e gli sono venute in mente queste cose. Io, in quanto aspirante ingegnere, mi sforzo di comprendere tali motivazioni e di cercare di ricostruire il percorso che ha portato alla formalizzazione di un certo concetto: per me imparare la definizione di funzione senza sapere perchè è nato il concetto di funzione non ha alcun senso. Un matematico costruisce le sue conoscenze su dei pilastri che egli accetta cosi come sono.
Ad un matematico la domanda "perchè qualcuno un bel giorno ha parlato di coppia ordinata" non gli interessa, e la reputa priva di significato, cosi come accade per molte domande di questa natura che io faccio su questo forum.
E poi mi innervosisce la netta separazione che alcuni utenti di questo forum, tra cui anche tu, fanno tra matematica e fisica, ritenendole ognuna indipendente dall'altra. Per me non è così, ma non lo dico io, visto che i più grandi scienziati erano dei tuttofare (matematici, fisici, ingegneri, ecc..).

"WiZaRd":
Corro il rischio di sembrare un rompi palle: mi spieghi qual è la correlazione tra il volo dell'uccello e i giri per minuto registrati sulla console della macchina? In quale esperimento dovrebbe risultare di interesse per un fisico cercare di collegare due fenomeni palesemente non solo non correlati ma del tutto dissociati ed indipendenti l'uno dall'altro?

ho fatto questo esempio per esprimere la generalità del concetto di funzione.

"WiZaRd":
Diciamo che questo ci sta!
Da un punto di vista matematico non ce ne frega niente se la posizione dell'uccello e i giri per minuto del motore dell'auto siano cose correlate o meno, ci interessa che le coppie abbiano una determinata caratteristica.
Però, se vogliamo astrarre, diciamo anche che non basta dire che l'insieme delle coppie ordinate costituisce una funzione: la funzione consiste nel dato di un dominio, di un codominio e di una parte del prodotto cartesiano del dominio e del codominio ed è solo questa parte di questo prodotto cartesiano che tu hai avendo l'insieme delle coppie ordinate.

Certo.

"WiZaRd":
Un'altra cosa che non condivido è quando scrivi (nel precedente intervento) che "il fatto che una grandezza sia funzione di un'altra indica che la grandezza che varia, varia perché varia la grandezza di cui è funzione".
Da un punto di vista fisico questo non è mica esatto: non è mica il trascorrere del tempo che produce l'accelerazione di un corpo in caduta libera, è la forza di gravità. Il punto è che si può far corrispondere l'aumento di velocità di un corpo in caduta libera con gli istanti di tempo e quindi dire che la velocità del corpo in caduta libera varia col tempo. Ma non è il tempo la causa fisica di questa variazione di velocità. La causa fisica (lo "zampino") è (quello del)la gravità.

però ci sono delle situazioni in cui quello che ho scritto è vero. Pensa alla portata di un rubinetto e al valore dell'angolo di apertura del rubinetto. Se io faccio variare tale angolo, la portata varierà, e la variazione dell'angolo di apertura è la causa della variazione della portata.

"WiZaRd":
Infine non capisco perché mescolare i concetti: il concetto astratto di applicazione con quello empirico dell'osservazione sperimentale con quello dei fenomeni correlati con quello delle cause di un effetto fisico!
Comprendi?

Perchè il concetto astratto è appunto nato dall'osservazione dei fatti, ecco perchè mi ostino a mescolarli.

In ogni caso le mie domande, alle quali nessuno ha dato una risposta precisa, sono brevi e molto semplici:
1) Quando in analisi si dice "consideriamo la funzione $y=3x$, in realtà si sta dicendo: consideriamo quell'insieme di coppie ordinate che coincide con l'insieme di coppie ordinate che risolvono l'equazione $y=3x$"?
2) Perchè poi si dice anche spesso: "consideriamo la funzione $3x$"?
Potremmo non essere d'accordo sulla "genesi" del concetto di funzione, anzi, forse tu la reputi una questione priva di interesse; però, ti prego, rispondimi in maniera precisa alle ultime due domande.
Grazie e buona giornata

[G.D.5]

"lisdap":

