$lim_(x->+\infty) f(x) = r$ con $r$ fissato
Buonasera ragazzi, ho visto che un attaccante maltese ha tirato in porta e il pallone si è abbassato solo alla fine colpendo la traversa: m'è venuta l'idea per un esercizio molto interessante.
Premetto che questo esercizio diventa banale da un certo punto del quinto superiore in poi, ma lo propongo lo stesso per chi vuole cimentarsi.
Tuttavia dal terzo anno di università in poi questo esercizio potrebbe ritornare ad essere difficile perché a forza di fare teoria e di dare per scontati dei concetti basilari di quinto superiore... si finisce per perdere la dimestichezza in certe cose
Prendiamo $f:\RR->\RR$, con al massimo qualche discontinuità all'interno, se proprio vogliamo.
Versione semplice
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->+\infty) f(x) = r$.
Versione un po' più complicata
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->+\infty) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni.
Da qui in poi mi accontento anche di $f: A\subseteq \RR-> \RR$ (con $A$ non necessariamente coincidente con $\RR$), $f$ possibilmente non polinomiale e nemmeno "solo" un rapporto tra polinomi.
Versione apparentemente difficile
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per $x_0$ reale fissato.
Versione un pizzico più difficile della precedente
Sia $r \in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni e con $x_0$ reale fissato.
Diffidate da soluzioni troppo difficili: mi accontento anche che troviate esempi pratici.
Buona serata al forum
PS.
In genere quando qualcuno propone un esercizio facile, ad un certo punto arrivano ciromario e j18eos che rilanciano con versioni più complicate e ancora più interessanti: se succede anche in questo caso li accoglierò con entusiasmo!
EDIT.
Va beh, ragazzi, mi ero dimenticato di scrivere che non vale nei casi 1. e 3. - non perché sbagliato, ma perché abbastanza immediato - come soluzione la retta $y=r$ che tende ovviamente a $r$ per $x->+\infty$.
Premetto che questo esercizio diventa banale da un certo punto del quinto superiore in poi, ma lo propongo lo stesso per chi vuole cimentarsi.
Tuttavia dal terzo anno di università in poi questo esercizio potrebbe ritornare ad essere difficile perché a forza di fare teoria e di dare per scontati dei concetti basilari di quinto superiore... si finisce per perdere la dimestichezza in certe cose
Prendiamo $f:\RR->\RR$, con al massimo qualche discontinuità all'interno, se proprio vogliamo.
Versione semplice
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->+\infty) f(x) = r$.
Versione un po' più complicata
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->+\infty) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni.
Da qui in poi mi accontento anche di $f: A\subseteq \RR-> \RR$ (con $A$ non necessariamente coincidente con $\RR$), $f$ possibilmente non polinomiale e nemmeno "solo" un rapporto tra polinomi.
Versione apparentemente difficile
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per $x_0$ reale fissato.
Versione un pizzico più difficile della precedente
Sia $r \in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni e con $x_0$ reale fissato.
Diffidate da soluzioni troppo difficili: mi accontento anche che troviate esempi pratici.
Buona serata al forum
PS.
In genere quando qualcuno propone un esercizio facile, ad un certo punto arrivano ciromario e j18eos che rilanciano con versioni più complicate e ancora più interessanti: se succede anche in questo caso li accoglierò con entusiasmo!
EDIT.
Va beh, ragazzi, mi ero dimenticato di scrivere che non vale nei casi 1. e 3. - non perché sbagliato, ma perché abbastanza immediato - come soluzione la retta $y=r$ che tende ovviamente a $r$ per $x->+\infty$.
Risposte
it has been too much easy 
[*]
[*]
Ho scoperto di non essermi spiegato bene, anche se però avevo scritto $f: \RR -> \RR$ che doveva chiarire l'arcano (quindi il dominio era tutto $\RR$): una funzione definita in tutto $\RR$ - tranne se volete qualche isolata discontinuità all'interno - che soddisfa quella condizione.
EDIT
Ah, già, dimenticavo... Possibilmente non qualcosa del tipo
$f(x) = { (g(x), \qquad \text{da una parte}),(h(x), \qquad \text{dall'altra}):}$
RI-EDIT
So che dovevo scrivere qualcosa del tipo
$f(x) = { (g(x), \qquad x> a\in \RR),(h(x), \qquad x\le a\in \RR):}$
ma la scrittura sopra era più divertente.
