$lim_(x->+\infty) f(x) = r$ con $r$ fissato
Buonasera ragazzi, ho visto che un attaccante maltese ha tirato in porta e il pallone si è abbassato solo alla fine colpendo la traversa: m'è venuta l'idea per un esercizio molto interessante.
Premetto che questo esercizio diventa banale da un certo punto del quinto superiore in poi, ma lo propongo lo stesso per chi vuole cimentarsi.
Tuttavia dal terzo anno di università in poi questo esercizio potrebbe ritornare ad essere difficile perché a forza di fare teoria e di dare per scontati dei concetti basilari di quinto superiore... si finisce per perdere la dimestichezza in certe cose
Prendiamo $f:\RR->\RR$, con al massimo qualche discontinuità all'interno, se proprio vogliamo.
Versione semplice
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->+\infty) f(x) = r$.
Versione un po' più complicata
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->+\infty) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni.
Da qui in poi mi accontento anche di $f: A\subseteq \RR-> \RR$ (con $A$ non necessariamente coincidente con $\RR$), $f$ possibilmente non polinomiale e nemmeno "solo" un rapporto tra polinomi.
Versione apparentemente difficile
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per $x_0$ reale fissato.
Versione un pizzico più difficile della precedente
Sia $r \in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni e con $x_0$ reale fissato.
Diffidate da soluzioni troppo difficili: mi accontento anche che troviate esempi pratici.
Buona serata al forum
PS.
In genere quando qualcuno propone un esercizio facile, ad un certo punto arrivano ciromario e j18eos che rilanciano con versioni più complicate e ancora più interessanti: se succede anche in questo caso li accoglierò con entusiasmo!
EDIT.
Va beh, ragazzi, mi ero dimenticato di scrivere che non vale nei casi 1. e 3. - non perché sbagliato, ma perché abbastanza immediato - come soluzione la retta $y=r$ che tende ovviamente a $r$ per $x->+\infty$.
Premetto che questo esercizio diventa banale da un certo punto del quinto superiore in poi, ma lo propongo lo stesso per chi vuole cimentarsi.
Tuttavia dal terzo anno di università in poi questo esercizio potrebbe ritornare ad essere difficile perché a forza di fare teoria e di dare per scontati dei concetti basilari di quinto superiore... si finisce per perdere la dimestichezza in certe cose
Prendiamo $f:\RR->\RR$, con al massimo qualche discontinuità all'interno, se proprio vogliamo.
Versione semplice
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->+\infty) f(x) = r$.
Versione un po' più complicata
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->+\infty) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni.
Da qui in poi mi accontento anche di $f: A\subseteq \RR-> \RR$ (con $A$ non necessariamente coincidente con $\RR$), $f$ possibilmente non polinomiale e nemmeno "solo" un rapporto tra polinomi.
Versione apparentemente difficile
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per $x_0$ reale fissato.
Versione un pizzico più difficile della precedente
Sia $r \in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni e con $x_0$ reale fissato.
Diffidate da soluzioni troppo difficili: mi accontento anche che troviate esempi pratici.
Buona serata al forum
PS.
In genere quando qualcuno propone un esercizio facile, ad un certo punto arrivano ciromario e j18eos che rilanciano con versioni più complicate e ancora più interessanti: se succede anche in questo caso li accoglierò con entusiasmo!
EDIT.
Va beh, ragazzi, mi ero dimenticato di scrivere che non vale nei casi 1. e 3. - non perché sbagliato, ma perché abbastanza immediato - come soluzione la retta $y=r$ che tende ovviamente a $r$ per $x->+\infty$.
Risposte
Vediamo - per chi interessa - un attimo la situazione, i problemi sono
e inoltre
La situazione è che manca da risolvere, il mio (io una soluzione postata ce l'ho da qualche parte in questo thread) e volendo ci si può sbizzarrire sul 2).
Credo che sull'1) nel corso del thread si sia detto abbastanza, ma vado a memoria, può anche darsi che mi sbaglio. Si era dimostrato anche il 3) tra l'altro.
"giammaria":
Sono ipotesi comuni che la funzione sia continua, definita in tutto $RR$ e che la definizione sia unica e non a tratti; considerati i due limiti per $x$ tendente ad infinito, si chiede un esempio di una funzione in cui
1) un limite non esiste e l'altro tende ad infinito;
2) un limite esiste e l'altro no, ma senza far uso di esponenziali;
3) la mia ultima domanda, che copio qui: trovare una funzione dispari (o spiegarne l'impossibilità) tale che $lim_(x->oo)f(x)=1$. Anche se dovrebbe essere superfluo, preciso che con $x->oo$ si intendono entrambi i segni.
e inoltre
"Zero87":
Comunque, a parte questi, c'è di opzionale per chi vuole (finora ho risposto solo io una volta) di trovare una funzione $ f:A\subseteq \RR ->\RR $ tale che per $ x_0\in A$ fissato, $ lim_(x->x_0) f(x) =r $ con $ r $ reale a scelta e tale funzione non deve essere polinomiale (sennò non è difficile, basta ad es. porre che in $ x_0 $ si annulla e aggiungere $ r $ al tutto, no?
La situazione è che manca da risolvere, il mio (io una soluzione postata ce l'ho da qualche parte in questo thread) e volendo ci si può sbizzarrire sul 2).
Credo che sull'1) nel corso del thread si sia detto abbastanza, ma vado a memoria, può anche darsi che mi sbaglio. Si era dimostrato anche il 3) tra l'altro.
Non ho seguito nemmeno io bene tutto il thread,e dunque mi chiedo se siano in accordo con le richieste fatte le $f_r(x)=4r/(pi)"arctg"(x^2+1)/(x_0^2+1):RR to RR$ al variare di $r in RR$:
saluti dal web.
saluti dal web.
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