Valore massimo di una funzione

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
In un problema di trigonometria, fra le diverse richieste, ho trovato la seguente:

"Dimostrare che la funzione $f(x)=(|cos2x|)/(1+cos2x)$, considerata nell'intervallo $[-pi/4;pi/4]$, assume il suo valore massimo per $x=0$". Viene dato un suggerimento: "Porre $cos2x=X$ e studiare la funzione". Premettendo che ancora non ho affrontato lo studio di funzione, è possibile risolvere tale quesito per via elementare? Se sì, qualcuno potrebbe aiutarmi?

[Il problema è tratto da un testo di Trigonometria, quindi si presuppone che per la risoluzione dei quesiti non occorrano necessariamente nozioni di Analisi... almeno credo!]

Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.

[oronte83]

Con la sostituzione che ti suggerisce ti trovi:

$y=|X|/(1+X)$

Togliendo il modulo:

$y=X/(1+X)$, se $X>=0$

$y=-X/(1+X)$ se $X<0$

Queste due funzioni sono rami di funzioni omografiche e puoi facilmente disegnarle, verificando la tesi.

[kekko989]

non vorrei dire una stupidata,ma il $cos2x$ è sempre maggiore di zero nell'intervallo considerato. Infatti $cos2x>0$ quando $-pi/2<2x

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[oronte83]

"Andrea90":Buonasera a tutti!
In un problema di trigonometria, fra le diverse richieste, ho trovato la seguente:

"Dimostrare che la funzione $f(x)=(|cos2x|)/(1+cos2x)$, considerata nell'intervallo $[-pi/4;pi/4]$, assume il suo valore massimo per $x=0$". Viene dato un suggerimento: "Porre $cos2x=X$ e studiare la funzione". Premettendo che ancora non ho affrontato lo studio di funzione, è possibile risolvere tale quesito per via elementare? Se sì, qualcuno potrebbe aiutarmi?

[Il problema è tratto da un testo di Trigonometria, quindi si presuppone che per la risoluzione dei quesiti non occorrano necessariamente nozioni di Analisi... almeno credo!]

Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.

Rettifico, errore nell'uso delle parentesi con derive
è un massimo; ecco il grafico della funzione di partenza

[kekko989]

"oronte83":[quote="Andrea90"]Buonasera a tutti!
In un problema di trigonometria, fra le diverse richieste, ho trovato la seguente:

"Dimostrare che la funzione $f(x)=(|cos2x|)/(1+cos2x)$, considerata nell'intervallo $[-pi/4;pi/4]$, assume il suo valore massimo per $x=0$". Viene dato un suggerimento: "Porre $cos2x=X$ e studiare la funzione". Premettendo che ancora non ho affrontato lo studio di funzione, è possibile risolvere tale quesito per via elementare? Se sì, qualcuno potrebbe aiutarmi?

[Il problema è tratto da un testo di Trigonometria, quindi si presuppone che per la risoluzione dei quesiti non occorrano necessariamente nozioni di Analisi... almeno credo!]

Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.

Scusa ma sei sicuro che sia massimo e non minimo?[/quote]

No,è il massimo. Infatti la derivata è $(-sin2x)/[(1+cos2x)^2]$.

[Andrea902]

Per oronte83: si, sono sicuro... il testo si riferisce al massimo. Avevo pensato al procedimento che mi hai proposto, ed ho pure disegnato i rami di funzioni omografiche. Il problema è che dal grafico sembra che la funzione tenda a $+oo$ o a $-oo$... come faccio a dedurre da lì che il massimo si ottiene per $x=0$?

Può darsi che non stiamo considerando il campo di esistenza imposto dal problema: $[-pi/4;pi/4]$. In ogni caso sia per $x=-pi/4$ che per $x=pi/4$ si ottiene $X=0$... qualcosa non mi torna...

[oronte83]

"kekko89":

No,è il massimo. Infatti la derivata è $(-sin2x)/[(1+cos2x)^2]$.

Gia corretto

[Andrea902]

Appurato che si tratta certamente del massimo, come posso comprendere, sfruttando il suggerimento del libro, che lo si ottiene per $x=0$?

