Polinomi "insistenti"

[dan952]

Determinare tutti i polinomi $P(x)$ a coefficienti reali tali che

$P(x^3-2)=P(x)^3-2$

[hydro1]

"dan95":@hydro

Molto bella, manca mostrare che esiste anche la soluzione costante e sono uniche. pubblicherò un' altra soluzione questo fine settimana.

Ma questo è esattamente il punto della dimostrazione. L'unicità segue immediatamente per induzione dal fatto che l'unica soluzione di grado $1$ è l'identità, il che è ovvio, e che se $P(x)$ è una soluzione allora $P(x)=Q(x)^3-2$, quindi anche $Q(x)$ è una soluzione ed avendo grado più basso l'ipotesi induttiva implica che è lui stesso una iterata di $x^3-2$, e quindi pure $P(x)$ lo è.

[dan952]

@hydro
Sì confermo quanto detto ieri che non ci sono sviste, scusate oggi sto un po' rintontito.

[dan952]

Soluzione:

Verifichiamo che esiste la soluzione $P(x)=k$ con $k$ soluzione dell'equazione $x=x^3-2$.

Ora sia $P(x)$ un polinomio di grado $d>1$ che soddisfa

$P(x^3-2)=P(x)^3-2$ (1)

dalla (1) segue che esiste $G(x) \in \mathbb{R}[x]$ tale che

$P(x)=G(x^3)$

infatti $P(x)$ è invariante rispetto alla trasformazione $x \mapsto x\zeta_3$, dove $\zeta_3$ è la radice terza dell'unità.

Poniamo $H(x)=P(x)+2$ abbiamo che

$H(x^3-2)=P(x)^3=G(x^3)^3$

Sostituendo $y=x^3-2$ si ha

$H(y)=G(y+2)^3=S_0(y)^3=P(y)+2$

da cui segue che

$P(x^3-2)+2=S_0(x^3-2)^3$
$P(x)^3=(S_0(x)^3-2)^3$

ovvero

$S_0(x^3-2)=S_0(x)^3-2$

abbiamo trovato un polinomio $S_0(x)$ tale che

$\deg S_0(x) = \frac{\deg P(x)}{3}$

In modo analogo in generale si ha

$S_{n}(x)=S_{n+1}(x)^3-2$

con

$\deg S_{n+1} = \frac{\deg S_n}{3}$

Dopo un numero finito di passi si ottiene $deg S_N=1$ da cui $S_N(x)=x$ come è facile verificare.

In altre parole le uniche soluzioni non banali si ottengono definendo la successione per ricorrenza:

$P_0(x)=x$
$P_{n+1}(x)=P_{n}(x)^3-2$