$lim_(x->+\infty) f(x) = r$ con $r$ fissato
Buonasera ragazzi, ho visto che un attaccante maltese ha tirato in porta e il pallone si è abbassato solo alla fine colpendo la traversa: m'è venuta l'idea per un esercizio molto interessante.
Premetto che questo esercizio diventa banale da un certo punto del quinto superiore in poi, ma lo propongo lo stesso per chi vuole cimentarsi.
Tuttavia dal terzo anno di università in poi questo esercizio potrebbe ritornare ad essere difficile perché a forza di fare teoria e di dare per scontati dei concetti basilari di quinto superiore... si finisce per perdere la dimestichezza in certe cose
Prendiamo $f:\RR->\RR$, con al massimo qualche discontinuità all'interno, se proprio vogliamo.
Versione semplice
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->+\infty) f(x) = r$.
Versione un po' più complicata
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->+\infty) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni.
Da qui in poi mi accontento anche di $f: A\subseteq \RR-> \RR$ (con $A$ non necessariamente coincidente con $\RR$), $f$ possibilmente non polinomiale e nemmeno "solo" un rapporto tra polinomi.
Versione apparentemente difficile
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per $x_0$ reale fissato.
Versione un pizzico più difficile della precedente
Sia $r \in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni e con $x_0$ reale fissato.
Diffidate da soluzioni troppo difficili: mi accontento anche che troviate esempi pratici.
Buona serata al forum
PS.
In genere quando qualcuno propone un esercizio facile, ad un certo punto arrivano ciromario e j18eos che rilanciano con versioni più complicate e ancora più interessanti: se succede anche in questo caso li accoglierò con entusiasmo!
EDIT.
Va beh, ragazzi, mi ero dimenticato di scrivere che non vale nei casi 1. e 3. - non perché sbagliato, ma perché abbastanza immediato - come soluzione la retta $y=r$ che tende ovviamente a $r$ per $x->+\infty$.
Premetto che questo esercizio diventa banale da un certo punto del quinto superiore in poi, ma lo propongo lo stesso per chi vuole cimentarsi.
Tuttavia dal terzo anno di università in poi questo esercizio potrebbe ritornare ad essere difficile perché a forza di fare teoria e di dare per scontati dei concetti basilari di quinto superiore... si finisce per perdere la dimestichezza in certe cose
Prendiamo $f:\RR->\RR$, con al massimo qualche discontinuità all'interno, se proprio vogliamo.
Versione semplice
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->+\infty) f(x) = r$.
Versione un po' più complicata
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->+\infty) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni.
Da qui in poi mi accontento anche di $f: A\subseteq \RR-> \RR$ (con $A$ non necessariamente coincidente con $\RR$), $f$ possibilmente non polinomiale e nemmeno "solo" un rapporto tra polinomi.
Versione apparentemente difficile
Sia $r\in \RR$.
Dimostrare che esiste sempre una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per $x_0$ reale fissato.
Versione un pizzico più difficile della precedente
Sia $r \in \RR$.
Dimostrare che esistono sempre infinite funzioni tali per cui $lim_(x->x_0) f(x) = r$ per ognuna di queste funzioni e con $x_0$ reale fissato.
Diffidate da soluzioni troppo difficili: mi accontento anche che troviate esempi pratici.
Buona serata al forum
PS.
In genere quando qualcuno propone un esercizio facile, ad un certo punto arrivano ciromario e j18eos che rilanciano con versioni più complicate e ancora più interessanti: se succede anche in questo caso li accoglierò con entusiasmo!
EDIT.
Va beh, ragazzi, mi ero dimenticato di scrivere che non vale nei casi 1. e 3. - non perché sbagliato, ma perché abbastanza immediato - come soluzione la retta $y=r$ che tende ovviamente a $r$ per $x->+\infty$.
Risposte
James,che mi combini?
