$lim_(x->+\infty) f(x) = r$ con $r$ fissato
Buonasera ragazzi, ho visto che un attaccante maltese ha tirato in porta e il pallone si è abbassato solo alla fine colpendo la traversa: m'è venuta l'idea per un esercizio molto interessante.
Premetto che questo esercizio diventa banale da un certo punto del quinto superiore in poi, ma lo propongo lo stesso per chi vuole cimentarsi.
Tuttavia dal terzo anno di università in poi questo esercizio potrebbe ritornare ad essere difficile perché a forza di fare teoria e di dare per scontati dei concetti basilari di quinto superiore... si finisce per perdere la dimestichezza in certe cose
Prendiamo $f:\RR->\RR$, con al massimo qualche discontinuità all'interno, se proprio vogliamo.
Versione semplice
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->+\infty) f(x) = r$.
Versione un po' più complicata
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->+\infty) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni.
Da qui in poi mi accontento anche di $f: A\subseteq \RR-> \RR$ (con $A$ non necessariamente coincidente con $\RR$), $f$ possibilmente non polinomiale e nemmeno "solo" un rapporto tra polinomi.
Versione apparentemente difficile
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per $x_0$ reale fissato.
Versione un pizzico più difficile della precedente
Sia $r \in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni e con $x_0$ reale fissato.
Diffidate da soluzioni troppo difficili: mi accontento anche che troviate esempi pratici.
Buona serata al forum
PS.
In genere quando qualcuno propone un esercizio facile, ad un certo punto arrivano ciromario e j18eos che rilanciano con versioni più complicate e ancora più interessanti: se succede anche in questo caso li accoglierò con entusiasmo!
EDIT.
Va beh, ragazzi, mi ero dimenticato di scrivere che non vale nei casi 1. e 3. - non perché sbagliato, ma perché abbastanza immediato - come soluzione la retta $y=r$ che tende ovviamente a $r$ per $x->+\infty$.
Premetto che questo esercizio diventa banale da un certo punto del quinto superiore in poi, ma lo propongo lo stesso per chi vuole cimentarsi.
Tuttavia dal terzo anno di università in poi questo esercizio potrebbe ritornare ad essere difficile perché a forza di fare teoria e di dare per scontati dei concetti basilari di quinto superiore... si finisce per perdere la dimestichezza in certe cose
Prendiamo $f:\RR->\RR$, con al massimo qualche discontinuità all'interno, se proprio vogliamo.
Versione semplice
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->+\infty) f(x) = r$.
Versione un po' più complicata
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->+\infty) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni.
Da qui in poi mi accontento anche di $f: A\subseteq \RR-> \RR$ (con $A$ non necessariamente coincidente con $\RR$), $f$ possibilmente non polinomiale e nemmeno "solo" un rapporto tra polinomi.
Versione apparentemente difficile
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per $x_0$ reale fissato.
Versione un pizzico più difficile della precedente
Sia $r \in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni e con $x_0$ reale fissato.
Diffidate da soluzioni troppo difficili: mi accontento anche che troviate esempi pratici.
Buona serata al forum
PS.
In genere quando qualcuno propone un esercizio facile, ad un certo punto arrivano ciromario e j18eos che rilanciano con versioni più complicate e ancora più interessanti: se succede anche in questo caso li accoglierò con entusiasmo!
EDIT.
Va beh, ragazzi, mi ero dimenticato di scrivere che non vale nei casi 1. e 3. - non perché sbagliato, ma perché abbastanza immediato - come soluzione la retta $y=r$ che tende ovviamente a $r$ per $x->+\infty$.
Risposte
[ot]
Vabbè Zero, non mi pare granché. Anzi, mi pare il minimo, anche perché di fatto si tratta di saper giocare un po' con la funzione esponenziale...[/ot]
"Zero87":
Notevole, davvero notevole... soprattutto perché non so quanti in quinto superiore hanno familiarità con le funzioni iperboliche...
Vabbè Zero, non mi pare granché. Anzi, mi pare il minimo, anche perché di fatto si tratta di saper giocare un po' con la funzione esponenziale...[/ot]
"Delirium":
[ot][quote="Zero87"]Notevole, davvero notevole... soprattutto perché non so quanti in quinto superiore hanno familiarità con le funzioni iperboliche...
