Assiomi di Zermelo-Fraenkel

[DR1]

a tutti , gli assiomi di cui si parla fanno parte della logica matematica in generale o valgono solo per gli insiemi ?
Nell'assioma di estensionalità, si può sostituire il secondo $iff$ con $^^$ in questo modo $AA$A,$AA$B,$AA$C A=B $iff$ (C$in$A $^^$ C$in$B) ? Un'altra cosa che non capisco è come fa un insieme ad appartenere ad un'altro insieme; no dovrebbe essere più corretto invece $AA$A,$AA$B,$AA$C A=B $iff$ (C$supe$A $^^$ C$supe$B) ?

[Sk_Anonymous]

"GundamRX91":[quote="Alfius"]Facciamo un po' di ordine: vogliamo "calcolare" la negazione della proposizione $\forall c (c\in A\Leftrightarrow c\in B)$
Quando facciamo la negazione come si "inverte" il simbolo $\Leftrightarrow$ ? Personalmente avrei un'idea, ma per procedere in modo oggettivo aggiriamo il problema riscrivendo la proposizione in questo modo equivalente
...

[tex](\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B)=(\forall x)((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in A))=[/tex]
[tex]=(\forall x)\{[\neg (x \in A \land \neg (x \in B))] \land [\neg (x \in B \land \neg (x \in A))]\}=[/tex]
[tex]=(\forall x)[(\neg (x \in A) \lor x \in B) \land (\neg (x \in B) \lor x \in A)][/tex]

Ora la negazione è:

[tex]\neg \{(\forall x)[(\neg (x \in A) \lor x \in B) \land (\neg (x \in B) \lor x \in A)] \}=[/tex]
[tex]=(\exists x)[(x \in A \land \neg (x \in B)) \lor (x \in B \land \neg (x \in A))][/tex]

Spero di non aver commesso troppi errori... [/quote]

Che è la stessa cosa che ho scritto io dato che ($\dot\vee$ è l'or esclusivo)
$(\exists x)[(x \in A \wedge \neg (x \in B)) \vee (x \in B \wedge \neg (x \in A))]=(\exists C)[(c\in A) \dot{\vee} (c\in B)]$

Comunque sono contento di leggere una spiegazione molto più chiara della mia riguardo alla prima parte (i nostri due modi di riscrivere l'assioma $P_1<=>P_2$ sono equivalenti, però la tua spiegazione è più rigorosa).

[garnak.olegovitc1]

Salve Alfius,

"Alfius":Facciamo un po' di ordine: vogliamo "calcolare" la negazione della proposizione $\forall c (c\in A\Leftrightarrow c\in B)$
Quando facciamo la negazione come si "inverte" il simbolo $\Leftrightarrow$ ? Personalmente avrei un'idea, ma per procedere in modo oggettivo aggiriamo il problema riscrivendo la proposizione in questo modo equivalente

$\forall C[(c\in A\wedge c\in B)\vee(c\notin A\wedge c\notin B)]$

La negazione diventa allora $\existsC[\not (c\in A\wedge c\in B)\wedge\not(c\notin A\wedge c\notin B)]$

Vale a dire $\exists C[(c\notin A\vee c\notin B)\wedge (c\in A\vee c\in B)]$

Dunque $\exists C[(c\in A) \dot{\vee} (c\in B)]$ dove $\dot{\vee}$ è il simbolo di "or esclusivo".

mi pare sia giusto!

Cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

Salve Kashaman,

"Kashaman":la proposizione è da negare è tutta questa
$A=B <=> AAc(c in A <=> c in B)$
poi boh, un logico saprà dire se ciò che dici è giusto Alfius di logica ne so poco.

perchè mai la devi negare? E' un assioma che si suppone esser vero ed in quanto co-implicazione del tipo $A harr B$ è vera anche quando $A$ e $B$ sono falsi...

Cordiali saluti

[gundamrx91-votailprof]

"Alfius":[quote="GundamRX91"][quote="Alfius"]Facciamo un po' di ordine: vogliamo "calcolare" la negazione della proposizione $\forall c (c\in A\Leftrightarrow c\in B)$
Quando facciamo la negazione come si "inverte" il simbolo $\Leftrightarrow$ ? Personalmente avrei un'idea, ma per procedere in modo oggettivo aggiriamo il problema riscrivendo la proposizione in questo modo equivalente
...

