Assiomi di Zermelo-Fraenkel
a tutti , gli assiomi di cui si parla fanno parte della logica matematica in generale o valgono solo per gli insiemi ?Nell'assioma di estensionalità, si può sostituire il secondo $iff$ con $^^$ in questo modo $AA$A,$AA$B,$AA$C A=B $iff$ (C$in$A $^^$ C$in$B) ? Un'altra cosa che non capisco è come fa un insieme ad appartenere ad un'altro insieme; no dovrebbe essere più corretto invece $AA$A,$AA$B,$AA$C A=B $iff$ (C$supe$A $^^$ C$supe$B) ?
Risposte
Gli assiomi ZF (Zermelo-Fraenkel) o ZFC (la C sta per Choice, cioè indica la presenza dell'assioma di scelta) si riferiscono all'omonima teoria assiomatica degli insiemi.
L'assioma di estensionalità dice che due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi: [tex](\forall A)(\forall B)(A = B \Leftrightarrow (\forall C)(C \in A \Leftrightarrow C \in B))[/tex] che è differente da [tex](\forall A)(\forall B)(A = B \Leftrightarrow (\forall C)(C \in A \land C \in B))[/tex] in quanto gli operatori logici [tex]\Leftrightarrow[/tex] e [tex]\land[/tex] hanno tavole di verità differenti (sai cosa sono le tavole di verità?).
L'assioma di estensionalità dice che due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi: [tex](\forall A)(\forall B)(A = B \Leftrightarrow (\forall C)(C \in A \Leftrightarrow C \in B))[/tex] che è differente da [tex](\forall A)(\forall B)(A = B \Leftrightarrow (\forall C)(C \in A \land C \in B))[/tex] in quanto gli operatori logici [tex]\Leftrightarrow[/tex] e [tex]\land[/tex] hanno tavole di verità differenti (sai cosa sono le tavole di verità?).
Salve DR1,
quoto con GundamRX91, invece:
quella quantificazione dove l'hai letta? O se per caso è frutto di una manipolazione potresi scriverci il ragionamento!
Cordiali saluti
"DR1":
:smt006 a tutti , gli assiomi di cui si parla fanno parte della logica matematica in generale o valgono solo per gli insiemi ?
Nell'assioma di estensionalità, si può sostituire il secondo $iff$ con $^^$ in questo modo $AA$A,$AA$B,$AA$C A=B $iff$ (C$in$A $^^$ C$in$B) ? Un'altra cosa che non capisco è come fa un insieme ad appartenere ad un'altro insieme; no dovrebbe essere più corretto invece $AA$A,$AA$B,$AA$C A=B $iff$ (C$supe$A $^^$ C$supe$B) ?
quoto con GundamRX91, invece:
"DR1":
Un'altra cosa che non capisco è come fa un insieme ad appartenere ad un'altro insieme; no dovrebbe essere più corretto invece $AA$A,$AA$B,$AA$C A=B $iff$ (C$supe$A $^^$ C$supe$B) ?
quella quantificazione dove l'hai letta? O se per caso è frutto di una manipolazione potresi scriverci il ragionamento!
Cordiali saluti
"DR1":
Un'altra cosa che non capisco è come fa un insieme ad appartenere ad un'altro insieme; no dovrebbe essere più corretto invece $AA$A,$AA$B,$AA$C A=B $iff$ (C$supe$A $^^$ C$supe$B) ?
secondo me qui confondi
questo : $A=B <=> A sube B ^^ B sube A$
con questo $A=B<=>AAx(x in A <=> x in B)$
"GundamRX91":
gli operatori logici ⇔ e ∧ hanno tavole di verità differenti
vero ,infatti A$^^$B è vera solo quando sono vere entrambe A e B , mentre A$iff$B è vera anche quando sono entrambe false; da cio dovrebbe risultare vera ∀A,∀B,∀C A$!=$B ⇔ (C$notin$A $iff$ C$notin$B) ,giusto ?
Al di là del fatto che quella proposizione possa essere vera o falsa, per sapere se è "uguale" all'altra basta confrontarle (intendo le tavole di verità). Che ne dici di provare? 
"Kashaman ":
secondo me qui confondi
questo : A=B⇔A⊆B∧B⊆A
con questo A=B⇔∀x(x∈A⇔x∈B)
vero, ma la colpa è di come vengono usati i simboli qui , un elemento si indica con la minuscola(quindi c e non C) , anche se a parole è scritto che è un elemento; per concludere l'unica scrittura corretta è dunque questa $AA$A, $AA$B A=B⇔∀x(x∈A⇔x∈B), dove A,B sono insiemi e x è un elemento d'insieme.
"GundamRX91":
basta confrontarle (intendo le tavole di verità). Che ne dici di provare?