EDIT
Ah, già, dimenticavo... Possibilmente non qualcosa del tipo
$f(x) = { (g(x), \qquad \text{da una parte}),(h(x), \qquad \text{dall'altra}):}$
RI-EDIT
So che dovevo scrivere qualcosa del tipo
$f(x) = { (g(x), \qquad x> a\in \RR),(h(x), \qquad x\le a\in \RR):}$
ma la scrittura sopra era più divertente.
Colpa dell'orario...
"Pianoth":
Colpa dell'orario...
Però l'esponenziale cresce più rapidamente e il tutto diverge a $+\infty$ per $x->+\infty$ (quindi il limite esiste)...
Sbaglio, o una risposta è già stata scritta?
Faccio un rilancio: ferme restando le ipotesi che la funzione sia definita in tutto $RR$ e che il limite per $x->+oo$ non esista, trovare la funzione in modo che il limite per $x->-oo$ esista e sia finito (o viceversa).
"giammaria":
Sbaglio, o una risposta è già stata scritta?
Sì, va bene perché risponde al problema precedente (illimitata ma senza limite) e anche a questo perché a $-\infty$ il limite ce l'ha e tende a zero.
"giammaria":
Faccio un rilancio: ferme restando le ipotesi che la funzione sia definita in tutto $RR$ e che il limite per $x->+oo$ non esista, trovare la funzione in modo che il limite per $x->-oo$ esista e sia finito (o viceversa).
Ottimo rilancio, in pratica non basta più che il limite esista e basta, ma occorre anche che sia finito.
Sono stupido e quindi sicuro di sbagliarla, però ci provo (anche se non sono sicuro di avere capito):
"Pianoth":
Sono stupido
Dai, non dire così che non è vero!
Comunque non vedo un errore, ma allora dovrebbe essere giusto anche il mio - anzi il nostro perché anche giammaria l'ha detto - $e^x cos(x)$.
Eppure questo $e^x cos(x)$ mi lasciava perplesso... forse perché l'ho usato troppo
La sfida - o il rilancio - è risolvere il problema di giammaria (o il mio) senza utilizzo di esponenziali vari (la vedo dura!).
PS.
Ricordo che ci sono sempre gli altri 2 problemi.
Un eventuale rilancio che fino ad ora non è uscito dalle nostre risposte, potrebbe essere quello di trovare una funzione che, per $-\infty$ non ammette limite e per $+\infty$ ce l'ha ma infinito (o viceversa). Fino ad ora tutte le nostre funzioni non avevano limite da una parte ma dall'altra era finito...
Per il secondo rilancio ci avevo provato prima con $e^x-x$ ma mi ero sbagliato un modo valido è forse...
un modo valido è forse...
"Pianoth":
Non ne ho idea, forse qualcosa che usa arbitrariamente $tanh(x)$?
Così su due piedi non ne ho idea però non lo posso escludere completamente perché le funzioni iperboliche sono particolari come quelle trigonometriche.
"Zero87":
La sfida - o il rilancio - è risolvere il problema di giammaria (o il mio) senza utilizzo di esponenziali vari (la vedo dura!).
Io infatti l'avevo vista senza esponenziali, ma in modo non immediato.
Ne propongo uno facilotto: trovare una funzione dispari (o spiegarne l'impossibilità) tale che
$lim_(x->oo)f(x)=1$
Anche se dovrebbe essere superfluo, preciso che con $x->oo$ si intendono entrambi i segni.
Ragazzi, non si capisce più quali siano i problemi proposti (probabilmente è anche colpa mia). Cercate di fare un po' d'ordine tra i vari rilanci.
Comunque ricordo che le funzioni si possono sempre incollare, cioè definire a tratti in modo che soddisfino le ipotesi che servono (che sono veramente ridotte, dato che non si è detta -p.es.- quale debba essere la regolarità delle funzioni in gioco)...
Comunque ricordo che le funzioni si possono sempre incollare, cioè definire a tratti in modo che soddisfino le ipotesi che servono (che sono veramente ridotte, dato che non si è detta -p.es.- quale debba essere la regolarità delle funzioni in gioco)...