[quote="WiZaRd"]Io non amo la Fisica e non apprezzo il modo "disinvolto" con cui i fisici utilizzano gli strumenti che i matematici mettono a loro disposizione, perché anche la Fisica prevede un corpo di definizioni: in particolare, la parte di metrologia della Fisica raccoglie queste definizione in una specie di "vocabolario" (mi perdonino i fisici se non ne conosco il nome tecnico esatto) nel quale c'è scritto che una grandezza fisica è una caratteristica o una manifestazione di un corpo o di un fenomeno che può essere quantificata ovvero espressa per mezzo di numeri correlati ad un campione di questa caratteristica o di questa manifestazione. Che una grandezza fisica sia variabile o costante non esiste nemmeno lontanamente! Quando su un manuale di Fisica c'è scritta una cosa del tipo "... nel moto circolare uniforme la velocità (istantanea) è (in modulo) costante..." non si vuole significare che la grandezza fisica velocità istantanea è costante, si vuole significare che la misura della grandezza fisica velocità istantanea che caratterizza il moto circolare uniforme presenta una componente, quella relativa alla misura dell'intensità (o modulo) di questa grandezza, la cui misurazione nel tempo non fornisce misure diverse.
Mi rendo conto che trattasi mero tecnicismo e di puntualizzazioni che risultano più fastidiose e spocchiose che utili, ma, dato che in questo topic ne stiamo facendo una questione di principio circa il concetto di funzione e circa la sua definizione astratta esatta in Algebra, non mi sembra il caso di prenderci "licenze poetiche".

[Sk_Anonymous]

"WiZaRd":

Giusto. Ma come l'avevi messa giù sembrava che fosse una cosa valida in generale.

Ciao, volevo tornare un attimo su questo aspetto, visto che mi sembra abbastanza interessante, almeno dal punto di vista fisico.
Prendiamo due insiemi $A$ e $B$ e due quantità $x$ e $y$ che variano rispettivamente in $A$ e $B$ (due variabili in poche parole).
Consideriamo un insieme $C$ di coppie ordinate $(a,b)$ con $a in A$ e $b in B$.
Questo insieme può godere di varie proprietà:
1) Esistono almeno due coppie ordinate diverse con lo stesso primo elemento. Se questa proprietà è verificata in $C$, allora si può concludere che se la variabile $y$ varia in $B$ non è detto che debba necessariamente verificarsi anche una variazione di $x$ in $A$. Sei d'accordo con questa affermazione (non so se abbia un significato matematico, ma certamente fisico ce l'ha!)?
2) L'insieme è una funzione, quindi la proprietà $1$ non è verificata. Si può allora senza dubbio concludere che se $y$ varia in $B$, allora sicuramente anche $x$ varierà in $A$.
Prendiamo ora lo stesso insieme $C$ di prima e scambiamo i primi elementi delle varie coppie con i secondi, o viceversa.
Otterremo un insieme $C'$ di coppie ordinate dove il primo elemento della coppia sta in $B$ ed il secondo in $A$.
Come prima, si ha:
3) $C'$ non è una funzione, quindi concludiamo che se si verifica una variazione di $x$ nell'insieme $A$ non è detto che contemporaneamente varia anche $y$ in $B$.
4) $C'$ è una funzione, dunque se $x$ varia in $A$, allora possiamo concludere che contemporaneamente $y$ dovrà variare in $B$.
Ripeto, non so se quello che ho scritto ha significato matematico, però mediante semplici esempi si capisce che ha significato fisico.
Innanzitutto, se ciò che ho scritto ti sembra avere un senso matematico, è corretto?
Infine, fisicamente, sei d'accordo con il concludere che se un'insieme di coppie ordinate gode allo stesso tempo delle proprietà $2$ e $4$ (cioè la funzione è biunivoca e quindi invertibile), allora tra le due variabili $x$ ed $y$ c'è un legame reale di causa ed effetto?

[Sk_Anonymous]

"WiZaRd":
Ergo: non è che esitano grandezze fisiche costanti e grandezze fisiche variabili, esistono le grandezze fisiche e basta, che esistono in quando esiste un metodo (diretto o indiretto) che permette di misurarle ed è la misura, cioè il numero risultato dell'operazione di misura, altrimenti detta "misurazione", che può essere costante o variabile. Chiarito questo possiamo poi commettere abusi di linguaggio!

Certo, hai ragione, mi sono espresso io male. Non ha senso dire che una grandezza fisica è variabile, ma che la misura di una certa grandezza fisica può fornire valori diversi e quindi essere assimilabile ad una variabile matematica, giusto?

[G.D.5]

"lisdap":

[quote="WiZaRd"]

Giusto. Ma come l'avevi messa giù sembrava che fosse una cosa valida in generale.

[gugo82]

[OT]

"lisdap":Ad un matematico la domanda "perchè qualcuno un bel giorno ha parlato di coppia ordinata" non gli interessa, e la reputa priva di significato[...]