[kekko989]

dico la mia idea.. allora,la funzione è $|cos2x|/(1+cos2x)$ Nell'intervallo considerato, $cos2x>0$ quindi possiamo togliere il modulo. Inoltre, $(cos2x)/(1+cos2x)$ è una funzione pari. Quindi simmetrica rispetto all'asse delle y (Questo lo vedi vedendo che $f(-x)=f(x)$. In x=0, $f(x)=1/2$. E questo è il valore massimo che la funzione può prendere. Infatti,con $x=0$ $cos2x=1$ che è il massimo valore del coseno. Infatti per tutti gli altri valori di x, $cosx<1$ E la frazione $x/(x+1)$ con $0

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[Andrea902]

Perchè per la frazione $x/(x+1)$ vale la limitazione $0

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[kekko989]

perchè siamo partiti dal $cos2x$ e dovevamo considerarlo tra $[-pi/4;pi/4]$. E in questo intervallo varia solo tra zero e uno.

[Andrea902]

Quanto detto da kekko89 credo possa andare bene. A te, in definitiva, la frazione $x/(1+x)$ ti è servita solo per fare una sorta di confronto con la funzione di partenza, giusto?
Invece, per quanto riguarda Oronte83, come fa a capire dal grafico dei rami di funzioni omografiche che in $x=0$ la funzione data, nell'intervallo considerato, ammette il suo valore massimo?

[kekko989]

si esatto. secondo me con la sostituzione che ti consigliano e lo studio di quella funzione, è un procedimento un pò più complicato..

[Andrea902]

Appunto, concordo con te. Anche perchè operando la sostituzione e studiando la funzione, non capisco perchè si ha un massimo per $x=0$. Tu sapresti spiegarmelo?! Io fino al grafico dei rami di funzioni omografiche ci sono arrivato tranquillamente, ma non riesco a vedere "oltre"!

P.S.: non mi arrendo molto facilmente! Più vedo che qualcosa è difficile più mi butto su di essa a capofitto!

[kekko989]

provo a pensarla così (che poi è in parte il mio ragionamento).
Consideriamo $cos2x=X$. Se prima avevamo le limitazioni della x, ora le limitazioni della X sono $00$ sempre. Quindi il valore massimo lo avremmo in corrispondenza del valore massimo che può prendere la X,che è quindi 1. e $cos2x=1$ quando $x=0$

[Andrea902]

Quando dici "poichè è un ramo di iperbole..." ti riferisci alla funzione $f(X)=(|X|)/(1+X)$?

[kekko989]

si..iperbole equilatera traslata ha la seguente equazione $f(x)=(ax+b)/(cx+d)$

[oronte83]

Scusa il ritardo...allora il testo è chiaro: ti dice di studiare la funzione in cui hai operato la sostituzione, questo significa che la devi disegnare. In realtà non c'è nulla da studiare in quanto essendo un'omografica, basta che ti calcoli gli asintoti con le formule. La richiesta è che tu dal grafico che ti sei disegnato, ricavi che c'è un max in 0. Il ragionamento di kekko è correttissimo, ma la sostituzione è inutile nel suo caso (cioè le proprietà che elenca si ricavano senza sostituire alcunche).
Se decidi di seguire il consiglio del libro, cosa non obbligatoria peraltro (quello che ti dice kekko va molto bene), tu ti devi studiare la funzione $y=|X|/(1+X)$, considerando il modulo. Alla fine limiterai il grafico alla parte che ti interessa, ricordando che $X=cos2x$. Non l'ho fatto l'esercizio, però non mi sembra facile questa strada della sostituzione. Piu tardi ci provo.

[Andrea902]

Ma considerando tale funzione, abbiamo anche un ramo che diverge a $-oo$ (nel terzo quadrante)... come facciamo a dire che è sempre positiva? Consideriamo solo il ramo per cui $0

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[oronte83]

"Andrea90":Ma considerando tale funzione, abbiamo anche un ramo che diverge a $-oo$ (nel terzo quadrante)... come facciamo a dire che è sempre positiva? Consideriamo solo il ramo per cui $0

dopo che hai disegnato il grafico, ricordi la sostituzione che hai fatto e che $x in [-pi/4, pi/4]$

[Andrea902]

Per Oronte83: dicendo "limiterai il grafico nella parte che ti interessa", ti riferisci a quanto detto da kekko89? Cioè alla limitazione $0<=x<=1$?