Non era un attaccante,ma il centrocampista avanzato di talento
(non nel battere i rigori,però,perchè se devi farlo "alla Balotelli",
fermandoti una frazione inavvertibile di secondo per ingannare arbitro e portiere,devi farlo bene e fino in fondo,
altrimenti almeno uno dei tuoi antagonisti s'accorge del trucco e vanifica l'occasione..
sopratutto se uno dei due è il migliore guardiano di pali dell'ultimo ventennio,
eccettute le magnifiche stagioni dei suoi colleghi campioni d'Europa per club nel 2002/03 e 2009/10 ) 
!
Dopo quest'inevitabile OT,vado al punto:
le traiettorie dei tiri possono essere iperboli(omografiche),
o "dritto per dritto" alla Ibra(ma anche Adriano prima dei suoi drammi
),
e mi chiedo se il tuo spunto iniziale di modelizzazione stà lì..
Saluti dal web.
Non era un attaccante,ma il centrocampista avanzato di talento
(non nel battere i rigori,però,perchè se devi farlo "alla Balotelli",
fermandoti una frazione inavvertibile di secondo per ingannare arbitro e portiere,devi farlo bene e fino in fondo,
altrimenti almeno uno dei tuoi antagonisti s'accorge del trucco e vanifica l'occasione..
sopratutto se uno dei due è il migliore guardiano di pali dell'ultimo ventennio,
eccettute le magnifiche stagioni dei suoi colleghi campioni d'Europa per club nel 2002/03 e 2009/10
) !Dopo quest'inevitabile OT,vado al punto:
le traiettorie dei tiri possono essere iperboli(omografiche),
o "dritto per dritto" alla Ibra(ma anche Adriano prima dei suoi drammi
),e mi chiedo se il tuo spunto iniziale di modelizzazione stà lì..
Saluti dal web.
"theras":
James,che mi combini?
Non era un attaccante,ma il centrocampista avanzato di talento
Va beh, sempre della nazionale di Malta però...
Comunque - e questo è un hint per una possibile soluzione (ammetto che però il problema è già abbastanza semplice di suo e sono sicuro che il buon interista theras si sia trattenuto dal dare una soluzione che ha già) - mi è venuto in mente pensando a quei tiri che salgono salgono (e pare che vanno fuori) per poi rallentare di botto la propria ascesa e sembrare che si fermano per aria come altezza e lì... toc... traversa con il portiere che guarda...
Mi viene in mente il moto parabolico. Non è l'unico ma uno dei possibili tra i "sempre".
Io avevo in mente una soluzione differente che non c'entra nulla dalla fisica, ma può anche darsi che ci siano più soluzioni (stamattina mentre leggevo la risposta di theras me ne sono venute 2-3 per ogni quesito).
L'idea mi è venuta pensando al moto, ma non inteso come moto parabolico, ma proprio in senso di guardare il pallone che m'ha fatto pensare al fatto che per $x->+\infty$ ci potesse essere qualche curva che tende a un certo valore $r$ (l'idea infatti è quella di uno che calcia il pallone, questo si alza ma poi si alza sempre meno fino ad un istante in cui sembra andare orizzontale... poi nel caso del moto parabolico si abbassa, ma questo è un altro discorso).
Posso assicurare che non c'entra granché la fisica - almeno nelle soluzioni che ho io - m'è solo stata come fonte di ispirazione ma poi nient'altro anche perché di fisica sono abbastanza ignorante!
L'idea mi è venuta pensando al moto, ma non inteso come moto parabolico, ma proprio in senso di guardare il pallone che m'ha fatto pensare al fatto che per $x->+\infty$ ci potesse essere qualche curva che tende a un certo valore $r$ (l'idea infatti è quella di uno che calcia il pallone, questo si alza ma poi si alza sempre meno fino ad un istante in cui sembra andare orizzontale... poi nel caso del moto parabolico si abbassa, ma questo è un altro discorso).
Posso assicurare che non c'entra granché la fisica - almeno nelle soluzioni che ho io - m'è solo stata come fonte di ispirazione ma poi nient'altro anche perché di fisica sono abbastanza ignorante!