[tex](\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B)=(\forall x)((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in A))=[/tex]
[tex]=(\forall x)\{[\neg (x \in A \land \neg (x \in B))] \land [\neg (x \in B \land \neg (x \in A))]\}=[/tex]
[tex]=(\forall x)[(\neg (x \in A) \lor x \in B) \land (\neg (x \in B) \lor x \in A)][/tex]

Ora la negazione è:

[tex]\neg \{(\forall x)[(\neg (x \in A) \lor x \in B) \land (\neg (x \in B) \lor x \in A)] \}=[/tex]
[tex]=(\exists x)[(x \in A \land \neg (x \in B)) \lor (x \in B \land \neg (x \in A))][/tex]

Spero di non aver commesso troppi errori... [/quote]

Che è la stessa cosa che ho scritto io dato che ($\dot\vee$ è l'or esclusivo)
$(\exists x)[(x \in A \wedge \neg (x \in B)) \vee (x \in B \wedge \neg (x \in A))]=(\exists C)[(c\in A) \dot{\vee} (c\in B)]$

Comunque sono contento di leggere una spiegazione molto più chiara della mia riguardo alla prima parte (i nostri due modi di riscrivere l'assioma $P_1<=>P_2$ sono equivalenti, però la tua spiegazione è più rigorosa). [/quote]

Direi che anche tu sei chiarissimo Per l'or esclusivo se non sbaglio si può usare il simbolo [tex]\otimes[/tex]
Per il resto, grazie

Edit: ops non avevo notato il puntino sopra il simbolo dell'or... [tex]\dot \lor[/tex]

[DR1]

"Alfius":Quando facciamo la negazione come si "inverte" il simbolo ⇔ ?

Grande Alfius è queo che mi stavo chiedendo anch'io dopo essermi accorto di avere scritto di questo genere

$A=B <=> AA x ( x in A <=> x in B)$ si nega al seguente modo $A!=B <=> EEx(x $ non $ in A <=> x $ non $in B)$

ma ora grazie a te e a GundamRX91

"GundamRX91":
[tex](\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B)=(\forall x)((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in A))=[/tex]
[tex]=(\forall x)\{[\neg (x \in A \land \neg (x \in B))] \land [\neg (x \in B \land \neg (x \in A))]\}=[/tex]
[tex]=(\forall x)[(\neg (x \in A) \lor x \in B) \land (\neg (x \in B) \lor x \in A)][/tex]

Ora la negazione è:

[tex]\neg \{(\forall x)[(\neg (x \in A) \lor x \in B) \land (\neg (x \in B) \lor x \in A)] \}=[/tex]
[tex]=(\exists x)[(x \in A \land \neg (x \in B)) \lor (x \in B \land \neg (x \in A))][/tex]

so che la negazione logica di $A=B <=> AA x ( x in A <=> x in B)$ è [tex](\exists x)[(x \in A \land \neg (x \in B)) \lor (x \in B \land \neg (x \in A))][/tex] Siete una

[DR1]

"GundamRX91":in pratica avrei:

P⇔Q⇔R
¬P⇔¬Q⇔¬R

Confermate?

Nel caso dalla prima ottengo la seguente tavola di verità (indico solo la colonna risultante) VFFVFVVF, mentre dalla seconda ottengo FVVFVFFV.

ora, verificato che la negazione logica di $A=B <=> AA x ( x in A <=> x in B)$ è [tex](\exists x)[(x \in A \land \neg (x \in B)) \lor (x \in B \land \neg (x \in A))][/tex] è ovvio che le tavole di verità sono quelle, infatti se P vera $not$P è falsa.

"GundamRX91":Se le proposizioni sono equivalenti, ho fatto sicuramente un errore... Dove?????

le proposizioni equivaltenti che hai scritto tu non sono l'una la negazione dell'altra, ma la seconda dovrebbe rappresentare il caso in cui nella proposizione $A=B <=> AA x ( x in A <=> x in B)$ sia tutto falso; in conclusione le proposizioni sono equivaeti perchè se fai la tavola di verità per $A=B <=> AA x ( x in A <=> x in B)$ avrai due casi in cui il risultato sarà vero e saranno proprio

P⇔Q⇔R
¬P⇔¬Q⇔¬R

, spero di avere chiarito.

[Kashaman]

"DR1":è queo che mi stavo chiedendo anch'io dopo essermi accorto di avere scritto di questo genere

$A=B <=> AA x ( x in A <=> x in B)$ si nega al seguente modo $A!=B <=> EEx(x $ non $ in A <=> x $ non $in B)$

mi sa che hai sbagliato verbo, visto che quell'emerita boiata l'ho scritta io .
E prima di citare le mie "bugie", faresti bene a citare le tue, senza offesa eh, ma l'ho presa come una punzecchiatura e robe del genere mi stanno letteralmente sui così detti.
Sono umano , sono giovane e posso sbagliare. e qui concludo, scusa tanto se ho frainteso .

