Valore massimo di una funzione

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
In un problema di trigonometria, fra le diverse richieste, ho trovato la seguente:

"Dimostrare che la funzione $f(x)=(|cos2x|)/(1+cos2x)$, considerata nell'intervallo $[-pi/4;pi/4]$, assume il suo valore massimo per $x=0$". Viene dato un suggerimento: "Porre $cos2x=X$ e studiare la funzione". Premettendo che ancora non ho affrontato lo studio di funzione, è possibile risolvere tale quesito per via elementare? Se sì, qualcuno potrebbe aiutarmi?

[Il problema è tratto da un testo di Trigonometria, quindi si presuppone che per la risoluzione dei quesiti non occorrano necessariamente nozioni di Analisi... almeno credo!]

Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.

[kekko989]

"oronte83": La richiesta è che tu dal grafico che ti sei disegnato, ricavi che c'è un max in 0.

Se fai la sostutizione,tenendo conto delle limitazioni imposte dal problema, il max dovremmo averlo in X=1 non X=0. Visto che $X=cos2x$

[Andrea902]

Infatti, perchè dal grafico della funzione si deduce che in $[0;1]$ è crescente... quindi il massimo si ottiene per $X=1$. Comincio a perdere le staffe!

[oronte83]

"kekko89":[quote="oronte83"] La richiesta è che tu dal grafico che ti sei disegnato, ricavi che c'è un max in 0.

Se fai la sostutizione,tenendo conto delle limitazioni imposte dal problema, il max dovremmo averlo in X=1 non X=0. Visto che $X=cos2x$[/quote]

Si ma capisci che se un testo ti dice di fare una sostituzione ha in mente una certa strada...per quanto i testi possano sbagliare, direi che tutto sommato in questo caso si puo fare per sostituzione tranquillamente, allungando solo un po' la strada ma arrivando comunque alla soluzione.
E' chiaro che non puoi avere il massimo della prima funzione in $X=0$, dato che X è un'altra variabile. Il massimo della funzione di partenza si ha dove la funzione ottenuta per sostituzione ha il proprio massimo, cioè in $X=1$, come si vede dal grafico. ma $X=cos2x$, $cos2x=1$, implica $x=0$

[kekko989]

okok..è che la frase l'avevo interpretata male. Perchè lui rappresenta la funzione $x/(x+1)$ e dal grafico di questa non vede nessun massimo in zero. Questo penso sia il suo problema.

[oronte83]

Si perche alla fine non ritorna alla variabile iniziale $X=cos2x$

[Andrea902]

Perfetto! Ho capito! Kekko89 ha capito quale era il mio problema, ma adesso tutto risolto! Dovrebbe essere tutto chiaro. Scrivo di seguito in sintesi, per fissare le idee, i passaggi che seguirò:

1) Da $f(x)=(|cos2x|)/(1+cos2x)$, ponendo $X=cos2x$ giungo alla funzione: $f(X)=(|X|)/(1+X)$ (Sottintendo la modifica del campo di esistenza);
2) La rappresento graficamente, e deduco che nell'intervallo $[0;1]$ (che è quello che ci interessa) è crescente, sicchè il massimo lo si avrà per $X=1$;
3) Ricordando che $X=cos2x$, si ha $cos2x=1$ da cui $x=0$.

Credo che l'ossatura del ragionamento sia questa... Dalla "funzione ausiliaria" arriviamo, sfruttando la posizione iniziale, alla tesi.
Grazie di tutto!

[kekko989]

ok perfetto. Fai bene ad insistere con procedimenti diversi,come hai detto prima. Ciao!

[oronte83]

"Andrea90":Perfetto! Ho capito! Kekko89 ha capito quale era il mio problema, ma adesso tutto risolto! Dovrebbe essere tutto chiaro. Scrivo di seguito in sintesi, per fissare le idee, i passaggi che seguirò:

1) Da $f(x)=(|cos2x|)/(1+cos2x)$, ponendo $X=cos2x$ giungo alla funzione: $f(X)=(|X|)/(1+X)$ (Sottintendo la modifica del campo di esistenza);
2) La rappresento graficamente, e deduco che nell'intervallo $[0;1]$ (che è quello che ci interessa) è crescente, sicchè il massimo lo si avrà per $X=1$;
3) Ricordando che $X=cos2x$, si ha $cos2x=1$ da cui $x=0$.

Credo che l'ossatura del ragionamento sia questa... Dalla "funzione ausiliaria" arriviamo, sfruttando la posizione iniziale, alla tesi.
Grazie di tutto!

Perdonami, io ti parlavo tenendo conto che tu avessi sempre ben presente la sostituzione che hai operato. Comunque mi sembra che adesso tu abbia capito perfettamente! Ottimo

[Andrea902]

Tranquillo oronte83!

Grazie a tutti!

Buona serata!