Zero87 non mi fraintendere non ti sto contestando nulla anche perche il quesito è molto stimolante. Anche perché mi metto sempre nella posizione che chiunque su questo forum ne sappia più di me quindi però visto che alla fisica sono appassionato l'ho vista in questi senso. E dato che la fisica senza la matematica non va da nessuna parte " per la proprietà transitiva" sono appassionato anche di matematica comunque credo che per dimostrarlo basta prendere una qualsiasi funzione (continua a rigore)di cui conosciamo l'andamento "intuitivo" e dimostrare che il suo $ lim_(x-> oo)f (x)= r $ sempre. Correggimi se sbaglio.
però visto che alla fisica sono appassionato l'ho vista in questi senso. E dato che la fisica senza la matematica non va da nessuna parte " per la proprietà transitiva" sono appassionato anche di matematica comunque credo che per dimostrarlo basta prendere una qualsiasi funzione (continua a rigore)di cui conosciamo l'andamento "intuitivo" e dimostrare che il suo $ lim_(x-> oo)f (x)= r $ sempre. Correggimi se sbaglio.
"alicetritone94":
basta prendere una qualsiasi funzione (continua a rigore)di cui conosciamo l'andamento "intuitivo" e dimostrare che il suo $ lim_(x-> oo)f (x)= r $ sempre. Correggimi se sbaglio.
Se ho capito bene ci sei, se ho frainteso qualcosa penso che comunque ci sei molto vicino.
PS. Ma perché, mi stavi contestando qualcosa?
Al contrario non ti volevo contestare niente però pensavo che mi avessi frainteso. C'è stata una doppia incomprensione prima da parte mia poi tua. Ahahaha questi non so dimostrarlo comunque adesso ho poco tempo ma sta sera dimostrerò formalmente. Spero
comunque adesso ho poco tempo ma sta sera dimostrerò formalmente. Spero
James,faccio ammenda
(e per autoflagellazione mi prendo a pallonate da solo con quanto rimasto di quel poliedro di cuoio,
approssimativamente sferico e noto col nome di Tango,col quale giocavo da ragazzino e che era l'attrezzo ufficiale del mundial '82 ):
quello che ha sbattuto su Buffon e sfortuna era il numero 9,sebbene abbastanza atipico,
dell'ottima nazionale di Malta..
Per il resto confermo:
tra le possibili soluzioni "elementari" di quei problemi ve ne sono alcune nella famiglia delle funzioni omografiche(per i primi due)
e lineari(per i rimanenti),
ma son curioso di legger le idee dell'altro partecipante al thread.
Saluti dal web.
(e per autoflagellazione mi prendo a pallonate da solo con quanto rimasto di quel poliedro di cuoio,
approssimativamente sferico e noto col nome di Tango,col quale giocavo da ragazzino e che era l'attrezzo ufficiale del mundial '82
):quello che ha sbattuto su Buffon e sfortuna era il numero 9,sebbene abbastanza atipico,
dell'ottima nazionale di Malta..
Per il resto confermo:
tra le possibili soluzioni "elementari" di quei problemi ve ne sono alcune nella famiglia delle funzioni omografiche(per i primi due)
e lineari(per i rimanenti),
ma son curioso di legger le idee dell'altro partecipante al thread.
Saluti dal web.
Allora io farei così:
Supponiamo di prendere una funzione $f(x)$ continua in $RR$. Allora per $x\to x_0, f(x)\tof(x_0)$ con $x_0 in RR$ perchè è continua. Per $x\to +oo$ abbiamo due casi distinti:
1) $lim_(x->+oo) f(x)=+oo$
2)$lim_(x->+oo)f(x)=r$ con $r in RR$ fissato.
Per il caso 1) è banale perchè basta prendere funzioni del tipo $f(x)=sum_(i=0)^n x^i$ (ma non sono le uniche è solo un esempio).
Per il caso 2), che è quello che ci interessa, basta prendere funzioni del tipo $f(x)=(k(sum_(i=0)^n [k(x)]^i))/(h(sum_(i=0)^n [h(x)]^i))$ e verificare che:
$lim_(x\to+oo) (k(sum_(i=0)^n [k(x)]^i))/(h(sum_(i=0) [h(x)]^i))= qualcosa in RR$
Ora se $deg(h(x))>deg(k(x))$ il limite tende a zero che va bene. Se $deg(k(x))=deg(h(x))$
$f(x)\tok/h$
Salvo errori di battitura e/o di distrazione spero di aver fatto bene. A voi l'ardua sentenza
Supponiamo di prendere una funzione $f(x)$ continua in $RR$. Allora per $x\to x_0, f(x)\tof(x_0)$ con $x_0 in RR$ perchè è continua. Per $x\to +oo$ abbiamo due casi distinti:
1) $lim_(x->+oo) f(x)=+oo$
2)$lim_(x->+oo)f(x)=r$ con $r in RR$ fissato.