Vabbè Zero, non mi pare granché. Anzi, mi pare il minimo, anche perché di fatto si tratta di saper giocare un po' con la funzione esponenziale...[/ot][/quote]
[ot]Quando ero io al liceo si dava molta importanza agli studi di funzione e a funzioni parametriche (in genere fasci di... al variare di $k$). Ma certe costruzioni, così come le definizioni basilari riguardo a iperboli, ellissi e coniche in generale erano quasi saltate a pié pari.
Pensavo che fosse solo da me così, ma poi ho incontrato all'università colleghi che hanno scoperto lì cosa fosse un'iperbole!
L'unica cosa di cui vado fiero è che abbiamo fatto a lungo - e potrei dire veramente bene! - al liceo i grafici deducibili...[/ot]
Vabbè che i programmi sono veramente cambiati molto da 10 anni a questa parte: ci sono rimasto così
quando ho visto nella sezione di "secondaria di secondo grado" persone che alle superiori parlavano di induzione...
"Zero87":
Quando ero io al liceo si dava molta importanza agli studi di funzione e a funzioni parametriche (in genere fasci di... al variare di $k$). Ma certe costruzioni, così come le definizioni basilari riguardo a iperboli, ellissi e coniche in generale erano quasi saltate a pié pari.
Pensavo che fosse solo da me così, ma poi ho incontrato all'università colleghi che hanno scoperto lì cosa fosse un'iperbole!
L'unica cosa di cui vado fiero è che abbiamo fatto a lungo - e potrei dire veramente bene! - al liceo i grafici deducibili...
Vabbè che i programmi sono veramente cambiati molto da 10 anni a questa parte: ci sono rimasto così
Io sto in quinto liceo e anche noi a scuola stiamo facendo studi di funzioni, disegnare grafici approssimativi delle funzioni, trovare parametri affinchè si verifichino certe condizioni, ecc..
Tutte tipologie di esercizi fini a se stessi che secondo me insabbiano un po' la matematica. Anche il fatto che agli studenti vengono spiegati gli esercizi "per tipologie" non mi è mai piaciuto... Si finisce per associare ad ogni modello di esercizio una corrispondente strategia risolutiva pre-imparata da applicare "in serie" ogni volta che si presenta lo stesso esercizio. Quindi quando uno studente si ritrova con un esercizio nuovo, mai visto prima, parte subito col presupposto di non saperlo fare.
Poi anche l'induzione a scuola l'ho vista solo una volta quando si è fatta una piccola parentesi di calcolo combinatorio.. E' stata usata per dimostrare il binomio di Newton.
@Zero87: Probabilmente hai invertito "quote" e "ot". Prova a verificare.
"Seneca":
@Zero87: Probabilmente hai invertito "quote" e "ot". Prova a verificare.
Grazieeeeeeee!
Un rilancino semplice semplice per gli studenti del liceo:
Ex. Esibire una funzione $f: RR -> RR$ illimitata e tale che $lim_{ x -> +oo} f(x)$ non esista.
Ex. Esibire una funzione $f: RR -> RR$ illimitata e tale che $lim_{ x -> +oo} f(x)$ non esista.
"Seneca":
Un rilancino semplice semplice per gli studenti del liceo:
Ex. Esibire una funzione $f: RR -> RR$ illimitata e tale che $lim_{ x -> +oo} f(x)$ non esista.
Comunque ci sono ancora i problemi 3 e 4 (oltre che ci si può sbizzarrire molto sull'1 e 2
).
"Seneca":
Un rilancino semplice semplice per gli studenti del liceo:
Ex. Esibire una funzione $f: RR -> RR$ illimitata e tale che $lim_{ x -> +oo} f(x)$ non esista.
Va bene. Visto che la richiesta era che fosse definita su tutto $RR$ si può prendere, ad esempio, $|x|^(cos(x))$.
"Seneca":
Va bene. Visto che la richiesta era che fosse definita su tutto $RR$ si può prendere, ad esempio, $|x|^(cos(x))$.
EDIT (non so quante volte ho modificato questo messaggio).
Comunque andava bene la prima cosa che ho scritto dopo che ho visto l'intervento di theras...
In generale ci si può sbizzarrire (ho cancellato direttamente dopo che mi sono accorto di aver scritto una cavolata)...