Lisdap, la smetti di sparare cazzate?

"lisdap":[...] cosi come accade per molte domande di questa natura che io faccio su questo forum.

Le domande che poni non sono "prive di significato", ma sono unicamente tediose e tanto semplici che un po' di studio in autonomia il più delle volte basterebbe per rispondervi... Anche per questo in pochi ti vengono dietro.

[/OT]

[Sk_Anonymous]

"gugo82":
[quote="lisdap"]Ad un matematico la domanda "perchè qualcuno un bel giorno ha parlato di coppia ordinata" non gli interessa, e la reputa priva di significato[...]

Lisdap, la smetti di sparare cazzate?
[/quote]
A te questa domanda interessa?

"gugo82":
Le domande che poni non sono "prive di significato", ma sono unicamente tediose e tanto semplici che un po' di studio in autonomia il più delle volte basterebbe per rispondervi... Anche per questo in pochi ti vengono dietro.
[/OT]

Tanto semplici che questo post, come molti altri, è arrivato alla quinta pagina?
Le alternative sono due:
1) sono io un imbecille e non comprendo le risposte che date;
2) siete voi che non sapete rispondere in maniera precisa ad una domanda.

[gugo82]

"lisdap":[quote="gugo82"]
[quote="lisdap"]Ad un matematico la domanda "perchè qualcuno un bel giorno ha parlato di coppia ordinata" non gli interessa, e la reputa priva di significato[...]

Lisdap, la smetti di sparare cazzate?
[/quote]
A te questa domanda interessa?[/quote]
Certo: mi interessa come (quasi) tutte le questioni di Storia della Matematica.

Anzi, di solito sono i matematici mediocri e gli ingegneri a pensare che "uno si è alzato la mattina ed ha dato una definizione"... Il resto sà che la genesi di una definizione richiede anni, se non secoli, di perfezionamento.

"lisdap":[quote="gugo82"]
Le domande che poni non sono "prive di significato", ma sono unicamente tediose e tanto semplici che un po' di studio in autonomia il più delle volte basterebbe per rispondervi... Anche per questo in pochi ti vengono dietro.
[/OT]

Tanto semplici che questo post, come molti altri, è arrivato alla quinta pagina?
Le alternative sono due:
1) sono io un imbecille e non comprendo le risposte che date;
2) siete voi che non sapete rispondere in maniera precisa ad una domanda.[/quote]
Leggendo la qualità delle risposte date, sarei tentato di scartare la seconda alternativa.

[Sk_Anonymous]

Va bene dai, allora credo che la cosa migliore sia chiudere qui la discussione. Tanto io in primo luogo non ho più nulla da aggiungere sulla questione, e se anche avessi qualcosa da dire, saprei già quale risposta attendermi; in secondo luogo perchè sento di aver raggiunto un equilibrio interiore che mi fa stare più tranquillo, e perchè quello che so basta ed avanza ai miei scopi ingegneristici; in terzo luogo perchè ho avuto la sgradevole impressione che alcuni utenti del forum "godono" a tenersi le risposte per sè.
Fine della predica.

[gugo82]

"lisdap":ho avuto la sgradevole impressione che alcuni utenti del forum "godono" a tenersi le risposte per sè

Chi?

Nella discussione sono intervenuti (nell'ordine): me stesso, Rigel, Paolo90, WiZaRd, garnak.olegovitc e Martino. Non mi sembra che nussuno abbia lesinato sui caratteri in quanto a risposte... Quindi?

[Studente Anonimo]

"lisdap":ho avuto la sgradevole impressione che alcuni utenti del forum "godono" a tenersi le risposte per sè

Se mi posso permettere, lisdap, secondo me stai proiettando su altre persone la tua (comunissima e naturalissima) lentezza ad abituarti ai concetti di cui parli. In altre parole, secondo me "confondi" le sensazioni che provi, le scambi. La confusione la vedi nei libri che leggi, in realtà è nella tua testa. A priori ci vuole molto tempo per abituarsi ai concetti astratti, cerca di non bruciare le tappe

Questo mi sembra uno di quei casi in cui una cosa è all'inizio facile e carina, e poi diventa meno e meno ovvia quanto più se ne discute, finché alla fine qualcuno non si convince che quella cosa facile e carina è in realtà un casino pazzesco, quando in realtà era davvero facile e carina. E questo solo perché se n'è discusso molto a lungo.