Per il caso 1) è banale perchè basta prendere funzioni del tipo $f(x)=sum_(i=0)^n x^i$ (ma non sono le uniche è solo un esempio).
Per il caso 2), che è quello che ci interessa, basta prendere funzioni del tipo $f(x)=(k(sum_(i=0)^n [k(x)]^i))/(h(sum_(i=0)^n [h(x)]^i))$ e verificare che:
$lim_(x\to+oo) (k(sum_(i=0)^n [k(x)]^i))/(h(sum_(i=0) [h(x)]^i))= qualcosa in RR$
Ora se $deg(h(x))>deg(k(x))$ il limite tende a zero che va bene. Se $deg(k(x))=deg(h(x))$
$f(x)\tok/h$
Salvo errori di battitura e/o di distrazione spero di aver fatto bene. A voi l'ardua sentenza
"alicetritone94":
Per il caso 2), ...
Direi che è corretto se non mi è sfuggito nulla della tua spiegazione, ma sembra esageratamente complicato rispetto a quello che avevo in mente io.
Avevo frainteso ma ora credo di aver capito che ti riferisci al secondo problema (che alla fine include il primo).
Piccolo spoiler sulla soluzione secondo problema.
Sotto spoiler c'è la mia prima soluzione (banalissima) che ha dato vita a tutto il problema: potrei rilanciare in questo modo "ne esistono altre che non dipendono solo da rapporti tra polinomi" (anche qui, bastano esempi, o comunque costruzioni abbastanza orecchiabili
).
Sai forse hai ragione che è complicato ma credo che sia scrupoloso. Siccome devo prepararmi per dei test difficile meglio essere così no? PS ho letto gli altri due. Sono diciamo molto simili ai primi due
PS ho letto gli altri due. Sono diciamo molto simili ai primi due
"alicetritone94":
Sai forse hai ragione che è complicato ma credo che sia scrupoloso. Siccome devo prepararmi per dei test difficile meglio essere così no?
Certamente, anzi, in bocca al lupo per il test!
Ho letta la tua di soluzione e l'avevo esclusa per passare a un caso più generale perchè in fondo quello che hai scritto tu è incluso in quello che ho scritto io PS faccio il quinto liceo
PS faccio il quinto liceo
"alicetritone94":
faccio il quinto liceo
Allora complimenti: alla tua età non sapevo generalizzare così i concetti (non che i professori del liceo abbiano perso così tanto tempo in questo quando facevo il quinto...).
Vediamo, però, se ti piace il rilancio che ho scritto nell'edit di qualche post fa.
"alicetritone94":
Ottimo, ma questa tende a zero per $x->+\infty$... [size=85]va beh che basta sommare $r$ per ottenere $r$...[/size]
ahahah hai ragione tu, che pollo che sono! vabbè mi perdoni ma è stata la fretta. Comunque 0 va bene lo stesso
vabbè mi perdoni ma è stata la fretta. Comunque 0 va bene lo stesso
"alicetritone94":
Comunque 0 va bene lo stesso
Sì, la costante la si può sempre aggiungere... però qualcosa di diverso da una funzione che solo un rapporto di polinomi o di radici di polinomi...?
Notevole, davvero notevole... soprattutto perché non so quanti in quinto superiore hanno familiarità con le funzioni iperboliche...
Metto direttamente l'ultima delle 3 soluzioni che avevo in mente (per il secondo), poi vediamo cosa dicono eventuali altri su questo e i rimanenti 2 problemi.
Metto direttamente l'ultima delle 3 soluzioni che avevo in mente (per il secondo), poi vediamo cosa dicono eventuali altri su questo e i rimanenti 2 problemi.
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