Grazie GundamRX91 ma non c'è bisogno, perchè è ovvio che per come è definita la doppia implicazione ∀A, ∀B A=B⇔∀x(x∈A⇔x∈B) è vera solo quando queste A=B(P1) x∈A(P2) x∈B(P3) proposizioni(P) sono tutte vere (∀A, ∀B A=B⇔∀x(x∈A⇔x∈B)) o tutte false (∀A,∀B,∀C A≠B ⇔ (C∉A ⇔ C∉B))
sbagli .
la proposizione :
$A=B <=> AA x ( x in A <=> x in B)$ si nega al seguente modo ( correggetemi se sbaglio!!)
$A!=B <=> EEx(x $ non $ in A <=> x $ non $in B)$.
quando si nega il $AA$ si ottiene un $EE$
la proposizione :
$A=B <=> AA x ( x in A <=> x in B)$ si nega al seguente modo ( correggetemi se sbaglio!!)
$A!=B <=> EEx(x $ non $ in A <=> x $ non $in B)$.
quando si nega il $AA$ si ottiene un $EE$
Ha ragione Kashaman, la negazione di un quantificatore logico lo "trasforma" nell'altro:
[tex]\neg (\forall x) = (\exists x)[/tex]
[tex]\neg (\exists x) = (\forall x)[/tex]
Però, salvo errori, ho provato a sviluppare le tavole di verità delle due proposizioni:
[tex](\forall A)(\forall B)(A=B \Leftrightarrow (\forall C)(C \in A \Leftrightarrow C \in B))[/tex]
[tex](\forall A)(\forall B)(\neg (A=B) \Leftrightarrow (\exists C)(\neg (C \in A) \Leftrightarrow \neg (C \in B)))[/tex]
posto [tex]P=(A=B), Q=(C \in A), R=(C \in B)[/tex]
in pratica avrei:
[tex]P \Leftrightarrow Q \Leftrightarrow R[/tex]
[tex]\neg P \Leftrightarrow \neg Q \Leftrightarrow \neg R[/tex]
Confermate?
Nel caso dalla prima ottengo la seguente tavola di verità (indico solo la colonna risultante) VFFVFVVF, mentre dalla seconda ottengo FVVFVFFV.
Se le proposizioni sono equivalenti, ho fatto sicuramente un errore... Dove?????
[tex]\neg (\forall x) = (\exists x)[/tex]
[tex]\neg (\exists x) = (\forall x)[/tex]
Però, salvo errori, ho provato a sviluppare le tavole di verità delle due proposizioni:
[tex](\forall A)(\forall B)(A=B \Leftrightarrow (\forall C)(C \in A \Leftrightarrow C \in B))[/tex]
[tex](\forall A)(\forall B)(\neg (A=B) \Leftrightarrow (\exists C)(\neg (C \in A) \Leftrightarrow \neg (C \in B)))[/tex]
posto [tex]P=(A=B), Q=(C \in A), R=(C \in B)[/tex]
in pratica avrei:
[tex]P \Leftrightarrow Q \Leftrightarrow R[/tex]
[tex]\neg P \Leftrightarrow \neg Q \Leftrightarrow \neg R[/tex]
Confermate?
Nel caso dalla prima ottengo la seguente tavola di verità (indico solo la colonna risultante) VFFVFVVF, mentre dalla seconda ottengo FVVFVFFV.
Se le proposizioni sono equivalenti, ho fatto sicuramente un errore... Dove?????
"Kashaman":
sbagli .
la proposizione :
$A=B <=> AA x ( x in A <=> x in B)$ si nega al seguente modo ( correggetemi se sbaglio!!)
$A!=B <=> EEx(x $ non $ in A <=> x $ non $in B)$.
quando si nega il $AA$ si ottiene un $EE$
vero, ma non ho detto che (∀A,∀B,∀C A≠B ⇔ (C∉A ⇔ C∉B)) è la negazione di $A=B <=> AA x ( x in A <=> x in B)$ , ma rappresenta il caso in cui (nella tavola della verità) tutte le proposizioni risultassero false, quindi la risultante vera.
"GundamRX91":
Ha ragione Kashaman, la negazione di un quantificatore logico lo "trasforma" nell'altro:
¬(∀x)=(∃x)
¬(∃x)=(∀x)
si però tu non l'hai fatto
"GundamRX91":
(∀A)(∀B)(¬(A=B)⇔(∃C)(¬(C∈A)⇔¬(C∈B)))
"GundamRX91":
(∀A)(∀B)
corretto ($EE$A)($EE$B)(¬(A=B)⇔(∃C)(¬(C∈A)⇔¬(C∈B)))
"GundamRX91":
in pratica avrei:
P⇔Q⇔R
¬P⇔¬Q⇔¬R
Confermate?
Nel caso dalla prima ottengo la seguente tavola di verità (indico solo la colonna risultante) VFFVFVVF, mentre dalla seconda ottengo FVVFVFFV.