Ho anche io qualche difficoltà in proposito; cerco di indicare, numerandoli, i problemi ancora insoluti. Di sicuro ne dimenticherò qualcuno; per chiarezza prego chi li indicherà di proseguire nella mia numerazione. Sono ipotesi comuni che la funzione sia continua, definita in tutto $RR$ e che la definizione sia unica e non a tratti; considerati i due limiti per $x$ tendente ad infinito, si chiede un esempio di una funzione in cui
1) un limite non esiste e l'altro tende ad infinito;
2) un limite esiste e l'altro no, ma senza far uso di esponenziali;
3) la mia ultima domanda, che copio qui: trovare una funzione dispari (o spiegarne l'impossibilità) tale che $lim_(x->oo)f(x)=1$. Anche se dovrebbe essere superfluo, preciso che con $x->oo$ si intendono entrambi i segni.
1) un limite non esiste e l'altro tende ad infinito;
2) un limite esiste e l'altro no, ma senza far uso di esponenziali;
3) la mia ultima domanda, che copio qui: trovare una funzione dispari (o spiegarne l'impossibilità) tale che $lim_(x->oo)f(x)=1$. Anche se dovrebbe essere superfluo, preciso che con $x->oo$ si intendono entrambi i segni.
"giammaria":
Sono ipotesi comuni che la funzione sia continua, definita in tutto $RR$ e che la definizione sia unica e non a tratti; considerati i due limiti per $x$ tendente ad infinito, si chiede un esempio di una funzione in cui
1) un limite non esiste e l'altro tende ad infinito;
2) un limite esiste e l'altro no, ma senza far uso di esponenziali;
3) la mia ultima domanda, che copio qui: trovare una funzione dispari (o spiegarne l'impossibilità) tale che $lim_(x->oo)f(x)=1$. Anche se dovrebbe essere superfluo, preciso che con $x->oo$ si intendono entrambi i segni.
My bad, mi sono lasciato prendere la mano...
Comunque, a parte questi, c'è di opzionale per chi vuole (finora ho risposto solo io una volta) di trovare una funzione $f:A\subseteq \RR ->\RR$ tale che per $x_0\in A$ fissato, $lim_(x->x_0) f(x) =r$ con $r$ reale a scelta e tale funzione non deve essere polinomiale (sennò non è difficile, basta ad es. porre che in $x_0$ si annulla e aggiungere $r$ al tutto, no?
) e possibilmente nemmeno un "puro" rapporto tra polinomi. Buona Pasqua
@Gianmaria.
Per la (1) pensavo,d'istinto, alla $f(x)=(e^x+1)/(|"sen"x|+1):RR to RR$:
ad occhio la mancata esistenza di $lim_(x to -oo)f(x)$ è deducibile,per assurdo,da quella di $lim_(x to -oo)"sen"x$,
mentre il fatto che $EElim_(x to +oo)f(x)=+oo$ si desume dall'esser vero che $1/2<=1/(|"sen"x|+1)<=1$ $AA x in RR$..
Alla (3) mi pare si arrivi a rispondere ragionando,nuovamente per assurdo,
usando la definizione di disparità d'una funzione ed il teorema d'unicita del limite:
sulla (2) ragionerò se mi dici che il solco tracciato và bene per quanto intendevi
(cosa non tanto vera,a ben pensarci,perchè le funzioni "elementari" contenenti valori assoluti nella loro legge di definizione sono in fondo "definite a tratti")..
Saluti dal web.
Per la (1) pensavo,d'istinto, alla $f(x)=(e^x+1)/(|"sen"x|+1):RR to RR$:
ad occhio la mancata esistenza di $lim_(x to -oo)f(x)$ è deducibile,per assurdo,da quella di $lim_(x to -oo)"sen"x$,
mentre il fatto che $EElim_(x to +oo)f(x)=+oo$ si desume dall'esser vero che $1/2<=1/(|"sen"x|+1)<=1$ $AA x in RR$..
Alla (3) mi pare si arrivi a rispondere ragionando,nuovamente per assurdo,
usando la definizione di disparità d'una funzione ed il teorema d'unicita del limite:
sulla (2) ragionerò se mi dici che il solco tracciato và bene per quanto intendevi
(cosa non tanto vera,a ben pensarci,perchè le funzioni "elementari" contenenti valori assoluti nella loro legge di definizione sono in fondo "definite a tratti")..
