Studenti annoiati che giocano!

[j18eos]

Ci sono \(\displaystyle1000\) studenti annoiati, ciascuno avente un armadietto personale e numerato.

Gli studenti, per passare il tempo e la noia decidono di fare il seguente gioco: ognuno chiude il proprio armadietto; il primo apre gli armadietti numerati pari (multipli di \(\displaystyle2\)), il secondo chiude gli armadietti aperti ed apre gli armadietti chiusi che sono numerati da multipli di \(\displaystyle3\), il terzo apre gli armadietti chiudi e chiude gli armadietti aperti che sono numerati da multipli di \(\displaystyle4\), e così via...

Alla fine del gioco:
[list=1]
[*:dyv9krby]l'armadietto \(\displaystyle735\) è aperto o chiuso?[/*:m:dyv9krby]
[*:dyv9krby]come determinare se il generico armadietto è aperto o chiuso?[/*:m:dyv9krby][/list:o:dyv9krby]

Buon divertimento.

P.S.: L'esercizio non è di mia creazione!

[Pachisi]

Essendo \( \displaystyle735\) dispari, l'armadietto \( \displaystyle735\) sara` chiuso alla fine del gioco.
Notiamo che alla fine del gioco gli armadietti con numero pari saranno aperti, mentri quelli con numero dispari saranno chiusi.

[j18eos]

Scusami, c'erano delle omissioni nel testo...

[Pachisi]

Scusami, ma non capisco una cosa: il secondo apre gli armadietti chiusi con multipli di \(\displaystyle 3\) e chiude quelli aperti con multipli di \(\displaystyle 3\), oppure chiude tutti gli armadietti aperti e apre solo quelli con multipli di \(\displaystyle 3\) ?

[Zero87]

Ormai non ricordo granché della matematica, almeno spero che in una sezione delle secondarie riesco a prendermi qualche soddisfazione.

Il generico armadietto con un numero di divisori pari sarà chiuso mentre quello con un numero di divisori dispari sarà aperto.

Un saluto ad Armando che mi ricorda lieti tempi e quesiti sul forum. Quando si lavora dalla mattina alla sera sembra che sparisca tutto in una bolla di sapone (nel mio caso la matematica).
Però meglio lavorare, obviously.

[j18eos]

@Pachisi Preso il secondo studente, egli agisce solo sugli armadietti con numero multiplo di \(\displaystyle3\); se questi lo trova aperto lo chiude oppure se lo trova chiuso lo apre.

Lo stesso dicansi per gli altri studenti!

Sono stato più preciso?

@Zero87 Jhon, guarda che pure tu sei stato un mito di questo foum, al pari del professor Farnsworth.
Allegri saluti!

[Pachisi]

i) \(\displaystyle 735\) sara` aperto.

ii) In generale se un armadietto ha un numero di divisori dispari sara` aperto, mentre se ha un numero di divisori pari sara` chiuso.

[Zero87]

"Pachisi":ii) In generale [...]

Spero che non hai letto la mia anche perché dopo 5 mesi lontano dalla matematica qualche dubbio ce l'ho...
Se hai risposto in modo indipendente... meglio così, vuol dire che qualcosa ancora mi ricordo!

Buona domenica.

PS. puoi anche spolerizzare la risposta in modo che altri possono provarci in modo indipendente.

[Pachisi]

La matematica non si scorda mai...
Buona Domenica anche a te.

[j18eos]

Quando dico ad amici\che maestri\e - professori\esse che sono un incapace a spiegare la matematica a scuola (a differenza di Zero87, per sempio) mi rispondono che mi butto giù per lo sciacquone di un gabinetto pubblico...

Forse sarà che sono stato abituato male all'università e in S.I.S.S.A., le brutte abitudini non muoiono mai ed è vero, ma risposte del genere che hanno di matematico? Letteralmente cosa è stato dimostrato?

In altre parole, non autoironiche dato che mi rivolgo a voi, dovreste giustificare la risposta!
Grazie.

[Zero87]

"j18eos":sono un incapace a spiegare la matematica a scuola (a differenza di Zero87, per sempio)

Non esageriamo.

Se considero $d_i$ e $d_j$ due divisori successivi - in ordine crescente - di $n$, allora:
- se il cassetto $n$ è aperto viene chiuso al passaggio su $d_i$ e riaperto su $d_j$;
- se il cassetto $n$ è chiuso viene aperto al passaggio su $d_i$ e chiuso al successivo passaggio su $d_j$.

Quindi giungendo al divisore numero $2k$ il cassetto mantiene lo stesso stato iniziale. Se all'inizio è chiuso resta chiuso.
Lo so, l'ho detto orripilante e usando i moduli sarebbe stato meglio, ma dopo stasera sul forum tornerò prossimamente, quindi intanto giustifico intuitivamente come sono arrivato alla soluzione.

[xXStephXx]

Ma è stato detto quali sono i numeri con un numero dispari di divisori? xD Perchè magari detto così può sembrare che sia difficile capire se i divisori sono pari o dispari

[axpgn]

Evidentemente non ne tiene conto ...

[j18eos]

@Pachisi Attendo una tua dimostrazione.

@Zero87 Ragionandoci un pò ho capito che dici; più o meno è la mia dimostrazione!

@xXStephXx Puoi sempre provare ad esplicitarli.

Mi sembra che il livello degli esercizi da proporre in questa stanza devo un pò innalzarlo... Ho un "brutto" esercizio di geometria da proporre, se riesco a trovare una soluzione abbordabile per la scuola secondaria lo proporrò!

[Pachisi]

Chiamando "apertura" \(\displaystyle 1\) e "chiusura" \(\displaystyle 2\), notiamo che "apertura" sara` sempre nel \(\displaystyle 1+2n\)-esimo posto con \(\displaystyle n \in \mathbb{N}\), mentre "chiusura sara` sempre nel \(\displaystyle 2+2n\)-esimo posto.
Ovviamente con \(\displaystyle n \in \mathbb{N}\), \(\displaystyle 1+2n\) sara` dispari, mentre \(\displaystyle 2+2n=2(1+n)\) sara` pari.

[xXStephXx]

Bè ma è semplice determinare i numeri con un numero dispari di divisori, era giusto per capire se è stato omesso volontariamente o no

[j18eos]

@Pachisi Forse ci manca la parte finale!

@xXStephXx Quello è teoricamente facile, grazie al teorema fondamentale dell'aritmetica; ma la funzione tau \(\displaystyle\tau\) (sui positivi) non è facile da calcolare! Non so se mi spiego...

[Pachisi]

@j18oes

Segue che gli armadietti con un numero di divisori nella forma \(\displaystyle 1+2n\) saranno aperti, mentre quelli con un numero di divisori nella forma \(\displaystyle 2(1+n)\) saranno chiusi.

Edit:

Non contando \(\displaystyle 1\) come loro divisore .

[xXStephXx]

Si ma.... capire se un numero è un quadrato perfetto è comunque più veloce rispetto a fattorizzarlo!

[axpgn]

"Pachisi":@j18oes

Segue che gli armadietti con un numero di divisori nella forma \(\displaystyle 1+2n\) saranno aperti, mentre quelli con un numero di divisori nella forma \(\displaystyle 2(1+n)\) saranno chiusi.

A rigore è il contrario, che è quello che voleva dire Steph ...

Cordialmente, Alex

[j18eos]

@Pachisi Prego, j18eos e concordo con axpgn!

@xXStephXx Sì... e che c'entrano i numeri quadrati?