Assiomi di Zermelo-Fraenkel

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27 ago 2012, 22:02

a tutti , gli assiomi di cui si parla fanno parte della logica matematica in generale o valgono solo per gli insiemi ?
Nell'assioma di estensionalità, si può sostituire il secondo $iff$ con $^^$ in questo modo $AA$A,$AA$B,$AA$C A=B $iff$ (C$in$A $^^$ C$in$B) ? Un'altra cosa che non capisco è come fa un insieme ad appartenere ad un'altro insieme; no dovrebbe essere più corretto invece $AA$A,$AA$B,$AA$C A=B $iff$ (C$supe$A $^^$ C$supe$B) ?

Risposte

Mrhaha

2 dic 2012, 15:48

Però a partire da tali assiomi possiamo dimostrare che l'insieme di tutti gli insiemi non è una classe, ti trovi? Allora come lo classifichiamo in tale ambito? E' questo il problema: perché usare questi assiomi, quando ci sono gli assiomi, per esempio quelli di Von Neumann-Bernays-Gödel, che distinguono classi proprie da insiemi?

PZf

2 dic 2012, 16:25

"Mrhaha":
Però a partire da tali assiomi possiamo dimostrare che l'insieme di tutti gli insiemi non è una classe, ti trovi? Allora come lo classifichiamo in tale ambito?

Facciamo un passo indietro, se parliamo della teoria assiomatica di ZF allora non c'è il concetto di classe (chiaramente non sto parlando delle classi di equivalenza, ma del concetto di classe come inteso, ad esempio, in NBG), quindi non ci si chiede se l'insieme di tutti gli insiemi sia una classe o meno.
Ciò che possiamo dimostrare in ZF è che l'insieme di tutti gli insiemi non esiste (cioè non è un insieme).

"Mrhaha":
E' questo il problema: perché usare questi assiomi, quando ci sono gli assiomi, per esempio quelli di Von Neumann-Bernays-Gödel, che distinguono classi proprie da insiemi?

La teoria assiomatica NBG è più recente, forse non la si usa molto perché ancora non è stata universalmente accettata (o forse la si usa, ma io non sono abbastanza aggiornato per saperlo).
In questa teoria la classe contenente tutti gli insiemi esiste e può essere utilizzata tranquillamente senza generare paradossi, ma non esiste un insieme derivato da questa classe.