Saluti dal web.
Mi pare che le tue risposte siano giuste; spoilerizzo le mie. Concordo nell'evitare i valori assoluti perché corrispondono ad una definizione "a tratti".
"giammaria":
Mi pare che le tue risposte siano giuste; spoilerizzo le mie. Concordo nell'evitare i valori assoluti perché corrispondono ad una definizione "a tratti".
Si, è vero, è che mi viene in mente che una funzione con dei casi sia quella che si serve della definizione tramite la parentesi graffa quando invece anche un modulo ha dei "casi".
"theras":
Per la (1) pensavo,d'istinto, alla $ f(x)=(e^x+1)/(|"sen"x|+1):RR to RR $:
ad occhio la mancata esistenza di $ lim_(x to -oo)f(x) $ è deducibile,per assurdo,da quella di $ lim_(x to -oo)"sen"x $,
mentre il fatto che $ EElim_(x to +oo)f(x)=+oo $ si desume dall'esser vero che $ 1/2<=1/(|"sen"x|+1)<=1 $ $ AA x in RR $..
Volendo si può togliere il modulo rimediando con un banale $\frac{e^x+1}{sin(x)+2}$
che non da più tanti problemi perché $-1 \le sin(x) \le 1, \quad \forall x\in \RR$.
Devo dire che però la 1. di giammaria è davvero interessante.
@james.
Certo,ed era quella cui avevo pensato inizialmente:
ho però scelto quella che ho scritto per capire se era in accordo con la "filosofia" di Gianmaria,prima di scrivere quanto avevo trovato per rispondere alla (2)
(che per inciso è,tra quelle da lui date,la legge di definizione che ha colpito me ).
@Gianmaria.
Per la (3) ti riferisci ad un'interpretazione grafica che permette d'affermare come un eventuale asintoto orizzontale completo,per una funzione dispari,
possa essere solo l'asse delle ascisse?
Saluti dal web.
Certo,ed era quella cui avevo pensato inizialmente:
ho però scelto quella che ho scritto per capire se era in accordo con la "filosofia" di Gianmaria,prima di scrivere quanto avevo trovato per rispondere alla (2)
(che per inciso è,tra quelle da lui date,la legge di definizione che ha colpito me
).@Gianmaria.
Per la (3) ti riferisci ad un'interpretazione grafica che permette d'affermare come un eventuale asintoto orizzontale completo,per una funzione dispari,
possa essere solo l'asse delle ascisse?
Saluti dal web.
Si può anche vederlo graficamente, ma il mio ragionamento era il seguente:
Se una funzione è dispari e se $lim_(x->+oo)f(x)=1$, ne consegue che $lim_(x->-oo)f(x)=-1$. La cosa è intuitiva; volendo, la si può dimostrare con la sostituzione $x=-u$ e con $f(-u)=-f(u)$
Per la( 2) aggiungo un'altra soluzione. più immediata:
$f(x)=sinx*(pi/2+arctanx)$
Se una funzione è dispari e se $lim_(x->+oo)f(x)=1$, ne consegue che $lim_(x->-oo)f(x)=-1$. La cosa è intuitiva; volendo, la si può dimostrare con la sostituzione $x=-u$ e con $f(-u)=-f(u)$
Per la( 2) aggiungo un'altra soluzione. più immediata:
$f(x)=sinx*(pi/2+arctanx)$
Per completezza aggiungo d'aver pensato,per la (2),alla $f(x)=("sen" x)/(sqrt(x^2+1)+x):RR to RR$
(la scrivo con quella legge di definizione per ragioni d'impaginazione,
dato che in realtà l'avevo vista come prodotto..):
sulla (3) concordo in pieno
(e non potrebbe essere altrimenti,anche se resto convinto che il tuo/nostro ragionamento si conclude bene solo invocando il teorema d'unicità del limite).
Saluti dal web.
(la scrivo con quella legge di definizione per ragioni d'impaginazione,
dato che in realtà l'avevo vista come prodotto..):
sulla (3) concordo in pieno
(e non potrebbe essere altrimenti,anche se resto convinto che il tuo/nostro ragionamento si conclude bene solo invocando il teorema d'unicità del limite).
Saluti dal web.
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