PS : Bravi ragazzi, ora ho imparato una cosa nuova, Siete stati davvero esaustivi

[DR1]

"Kashaman":[quote="DR1"]è queo che mi stavo chiedendo anch'io dopo essermi accorto di avere scritto di questo genere

$A=B <=> AA x ( x in A <=> x in B)$ si nega al seguente modo $A!=B <=> EEx(x $ non $ in A <=> x $ non $in B)$

mi sa che hai sbagliato verbo, visto che quell'emerita boiata l'ho scritta io .
E prima di citare le mie "bugie", faresti bene a citare le tue, senza offesa eh, ma l'ho presa come una punzecchiatura e robe del genere mi stanno letteralmente sui così detti.
Sono umano , sono giovane e posso sbagliare. e qui concludo, scusa tanto se ho frainteso .

PS : Bravi ragazzi, ora ho imparato una cosa nuova, Siete stati davvero esaustivi [/quote]
ho usato le tue sotanto per facilità di copia/incolla ,perchè ,dato il numero di messaggi, non ritrovavo le mie che erano le stesse

[DR1]

Dove trovo le videolezioni su questi assiomi ?

[garnak.olegovitc1]

Salve DR1,

"DR1":Dove trovo le videolezioni su questi assiomi ?

io trovo queste:

http://www.youtube.com/user/rlindeque

Cordiali saluti

[DR1]

Grazie garnak.olegovitc

[DR1]

Nella versione ufficiale dell'assioma della fondatezza qui quali sono gli insiemi e quali gli elementi ?

[Mrhaha]

Ammetto di non aver letto tutta la discussione, ma mi sembra opportuno affrontare qui la seguente questione:
Questa teoria come affronta il paradosso di Russell, o meglio come affronta il problema de "l'insieme di tutti gli insiemi"?

[garnak.olegovitc1]

Salve DR1,

"DR1":Nella versione ufficiale dell'assioma della fondatezza qui quali sono gli insiemi e quali gli elementi ?

la variabile è di un solo tipo, ovvero sono tutti insiemi...in effetti è facile capirlo perchè l'uguaglianza con l'insieme vuoto è solamente con insiemi ed l'operazione di intersezione è anch'essa solo con insiemi quindi le variabili $x$ e $y$ fanno rifermento solamente ad insiemi... almeno se vogliamo essere rigorosi..

Cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

Salve Mrhaha,

"Mrhaha":Ammetto di non aver letto tutta la discussione, ma mi sembra opportuno affrontare qui la seguente questione:
Questa teoria come affronta il paradosso di Russell, o meglio come affronta il problema de "l'insieme di tutti gli insiemi"?

ti riferisci alla questione del paradosso di Russell nella teoria degli insiemi ZF?

Cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

Salve Mrhaha,
mi ricordo di aver letto un qualcosa qui
Cordiali saluti

[Mrhaha]

Grazie Garnak! Mi piace tanto !

[PZf]

"Mrhaha":Ammetto di non aver letto tutta la discussione, ma mi sembra opportuno affrontare qui la seguente questione:
Questa teoria come affronta il paradosso di Russell, o meglio come affronta il problema de "l'insieme di tutti gli insiemi"?

Dicendo che quello non è un insieme.

[Mrhaha]

Sì, questo l'avevo capito. Però dietro secondo me c'è qualcosa di più! Quando per esempio si parla di cardinalità, introducendo la relazione di equivalenza di equinumerosità tra insiemi, la cardinalità di un certo insieme altro non è che un elemento (o meglio una classe di equivalenza) dell'insieme degli insiemi quozientato su tale relazione. Io non ho mai sentito parlare di quoziente su qualcosa che non sia un insieme.

[PZf]

Non credo che, nella teoria assiomatica di ZF, la cardinalità di un insieme sia da considerarsi come l'insieme contenente al suo interno tutti gli insiemi equipotenti fra loro (ed equipotenti all'insieme di cui si parla).
Infatti, non c'è modo (credo) di combinare gli assiomi della teoria di ZF in modo da poter dimostrare l'esistenza di un insieme così fatto.
Quindi la classe di equivalenza che hai in mente, se non ragiono male, in realtà non è un insieme.

In teorie diverse da ZF la cardinalità può essere vista come una classe, ma non come un insieme. Nelle stesse teorie esiste la classe contenente tutti gli insiemi (senza creare paradossi).