Se le proposizioni sono equivalenti, ho fatto sicuramente un errore... Dove?????
sta attento
P⇔(Q⇔R)
¬P⇔(¬Q⇔¬R)
......ora devo andare......
ma questa è la def formale :
$AA A , B (A=B)<=> AAc( c in A <=> c in B)$?
secondo me i quantificatori per gli insiemi sono superflui..... poi vabbeh , smentitemi!
non sarebbe più corretto dire. (più comodo diciamo)
Dati $A$ $B$ insiemi
$(A=B)<=>AAc(c in A <=> c in B)$?
$AA A , B (A=B)<=> AAc( c in A <=> c in B)$?
secondo me i quantificatori per gli insiemi sono superflui..... poi vabbeh , smentitemi!
non sarebbe più corretto dire. (più comodo diciamo)
Dati $A$ $B$ insiemi
$(A=B)<=>AAc(c in A <=> c in B)$?
"DR1":
[quote="GundamRX91"]Ha ragione Kashaman, la negazione di un quantificatore logico lo "trasforma" nell'altro:
¬(∀x)=(∃x)
¬(∃x)=(∀x)
si però tu non l'hai fatto
"GundamRX91":
(∀A)(∀B)(¬(A=B)⇔(∃C)(¬(C∈A)⇔¬(C∈B)))
"GundamRX91":
(∀A)(∀B)
corretto ($EE$A)($EE$B)(¬(A=B)⇔(∃C)(¬(C∈A)⇔¬(C∈B)))
"GundamRX91":
in pratica avrei:
P⇔Q⇔R
¬P⇔¬Q⇔¬R
Confermate?
Nel caso dalla prima ottengo la seguente tavola di verità (indico solo la colonna risultante) VFFVFVVF, mentre dalla seconda ottengo FVVFVFFV.
Se le proposizioni sono equivalenti, ho fatto sicuramente un errore... Dove?????
sta attento
P⇔(Q⇔R)
¬P⇔(¬Q⇔¬R)
......ora devo andare......
[/quote]Salvo errore di "calcolo" sono diversi anche in questo modo.
"GundamRX91":puoi scrivere le tavole di verità per estese usando p= A=B, q=x$in$A, r=x$in$a, s= (x$in$a $iff$ x$in$A) t= (x$in$a $iff$ x$in$A) $iff$ A=B, quindi per le negazioni $not$p, $not$q, $not$r, $not$s, $not$t ; cosi da trovare l'errore
Salvo errore di "calcolo" sono diversi anche in questo modo.
es: pv qv rv sv tv risultato v
Salve Kashaman
si hai ragione, mi sembra un pò meno ampolloso e assiomatico... condivido in pieno!
Cordiali saluti
"Kashaman":
ma questa è la def formale :
$AA A , B (A=B)<=> AAc( c in A <=> c in B)$?
secondo me i quantificatori per gli insiemi sono superflui..... poi vabbeh , smentitemi!
non sarebbe più corretto dire. (più comodo diciamo)
Dati $A$ $B$ insiemi
$(A=B)<=>AAc(c in A <=> c in B)$?
si hai ragione, mi sembra un pò meno ampolloso e assiomatico... condivido in pieno!
Cordiali saluti
allora in tal caso l'unica negazione plausibile è questa
$A!=B<=>EEc(c $non $in A<=>$non $in B)$
$A!=B<=>EEc(c $non $in A<=>$non $in B)$
Facciamo un po' di ordine: vogliamo "calcolare" la negazione della proposizione $\forall c (c\in A\Leftrightarrow c\in B)$
Quando facciamo la negazione come si "inverte" il simbolo $\Leftrightarrow$ ? Personalmente avrei un'idea, ma per procedere in modo oggettivo aggiriamo il problema riscrivendo la proposizione in questo modo equivalente
$\forall C[(c\in A\wedge c\in B)\vee(c\notin A\wedge c\notin B)]$
La negazione diventa allora $\existsC[\not (c\in A\wedge c\in B)\wedge\not(c\notin A\wedge c\notin B)]$
Vale a dire $\exists C[(c\notin A\vee c\notin B)\wedge (c\in A\vee c\in B)]$
Dunque $\exists C[(c\in A) \dot{\vee} (c\in B)]$ dove $\dot{\vee}$ è il simbolo di "or esclusivo".