[garnak.olegovitc1]

Salve lisdap,

"lisdap":ho avuto la sgradevole impressione che alcuni utenti del forum "godono" a tenersi le risposte per sè

mi stranizza un pò questa tua affermazione, comunque è opinabile da diversi punti di vista. Diciamo che, dopo aver dato l'esame di analisi mi sono ritrovato nelle tue stesse condizioni e per maneggiare def. rigorose ho dovuto studiare da autodidatta un pò di logica.... Non avendo mai studiato questa ho chiesto consigli, spiegazioni e delucidazioni, ma ho studiato e con rispetto ho accettato la qualsiasi, non ho buttato sentenze sul semplice fatto di non avere, o riuscire in, una cosa... ho continuato a studiare insomma......
Studiando logica e teoria degli insiemi mi sono ritrovato alcune def. in maniera più formale, la def. di funzione può essere resa nel nostro linguaggio naturale ma può essere formalizzata nel linguaggio matematico.
Di recente mi sono imbattuto, assieme a colleghi di matematica e docenti, nel rendere più formale la def. di funzione scoprendo che è possibile ottenere divere formalizzazioni del concetto di funzione, basterebbe poi dimostrare l'equivalenza di queste ....
La tua questione, dal mio punto di vista, è lecita ed può essere risolta in diversi modi...
Io, personalmente, l'ho risolta così:

"garnak.olegovitc":Salve a tutti,
devo a priori ringraziare il dott. G.Lolli, e per completezza dell'argomento posto la "soluzione" al mio quesito, soluzione da me in parte trovata, consultando testi da Lui segnalati, ed in altra parte, relativa alle parentesi, da Lui aggiustata e riformulata con opportune e molteplici osservazioni in merito:

$Def.:$ $rel(A) harr AAX(X in A -> EER,EET(X=))$

[size=97]$Def.:$ $func(A) harr rel(A) ^^ AAX,AAY,AAZ(EER,EET(R= ^^ R in A ^^ T= ^^ T in A) -> Y=Z)$[/size]

Spero di non aver fatto errori di digitazione.

Distinti saluti

Se hai dubbi proponili, se non ottieni risposte adeguate allora poni male il problema quindi o lo riponi giustamente o poni direttamente la soluzione, trovata esternamente.

Cordiali saluti

P.S.=E' normale che alcune def. date intuitivamente risultino fallaci in altri contesti.

[garnak.olegovitc1]

Salve gugo82,

"gugo82":Visto che parli da tempo di relazioni, dovresti sapere che (formalmente) una funzione \(f\) tra due insiemi non vuoti \(X\) e \(Y\) è una particolare relazione tra \(X\) e \(Y\); per essere precisi è una relazione (i.e. un sottoinsieme di \(X\times Y\)) che gode della seguente proprietà:
\[
\forall (x_1,y_1),(x_2, y_2)\in f,\quad x_1=x_2 \ \Rightarrow \ y_1=y_2 \; .
\]
Questa definizione (seppure formalmente ineccepibile) ha due grosse pecche: 1 è totalmente inutile a chi non sappia nulla di Algebra Astratta e 2 non è applicabile in alcuni interessantissimi "casi concreti".
Mentre il punto 1 è evidente (se uno non ha mai sentito parlare di relazioni, la definizione di funzione non la può capire), il punto 2 rimane oscuro finché non si affronta l'Analisi Complessa...
Ad esempio, è comune, in Analisi Complessa, avere a che fare con "funzioni" che ad uno stesso punto assegnano più valori diversi: tali "funzioni" si chiamano funzioni multivoche o polidrome e si presentano necessariamente quando si elabora la teoria della variabile complessa (nel senso che esse non possono "essere evitate"), pur non essendo funzioni del tipo definito sopra.

permettimi di dire qualcosa, solamente ora mi accorgo di questo intervento. Ma, a mio parere, la precisazione di funzione multivoche è inutile poichè la teoria degli insiemi che si tratta considera tutto insieme, e quindi gli insiemi sono formati a sua volta da insiemi.... a meno che i numeri li consideriamo, in questo argomento, come entità astratte già date e non come insiemi..???.. Se così fosse allora bisognerebbe definire cos'è un non-insieme...
Cosa pensi in merito?

Cordiali saluti

[gugo82]

Non ne penso nulla, garnak.

Secondo la definizione riportata sopra, una funzione è "qualcosa" che ad ogni elemento di un insieme associa un unico elemento di un altro insieme. Quindi il logaritmo complesso, o le radici \(n\)-esime, non sono funzioni di \(\mathbb{C}\) in sé secondo queste definizioni.
Per ottenere funzioni che rispettino la definizione, dovremmo quozientare \(\mathbb{C}\) usando la relazione d'equivalenza indotta da tali "relazioni", ma questa scappatoia non serve a granché a chi non si occupa d'Algebra: infatti, quozientando diventa impossibile (o, comunque, inutilmente più complicato) fare Calcolo Differenziale ed Integrale.