"Seneca":
Va bene. Visto che la richiesta era che fosse definita su tutto $RR$ si può prendere, ad esempio, $|x|^(cos(x))$.
Vabbe ma $ f: RR to RR $ illimitata va bene anche se è illimitata anche solo a destra
sei pignolo (scherzo)
Salviamo capre e cavoli,sopratutto considerato che le funzioni esponenziali non elementari sono tradizionale fonte di "polemiche",
e consideriamo la $f(x)=x"cos"x:RR to RR$ ?
Saluti dal web.
e consideriamo la $f(x)=x"cos"x:RR to RR$
?Saluti dal web.
"theras":
Salviamo capre e cavoli,sopratutto considerato che le funzioni esponenziali non elementari sono tradizionale fonte di "polemiche",
e consideriamo la $f(x)=x"cos"x:RR to RR$
Saluti dal web.
Yeah, ma ce ne sono davvero tante, una per ogni occasione come si suol dire.
PS.
@theras (che forse sarà un po' in apprensione per domani alle 15... [size=80]e non vi andrà di lusso come all'andata[/size])
leggendo il tuo intervento ho capito che avevo scritto una gran cavolata, cioè $e^(cos(x))$ invece di $e^x cos(x)$ anche se pensavo la seconda cosa.
@James
[strongly OT]
Preoccupato per domani pomeriggio??Moi?!
Naaah(anche perché nutrivo poche speranze per la mia Inter già dopo l'andata,
come ricorderai per averti parlato in tempi non sospetti della cessione di Wes..):
lo sono ben più per domattina,
perché dopo questo mese terribile nutrire speranze per l'Italia è più atto d'Amore che di fede..
[/strongly OT]
Saluti dal web.
[strongly OT]
Preoccupato per domani pomeriggio??Moi?!
Naaah(anche perché nutrivo poche speranze per la mia Inter già dopo l'andata,
come ricorderai per averti parlato in tempi non sospetti della cessione di Wes..):
lo sono ben più per domattina,
perché dopo questo mese terribile nutrire speranze per l'Italia è più atto d'Amore che di fede..
[/strongly OT]
Saluti dal web.
"theras":
@James
[strongly OT[
[...]
perché dopo questo mese terribile nutrire speranze per l'Italia è più atto d'Amore che di fede..
[/strongly OT]
Saluti dal web.
Altro grosso OT (poi basta
).Questo per me era sottointeso... e penso anche per tutti.
PS: che ne dici di una capatina nell'english corner(vale per chi è interessato ad allenare il proprio inglese, non solo theras)? Ogni tanto gio73 (ci ho provato anche io, ma senza successo!) apre una nuova discussione generale allo scopo di migliorare il proprio inglese...
@Zero87 I am with you on the english corner
Why not?
Maybe the moment to improve my English is arrived
(but not the spoken one,because my loved teacher take often my desperate case like training for,we hope,
her future work..and she's so crazy that usually choose also Spanish in her lessons!!):
even if the portoguese could be the better one..
Greetings by the web.
Maybe the moment to improve my English is arrived
(but not the spoken one,because my loved teacher take often my desperate case like training for,we hope,
her future work..and she's so crazy that usually choose also Spanish in her lessons!!):
even if the portoguese could be the better one..
Greetings by the web.
State esagerando con gli OT: adesso basta!
"giammaria":
State esagerando con gli OT: adesso basta!
Anche gio73 invita chi vuole imparare l'inglese all'english corner in vari topic, così ho preso spunto
viewtopic.php?p=746518#p746518
Comunque ok, chiedo scusa, però...
... mi faccio perdonare e - anche se nessuno ha risposto ancora al 3 e 4 - rilancio:
"trovare una funzione $f:\RR -> \RR$ tale che $lim_(x->-\infty)= r\in \RR \cup {+\infty, - \infty}$ ma non esiste il limite per $x->+\infty$ (o il contrario)".
La scrittura $r\in \RR \cup {+\infty, - \infty}$ sta a dire che il limite può essere un reale oppure $+-\infty$: è un altro modo per dire che esiste (anche se può essere infinito).
Si tratta dunque di trovare una funzione che da una parte ha limite e dall'altra no (sembra altisonante ma è molto semplice).
Easy one...
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