Controesempio: siano $A=\{1\}$ e $B=\{1\}$ (chiaramente sono uguali) ma $2\notin A\Leftrightarrow 2\notin B$ è vera
Quando facciamo la negazione come si "inverte" il simbolo $\Leftrightarrow$ ? Personalmente avrei un'idea, ma per procedere in modo oggettivo aggiriamo il problema riscrivendo la proposizione in questo modo equivalente
$\forall C[(c\in A\wedge c\in B)\vee(c\notin A\wedge c\notin B)]$
La negazione diventa allora $\existsC[\not (c\in A\wedge c\in B)\wedge\not(c\notin A\wedge c\notin B)]$
Vale a dire $\exists C[(c\notin A\vee c\notin B)\wedge (c\in A\vee c\in B)]$
Dunque $\exists C[(c\in A) \dot{\vee} (c\in B)]$ dove $\dot{\vee}$ è il simbolo di "or esclusivo".
"Kashaman":
allora in tal caso l'unica negazione plausibile è questa
$A!=B<=>EEc(c \notin A<=>notin B)$
Controesempio: siano $A=\{1\}$ e $B=\{1\}$ (chiaramente sono uguali) ma $2\notin A\Leftrightarrow 2\notin B$ è vera
la proposizione è da negare è tutta questa
$A=B <=> AAc(c in A <=> c in B)$
poi boh, un logico saprà dire se ciò che dici è giusto Alfius di logica ne so poco.
$A=B <=> AAc(c in A <=> c in B)$
poi boh, un logico saprà dire se ciò che dici è giusto Alfius
di logica ne so poco.
Anch'io ne so poco di logica quindi non è detto che non abbia commesso errori, anzi, non mi sorprenderebbe.
Quanto all'osservazione che hai fatto, provo a rispondere (per il poco che ne so) facendo ordine in questo modo: chiamiamo $P_1$ la proposizione $A=B$ e $P_2$ la proposizione $\forall c(c\inA\Leftrightarrow c\inB)$.
Allora $P_1<=>P_2$ è l'assioma. Da ciò segue che $\not P_2 =>\not P_1$ (nota: per il momento non ho messo la doppia implicazione, procediamo un passetto alla volta).
Quindi $\not P_2$ (che mi sento abbastanza sicuro che sia la proposizione che ho scritto sopra) implica $A\ne B$.
Simmetricamente, dato che $P_2<=>P_1$, da $\not P_1$ deve seguire $\not P_2$, quindi abbiamo la doppia implicazione.
Nota: non stiamo calcolando $\not(P_1<=>P_2)$ ! Questa proposizione, detta a parole, sarebbe semplicemente "da $P_1$ non segue $P_2$ e da $P_2$ non segue $P_1$" o, detto in un modo più intuitivo, "dalla verità/falsità di $P_1$ non possiamo dedurre niente riguardo la verità/falsità di $P_2$, e viceversa".
Quanto all'osservazione che hai fatto, provo a rispondere (per il poco che ne so) facendo ordine in questo modo: chiamiamo $P_1$ la proposizione $A=B$ e $P_2$ la proposizione $\forall c(c\inA\Leftrightarrow c\inB)$.
Allora $P_1<=>P_2$ è l'assioma. Da ciò segue che $\not P_2 =>\not P_1$ (nota: per il momento non ho messo la doppia implicazione, procediamo un passetto alla volta).
Quindi $\not P_2$ (che mi sento abbastanza sicuro che sia la proposizione che ho scritto sopra) implica $A\ne B$.
Simmetricamente, dato che $P_2<=>P_1$, da $\not P_1$ deve seguire $\not P_2$, quindi abbiamo la doppia implicazione.
Nota: non stiamo calcolando $\not(P_1<=>P_2)$ ! Questa proposizione, detta a parole, sarebbe semplicemente "da $P_1$ non segue $P_2$ e da $P_2$ non segue $P_1$" o, detto in un modo più intuitivo, "dalla verità/falsità di $P_1$ non possiamo dedurre niente riguardo la verità/falsità di $P_2$, e viceversa".
"Alfius":
Facciamo un po' di ordine: vogliamo "calcolare" la negazione della proposizione $\forall c (c\in A\Leftrightarrow c\in B)$
Quando facciamo la negazione come si "inverte" il simbolo $\Leftrightarrow$ ? Personalmente avrei un'idea, ma per procedere in modo oggettivo aggiriamo il problema riscrivendo la proposizione in questo modo equivalente
...
[tex](\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B)=(\forall x)((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in A))=[/tex]
[tex]=(\forall x)\{[\neg (x \in A \land \neg (x \in B))] \land [\neg (x \in B \land \neg (x \in A))]\}=[/tex]
[tex]=(\forall x)[(\neg (x \in A) \lor x \in B) \land (\neg (x \in B) \lor x \in A)][/tex]
Ora la negazione è:
[tex]\neg \{(\forall x)[(\neg (x \in A) \lor x \in B) \land (\neg (x \in B) \lor x \in A)] \}=[/tex]
[tex]=(\exists x)[(x \in A \land \neg (x \in B)) \lor (x \in B \land \neg (x \in A))][/tex]
Spero di non aver commesso troppi errori...
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