Dato che è insensato buttare a mare la possibilità di fare Calcolo perché non è rispettata una definizione, tanto vale ammettere altre "definizioni" di funzione più utili allo scopo.

Insomma, il messaggio che intendevo veicolare col mio precedente post è: è inutile stare a fare il capello in quattro quando non serve.
La Teoria degli Insiemi serve a fare cose serie, non come trastullo onanistico per studenti imberbi.

[garnak.olegovitc1]

Salve gugo82,

"gugo82":Non ne penso nulla, garnak.

Secondo la definizione riportata sopra, una funzione è "qualcosa" che ad ogni elemento di un insieme associa un unico elemento di un altro insieme. Quindi il logaritmo complesso, o le radici \(n\)-esime, non sono funzioni di \(\mathbb{C}\) in sé secondo queste definizioni.
Per ottenere funzioni che rispettino la definizione, dovremmo quozientare \(\mathbb{C}\) usando la relazione d'equivalenza indotta da tali "relazioni", ma questa scappatoia non serve a granché a chi non si occupa d'Algebra: infatti, quozientando diventa impossibile (o, comunque, inutilmente più complicato) fare Calcolo Differenziale ed Integrale.

Dato che è insensato buttare a mare la possibilità di fare Calcolo perché non è rispettata una definizione, tanto vale ammettere altre "definizioni" di funzione più utili allo scopo.

Insomma, il messaggio che intendevo veicolare col mio precedente post è: è inutile stare a fare il capello in quattro quando non serve.
La Teoria degli Insiemi serve a fare cose serie, non come trastullo onanistico per studenti imberbi.

in un certo senso sono d'accordo.

Cordiali saluti

[maurer]

Premessa: chiedo perché sono ignorante in merito.

"gugo82":
Secondo la definizione riportata sopra, una funzione è "qualcosa" che ad ogni elemento di un insieme associa un unico elemento di un altro insieme. Quindi il logaritmo complesso, o le radici \(n\)-esime, non sono funzioni di \(\mathbb{C}\) in sé secondo queste definizioni.
Per ottenere funzioni che rispettino la definizione, dovremmo quozientare \(\mathbb{C}\) usando la relazione d'equivalenza indotta da tali "relazioni", ma questa scappatoia non serve a granché a chi non si occupa d'Algebra: infatti, quozientando diventa impossibile (o, comunque, inutilmente più complicato) fare Calcolo Differenziale ed Integrale.

Almeno per quanto riguarda il logaritmo complesso, non si può sostituire a [tex]\mathbb C[/tex] una superficie di Riemann opportunamente definita? In questo modo il calcolo differenziale e integrale può essere tranquillamente svolto con le tecniche della geometria differenziale e si recupera il logaritmo come una funzione... Esistono forse dei casi in cui questa tipologia di approccio si rivela inutile?

[garnak.olegovitc1]

Salve maurer,

"maurer":Premessa: chiedo perché sono ignorante in merito.

Almeno per quanto riguarda il logaritmo complesso, non si può sostituire a [tex]\mathbb C[/tex] una superficie di Riemann opportunamente definita? In questo modo il calcolo differenziale e integrale può essere tranquillamente svolto con le tecniche della geometria differenziale e si recupera il logaritmo come una funzione... Esistono forse dei casi in cui questa tipologia di approccio si rivela inutile?

premetto che non sono ben preparato in materia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm#The_associated_Riemann_surface

preferisco comunque affidare la cosa nella mani di un esperto.

Cordiali saluti

[maurer]

"garnak.olegovitc":
http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm#The_associated_Riemann_surface

Non intendevo ignorante rispetto a questo... Fin qui lo so anch'io! Mi chiedevo se Gugo82 aveva in mente qualche esempio più specifico in cui un simile approccio non può essere portato avanti.
O se ha qualche obiezione ad utilizzare le tecniche della geometria differenziale...

Ok, ho riletto il precedente messaggio ed in effetti avevo formulato male...

[garnak.olegovitc1]

Salve maurer,

"maurer":
Mi chiedevo se Gugo82 aveva in mente qualche esempio più specifico in cui un simile approccio non può essere portato avanti.
O se ha qualche obiezione ad utilizzare le tecniche della geometria differenziale...

quoto pienamente.

Cordiali saluti